第七章-時間序列分析

第七章時間序列分析

第一節(jié)時間序列分析的基本概念第二節(jié)平穩(wěn)性檢驗第三節(jié)協(xié)整第四節(jié)誤差修正模型第一節(jié)

時間序列分析的基本概念

一、平穩(wěn)性的定義二、幾種有用的時間序列模型三、單整的時間序列

經(jīng)濟分析通常假定所研究的經(jīng)濟理論中涉及的變量之間存在著長期均衡關(guān)系。按照這一假定，在估計這些長期關(guān)系時，計量經(jīng)濟分析假定所涉及的變量的均值和方差是常數(shù)，不隨時間而變。然而，經(jīng)驗研究表明，在大多數(shù)情況下，時間序列變量并不滿足這一假設，從而產(chǎn)生所謂的“偽回歸”問題(‘spurious’regressionproblem)。為解決這類問題，研究人員提出了不少對傳統(tǒng)估計方法的改進建議，其中最重要的兩項是對變量的非平穩(wěn)性(non-stationarity)的系統(tǒng)性檢驗和協(xié)整分析(cointegration)。一、

平穩(wěn)性（Stationarity）

1.嚴格平穩(wěn)性

如果一個時間序列Xt的聯(lián)合概率分布不隨時間而變，即對于任何n和k，X1,X2,…，Xn的聯(lián)合概率分布與X1+k,X2+k,…Xn+k

的聯(lián)合分布相同，則稱該時間序列是嚴格平穩(wěn)的。

由于在實踐中上述聯(lián)合概率分布很難確定，我們用隨機變量Xt（t=1,2,…）的均值、方差和協(xié)方差代替之。如果一個時間序列滿足下列條件：

2.弱平穩(wěn)性（寬平穩(wěn)）

(1)均值是與時間t無關(guān)的常數(shù)E(Xt)=μ，t=1,2,…（7.1）(2)方差是與時間t無關(guān)的常數(shù)

Var(Xt)=E(Xt－μ)2=σ2，t=1,2,…（7.2）(3)協(xié)方差

t=1,2,…，k≠0

則稱該時間序列是弱平穩(wěn)的（stationary)。

只要這三個條件不全滿足，則該時間序列是非平穩(wěn)的。事實上，大多數(shù)經(jīng)濟時間序列是非平穩(wěn)的。3.非平穩(wěn)性二、

幾種有用的時間序列模型

1.白噪聲（Whitenoise）白噪聲通常用εt表示，是一個純粹的隨機過程，滿足:(1)E(εt)=0,對所有t成立；(2)Var(εt)=σ2，對所有t成立；(3)Cov(εt，εt+k)=0，對所有t和k≠0成立。白噪聲可用符號表示為：

εt～IID(0，σ2)（7.4）

標準正態(tài)白噪聲序列時序圖

2.隨機漫步（Randomwalk）

如果一個序列由如下隨機過程生成：

xt=xt-1+εt（7.5）其中εt是一個白噪聲，則該列序被稱為隨機漫步。

容易證得

E(Xt）=E(Xt-1+εt）=E(Xt-1）+E(εt）=E(Xt-1）這表明Xt的均值不隨時間而變。

而Xt的方差：

Xt=Xt-1+εt=Xt-2+εt-1+εt=Xt-3+εt-2+εt-1+εt=……=X0+ε1+ε2+……+εt=X0+∑εt

式中，X0為初始值，可假定為任何常數(shù)或為0，則

Var(Xt）=Var｛X0+｝==表明Xt的方差與時間t有關(guān)而非常數(shù)，因此隨機漫步序列是一非平穩(wěn)序列。隨機漫步序列可以通過差分變換使其變?yōu)槠椒€(wěn)序列（

ΔXt=εt

）。3.帶漂移項的隨機漫步(Randomwalkwithdrift)Xt=μ+Xt－1+εt（7.6）其中μ是一非0常數(shù)，εt為白燥聲。

μ之所以被稱為“漂移項”，是因為式中的一階差分為

ΔXt=Xt－Xt-1=μ+εt

這表明時間序列Xt向上或向下漂移，取決于μ的符號是正還是負。顯然，帶漂移項的隨機漫步時間序列也是非平穩(wěn)時間序列，但其差分是一平穩(wěn)序列。4.自回歸過程隨機漫步過程（Xt=Xt－1+εt）是最簡單的非平穩(wěn)過程。它是

Xt=φXt－1+εt

（7.7）的特例，（7.7）稱為一階自回歸過程(AR(1))，該過程在－1＜φ＜1時是平穩(wěn)的，其他情況下，則為非平穩(wěn)過程。

更一般地，（7.7）式又是

Xt=φ1Xt－1+φ2Xt－2+……+φqXt-q+εt

（7.8）的特例，（7.8）稱為q階自回歸過程(AR(q))?？梢宰C明，如果特征方程

1－φ1L－φ2L2－φ3L3－……－φqLq

=0（7.9）的所有根的絕對值均大于1，則此過程（7.8）是平穩(wěn)的，否則為非平穩(wěn)過程。四、單整的時間序列（Integratedseries）從（7.5）可知，隨機漫步序列的一階差分序列ΔXt=Xt-Xt-1是平穩(wěn)序列。在這種情況下，我們說原非平穩(wěn)序列Xt是“一階單整的”，表示為I(1)。與此類似，若非平穩(wěn)序列必須取二階差分(Δ2Xt=ΔXt－ΔXt-1)才變?yōu)槠椒€(wěn)序列，則原序列是“二階單整的”，表示為I(2)。

如果一個時間序列經(jīng)過d次差分后能夠變成平穩(wěn)序列，則相應的稱原序列是d階單整（integratedofd）序列，記為I(d)。如果一個序列不管差分多少次，也不能變?yōu)槠椒€(wěn)序列，則稱該序列為“非單整”（non-integrated）序列。顯然，I(0)代表一平穩(wěn)時間序列。

第二節(jié)平穩(wěn)性檢驗平穩(wěn)性檢驗的方法可分為兩類：一類是根據(jù)時間序列圖和自相關(guān)圖顯示的特征作出判斷的圖形檢驗法；另一類是通過構(gòu)造檢驗統(tǒng)計量進行定量檢驗的單位根檢驗法(unitroottest)。一、單位根方法考察（7.7）式的一階自回歸過程，即

Xt=φXt－1+εt

（7.10）其中εt為白噪聲，此過程可寫成

Xt－φXt－1=εt或（1－φL）Xt=εt

（7.11）其中L為滯后運算符，其作用是取時間序列的滯后，如Xt

的一期滯后可表示為L(Xt），即

L(Xt）=Xt－1

由上節(jié)所知，自回歸過程Xt平穩(wěn)的條件是其特征方程的所有根的絕對值大于1。由于這里特征方程為1－ΦL=0，該方程僅有一個根L=1/φ，因而平穩(wěn)性要求－1＜φ＜1。因此，檢驗Xt的平穩(wěn)性的原假設和備擇假設為：

H0：∣φ∣≥1Ha：∣φ∣＜1

接受原假設H0表明Xt是非平穩(wěn)序列，而拒絕原假設（即接受備擇假設Ha）則表明Xt是平穩(wěn)序列。實踐中，上述原假設和備擇假設采用如下形式：這是因為，首先，可以假設φ>0，因為絕大多數(shù)經(jīng)濟時間序列確實如此；其次，φ>1意味著Xt是爆炸性的，通常不予考慮，這意味著備擇假設實際上是0<φ<1。H0：φ=1Ha：φ<1單位根檢驗方法的由來

在Φ=1的情況下，即若原假設為真，則（7.10）就是隨機漫步過程（7.4），從上節(jié)得知，它是非平穩(wěn)的。因此，檢驗非平穩(wěn)性就是檢驗Φ=1是否成立，或者說，就是檢驗單位根是否存在。換句話說，單位根是表示非平穩(wěn)性的另一方式。這樣一來，就將對非平穩(wěn)性的檢驗轉(zhuǎn)化為對單位根的檢驗，這就是單位根檢驗方法的由來。（7.10）式Xt=φXt－1+εt兩端各減去Xt-1，我們得到

Xt－Xt－1=ΦXt－1－Xt－1+εt即ΔXt=δXt－1+εt

（7.12）其中Δ是差分運算符，δ=Φ－1。

則前面的假設

H0：φ=1Ha：φ＜1可寫成如下等價形式：

H0：δ=0Ha：δ＜0

在δ=0的情況下，即若原假設為真，則相應的過程是非平穩(wěn)的。

換句話說，非平穩(wěn)性或單位根問題，可表示為Φ=1或δ=0。從而我們可以將檢驗時間序列Xt的非平穩(wěn)性的問題簡化成在方程（7.10）的回歸中，檢驗參數(shù)Φ=1是否成立或者在方程（7.12）的回歸中，檢驗參數(shù)δ=0是否成立。

Xt=

Xt－1+εtΔxt=δxt－1+εt

這里的問題是，上式計算的t值不服從t分布，而是服從一個非標準的甚至是非對稱的分布。因而不能使用t分布表，需要用另外的分布表。2.Dickey-Fuller檢驗（DF檢驗，只適用于AR(1)）DF檢驗法是由Dickey-Fuller于1979年提出的。

Dickey和Fuller以蒙特卡羅模擬為基礎(chǔ)，編制了tδ的統(tǒng)計量的臨界值表，表中所列的非傳統(tǒng)t統(tǒng)計值，他們稱之為τ統(tǒng)計量。（1）DF檢驗臨界值這些臨界值如表7.1所示。后來該表由麥金農(nóng)（Mackinnon）通過蒙特卡羅模擬法加以擴充。將表7.1中臨界值與標準t分布表中臨界值相比較（按絕對值比），τ值要比相應的t值大得多。

第一步：首先對Δxt=δxt－1+εt進行回歸，得到tδ的值第二步：檢驗假設H0：δ=0Ha：δ＜0

用第一步得到的tδ值與臨界值τ相比較，判斷準則：

若tδ>τ，則接受原假設H0，即Xt非平穩(wěn)；

若tδ＜τ，則拒絕原假設H0，Xt為平穩(wěn)序列。（2）DF檢驗步驟Dickey和Fuller注意到τ臨界值依賴于回歸方程的類型。因此他們同時還編制了與另外兩種類型方程中相對應的τ統(tǒng)計表，這兩類方程是：

△xt=α+δxt-1+εt

（7.14）

和

△xt=α+βt+δxt-1+εt（7.15）

二者的τ臨界值分別記為τμ和τT。盡管三種方程的τ臨界值有所不同，但有關(guān)時間序列平穩(wěn)性的檢驗依賴的是Xt-1的系數(shù)δ，而與α、β無關(guān)。ADF檢驗的全稱是擴展的迪奇－福勒檢驗（AugmentedDickey-Fullertest）,它是DF檢驗的擴展，適用于擾動項εt服從平穩(wěn)的AR(P)過程的情形。ADF與DF檢驗的區(qū)別是在（7.12）式中增加若干個△xt的滯后項△xt-j（j=1,2,…,p）作為解釋變量，即要回歸的方程變?yōu)?/p>

3.增項的單位根檢驗（ADF檢驗）

在模型1、2、3中應當包括多少個滯后變動項，并無硬性的標準。一般做法是包括盡可能多的△xt的滯后項，當然也不能太多，因為會影響自由度。實踐中可根據(jù)數(shù)據(jù)的頻率和樣本的規(guī)模來選擇p。對于年度數(shù)據(jù)，一、兩個滯后即可，月度數(shù)據(jù)，可考慮取p＝12。第三節(jié)

協(xié)整

經(jīng)典的回歸假設中要求數(shù)據(jù)是平穩(wěn)的，否則，對非平穩(wěn)序列進行建模時，往往會出現(xiàn)“偽回歸”現(xiàn)象。為了滿足數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性要求，通常通過差分變換使序列變?yōu)槠椒€(wěn)，然后再利用平穩(wěn)序列進行建模，但這樣會產(chǎn)生另外一個問題，就是差分后的序列不僅經(jīng)濟含義難以解釋，而且差分序列丟失了原始數(shù)據(jù)本身的長期信息，使得建模的效果受到影響。由Engle和Granger于1987年提出的協(xié)整理論為非平穩(wěn)序列的直接建模提供了一種非常有用的途徑。一、虛假回歸

當用兩個相互獨立的非平穩(wěn)時間序列建立回歸模型時，常常得到一個具有統(tǒng)計顯著性的回歸函數(shù)，稱為虛假回歸（格蘭杰－紐博爾博Grange-Newbold，1974年提出）。例：給定數(shù)據(jù)生成系統(tǒng)如下：圖7.1模型(4)的統(tǒng)計量t的頻數(shù)分布圖表7.2模型(4)的統(tǒng)計量t的頻數(shù)分布表在現(xiàn)實經(jīng)濟生活中，大多數(shù)時間序列數(shù)據(jù)是非平穩(wěn)的，而且主要的經(jīng)濟變量如消費、收入、價格往往表現(xiàn)為一致的上升或下降。由此可見，數(shù)據(jù)非平穩(wěn)，往往導致出現(xiàn)“虛假回歸”問題，表現(xiàn)在:兩個本來沒有任何因果關(guān)系的變量，卻有很高的相關(guān)性（有較高的R2)。

由上面的討論，自然引出了一個明顯的問題：我們使用非均衡時間序列時是否必定會造成偽回歸？對此問題的回答是，如果在一個回歸中涉及的趨勢時間序列“一起漂移”，或者說“同步”，則可能沒有偽回歸的問題，因而取決于t檢驗和F檢驗的推斷也沒有問題。這種非均衡時間序列的“同步”，引出了我們下面要介紹的“協(xié)整”概念。二、協(xié)整的概念

協(xié)整概念是20世紀80年代由恩格爾-格蘭杰（Engle-Granger）提出的。協(xié)整理論為在兩個或多個非平穩(wěn)變量間尋找均衡關(guān)系，以及用存在協(xié)整關(guān)系的變量建立誤差修正模型奠定了理論基礎(chǔ)。1.協(xié)整定義定義：如果兩時間序列Yt～I(d)，Xt～I(d)，并且這兩個時間序列的線性組合a1Yt+a2Xt

是(d-b)階單整的，即a1Yt+a2Xt～I(d-b)（d≥b≥0），則Yt

和Xt被稱為是（d,b）階協(xié)整的。記為

Yt，Xt～CI(d,b)這里CI是協(xié)整的符號。構(gòu)成兩變量線性組合的系數(shù)向量（a1，a2）稱為“協(xié)整向量”。

下面給出本節(jié)中要研究的兩個特例。1.Yt，Xt～CI(d，d）在這種情況下，d=b，使得a1Yt+a2Xt～I(0），這意味著兩時間序列的線性組合是平穩(wěn)的，因而Yt，Xt～CI(d，d)。2.Yt，Xt～CI（1,1）在這種情況下，d=b=1，同樣有a1Yt+a2Xt～I（0），即兩時間序列的線性組合是平穩(wěn)的，因而Yt，Xt～CI(1,1)。

（d,d）階協(xié)整是一類非常重要的協(xié)整關(guān)系，它的經(jīng)濟意義在于：兩個變量，雖然它們具有各自的長期波動規(guī)律，但是如果它們是（d,d）階協(xié)整的，則它們之間存在著一個長期穩(wěn)定的比例關(guān)系。

從協(xié)整的定義可以看出:這也解釋了盡管這兩時間序列是非穩(wěn)定的，但卻可以用經(jīng)典的回歸分析方法建立回歸模型的原因。

讓我們考慮下面的關(guān)系

Yt=β0+β1Xt

（7.16）

其中，Yt～I(1），Xt～I(1）。當0=Yt－β0－β1Xt時，該關(guān)系處于長期均衡狀態(tài)。對長期均衡的偏離，稱為“均衡誤差”，記為εt：

εt=Yt－β0－β1Xt

若長期均衡存在，則均衡誤差應當圍繞均衡值0波動。也就是說，均衡誤差εt應當是一個平穩(wěn)時間序列，即應有

εt～I(0），E(εt）=0。按照協(xié)整的定義，由于

Yt～I(1），Xt～I(1），且線性組合

εt=Yt－β0－β1Xt～I(0）因此，Yt

和Xt是（1，1）階協(xié)整的，即

Yt，Xt～CI(1,1）協(xié)整向量是（1,－β0,－β1）

綜合以上結(jié)果，我們可以說，兩時間序列之間的協(xié)整是表示它們之間存在長期均衡關(guān)系的另一種方式。因此，若Yt

和Xt是協(xié)整的,并且均衡誤差是平穩(wěn)的且具有零均值，我們就可以確信，方程

Yt=β0+β1Xt+εt

（7.17）將不會產(chǎn)生偽回歸結(jié)果。由上可知，如果我們想避免偽回歸問題，就應該在進行回歸之前檢驗一下所涉及的變量是否協(xié)整。三、協(xié)整的檢驗

下面介紹用于檢驗兩變量之間協(xié)整最常用的恩格爾-格蘭杰（Engle-Granger）方法。Engle-Granger法（EG）或增廣Engle-Granger法（AEG）的檢驗步驟如下。

步驟1用上一節(jié)介紹的單位根方法求出兩變量的單整的階，然后分情況處理：（1）

若兩變量的單整的階相同，進入下一步；（2）若兩變量的單整的階不同，則兩變量不是協(xié)整的；（3）若兩變量是平穩(wěn)的，則整個檢驗過程停止，因為你可以采用標準回歸技術(shù)處理。

步驟2

若兩變量是同階單整的，如I(1），則用OLS法估計長期均衡方程（稱為協(xié)整回歸）：

Yt=β0+β1Xt+εt得到并保存殘差et，作為均衡誤差εt的估計值。應注意的是，雖然估計出的協(xié)整向量是真實協(xié)整變量的一致估計值，這些系數(shù)的標準誤差估計值則不是一致估計值。由于這一原因，標準誤差估計值通常不在協(xié)整回歸的結(jié)果中提供。

步驟3

對于兩個協(xié)整變量來說，均衡誤差必須是平穩(wěn)的。因此檢驗et的單整性。具體作法是將Dickey—Fuller檢驗法用于時間序列et（DF檢驗ADF檢驗），也就是用OLS法估計形如下式的方程：△et=δet-1+νt（7.18）△et=δet-1++νt（7.19）

有兩點須提請注意：（1）（7.15）式不包含常數(shù)項，這是因為OLS殘差et應以0為中心波動。（2）Dickey—Fullerτ統(tǒng)計量不適于此檢驗，教材表7.3提供了用于協(xié)整檢驗的臨界值表。這是因為這里的EG或AEG檢驗是針對協(xié)整回歸計算出的誤差項的，而OLS法采用了殘差最小平方和原理，因此估計量

是向下偏倚的，這樣將導致拒絕零假設的機會比實際情形大。于是對et平穩(wěn)性檢驗的EG與AEG臨界值應該比正常的DF與ADF臨界值還要小。

步驟4得出有關(guān)兩變量是否協(xié)整的結(jié)論，用到的原假設和備擇假設是：

H0：δ=0Ha：δ＜0若tδ＞τEG，接受原假設，即et是非平穩(wěn)序列，兩變量是非協(xié)整的。若tδ＜τEG，拒絕原假設，即et是平穩(wěn)序列，兩變量是協(xié)整的。

例7.2

某國私人消費和個人可支配收入的協(xié)整。第一步：求出兩變量的單整的階私人消費變量：△Ct=12330.48-0.01091Ct-1(7.20)(t:)(5.138)(-1.339)R2=0.052DW=1.765△2Ct=7972.671-0.85112ΔCt-1(7.21)(t:)(4.301)(-4.862)R2=0.425DW=1.967個人可支配收入變量：△Yt=19903.93-0.02479Yt-1(7.22)(t:)(3.054)(-1.387)R2=0.055DW=2.270△Yt2=12889.39-1.11754ΔYt-1(7.23)(t:)(3.983)(-6.270)R2=0.551DW=2.014

由表7.3中可見，Ct和Yt都是非平穩(wěn)的，而ΔCt和ΔYt都是平穩(wěn)的。這就是說，

Ct～I(1），Yt～I(1），因而我們可以進入下一步。

第二步，進行協(xié)整回歸，結(jié)果如下：

=11907.23+0.779585Yt(7.24)(t:)(3.123)(75.566)R2=0.994DW=1.021同時我們計算并保存殘差（均衡誤差估計值）et。第三步，檢驗et的平穩(wěn)性?！鱡t=-0.51739et-1(7.25)(t:)(-3.150)R2=0.224DW=1.948

第四步，得出有關(guān)兩變量是否協(xié)整的結(jié)論。

tδ＝-3.150>t=-3.46(m=2,α=0.05,n=50)

接受et非平穩(wěn)的原假設，意味著兩變量不是協(xié)整的，我們不能說在私人消費和個人可支配收入之間存在著長期均衡關(guān)系。可是，如果采用顯著性水平α=0.10，則-3.150與表7.3中的臨界值大致相當，因而可以預期，若α=0.11，tδ將小于臨界值τ，我們接受et為平穩(wěn)的備擇假設，即兩變量是協(xié)整的，或者說兩變量之間存在著長期均衡關(guān)系。

第四節(jié)誤差修正模型（ECM）

協(xié)整分析中最重要的結(jié)果可能是所謂的“格蘭杰表述定理”（Grangerrepresentationtheorem）。按照此定理，如果兩變量yt和xt是CI(1,1)，則它們之間存在長期均衡關(guān)系。當然，在短期內(nèi)，這些變量間的關(guān)系可以是不均衡的。

兩變量間這種短期不均衡關(guān)系的動態(tài)結(jié)構(gòu)可以由誤差修正模型（errorcorrectionmodel）來描述，“誤差修正”由Sargen1964年首先提出，而ECM的主要形式是由Davidson、Hendry、Srba和Yeo于1978年提出的，因而也稱為DHSY模型。

（1）Granger表述定理

如果變量X與Y是協(xié)整的，則它們間的短期非均衡關(guān)系總能由一個誤差修正模型表述：0<

<1（7.26）式中，Yt～I(1），Xt～I(1）Yt，Xt～CI(1，1）εt=Yt