2023-2024學年九年級數學上冊單元速記·巧練（北師大版）第4章 圖形的相似（知識歸納+題型突破）（原卷版）（北師大版）

第4章圖形的相似（知識歸納+題型突破）1、了解比例的基本性質，線段的比、成比例線段；

2、通過具體實例認識圖形的相似，探索相似圖形的性質，理解相似多邊形對應角相等、對應邊成比例、周長的比等于相似比、面積的比等于相似比的平方；3、探索并掌握相似三角形的判定方法，并能利用這些性質和判定方法解決生活中的一些實際問題；

4、了解圖形的位似，能夠利用位似將一個圖形放大或縮小，在同一直角坐標系中，感受位似變換后點的坐標變化；一、相似圖形及比例線段1．相似圖形：在數學上，我們把形狀相同的圖形稱為相似圖形(similarfigures).要點：

(1)相似圖形就是指形狀相同，但大小不一定相同的圖形；

(2)“全等”是“相似”的一種特殊情況，即當“形狀相同”且“大小相同”時，兩個圖形全等；2.相似多邊形如果兩個多邊形的對應角相等，對應邊的比相等，我們就說它們是相似多邊形．要點：（1）相似多邊形的定義既是判定方法，又是它的性質．（2）相似多邊形對應邊的比稱為相似比.3.比例線段：對于四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的比與另兩條線段的比相等，如a:b=c:d，我們就說這四條線段是成比例線段，簡稱比例線段．要點：（1）若a:b=c:d，則ad=bc；（d也叫第四比例項）（2）若a:b=b:c，則=ac（b稱為a、c的比例中項）．4.平行線分線段成比例：基本事實：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例.推論：平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相交，截得的對應線段成比例.二、相似三角形相似三角形的判定:判定方法（一）：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構成的三角形和原三角形相似.判定方法（二）：兩角分別相等的兩個三角形相似.要點：要判定兩個三角形是否相似，只需找到這兩個三角形的兩個對應角相等即可，對于直角三角形而言，若有一個銳角對應相等，那么這兩個三角形相似.判定方法（三）：兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似.要點：此方法要求用三角形的兩邊及其夾角來判定兩個三角形相似，應用時必須注意這個角必須是兩邊的夾角，否則，判斷的結果可能是錯誤的.判定方法（四）：三邊成比例的兩個三角形相似.2.相似三角形的性質：（1）相似三角形的對應角相等，對應邊的比相等；（2）相似三角形中的重要線段的比等于相似比；相似三角形對應高，對應中線，對應角平分線的比都等于相似比.要點：要特別注意“對應”兩個字，在應用時，要注意找準對應線段.(3)相似三角形周長的比等于相似比；（4）相似三角形面積的比等于相似比的平方。3.相似多邊形的性質：（1）相似多邊形的對應角相等，對應邊的比相等．（2）相似多邊形的周長比等于相似比．（3）相似多邊形的面積比等于相似比的平方．三、位似1.位似圖形定義:如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且每組對應點所在的直線都經過同一點，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心．2.位似圖形的性質:（1）位似圖形的對應點和位似中心在同一條直線上；

（2)位似圖形的對應點到位似中心的距離之比等于相似比；

（3）位似圖形中不經過位似中心的對應線段平行.要點：(1）位似圖形與相似圖形的區(qū)別：位似圖形是一種特殊的相似圖形，而相似圖形未必能構成位似圖形.（2）位似變換中對應點的坐標變化規(guī)律:在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應點的坐標的比等于k或-k.題型一成比例線段【例1】下列各組中的四條線段成比例的是（

）A．1cm，2cm，3cm，6cm B．4cm，5cm，6cm，10cmC．1cm，2cm，5cm，6cm D．3cm，4cm，5cm，6cm鞏固訓練：1．如果，那么的值為（

）A． B． C． D．2．如圖，點C為線段的黃金分割點，，若，則的長為（

）

A． B． C． D．3．如果，是的比例中項，則下面結論正確的是（

）．A． B． C． D．題型二平行線分線段成比例【例2】如圖，在中，點D在邊上，交邊于點E，若，，則線段的長為（

）

A．6 B．5 C．4 D．3鞏固訓練：1．如圖，若直線，且，，則（

）

A．5 B．6C．9 D．102．如圖，在中，，，則下列比例式中正確的是（）

A． B． C． D．3．圖，平行四邊形的對角線相交于點O，交于點E．若的周長為10，則平行四邊形的周長為（）

A．16 B．32 C．36 D．44．如圖，在中，D是邊上的中點，E在上，且，則（）A．2 B．3 C．4 D．5題型三相似多邊形【例3】下列說法不正確的是（

）A．所有的正五邊形都相似 B．所有的正方形都相似C．所有的正三角形都相似 D．所有的等腰三角形都相似鞏固訓練：1．以下命題中，①兩個直角三角形一定相似；②兩個等邊三角形一定相似；③兩個菱形一定相似；④任意兩個矩形一定相似；⑤兩個正六邊形一定相似．其中真命題的個數是（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個2．兩個相似多邊形的面積比是，其中較小多邊形的周長為，則較大多邊形的周長為（

）A． B． C． D．3．如圖，四邊形四邊形，若，，則（

）

A． B． C． D．題型四相似三角形的判定【例4】．如圖，在中，點，分別在邊，上，與不平行，添加下列條件之一仍不能判定的是（）

A． B． C． D．鞏固訓練：1．如圖，下列條件不能判定的是（

）

A． B．C． D．2．如圖，為線段上的一點，與交于點，，與交于點，交于點，則下列結論中錯誤的是（）

A． B．C． D．3．如圖，每個小正方形邊長均為1，則圖中的三角形中與相似的是（

）

A． B． C． D．4．如圖，在的正方形網格中，畫2個相似三角形，正確的畫法有（

）

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個題型五相似三角形的性質【例5】．如果兩個相似三角形的對應中線比是，那么它們的面積比是．鞏固訓練：1．如圖，在中，點D、E分別在邊、上，且，如果，那么的長．

2．如圖，點是的邊上一點，，．如果的面積為，那么的面積為（

）

A． B． C．5 D．3．如圖，已知正方形的頂點D、E在的邊上，點G、F分別在邊上，如果，的面積是32，那么這個正方形的邊長是（

）A．4 B．8 C． D．題型六圖形的位似【例6】．如圖，與位似，位似中心為點O，位似比為，則的比值為（）

A． B． C． D．鞏固訓練：1．如圖，與位似，點為位似中心，位似比為，若的周長為6，則的周長是（）

A．16 B．9 C．6 D．42．如圖，中，A、B兩個頂點在x軸的上方，點C的坐標是．以點C為位似中心，在x軸的下方作的位似圖形，并把的邊長放大到原來的2倍．設點B的對應點的橫坐標是a，則點B的橫坐標是（

）

A． B． C． D．題型七圖形的相似綜合解答題【例7】．已知：線段，且．(1)求的值；(2)如果線段，滿足，求的值．鞏固訓練：1．如圖，已知，；，，．求的長．

2．測量物體高度小明想測量一棵樹的高度，在陽光下，小明測得一根長為米的竹竿的影長為米．同時另一名同學測量一棵樹的高度時，發(fā)現樹的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教學樓的墻壁上（如圖），其影長為米，落在地面上的影長為米，則樹高為多少米．小明在某一時刻測得的桿子在陽光下的影子長為，他想測量電線桿的高度，但其影子恰好落在土坡的坡面和地面上，量得，，與地面成．求電線桿的高度．3．如圖，已知O是坐標原點，點B、C兩點的坐標分別為、．(1)以O點為位似中心在y軸的左側將放大到原來的2倍得到；(2)如果周長為m，則的周長為___________________；(3)若線段BC上有一點，請直接寫出點P的對應點的坐標____________．4．如圖，已知在中，是的中線，，點在邊上，．

(1)求證：；(2)求證：．5．如圖，在正方形中，E是的中點，點F在上，且．

(1)求證：；(2)與相似嗎？為什么？6．如圖1，在平行四邊形中，，對角線相交于點O，過點O的直線與交于點M，與的延長線交于點N，．

(1)求證：；(2)