2.2從函數(shù)觀點(diǎn)看一元二次方程課件高一上學(xué)期數(shù)學(xué)

第2章一元二次函數(shù)、方程和不等式2.2從函數(shù)觀點(diǎn)看一元二次方程湘教版

數(shù)學(xué)

必修第一

冊(cè)課標(biāo)要求1.會(huì)結(jié)合二次函數(shù)的圖象,判斷一元二次方程實(shí)數(shù)根的存在性及實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù).2.理解二次函數(shù)的零點(diǎn)與一元二次方程的根的關(guān)系.基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過(guò)重難探究·能力素養(yǎng)速提升學(xué)以致用·隨堂檢測(cè)促達(dá)標(biāo)目錄索引基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過(guò)知識(shí)點(diǎn)一一元二次方程與二次函數(shù)的關(guān)系判別式Δ=b2-4acΔ>0Δ=0Δ<0二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)的圖象

一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根有兩個(gè)相異實(shí)根x1,x2(x1<x2)有兩個(gè)相等實(shí)根x1=x2=沒(méi)有實(shí)根過(guò)關(guān)自診

C知識(shí)點(diǎn)二二次函數(shù)的零點(diǎn)一般地,我們把使得ax2+bx+c=0(a≠0)成立的實(shí)數(shù)x叫作二次函數(shù)y=ax2+bx+c的

.

名師點(diǎn)睛一元二次方程、二次函數(shù)、二次函數(shù)的圖象之間的關(guān)系方程ax2+bx+c=0有實(shí)數(shù)根?二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸有交點(diǎn)?二次函數(shù)y=ax2+bx+c有零點(diǎn).零點(diǎn)過(guò)關(guān)自診1.函數(shù)y=2x2-3x+1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是(

)A.0 B.1

C.2

D.3C解析

由y=0得2x2-3x+1=0,解得x=或x=1,所以函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn).2.二次函數(shù)的零點(diǎn)是函數(shù)與x軸的交點(diǎn)嗎?提示

不是.二次函數(shù)的零點(diǎn)不是一個(gè)點(diǎn),而是一個(gè)數(shù),該數(shù)是函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點(diǎn)一求二次函數(shù)的零點(diǎn)【例1】

已知函數(shù)y=x2-x-2a.(1)若a=1,求函數(shù)的零點(diǎn);(2)若函數(shù)有零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解

(1)當(dāng)a=1時(shí),y=x2-x-2.令y=x2-x-2=0,得x=-1或x=2.即函數(shù)y=x2-x-2a的零點(diǎn)為-1和2.規(guī)律方法

二次函數(shù)零點(diǎn)的求法(1)代數(shù)法:求方程y=0的實(shí)數(shù)根.(2)幾何法:對(duì)于不能用求根公式的方程y=0,可以將它與函數(shù)的圖象聯(lián)系起來(lái).圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為函數(shù)的零點(diǎn).變式訓(xùn)練已知函數(shù)y1=ax-b(a≠0)的零點(diǎn)為3,求函數(shù)y2=bx2+ax的零點(diǎn).解

由已知得3a-b=0,即b=3a.故y2=3ax2+ax=ax(3x+1).令y2=0,即ax(3x+1)=0,探究點(diǎn)二一元二次方程的根的個(gè)數(shù)與判別式的關(guān)系【例2】

關(guān)于x的一元二次方程x2+(m-2)x+m+1=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,則m的值是(

)A.0 B.8C.4±

D.0或8D解析

由Δ=(m-2)2-4(m+1)=0,得m2-8m=0,解得m=0或m=8.變式探究本例的結(jié)論改為“有兩個(gè)實(shí)數(shù)根”,試求m的取值范圍.解

一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根可能是兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根也可能是兩個(gè)相異的實(shí)數(shù)根,則Δ=(m-2)2-4(m+1)=m2-8m≥0,即m(m-8)≥0,解得m≥8或m≤0.故m的取值范圍為(-∞,0]∪[8,+∞).規(guī)律方法

一元二次方程ax2+bx+c=0實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)的判斷方法(1)當(dāng)Δ=b2-4ac>0時(shí),方程有兩個(gè)相異的實(shí)數(shù)根;(2)當(dāng)Δ=b2-4ac=0時(shí),方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根;(3)當(dāng)Δ=b2-4ac<0時(shí),方程無(wú)實(shí)數(shù)根.學(xué)以致用·隨堂檢測(cè)促達(dá)標(biāo)A級(jí)必備知識(shí)基礎(chǔ)練12345678910111213141.下列一元二次方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根的是(

)A.x2+2x+1=0 B.x2+x+2=0C.x2-1=0 D.x2-2x-1=0B解析

對(duì)于A,因?yàn)棣?22-4×1×1=0,所以方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,A不合題意;對(duì)于B,因?yàn)棣?12-4×1×2<0,所以方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根,故B符合題意;對(duì)于C,方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x=±1,故C不符合題意;對(duì)于D,因?yàn)棣?(-2)2-4×1×(-1)>0,所以方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,故D不合題意.故選B.1234567891011121314C12345678910111213143.若α,β是二次函數(shù)y=x2-kx+8的兩個(gè)零點(diǎn),則(

)D12345678910111213144.若α,β是二次函數(shù)y=x2+3x-6的兩個(gè)零點(diǎn),則

α2-3β的值是(

)A.3 B.15 C.-3 D.-15B解析

∵α,β是二次函數(shù)y=x2+3x-6的兩個(gè)零點(diǎn),∴α2+3α-6=0,即α2=6-3α.由根與系數(shù)的關(guān)系可知α+β=-3,∴α2-3β=6-3α-3β=6-3(α+β)=6-3×(-3)=15.故選B.12345678910111213145.若關(guān)于x的一元二次方程x2+2x-m=0的解集中只有一個(gè)元素,則m的值為

.

-1解析

∵關(guān)于x的一元二次方程x2+2x-m=0的解集中只有一個(gè)元素,∴Δ=b2-4ac=0,即22-4(-m)=0,解得m=-1.12345678910111213146.若x1,x2是二次函數(shù)y=x2+x-2的兩個(gè)零點(diǎn),則x1+x2+x1x2=

.

-3解析

由根與系數(shù)的關(guān)系可知,x1+x2=-1,x1x2=-2,∴x1+x2+x1x2=-3.

12345678910111213147.已知關(guān)于x的一元二次方程x2+2x+2k-4=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.(1)求k的取值范圍;(2)若x1,x2是方程的兩個(gè)根,且(x1-x2)2=12,求k的值.(2)∵x1,x2是方程的兩個(gè)根,∴x1+x2=-2,x1x2=2k-4.∵(x1-x2)2=12,∴(x1+x2)2-4x1x2=12,∴4-4(2k-4)=12,解得k=1.1234567891011121314B級(jí)關(guān)鍵能力提升練8.已知關(guān)于x的方程x2-6x+k=0的兩根分別是x1,x2,且滿足

=3,則k的值是(

)A.1 B.2

C.3 D.4B12345678910111213149.關(guān)于x的方程(m-2)x2-4x+1=0有實(shí)數(shù)根,則m滿足的條件是(

)A.m≤6 B.m<6C.m≤6且m≠2 D.m<6且m≠2A解析

①當(dāng)m-2=0,即m=2時(shí),方程化為-4x+1=0,只有一個(gè)實(shí)根,符合題意;②當(dāng)m-2≠0,即m≠2時(shí),方程有實(shí)數(shù)根的充要條件是Δ=(-4)2-4(m-2)≥0,解得m≤6,即m≤6且m≠2.綜合①②得m≤6.故選A.123456789101112131410.已知x1,x2是函數(shù)y=x2-ax-2(a∈R)的兩個(gè)零點(diǎn),下列結(jié)論一定正確的是(

)A.x1+x2>0 B.x1x2>0C.x1<0,x2<0 D.x1≠x2D解析

由根與系數(shù)的關(guān)系可得x1+x2=a,x1x2=-2,故可排除B,但因?yàn)闊o(wú)法得知a的正負(fù),故A,C不正確;又Δ=(-a)2-4×1×(-2)=a2+8>0,所以方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,故選D.1234567891011121314CD123456789101112131412.已知關(guān)于x的方程ax2+x-a-1=0的根都是整數(shù),那么符合條件的整數(shù)a的取值集合為

.

{-1,0,1}解析

若a=0,則x=1;若a≠0,則原方程化為(x-1)[a(x+1)+1]=0,則x-1=0或a(x+1)+1=0.①當(dāng)x-1=0時(shí),x=1是方程的一個(gè)整數(shù)解.②當(dāng)a(x+1)+1=0時(shí),x+1=-,且x是整數(shù),a是整數(shù),知a=±1.綜上,a的取值集合為{-1,0,1}.123456789101112131413.已知m,n是二次函數(shù)y=x2-2x-7的兩個(gè)零點(diǎn),則m2+mn+2n=