2023-2024學年八年級數(shù)學上冊單元速記·巧練（滬教版）第十七章 一元二次方程（5大知識歸納+10類題型突破）（原卷版）

第十七章一元二次方程（5大知識歸納+10類題型突破）1.掌握一元二次方程的概念、一般形式；2.掌握一元二次方程的解；3、掌握一元二次方程的四大解法；4、掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系；5、理解一元二次方程的應用問題；知識點一：一元二次方程的概念1．理解并掌握一元二次方程的意義未知數(shù)個數(shù)為1，未知數(shù)的最高次數(shù)為2，整式方程，可化為一般形式；2．正確識別一元二次方程中的各項及各項的系數(shù)（1）明確只有當二次項系數(shù)時，整式方程才是一元二次方程。（2）各項的確定(包括各項的系數(shù)及各項的未知數(shù)).（3）熟練整理方程的過程一元二次方程的解的定義與檢驗一元二次方程的解列出實際問題的一元二次方程知識點二：一元二次方程的解法1．明確一元二次方程是以降次為目的，以配方法、開平方法、公式法、因式分解法等方法為手段，從而把一元二次方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程求解；根據(jù)方程系數(shù)的特點，熟練地選用配方法、開平方法、公式法、因式分解法等方法解一元二次方程；3．體會不同解法的相互的聯(lián)系；4．值得注意的幾個問題：(1)開平方法：對于形如或的一元二次方程，即一元二次方程的一邊是含有未知數(shù)的一次式的平方，而另一邊是一個非負數(shù)，可用開平方法求解.形如的方程的解法：當時，;當時，;當時，方程無實數(shù)根。（2）配方法：通過配方的方法把一元二次方程轉(zhuǎn)化為的方程，再運用開平方法求解。配方法的一般步驟：①移項：把一元二次方程中含有未知數(shù)的項移到方程的左邊，常數(shù)項移到方程的右邊；②“系數(shù)化1”：根據(jù)等式的性質(zhì)把二次項的系數(shù)化為1；③配方：將方程兩邊分別加上一次項系數(shù)一半的平方，把方程變形為的形式；④求解：若時，方程的解為，若時，方程無實數(shù)解。（3）公式法：一元二次方程的根當時，方程有兩個實數(shù)根,且這兩個實數(shù)根不相等；當時，方程有兩個實數(shù)根,且這兩個實數(shù)根相等，寫為；當時，方程無實數(shù)根.公式法的一般步驟：①把一元二次方程化為一般式；②確定的值；③代入中計算其值，判斷方程是否有實數(shù)根；④若代入求根公式求值，否則，原方程無實數(shù)根。（因為這樣可以減少計算量。另外，求根公式對于任何一個一元二次方程都適用，其中也包括不完全的一元二次方程。）（4）因式分解法：①因式分解法解一元二次方程的依據(jù)：如果兩個因式的積等于0，那么這兩個因式至少有一個為0，即：若，則；②因式分解法的一般步驟：若方程的右邊不是零，則先移項，使方程的右邊為零；把方程的左邊分解因式；令每一個因式都為零，得到兩個一元一次方程；解出這兩個一元一次方程的解可得到原方程的兩個解。（5）選用適當方法解一元二次方程①對于無理系數(shù)的一元二次方程，可選用因式分解法，較之別的方法可能要簡便的多，只不過應注意二次根式的化簡問題。②方程若含有未知數(shù)的因式，選用因式分解較簡便，若整理為一般式再解就較為麻煩。（6）解含有字母系數(shù)的方程（1）含有字母系數(shù)的方程，注意討論含未知數(shù)最高項系數(shù)，以確定方程的類型；（2）對于字母系數(shù)的一元二次方程一般用因式分解法解，不能用因式分解的可選用別的方法，此時一定不要忘記對字母的取值進行討論。知識點三：根的判別式的應用了解一元二次方程根的判別式概念，能用判別式判定根的情況，并會用判別式求一元二次方程中符合題意的參數(shù)取值范圍。（1）=（2）根的判別式定理及其逆定理：對于一元二次方程（）①當方程有實數(shù)根；（當方程有兩個不相等的實數(shù)根；當方程有兩個相等的實數(shù)根；）②當方程無實數(shù)根；從左到右為根的判別式定理；從右到左為根的判別式逆定理。2．常見的問題類型（1）利用根的判別式定理，不解方程，判別一元二次方程根的情況（2）已知方程中根的情況，如何由根的判別式的逆定理確定參數(shù)的取值范圍（3）應用判別式，證明一元二次方程根的情況①先計算出判別式（關(guān)鍵步驟）；②用配方法將判別式恒等變形；③判斷判別式的符號；④總結(jié)出結(jié)論.（4）分類討論思想的應用：如果方程給出的時未指明是二次方程，后面也未指明兩個根，那一定要對方程進行分類討論，如果二次系數(shù)為0，方程有可能是一元一次方程；如果二次項系數(shù)不為0，一元二次方程可能會有兩個實數(shù)根或無實數(shù)根。（5）一元二次方程根的判別式常結(jié)合三角形、四邊形、不等式（組）等知識綜合命題，解答時要在全面分析的前提下，注意合理運用代數(shù)式的變形技巧（6）一元二次方程根的判別式與整數(shù)解的綜合（7）判別一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象的交點問題知識點四：根與系數(shù)的關(guān)系如果一元二次方程（）的兩根為那么，就有比較等式兩邊對應項的系數(shù)，得①式與②式也可以運用求根公式得到．人們把公式①與②稱之為韋達定理，即根與系數(shù)的關(guān)系．因此，給定一元二次方程就一定有①與②式成立．反過來，如果有兩數(shù)滿足①與②，那么這兩數(shù)必是一個一元二次方程的根．利用這一基本知識?？梢院喗莸靥幚韱栴}．利用根與系數(shù)的關(guān)系，我們可以不求方程的根，而知其根的正、負性．在的條件下，我們有如下結(jié)論：當時，方程的兩根必一正一負．若，則此方程的正根不小于負根的絕對值；若，則此方程的正根小于負根的絕對值．當時，方程的兩根同正或同負．若，則此方程的兩根均為正根；若，則此方程的兩根均為負根．⑴韋達定理（根與系數(shù)的關(guān)系）：如果的兩根是，，則，．(隱含的條件：)⑵若，是的兩根(其中)，且為實數(shù)，當時，一般地：①，②且，③且，特殊地：當時，上述就轉(zhuǎn)化為有兩異根、兩正根、兩負根的條件．⑶以兩個數(shù)為根的一元二次方程(二次項系數(shù)為1)是：．⑷其他：若有理系數(shù)一元二次方程有一根，則必有一根(，為有理數(shù))．若，則方程必有實數(shù)根．若，方程不一定有實數(shù)根．若，則必有一根．若，則必有一根．⑸韋達定理（根與系數(shù)的關(guān)系）主要應用于以下幾個方面：已知方程的一個根，求另一個根以及確定方程參數(shù)的值；已知方程，求關(guān)于方程的兩根的代數(shù)式的值；已知方程的兩根，求作方程；結(jié)合根的判別式，討論根的符號特征；逆用構(gòu)造一元二次方程輔助解題：當已知等式具有相同的結(jié)構(gòu)時，就可以把某兩個變元看作某個一元二次方程的兩根，以便利用韋達定理；⑤利用韋達定理求出一元二次方程中待定系數(shù)后，一定要驗證方程的．一些考試中，往往利用這一點設(shè)置陷阱．知識點五：一元二次方程的應用列一元二次方程解應用題的一般步驟為：審、設(shè)、列、解、檢、答。具體可分為：①審題，找等量關(guān)系，這是列方程解應用題的關(guān)鍵；②設(shè)未知數(shù)，注意單位;③根據(jù)題意找等量關(guān)系列出方程；④解方程；⑤檢驗解是否合理；⑥寫出答案作答考點1數(shù)字問題數(shù)字問題有以下幾種常見類型:(1)連續(xù)整數(shù).若三個連續(xù)整數(shù)最中間的整數(shù)是，則最小的整數(shù)是，最大的整數(shù)是.(2)連續(xù)偶數(shù).若三個連續(xù)偶數(shù)最中間的偶數(shù)是，則最小的偶數(shù)是，最大的偶數(shù)是.(3)連續(xù)奇數(shù).若三個連續(xù)奇數(shù)最中間的奇數(shù)是，則最小的奇數(shù)是，最大的奇數(shù)是.(4)兩位數(shù).若一個兩位數(shù)的十位數(shù)字是，個位數(shù)字是，則這個兩位數(shù)是.(5)三位數(shù).若一個三位數(shù)的百位數(shù)字是，十位數(shù)字是，個位數(shù)字是，則這個三位數(shù)是.考點2多邊形對角線問題利用一元二次方程解多邊形對角線問題時需要用到公式，其中是多邊形的邊數(shù)，是多邊形對角線的總條數(shù).考點3循環(huán)問題雙方參與問題有以下幾種常見類型:(1)握手（單循環(huán)）.若兩個人握1次手，則個人握次手.(2)互送賀卡（雙循環(huán)）.若兩個人互送1張賀卡，則個人互送張賀卡.(3)球賽.①若兩個隊只比賽1場(單循環(huán))，則個隊比賽場;②若兩個隊相互比賽1場(雙循環(huán))，則個隊比賽場.考點4傳播問題1、病毒傳染問題：設(shè)每輪傳染中平均一個人傳染了個人.開始有一人患了流感，第一輪的傳染源就是這個人，他傳染了個人，用代數(shù)式表示第一輪后共有人患了流感.第二輪傳染中，人中的每個人又傳染了個人，用代數(shù)式表示第二輪后共有1×（1+x）+x(1+x)=（1+x）2人患了流感.樹枝問題：設(shè)一個主干長x個枝干，每個枝干長x個小分支，則一共有1+x+x2個枝?？键c5增減率問題增減率問題涉及的公式有:(1)(2)若設(shè)原來量是，平均增長率是，增長次數(shù)是，增長后的量是，則;若設(shè)原來量是，平均降低率是，降低次數(shù)是，降低后的量是，則.考點6面積問題利用一元二次方程解面積問題時，有時需要把不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形考點7利潤問題利潤問題常用公式如下:(1)利潤=售價–成本價=標價×折扣–成本價.(2)利潤率=(3)銷售額=銷售價×銷售量.(4)銷售利潤=(銷售價–成本價)×銷售量題型一一元二次方程的定義、一般形式1．（2023秋·湖北孝感·九年級校聯(lián)考階段練習）下列是一元二次方程的是（

）A． B． C． D．2．（2023秋·河北唐山·九年級統(tǒng)考階段練習）把一元二次方程化成一般形式，正確的是（

）A． B．C． D．3．（2023秋·安徽六安·九年級?？茧A段練習）將方程化為一般形式后為（

）A． B． C． D．鞏固訓練：1．（2023秋·江蘇無錫·九年級宜興市樹人中學校聯(lián)考階段練習）下列方程是關(guān)于x的一元二次方程的是（）A． B． C． D．2．（2023春·八年級課時練習）若關(guān)于的方程是一元二次方程，則．3．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）已知關(guān)于y的一元二次方程，求出它各項的系數(shù)，并指出參數(shù)m的取值范圍．題型二一元二次方程的解1．（2023秋·廣東深圳·九年級校考階段練習）已知m是方程的一個根，則的值為（

）A．2020 B．2021 C．2022 D．20232．（2023秋·福建福州·九年級福州華倫中學校考階段練習）若是方程的一個解，則的值是（

）A．1 B．0 C．0或1 D．0或3．（2023秋·全國·九年級專題練習）如果a是一元二次方程的根，則代數(shù)式的值為（

）A．2021 B．2022 C．2023 D．2024鞏固訓練1．（2023·福建泉州·校聯(lián)考模擬預測）關(guān)于x的兩個一元二次方程和，其中a，b，c是常數(shù)，且，如果是方程的一個根，那么下列各數(shù)中，一定是方程的根的是（

）A． B．或2023 C． D．或2．（2023秋·廣東汕頭·九年級?？茧A段練習）若是方程的解，則代數(shù)式的值為．3．（2023秋·江西宜春·九年級?？茧A段練習）先化簡，再求值：，其中m是方程的根．題型三一元二次方程的四大解法1．（2023秋·河南信陽·九年級校聯(lián)考階段練習）用適當?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?1)；(2)；(3)；(4)．2．（2023秋·河南鄭州·九年級河南省實驗中學?？茧A段練習）解方程：(1)；(2)；(3)；(4)．3．（2023秋·河南信陽·九年級校考階段練習）用適當?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?1)(2)(3)(4)鞏固訓練1．（2023秋·江蘇無錫·九年級無錫市東林中學?？茧A段練習）解下列方程：(1)(2)(3)(4)2．（2023秋·遼寧沈陽·九年級沈陽市第七中學校考階段練習）解方程：(1)(2)(3)(4)．3．（2023秋·四川宜賓·九年級?？茧A段練習）解方程(1)(2)(3)（用配方法）(4)題型四換元法解一元二次方程1．（2023春·江蘇揚州·八年級校聯(lián)考階段練習）已知一元二次方程的兩根分別為，則方程的兩根分別為（）A． B．C． D．2．（2023秋·湖南邵陽·九年級?？茧A段練習）若，則的值為（

）A．2或 B．或6 C．6 D．23．（2023春·山東淄博·八年級統(tǒng)考期中）已知關(guān)于x的方程的兩個根分別為，，則方程的兩個根分別為（

）A．， B．，C．， D．，,鞏固訓練1．（2023春·安徽宣城·八年級?？计谥校┮阎猘、b為實數(shù)，且滿足，則代數(shù)式的值為（

）A．3或－5 B．3 C．－3或5 D．52．（2023秋·全國·九年級專題練習）如果關(guān)于的方程的解是，，那么關(guān)于的方程的解是．3．（2023秋·四川內(nèi)江·九年級?？茧A段練習）閱讀下列材料：問題：已知方程，求一個一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的2倍．解法一：解方程得：，．∵所求方程的根分別是已知方程根的2倍，∴所求方程的兩根為：，，∴所求方程為：．故所求方程為：．解法二：設(shè)所求方程的根為，則，所以．把代入已知方程得：化簡，得，故所求方程為：．請你從閱讀材料中選擇一種方法解決下列問題：(1)已知方程，求一個一元二次方程，使它的根分別為已知方程根的相反數(shù)，則所求方程為：；(2)已知關(guān)于的一元二次方程，求一個一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的倒數(shù)；(3)已知關(guān)于的一元二次方程，求一個一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的倒數(shù)．題型五配方法的應用1．（2023秋·湖北襄陽·九年級?？茧A段練習）對于任意實數(shù)x，多項式的值是一個（

）A．正數(shù) B．負數(shù) C．非負數(shù) D．不能確定正負的數(shù)2．（2023秋·全國·九年級專題練習）對于多項式，由于，所以有最小值3．已知關(guān)于x的多項式的最大值為10，則m的值為（）A．1 B． C． D．3．（2023秋·全國·九年級專題練習）新定義：關(guān)于的一元二次方程與稱為“同族二次方程”．如與是“同族二次方程”．現(xiàn)有關(guān)于的一元二次方程與是“同族二次方程”，那么代數(shù)式能取的最小值是（）A．2013 B．2014 C．2015 D．2016鞏固訓練1．（2023秋·浙江嘉興·九年級校考開學考試）代數(shù)式的可能取值為（

）A．5 B．6 C．7 D．82．（2023·浙江·模擬預測）已知關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等的實根，且這兩根之差的絕對值為6，那么的值為．3．（2023秋·山西忻州·九年級校聯(lián)考階段練習）請閱讀下列材料，并完成相應的任務(wù).如果關(guān)于的一元二次方程有一個根是1，那么我們稱這個方程為“方正方程”.(1)判斷一元二次方程是否為“方正方程”，請說明理由.(2)已知關(guān)于的一元二次方程是“方正方程”，求的最小值.題型六一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系1．（2023秋·湖北襄陽·九年級?？茧A段練習）已知一元二次方程的兩根為，，則（）A． B． C．7 D．252．（2023秋·湖北襄陽·九年級?？茧A段練習）關(guān)于的一元二次方程有兩個實數(shù)根，滿足則（）A．和2 B．2 C． D．1和23．（2023秋·廣東惠州·九年級惠州一中?？茧A段練習）若，是方程的兩個實數(shù)根，則的值是（）A． B． C． D．鞏固訓練1．（2023秋·福建泉州·九年級校考階段練習）已知、是方程的兩個根，則（）A． B． C． D．2．（2023秋·湖南常德·九年級?？茧A段練習）已知方程的兩個根為和，則=．3．（2023秋·廣東佛山·九年級?？茧A段練習）閱讀材料：材料1：若關(guān)于的一元二次方程的兩個根為，；則，；材料2：已知一元二次方程的兩個實數(shù)根分別為，，求的值．解：一元二次方程的兩個實數(shù)根分別為，；，；則．根據(jù)上述材料，結(jié)合你所學的知識，完成下列問題：(1)材料理解：一元二次方程的兩個根為，，則______，______；(2)類比應用：已知一元二次方程的兩根分別為、，求的值．題型七根據(jù)判別式判斷一元二次方程根的情況1．（2023秋·湖北恩施·九年級校考階段練習）下列關(guān)于的一元二次方程中，有兩個不相等的實數(shù)根的方程是(

)A． B．C． D．2．（2023秋·四川宜賓·九年級?？茧A段練習）設(shè)關(guān)于的方程的兩個實數(shù)根為、，現(xiàn)給出三個結(jié)論：①；

②；

③．則正確結(jié)論的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．無法確定3．（2023秋·福建三明·九年級?？茧A段練習）對于一元二次方程，有下列說法錯誤的是（

）A．若方程有兩個不相等的實根，則方程必有實根；B．若，則方程一定有兩個實數(shù)根，并且這兩個根互為相反數(shù)；C．若，則方程一定有實數(shù)根；D．若，則方程有兩個不相等的實數(shù)根．鞏固訓練1．（2023秋·山東濟寧·九年級?？茧A段練習）已知一元二次方程中，下列說法：①若，則；②若方程兩根為和2，則；③若方程有兩個不相等的實根，則方程必有兩個不相等的實根；④若，則方程有兩個不相等的實根．其中正確的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個2．（2023秋·山東棗莊·九年級滕州育才中學校考開學考試）已知關(guān)于一元二次方程，有下列說法：①若則；②若方程兩根為1和2，則；③若方程有兩個不相等的實根，則方程必有實根；④若，則方程有兩個不相等的實數(shù)根．其中正確的是．（填寫序號）3．（2023秋·福建廈門·九年級廈門市蓮花中學?？茧A段練習）已知關(guān)于x的一元二次方程．(1)求證：無論a為何值，方程總有兩個不相等的實數(shù)根；(2)若方程兩實數(shù)根分別為和，且滿足，求a的值．題型八根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)1．（2023秋·河北保定·九年級統(tǒng)考階段練習）如果關(guān)于x的一元二次方程沒有實數(shù)根，那么k的最小整數(shù)值是（

）A．0 B．1 C．2 D．32．（2023秋·貴州畢節(jié)·九年級校考階段練習）已知關(guān)于的不等式組有且只有4個整數(shù)解，且關(guān)于的一元二次方程有實數(shù)根，則所有滿足條件的整數(shù)的和為（

）A．3 B．5 C．9 D．103．（2023秋·全國·九年級專題練習）已知關(guān)于x的方程有實數(shù)根，則k的取值范圍是（）A． B．且 C．且 D．鞏固訓練1．（2023春·福建泉州·八年級校考期末）若關(guān)于x的方程有實數(shù)根，則m的取值范圍是（

）A． B． C．且 D．2．（2023秋·遼寧沈陽·九年級沈陽市實驗學校?？茧A段練習）若關(guān)于的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，則m的值為．3．（2023秋·湖北孝感·九年級校聯(lián)考階段練習）關(guān)于一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根．(1)求實數(shù)k的取值范圍；(2)若方程兩實數(shù)根，滿足，求k的值．題型九一元二次方程的應用11．（2023秋·遼寧本溪·九年級統(tǒng)考階段練習）如圖，某建筑工程隊在工地一邊靠墻處，用81米長的鐵柵欄圍成三個相連的長方形倉庫，倉庫總面積為440平方米.為了方便取物，在各個倉庫之間留出了1米寬的缺口作通道，在平行于墻的一邊留下一個1米寬的缺口作小門.若設(shè)米，則可列方程（

）

A． B． C． D．2．（2023·湖北襄陽·統(tǒng)考中考真題）我國南宋數(shù)學家楊輝在1275年提出的一個問題：“直田積八百六十四步，只云闊不及長一十二步．問闊及長各幾步．”意思是：長方形的面積是864平方步，寬比長少12步，問寬和長各是幾步．設(shè)寬為x步，根據(jù)題意列方程正確的是（

）A． B．C． D．3．（2023秋·湖北武漢·九年級武漢一初慧泉中學校考階段練習）李師傅去年開了一家商店，今年1月份開始盈利，2月份盈利2000元，4月份的盈利達到2880元，且從2月到4月，若每月盈利的平均增長率都相同．那么按照這個平均增長率，預計五月份這家商店的盈利將達到（

）元．A．3320 B．3440 C．3450 D．3456鞏固訓練1．（2022秋·廣東清遠·九年級統(tǒng)考期末）春節(jié)快到了，為增進友誼，老師要求班上每一名同學要給同組的其他同學寫一份新春的祝福，小靜同學所在的小組共寫了42份祝福，該小組共有（）A．4人 B．5人 C．6人 D．7人2．（2023秋·福建福州·九年級?？茧A段練習）受新冠肺炎疫情影響，某企業(yè)生產(chǎn)總值從元月的720萬元，連接兩個月降至500萬元，設(shè)平均每月降低率為x，則可列方程．3．（2022秋·四川成都·九年級?？计谥校┠持穆糜纬鞘?016年“十一”黃金周期間，接待游客近1000萬人次，2018年“十一”黃金周期間，接待游客已達1690萬人次．(1)求出2016年至2018年十一長假期間游客人次的年平均增長率；(2)該市一家特色