2023-2024學(xué)年八年級數(shù)學(xué)上冊單元速記·巧練（滬教版）第十七章 一元二次方程（六大題型）（60道壓軸題專練）（原卷版）

一元二次方程（六大題型）（60道壓軸題專練）壓軸題型一一元二次方程的解1．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）方程x3+x﹣1＝0的實數(shù)根所在的范圍是（）A．＜x＜0 B．0＜x＜ C．＜x＜1 D．1＜x＜2．（2023春·福建南平·九年級專題練習(xí)）兩個關(guān)于的一元二次方程和，其中，，是常數(shù)，且，如果是方程的一個根，那么下列各數(shù)中，一定是方程的根的是（

）A．2020 B． C．-2020 D．3．（2023·全國·九年級假期作業(yè)）關(guān)于的方程必有一個根為（）A．x=1 B．x=-1 C．x=2 D．x=-24．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）設(shè)a、b是整數(shù)，方程x2+ax+b=0的一根是，則的值為（）A．2 B．0 C．-2 D．-16．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）已知下面三個關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝1，bx2+cx+a＝﹣3，cx2+ax+b＝2恰好有一個相同的實數(shù)根，則a+b+c的值為．7．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）已知為一元二次方程的一個根，且，為有理數(shù)，則，．8．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）已知是方程的一個根，則．9．（2023春·福建福州·八年級福州日升中學(xué)?？计谀╅喿x材料．材料：若一元二次方程的兩個根為，，則，．(1)材料理解：一元二次方程的兩個根為，，則，．(2)類比探究：已知實數(shù)，滿足，，且，求的值．(3)思維拓展：已知實數(shù)，分別滿足，，且，求的值．10．（2022春·安徽合肥·八年級合肥市第四十八中學(xué)?？计谥校┯^察下列一組方程：；；；；它們的根有一定的規(guī)律，都是兩個連續(xù)的自然數(shù)，我們稱這類一元二次方程為“連根一元二次方程”．若也是“連根一元二次方程”，寫出k的值，并解這個一元二次方程；請寫出第n個方程和它的根．壓軸題型二換元法解一元二次方程1．（2023春·安徽宣城·八年級?？计谥校┮阎猘、b為實數(shù)，且滿足，則代數(shù)式的值為（

）A．3或－5 B．3 C．－3或5 D．52．（2022秋·四川遂寧·九年級校聯(lián)考期中）已知一元二次方程的解是，，則一元二次方程的解是（

）A．， B．，C．， D．，3．（2023春·八年級課時練習(xí)）若實數(shù)m、n滿足，則的值為（）A．2 B．6 C．6或﹣2 D．6或24．（2023春·重慶合川·九年級重慶市合川中學(xué)校考階段練習(xí)）我國古代數(shù)學(xué)的許多發(fā)現(xiàn)都曾位居世界前列，其中“楊輝三角”（如圖）就是一例．這個三角形給出了的展開式的系數(shù)規(guī)律（其中，字母按的降冪排列，b的升冪排列）．例如，在三角形中第2行的三個數(shù)1，2，1，恰好對應(yīng)展開式中各項的系數(shù)；第三行的的4個數(shù)1，3，3，1，恰好對應(yīng)展開式中各項的系數(shù)；第4行的五個數(shù)1，4，6，4，1；恰好對應(yīng)著展開式中各項的系數(shù)，有如下結(jié)論：①；②“楊輝三角”中第9行所有數(shù)之和1024；③“楊輝三角”中第20行第3個數(shù)為190；④的結(jié)果是；⑤當(dāng)代數(shù)式的值是1時，實數(shù)a的值是或，上述結(jié)論中，正確的有（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個5．（2020春·江蘇南通·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）已知是一元二次方程的兩個數(shù)根，且，則．6．（2023春·安徽馬鞍山·八年級馬鞍山八中?？计谥校┮阎獂是實數(shù)且滿足，那么的值是.7．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）已知方程的根為，，則方程的根是．8．（2023春·八年級單元測試）若關(guān)于的一元二次方程有一根為2022，則一元二次方程必有一根為．9．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）閱讀下面的材料，回答問題：解方程，這是一個一元四次方程，根據(jù)該方程的特點，它的解法通常是設(shè)，那么，于是原方程可變?yōu)椋?），解得，，當(dāng)時，，；當(dāng)時，，；原方程有四個根：，，，．在由原方程得到方程（1）的過程中，利用換元法達到降次的目的，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想．(1)試用上述方法解方程：，得原方程的解為___________．(2)解方程．10．（2021秋·全國·九年級期中）閱讀下列材料：已知實數(shù)m，n滿足，試求的值．解：設(shè)，則原方程變?yōu)?，整理得，即，∴．∵，∴．上面這種方法稱為“換元法”，換元法是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中最常用的一種思想方法，在結(jié)構(gòu)較復(fù)雜的數(shù)和式的運算中，若把其中某些部分看成一個整體，并用新字母代替（即換元），則能使復(fù)雜的問題簡單化．根據(jù)以上閱讀材料內(nèi)容，解決下列問題，并寫出解答過程．（1）已知實數(shù)x，y滿足，求的值．（2）若四個連續(xù)正整數(shù)的積為120，求這四個連續(xù)正整數(shù)．壓軸題型三配方法的應(yīng)用1．（2023春·江蘇南通·八年級統(tǒng)考期末）平面直角坐標(biāo)系中，P點坐標(biāo)為，且實數(shù)m，n滿足，則點P到原點O的距離的最小值為（

）A． B． C． D．2．（2022秋·重慶·九年級西南大學(xué)附中?？计谥校┮阎獌蓚€多項式、，（其中x為實數(shù)），①若，則；②存在實數(shù)x，使得；③已知，則的值為1562；④當(dāng)時，若，則的值為．以上結(jié)論中正確的個數(shù)有（）個A．4 B．3 C．2 D．13．（2022秋·江蘇·九年級專題練習(xí)）代數(shù)式的最小值是（

）A．10 B．9 C．19 D．114．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）新定義，若關(guān)于x的一元二次方程：與，稱為“同族二次方程”．如與是“同族二次方程”．現(xiàn)有關(guān)于x的一元二次方程：與是“同族二次方程”．那么代數(shù)式能取的最小值是（

）A．2011 B．2013 C．2018 D．20235．（2023春·浙江·七年級專題練習(xí)）當(dāng)，時，多項式有最小值，這個最小值是．6．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）已知a、b、c滿足，，，則．7．（2021秋·江蘇鹽城·九年級?？茧A段練習(xí)）對于有理數(shù)，定義的含義為：當(dāng)時，；當(dāng)時，.若，則的值等于．8．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）已知a、b、c為的三邊長，且a、b滿足，c為奇數(shù)，則的周長為．9．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）閱讀材料：選取二次三項式中的兩項，配成完全平方式的過程叫配方．例如①選取二次項和一次項配方：；②選取二次項和常數(shù)項配方：，或③選取一次項和常數(shù)項配方：請根據(jù)閱讀材料解決下列問題：(1)比照上面的例子，寫出三種不同形式的配方；(2)已知，求的值(3)當(dāng)，為何值時，代數(shù)式取得最小值，最小值為多少？10．（2022春·湖南株洲·七年級?？计谥校┻x取二次三項式中的兩項，配成完全平方式的過程叫配方．例如：①選取二次項和一次項配方：；②選取二次項和常數(shù)項配方：或；③選取一次項和常數(shù)項配方：根據(jù)上述材料，解決下面問題：(1)若是完全平方式，請寫出所有滿足條件的不同單項式n：__________________(2)求代數(shù)式最小值；(3)寫出代數(shù)式的兩種不同形式的配方；(4)已知，求的值．壓軸題型四一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系1．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）若a≠b，且則的值為（

）A． B．1 C．.4 D．32．（2022秋·九年級課時練習(xí)）若，是方程的兩個實數(shù)根，則的值為

A．2015 B． C．2016 D．20193．（2019秋·九年級單元測試）若，是方程的兩個不相等的實數(shù)根，則代數(shù)式的值是（

）A． B． C． D．4．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）關(guān)于的一元二次方程有兩個整數(shù)根且乘積為正，關(guān)于的一元二次方程同樣也有兩個整數(shù)根且乘積為正，給出三個結(jié)論：①這兩個方程的根都負(fù)根；②；③，其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個5．（2022秋·九年級課時練習(xí)）已知a、b、c均為實數(shù)，且，，則．6．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）已知不等式的解集是，其中，則不等式的解集．7．（2022秋·全國·九年級期末）設(shè)a，b，c，d是四個不同的實數(shù)，如果a，b是方程的兩根，c，d是方程的兩根，那么的值為．8．（2018秋·四川成都·九年級成都實外校考開學(xué)考試）對于一切不小于2的自然數(shù)n，關(guān)于x的一元二次方程的兩個根記作，則的值為．9．（2023·湖北黃石·統(tǒng)考中考真題）關(guān)于x的一元二次方程，當(dāng)時，該方程的正根稱為黃金分割數(shù)．寬與長的比是黃金分割數(shù)的矩形叫做黃金矩形，希臘的巴特農(nóng)神廟采用的就是黃金矩形的設(shè)計；我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚的優(yōu)選法中也應(yīng)用到了黃金分割數(shù)．(1)求黃金分割數(shù)；(2)已知實數(shù)a，b滿足：，且，求ab的值；(3)已知兩個不相等的實數(shù)p，q滿足：，求的值．10．（2023秋·湖南長沙·九年級?？茧A段練習(xí)）著名數(shù)學(xué)家高斯曾說過：“如果別人思考數(shù)學(xué)的真理像我一樣深入持久，他也會找到我的發(fā)現(xiàn)．”我們向偉人看齊，將這種勤思善學(xué)、勵能篤行的精神運用于日常的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中來，嘗試發(fā)現(xiàn)新的驚喜．【提出問題】我們曾探究過一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，如果一元二次方程的系數(shù)按照某種規(guī)律發(fā)生變化，原方程的根與新方程的根是否也會產(chǎn)生某種聯(lián)系？【構(gòu)造關(guān)系】將一元二次方程的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項按照的比例放大或縮小，其中，我們稱新方程為原方程的“系變方程”，系變倍數(shù)為．(1)當(dāng)系變倍數(shù)為3時，求解一元二次方程的“系變方程”．【自能探究】(2)已知某一元二次方程有兩個實數(shù)根、，當(dāng)時，其“系變方程”也有兩個實數(shù)根、，且，求的最小值．(3)已知關(guān)于的方程有四個實數(shù)根、、、，問是否存在定值，對于任意實數(shù)，都滿足，若存在，請求出的值．若不存在，請說明理由．壓軸題型五一元二次方程根的判別式1．（2023春·安徽合肥·八年級統(tǒng)考期末）若關(guān)于的一元二次方程的兩個根為，，且．下列說法正確的個數(shù)為（）①；②，；③；④關(guān)于的一元二次方程的兩個根為，．A． B． C． D．2．（2023·湖北武漢·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知為正整數(shù)，且滿足，則的值為（

）A． B． C． D．3．（2023·全國·九年級假期作業(yè)）若方程的兩個不相等的實數(shù)根滿足，則實數(shù)p的所有值之和為（

）A．0 B． C． D．4．（2023秋·湖南永州·九年級?？奸_學(xué)考試）對于一元二次方程，下列說法：①若a＋b＋c＝0，則方程必有一根為x＝1；②若方程有兩個不相等的實根，則方程無實根；③若方程兩根為，且滿足，則方程，必有實根，；④若是一元二次方程的根，則其中正確的（

）A．①② B．①④ C．②③④ D．①③④5．（2023春·浙江·七年級專題練習(xí)）已知，為實數(shù)，且滿足，記的最大值為，最小值為，則．6．（2022秋·福建廈門·九年級?？计谥校┮阎P(guān)于的一元二次方程，下列結(jié)論：①方程總有兩個不等的實數(shù)根；②若兩個根為，，且，則，；③若兩個根為，，則；④若，則代數(shù)式的值為一個完全平方數(shù)，其中正確的結(jié)論是（填序號）．7．（2022春·陜西西安·八年級高新一中校考期末）（1）若，且有，則的值是．（2）如果方程的三個根可以作為一個三角形的三邊之長，那么實數(shù)k的取值范圍是．8．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）將兩個關(guān)于x的一元二次方程整理成（，a、h、k均為常數(shù)）的形式，如果只有系數(shù)a不同，其余完全相同，我們就稱這樣的兩個方程為“同源二次方程”．已知關(guān)于x的一元二次方程（）與方程是“同源二次方程”，且方程（）有兩個根為、，則b－2c＝，的最大值是．9．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）已知關(guān)于x的方程，其中p，q都是實數(shù)．(1)若時，方程有兩個不同的實數(shù)根，，且，求實數(shù)p的值．(2)若方程有三個不同的實數(shù)根，，，且，求實數(shù)p和q的值．(3)是否同時存在質(zhì)數(shù)p和整數(shù)q使得方程有四個不同的實數(shù)根，，，且？若存在，求出所有滿足條件的p，q．若不存在，說明理由．10．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）定義：已知是關(guān)于x的一元二次方程的兩個實數(shù)根，若，且，則稱這個方程為“限根方程”．如：一元二次方程的兩根為，因，，所以一元二次方程為“限根方程”．請閱讀以上材料，回答下列問題：(1)判斷一元二次方程是否為“限根方程”，并說明理由；(2)若關(guān)于x的一元二次方程是“限根方程”，且兩根滿足，求k的值；(3)若關(guān)于x的一元二次方程是“限根方程”，求m的取值范圍．壓軸題型六一元二次方程的應(yīng)用1．（2023春·河南駐馬店·九年級駐馬店市第二初級中學(xué)?？奸_學(xué)考試）如圖1，矩形中，點為的中點，點沿從點運動到點，設(shè)兩點間的距離為，圖2是點運動時隨變化的關(guān)系圖象，則的長為（）A．6 B．7 C．8 D．92．（2023秋·九年級課時練習(xí)）空地上有一段長為a米的舊墻，利用舊墻和木欄圍成一個矩形菜園（如圖1或圖2），已知木欄總長為40米，所圍成的菜園面積為S．下列說法錯誤的是（）A．若，則有一種圍法B．若，則有一種圍法C．若，則有兩種圍法D．若，則有一種圍法3．（2023春·海南儋州·九年級專題練習(xí)）某口罩經(jīng)銷商批發(fā)了一批口罩，進貨單價為每盒50元，若按每盒60元出售，則每周可銷售80盒．現(xiàn)準(zhǔn)備提價銷售，經(jīng)市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)：每盒每提價1元，每周銷量就會減少2盒，為保護消費者利益，物價部門規(guī)定，銷售時利潤率不能超過50%，設(shè)該口罩售價為每盒元，現(xiàn)在預(yù)算銷售這種口罩每周要獲得1200元利潤，則每盒口罩的售價應(yīng)定為（

）A．70元 B．80元 C．70元或80元 D．75元4．（2022·河北石家莊·校考二模）清代著名數(shù)學(xué)家梅文鼎在《勾股舉隅》一書中，用四個全等的直角三角形拼出正方形的方法證明了勾股定理（如圖）．設(shè)四個全等直角三角形的較短直角邊為，較長直角邊為，五邊形的面積為，的面積為，若，，則的值為A．5 B．6 C．7 D．85．（2023·浙江金華·統(tǒng)考中考真題）如圖是一塊矩形菜地，面積為．現(xiàn)將邊增加．

（1）如圖1，若，邊減少，得到的矩形面積不變，則的值是．（2）如圖2，若邊增加，有且只有一個的值，使得到的矩形面積為，則的值是．6．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）六張完全相同的小矩形紙片C與A，B兩張矩形紙片恰好能拼成一個相鄰邊長為m，50的大矩形，部分?jǐn)?shù)據(jù)如圖所示．（1）若，則矩形A的水平邊長為；（2）請用含m，n的代數(shù)式表示矩形A的周長：；（3）若矩形A，B的面積相等，則．7．（2023春·浙江·八年級階段練習(xí)）一個矩形內(nèi)放入兩個邊長分別為和的小正方形紙片，按照圖①放置，矩形紙片沒有被兩個正方形紙片覆蓋的部分（黑色陰影部分）的面積為；按照圖②放置矩形紙片沒有被兩個正方形紙片覆蓋的部分的面積為，若把兩張正方形紙片按圖③放置時，矩形紙片沒有被兩個正方形紙片覆蓋的部分的面積為．8．（2023春·浙江·七年級期末）已知在長方形紙片中，，，現(xiàn)將兩個邊長分別為和的正方形紙片按圖1、圖2兩種方式放置（圖1、圖2中兩張正方形紙片中均有部分重疊），長方形中未被這兩張正方形紙片覆蓋的部分用陰影表示，設(shè)圖1中陰影部分的面積為，圖2中陰影部分的面積為；若時，則