八年級數(shù)學上冊專題4.11基本平面圖形章末八大題型總結(jié)(拔尖篇)同步特訓(學生版+解析)

專題4.11基本平面圖形章末八大題型總結(jié)（拔尖篇）【北師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1線段中的動點問題】 1【題型2利用線段的條數(shù)解決實際問題】 2【題型3直線、射線、線段的規(guī)律探究】 3【題型4線段的和差的實際應用】 4【題型5三角板中角度探究】 5【題型6探究角度之間的關(guān)系】 7【題型7角度中的規(guī)律探究】 9【題型8動角旋轉(zhuǎn)問題】 10【題型1線段中的動點問題】【例1】（2023下·福建福州·七年級統(tǒng)考開學考試）如圖，已知OA+OB=20cm，點C、D分別為線段OA、OB上的動點，若點C從點O出發(fā)以1cm/s的速度沿OA方向運動，同時點D從點B出發(fā)以3cm/s的速度沿BO方向運動．

(1)如圖1，當運動時間為2s時，求AC+OD(2)如圖1，若在運動過程中，始終保持OD=3AC，求OA的長；(3)如圖2，在（2）的條件下，延長BO到點M，使OM=OA，點P是直線OB上一點，且MP?BP=OP，求OPMB【變式1-1】（2023上·山西太原·七年級校考期末）如圖，直線上有A，B，C，D四個點，BC=2CD，AD=8CD，CD=4cm

(1)線段AB=______cm(2)動點P，Q分別從A點，D點同時出發(fā)，點P沿線段AC以3cm/秒的速度，向右運動，到達點C后立即按原速向A點返回；點Q沿線段DA以1cm/秒的速度，向左運動；P點再次到達A點時，兩點同時停止運動．設(shè)運動時間為t（單位：秒）①求P，Q兩點第一次相遇時，運動時間t的值；②求P，Q兩點第二次相遇時，與點A的距離．【變式1-2】（2023上·浙江衢州·七年級?？计谀┤鐖D，點O為數(shù)軸的原點，A，B在數(shù)軸上按順序從左到右依次排列，點B表示的數(shù)為7，AB=12.(1)直接寫出數(shù)軸上點A表示的數(shù).(2)動點P、Q分別從A、B同時出發(fā)，點P以每秒3個單位長度的速度沿數(shù)軸向右勻速運動，點Q以每秒32①經(jīng)過多少秒，點P是線段OQ的中點？②在P、Q兩點相遇之前，點M為PO的中點，點N在線段OQ上，且QN=23問：經(jīng)過多少秒，在P、M、N三個點中其中一個點為以另外兩個點為端點的線段的三等分點(把一條線段分成1:2的兩條線段的點叫做這條線段的三等分點.)？【變式1-3】（2023上·廣東梅州·七年級?？茧A段練習）【新知理解】如圖①，點C在線段AB上，圖中的三條線段AB，AC和BC．若其中一條線段的長度是另外一條線段長度的2倍，則稱點C是線段AB的“巧點”．(1)填空：線段的中點________這條線段的巧點；（填“是”或“不是”或“不確定是”）(2)【問題解決】如圖②，點A和B在數(shù)軸上表示的數(shù)分別是?20和40，點C是線段AB的巧點，求點C在數(shù)軸上表示的數(shù)．(3)【應用拓展】在（2）的條件下，動點P從點A出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿AB向點B勻速運動：動點Q從點B出發(fā)，以每秒4個單位長度的速度沿BA向點A勻速運動．點P，Q同時出發(fā)，當其中一點到達終點時，兩個點運動同時停止，設(shè)運動的時間為t秒，當t為何值時，A，P，Q三點中，其中一點恰好是另外兩點為端點的線段的巧點？并求出此時巧點在數(shù)軸上表示的數(shù)．（直接寫出答案）．【題型2利用線段的條數(shù)解決實際問題】【例2】（2023上·河南許昌·七年級許昌市第一中學校聯(lián)考期末）2022年9月8日，隨著列車從鄭州港區(qū)段鳴笛出發(fā)，鄭許市域鐵路開始空載試運行，未來“雙城生活模式”指日可待．圖中展示了鄭許市域鐵路的其中五個站點，若要滿足乘客在這五個站點之間的往返需求，鐵路公司需要準備種不同的車票．【變式2-1】（2023上·山東聊城·七年級統(tǒng)考期中）如圖，點B，C，D在線段AE上．（1）圖中共有幾條線段？說說你分析這個問題的具體思路．（2）你能用上面的思路來解決“8位同學參加班上組織的象棋比賽，比賽采用單循環(huán)制（即每兩位同學之間都要進行一場比賽），那么一共要進行多少場比賽”這個問題嗎？【變式2-2】（2023上·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·七年級校考期末）3個籃球隊進行單循環(huán)比賽,總的比賽場次是多少?4個球隊呢?5個球隊呢?【變式2-3】（2023上·江西吉安·七年級?？茧A段練習）觀察圖形，并回答下列問題：

(1)圖中共有幾條線段？說明你分析這個問題的具體思路；(2)請你用上面的思路來解決“十五個同學聚會每個人都與其他人握一次手，共握了多少次”這個問題；(3)十五個同學聚會，每個人都送給其他人一張名片呢，共送了幾張？【題型3直線、射線、線段的規(guī)律探究】【例3】（2023上·湖北武漢·七年級?？茧A段練習）如圖，點M在線段AN的延長線上，且線段MN=20，第一次操作：分別取線段AM和AN的中點M1，N1；第二次操作：分別取線段AM1和AN1的中點M2,NA．20?1029 B．20+1029【變式3-1】（2023上·重慶江津·七年級統(tǒng)考期末）如圖，圖①中有1條線段，圖②中有3條不同線段，圖③中有6條不同線段，按此規(guī)律下去，圖⑦中有（

）條不同的線段．A．21 B．22 C．24 D．28【變式3-2】（2023·河北唐山·校聯(lián)考一模）如圖，平面內(nèi)有公共端點的六條射線OA，OB，OC，OD，OE，OF，從射線OA開始按逆時針方向依次在射線上寫出數(shù)字1，2，3，4，5，6，7.…(1)“17”在射線_____上.(2)請寫出OA，OB，OD三條射線上數(shù)字的排列規(guī)律.(3)“2019”在哪條射線上？【變式3-3】觀察圖形找出規(guī)律，并解答問題．(1)5條直線相交，最多有_____個交點，平面最多被分成_____塊；(2)n條直線相交，最多有__________個交點，平面最多被分成____________塊．【題型4線段的和差的實際應用】【例4】（2023上·河南周口·七年級校考階段練習）如圖1是一種壁掛式折疊凳完全開啟時，與完全閉合時的狀態(tài)，圖2是完全開啟狀態(tài)的側(cè)面結(jié)構(gòu)示意圖，外框?qū)扐B與CD相等，具體數(shù)據(jù)如圖2所示，則外框?qū)挒椋?/p>

）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm【變式4-1】（2023上·山東菏澤·七年級統(tǒng)考期末）某攝制組從A市到B市有一天的路程，由于堵車中午才趕到一個小鎮(zhèn)（D），只行駛了原計劃的三分之一（原計劃行駛到C地），過了小鎮(zhèn)，汽車趕了400千米，傍晚才停下來休息（休息處E），司機說：再走從C地到這里路程的二分之一就到達目的地了，問：A，B兩市相距多少千米．【變式4-2】（2023上·浙江溫州·七年級統(tǒng)考期末）如圖1，一款暗插銷由外殼AB，開關(guān)CD，鎖芯DE三部分組成，其工作原理如圖2，開關(guān)CD繞固定點O轉(zhuǎn)動，由連接點D帶動鎖芯DE移動.圖3為插銷開啟狀態(tài)，此時連接點D在線段AB上，如D1位置.開關(guān)CD繞點O順時針旋轉(zhuǎn)180°后得到C2D2，鎖芯彈回至D2E2位置（點B與點E2重合），此時插銷閉合如圖4.已知【變式4-3】（2023上·江蘇揚州·七年級?？计谀┤鐖D1，線段OP表示一條拉直的細線，A、B兩點在線段OP上，且OA：AP＝1：2，OB：BP＝2：7．若先固定A點，將OA折向AP，使得OA重疊在AP上；如圖2，再從圖2的B點及與B點重疊處一起剪開，使得細線分成三段，則此三段細線由小到大的長度比是（）A．1:1:2 B．2:2:5 C．2:3:4 D．2:3:5【題型5三角板中角度探究】【例5】（2023上·福建福州·七年級統(tǒng)考期末）已知∠AOB．在∠AOB內(nèi)部畫射線OC，得到三個角，分別為∠AOC,∠BOC,∠AOB．若這三個角中有一個角是另外一個角的兩倍，則稱射線OC為∠AOB二倍角線．

(1)一個角的平分線這個角的“二倍角線”（填“是”或“不是”）；(2)如圖①，若∠AOB=90°,∠BOC<∠AOC,OC為∠AOB的二倍角線，求∠AOC的度數(shù)；(3)如圖②，將一塊三角板AOB的直角頂點O放在直線MN上，且三角板AOB繞著點O轉(zhuǎn)動，若OC是∠AOB的二倍角線，OB是∠CON的二倍角線，請直接寫出∠BON的度數(shù)．【變式5-1】（2023上·福建福州·七年級?？计谀⒁桓比前迦鐖D1放置于桌面，其中30°、45°角共頂點，CM平分∠BCE，CN平分∠BCD．當三角板DEC從圖1中位置繞著點C逆時針旋轉(zhuǎn)到圖2中的位置時，∠MCN是（）A．變大 B．不變 C．變小 D．無法確定【變式5-2】（2023下·黑龍江齊齊哈爾·七年級克東縣第三中學?？奸_學考試）如圖OB是∠AOC內(nèi)部的一條射線，把三角板60°角的頂點放到O處，轉(zhuǎn)動三角板，當三角板的OD邊平分∠AOB時，三角板的另一邊OE也恰好平分∠BOC：

(1)求∠AOC的度數(shù)．(2)射線OB一定平分∠EOD嗎？若OB平分∠EOD，求∠COB和∠AOB度數(shù)【變式5-3】（2023上·江蘇泰州·七年級?？计谀┤鐖D1，直線DE上有一點O，過點O在直線DE上方作射線OC，將一直角三角板AOB(其中∠OAB=30°)的直角頂點放在點O處，一條直角邊OA在射線OD上，另一邊OB在直線DE上方，將直角三角板繞著點O按每秒10°的速度逆時針旋轉(zhuǎn)一周，設(shè)旋轉(zhuǎn)時間為t秒．(1)當直角三角板旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置時，OB恰好平分∠COE，此時，∠AOC與∠AOD之間數(shù)量關(guān)系為___________；(2)若射線OC的位置固定不變，且∠COE=130°．①在旋轉(zhuǎn)的過程中，是否存在某個時刻，使得射線OB，OC，OD中的某一條射線是另外兩條射線夾角的平分線？若存在，請求出所有滿足題意t的值，若不存在，請說明理由；②如圖3，在旋轉(zhuǎn)的過程中，邊AB與射線OE相交．(i)求∠AOC?∠BOE的值．(ii)若2∠AOE+13∠BOD=∠AOD?【題型6探究角度之間的關(guān)系】【例6】（2023上·北京海淀·七年級北理工附中?？计谀τ谕黄矫鎯?nèi)的∠AOB及內(nèi)部的射線OC，給出如下定義：若組成的3個角：∠AOB，∠AOC和∠BOC中，一個角的度數(shù)是另一個角度數(shù)的兩倍時，則稱射線OC是∠AOB的“牛線”．（1）圖1中，OC平分∠AOB，則射線OC_______∠AOB的一條“牛線”．（填“是”或“不是”）．（2）當射線OC是∠AOB的“牛線”時，直接寫出所有滿足條件的∠AOB與∠BOC的關(guān)系．（3）已知：如圖2，在平面內(nèi)，∠AOB=60°，若射線OC繞點O從射線OB的位置開始，以每秒5°的速度逆時針方向旋轉(zhuǎn)．同時射線OA繞點O以每秒1°的速度逆時針方向旋轉(zhuǎn)，當射線OC與射線OA碰撞后，射線OA的速度發(fā)生變化，以每秒5°的速度繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，此時的射線OC則以每秒1°的速度繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，當射線OA與射線OB的反向延長線重合時，所有旋轉(zhuǎn)皆停止，若旋轉(zhuǎn)的時間記為t秒，當射線OC是∠AOB的“牛線”時，直接寫出所有滿足條件的t的值．【變式6-1】（2023上·重慶·七年級校聯(lián)考期末）點O為直線AB上一點，在直線AB上側(cè)任作一個∠COD，使得∠COD=90°．（1）如圖1，過點O作射線OE，當OE恰好為∠AOD的角平分線時，請直接寫出∠BOD與∠COE之間的倍數(shù)關(guān)系，即∠BOD=______∠COE（填一個數(shù)字）；（2）如圖2，過點O作射線OE，當OC恰好為∠AOE的角平分線時，另作射線OF，使得OF平分∠COD，求∠FOB+∠EOC的度數(shù)；（3）在（2）的條件下，若∠EOC=3∠EOF，求∠AOE的度數(shù)．【變式6-2】（2023上·新疆烏魯木齊·七年級統(tǒng)考期末）圖（1）所示，點O是直線AB上一點，∠COD是直角，OE平分∠BOC．(1)若∠AOC＝30°，求∠DOE的度數(shù)；(2)將圖（1）中的∠COD繞點O順時針旋轉(zhuǎn)至圖（2）所示的位置，以（1）題思路探究∠AOC與∠DOE的度數(shù)之間的關(guān)系，并說明理由；(3)將圖（1）中的∠COD繞點O順時針旋轉(zhuǎn)至圖（3）所示的位置，直接寫出∠AOC與∠DOE的度數(shù)之間的關(guān)系．【變式6-3】（2023上·湖南長沙·七年級湖南師大附中博才實驗中學?？计谀┤鐖D，兩條直線AB，CD相交于點O，且∠AOC=∠BOD=90°，射線OM從OB開始繞O點逆時針方向旋轉(zhuǎn)，速度為每秒15°，射線ON同時從OD開始繞O點順時針方向旋轉(zhuǎn)，速度為每秒12°，運動時間為t秒（0<t<12，本題出現(xiàn)的角均不大于平角）．(1)當t=2時，∠AOM的度數(shù)為________度，∠NOM的度數(shù)為________度．(2)t為何值時，∠AOM=∠AON．(3)當射線OM在∠BOC的內(nèi)部時，探究13∠DOM?4∠AON3∠MON【題型7角度中的規(guī)律探究】【例7】（2023上·江蘇揚州·七年級統(tǒng)考期末）已知，OM、ON分別是∠AOC，∠BOC的角平分線．(1)如圖1，若∠AOB=120°，∠BOC=30°，則∠MON=________°；(2)如圖1，若∠AOB=120°，∠BOC=β°，能否求出∠MON的度數(shù)？若能，求出其值，若不能，試說明理由；(3)如圖2，若∠BOC=β°，∠BOC=β°，是否仍然能求出∠MON的度數(shù)，若能，求∠MON的度數(shù)（用含α或β的式子表示），并從你的求解過程中總結(jié)出你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律．【變式7-1】（2023上·福建龍巖·七年級統(tǒng)考期末）在銳角∠AOB內(nèi)部，畫出1條射線，可以畫出3個銳角；畫出2條不同的射線，可以畫出6個銳角；畫出3條不同的射線，可以畫出10個銳角．照此規(guī)律，畫19條不同的射線，可以畫出銳角的個數(shù)為（）A．165 B．186 C．199 D．210【變式7-2】（2023下·重慶忠縣·七年級統(tǒng)考期末）如圖中∠AOB＝60°，圖①中∠AOC1＝∠C1OB，圖②中∠AOC1＝∠C1OC2＝∠C2OB，圖③中∠AOC1＝∠C1OC2＝∠C2OC3＝∠C3OB，…，按此規(guī)律排列下去，前④個圖形中的∠AOC1之和為(

)A．60° B．67° C．77° D．87°【變式7-3】（2023上·河北保定·七年級統(tǒng)考期末）(1)如圖1，已知∠AOB=90°，∠BOC=30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC．填空：∠MON=；(2)如圖2，∠AOB=90°，∠BOC=x，仍然分別作∠AOC、∠BOC的平分線OM、ON，能否求出∠MON的度數(shù)？若能，求出其值；若不能，說明理由．(3)如圖3，若∠AOB=α，∠BOC=β(α、β均為銳角，且α＞β)，仍然分別作∠AOC、∠BOC的平分線OM、ON，能否求出∠MON的度數(shù)．若能，求∠MON的度數(shù)．(4)從(1)、(2)、(3)的結(jié)果中，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？【題型8動角旋轉(zhuǎn)問題】【例8】（2023下·吉林長春·七年級統(tǒng)考期末）如圖，點O在直線AB上，OC⊥AB．在△ODE中，∠ODE=90°，∠EOD=60°．先將△ODE的一邊OE與OC重合，然后繞點O順時針方向旋轉(zhuǎn)，當OE與OB重合時停止旋轉(zhuǎn)．

(1)如圖①，當OD在OA與OC之間，且∠COD=20°時，則∠AOD=______度，∠COE=______度．(2)如圖②，當OD在OC與OB之間時，求∠AOD與∠COE差的度數(shù)．(3)在△ODE旋轉(zhuǎn)的過程中，若∠AOE=7∠COD，求旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)．【變式8-1】（2023下·山東威海·七年級統(tǒng)考期末）如圖①，點O在直線AB上，∠AOC=120°，OD⊥AB，將OD繞點O以每秒2°的速度按逆時針方向旋轉(zhuǎn)一周（如圖②），當OD旋轉(zhuǎn)到第t秒時，OD所在的直線平分∠BOC，則t的值為．

【變式8-2】（2023上·四川瀘州·七年級統(tǒng)考期末）劉星對幾何中角平分線等興趣濃厚，請你和他一起探究下面問題吧，已知∠AOB=100°，射線OE，OF分別是∠AOC和∠COB的角平分線．(1)如圖1，若射線OC在∠AOB的內(nèi)部，且∠AOC=30°，求∠EOF的度數(shù)；(2)如圖2，若射線OC在∠AOB的內(nèi)部繞點O旋轉(zhuǎn)，則∠EOF的度數(shù)；(3)若射線OC在∠AOB的外部繞點O旋轉(zhuǎn)(旋轉(zhuǎn)中∠AOC，∠BOC均指小于180°的角)，其余條件不變，請借助圖3探究∠EOF的大?。咀兪?-3】（2023上·內(nèi)蒙古通遼·七年級校考期末）【閱讀理解】如圖①，射線OC在∠AOB內(nèi)部，圖中共有三個角∠AOC、∠AOB、∠BOC，若其中有兩個角的度數(shù)之比為1:2，則稱射線OC為∠AOB的“幸運線”．(1)∠AOB的角平分線這個角的“幸運線”（填“是”或“不是”）；(2)若∠AOB=120°，射線OC為∠AOB的“幸運線”，則∠AOC=．(3)如圖②，已知∠AOB=150°，射線OP從OA出發(fā)，以20°/s的速度順時針方向旋轉(zhuǎn)，射線OQ從OB專題4.11基本平面圖形章末八大題型總結(jié)（拔尖篇）【北師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1線段中的動點問題】 1【題型2利用線段的條數(shù)解決實際問題】 8【題型3直線、射線、線段的規(guī)律探究】 11【題型4線段的和差的實際應用】 15【題型5三角板中角度探究】 18【題型6探究角度之間的關(guān)系】 23【題型7角度中的規(guī)律探究】 31【題型8動角旋轉(zhuǎn)問題】 35【題型1線段中的動點問題】【例1】（2023下·福建福州·七年級統(tǒng)考開學考試）如圖，已知OA+OB=20cm，點C、D分別為線段OA、OB上的動點，若點C從點O出發(fā)以1cm/s的速度沿OA方向運動，同時點D從點B出發(fā)以3cm/s

(1)如圖1，當運動時間為2s時，求AC+OD(2)如圖1，若在運動過程中，始終保持OD=3AC，求OA的長；(3)如圖2，在（2）的條件下，延長BO到點M，使OM=OA，點P是直線OB上一點，且MP?BP=OP，求OPMB【答案】(1)AC+OD=12(2)OA=5(3)OPMB=1【分析】（1）先求出OC=1×2=2cm，BD=3×2=6cm，根據(jù)OA=20?OB，求出AC=OA?OC=20?OB（2）設(shè)運動時間為t，則OC=t，BD=3t，求出OD=OB?3t，AC=OA?t，根據(jù)OD=3AC，得出OB?3t=3OA?t，求出OB=3OA，再根據(jù)OA+OB=20（3）當點P在O、B之間時，根據(jù)OA=5cm，得出MO=5cm，BO=15cm，求出BM=20cm，根據(jù)求出OP=MP?BP=MO+OP?BP=5+OP?BP，根據(jù)OP=OB?BP=15?BP，得出5+OP?BP=15?BP，求出OP=10cm，最后求出比值即可；當點P【詳解】（1）解：當運動時間為2sOC=1×2=2cmBD=3×2=6cm∵OA+OB=20cm∴OA=20?OB，∴AC=OA?OC=20?OB∵OD=OB?BD=OB?6，∴AC+OD=18?OB+OB?6=12cm

（2）解：設(shè)運動時間為t，則OC=t，BD=3t，∴OD=OB?3t，AC=OA?t，∵OD=3AC，∴OB?3t=3OA?t∴OB=3OA∵OA+OB=20cm∴OA+3OA=20cm∴OA=5cm（3）解：∵OA=5cm∴MO=5cm，BO=15cm，∵MP?BP=OP，∴點P在點O右邊，當點P在O、B之間時，∴OP=MP?BP=MO+OP?BP=5+OP?BP，∵OP=OB?BP=15?BP，∴5+OP?BP=15?BP，∴OP=10cm∴OPMB

當點P在點B右邊時，∵MP?BP=OP，MP?BP=MB，∴OP=MB，∴OPMB綜上，OPMB=1或【點睛】本題主要考查了線段的和差運算，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，根據(jù)線段之間的數(shù)量關(guān)系求出結(jié)果．【變式1-1】（2023上·山西太原·七年級?？计谀┤鐖D，直線上有A，B，C，D四個點，BC=2CD，AD=8CD，CD=4cm

(1)線段AB=______cm(2)動點P，Q分別從A點，D點同時出發(fā)，點P沿線段AC以3cm/秒的速度，向右運動，到達點C后立即按原速向A點返回；點Q沿線段DA以1cm/秒的速度，向左運動；P點再次到達A點時，兩點同時停止運動．設(shè)運動時間為t（單位：秒）①求P，Q兩點第一次相遇時，運動時間t的值；②求P，Q兩點第二次相遇時，與點A的距離．【答案】(1)20(2)8、20cm【分析】（1）根據(jù)BC=2CD，AD=8CD，CD=4cm算出BC,AD，再根據(jù)AB=AD?BC?CD（2）①根據(jù)P，Q兩點第一次相遇時，P，Q兩點所走的路程之和是DA的長列方程即可求解；②根據(jù)P，Q兩點第二次相遇時，P點所走的路程與AC的差和Q所走的路程與CD的差相等列方程即可求解；【詳解】（1）∵CD=4∴BC=2×4=8∴AB=AD?BC?CD=32?8?4=20故線段AB的長為20cm（2）①P，Q兩點第一次相遇時根據(jù)題意可得：3t+t=32解得：t=8秒故P，Q兩點第一次相遇時，運動時間t的值是8秒；②由（1）得AC=AB+BC=28當P，Q兩點第二次相遇時：3t?28=t?4解得：t=12秒∴PC=3×12?AC=36?28=8cm∴AP=28?8=20cm故P，Q兩點第二次相遇時，與點A的距離是20cm【點睛】本題考查了兩點之間的距離，靈活運用線段的和、差、倍、分轉(zhuǎn)化線段之間的數(shù)量關(guān)系是解答該題的關(guān)鍵．【變式1-2】（2023上·浙江衢州·七年級?？计谀┤鐖D，點O為數(shù)軸的原點，A，B在數(shù)軸上按順序從左到右依次排列，點B表示的數(shù)為7，AB=12.(1)直接寫出數(shù)軸上點A表示的數(shù).(2)動點P、Q分別從A、B同時出發(fā)，點P以每秒3個單位長度的速度沿數(shù)軸向右勻速運動，點Q以每秒32①經(jīng)過多少秒，點P是線段OQ的中點？②在P、Q兩點相遇之前，點M為PO的中點，點N在線段OQ上，且QN=23問：經(jīng)過多少秒，在P、M、N三個點中其中一個點為以另外兩個點為端點的線段的三等分點(把一條線段分成1:2的兩條線段的點叫做這條線段的三等分點.)？【答案】(1)-5;(2)①349秒;②7433秒或10339秒或349秒或【分析】（1）根據(jù)AB=12，點B表示的數(shù)是7，即可確定OA的長度，得到點A表示的數(shù)；（2）①根據(jù)題意得到OP=PQ，列式計算即可；②先求得MN、MP的長度，再分兩種情況：當點P是線段MN的三等分點時，或當點N是線段MP的三等分點時，分別求出t的值.【詳解】(1)點A表示的數(shù)是-5；(2)①由題意得：OP=3t-5，OQ=7+3∵點P是線段OQ的中點，∴OP=12∴3t?5=1t=34經(jīng)過349秒，點P是線段OQ②由①知OP=3t?5,OQ=7+3∵點M為PO的中點，∴OM=MP=12OP=3∵QN=23∴QN=23(7+3∴MN=OQ-OM-QN=196分兩種情況：i：如圖1，當點P是線段MN的三等分點時，得MP=13MN∴32t?5得t=7433當P在O左側(cè)時，MP=2×得t=1ii：如圖2，當點N是線段MP的三等分點時，得MN=13MP∴296?t=1得t=349或綜上，經(jīng)過7433秒或10339秒或349秒或134h或112秒時，在P【點睛】此題是一道有理數(shù)的動點問題,根據(jù)點在數(shù)軸上運動的規(guī)律,確定線段間的數(shù)量關(guān)系,從而求得t的值,注意②中應分情況求值.【變式1-3】（2023上·廣東梅州·七年級校考階段練習）【新知理解】如圖①，點C在線段AB上，圖中的三條線段AB，AC和BC．若其中一條線段的長度是另外一條線段長度的2倍，則稱點C是線段AB的“巧點”．(1)填空：線段的中點________這條線段的巧點；（填“是”或“不是”或“不確定是”）(2)【問題解決】如圖②，點A和B在數(shù)軸上表示的數(shù)分別是?20和40，點C是線段AB的巧點，求點C在數(shù)軸上表示的數(shù)．(3)【應用拓展】在（2）的條件下，動點P從點A出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿AB向點B勻速運動：動點Q從點B出發(fā)，以每秒4個單位長度的速度沿BA向點A勻速運動．點P，Q同時出發(fā)，當其中一點到達終點時，兩個點運動同時停止，設(shè)運動的時間為t秒，當t為何值時，A，P，Q三點中，其中一點恰好是另外兩點為端點的線段的巧點？并求出此時巧點在數(shù)軸上表示的數(shù)．（直接寫出答案）．【答案】(1)是(2)10或0或20(3)t=12或607或454，“巧點”P表示的數(shù)為：?5或?8或?207；“巧點”Q表示的數(shù)為：【分析】（1）根據(jù)新定義，結(jié)合中點把原線段分成兩短段，滿足原線段是短線段的2倍關(guān)系，進行判斷便可；（2）設(shè)C點表示的數(shù)為x，再根據(jù)新定義列出合適的方程便可；（3）先用t的代數(shù)式表示出線段AP，AQ，PQ，再根據(jù)新定義列出方程，得出合適的解便可．【詳解】（1）解：因原線段是中點分成的短線段的2倍，所以線段的中點是這條線段的巧點，故答案為：是；（2）解：設(shè)C點表示的數(shù)為x，則AC=x+20，BC=40?x，AB=40+20=60，根據(jù)“巧點”的定義可知：①當AB=2AC時，有60=2x+20解得，x=10；②當BC=2AC時，有40?x=2x+20解得，x=0；③當AC=2BC時，有x+20=240?x解得，x=20．綜上，點C表示的數(shù)為10或0或20；（3）解：由題意得，AP=2t，AQ=60?4t，PQ=60?6t(0?t?10)i)．若0?t?10時，點P為AQ的“巧點”，有①當AQ=2AP時，60?4t=2×2t，解得，t=15∴AP=15，∴點P表示的數(shù)為?20+15=?5②當PQ=2AP時，60?6t=2×2t，解得，t=6；∴AP=12，∴點P表示的數(shù)為?20+12=?8③當AP=2PQ時，2t=2(60?6t)，解得，t=60∴AP=120∴點P表示的數(shù)為?20+綜上，“巧點”P表示的數(shù)為：?5或?8或?20ii)．若10<t?15時，點Q為AP的“巧點”，有①當AP=2AQ時，2t=2×(60?4t)，解得，t=12；∴AQ=60?4×12=12，∴點Q表示的數(shù)為?20+12=?8，②當PQ=2AQ時，6t?60=2×(60?4t)，解得，t=90∴AQ=60∴點Q表示的數(shù)為?20+60③當AQ=2PQ時，60?4t=2(6t?60)，解得，t=45∴AQ=15，∴點Q表示的數(shù)為?20+15=?5，綜上，“巧點”Q表示的數(shù)為：?8或?807或故，“巧點”P表示的數(shù)為：?5或?8或?207；“巧點”Q表示的數(shù)為：?8或?80【點睛】本題是新定義題，是數(shù)軸的綜合題，主要考查了數(shù)軸上的點與數(shù)的關(guān)系，數(shù)軸上兩點間的距離，一元一次方程的應用，關(guān)鍵是根據(jù)新定義列出方程．是現(xiàn)在的考試新動向，主要訓練學生自學能力，運用新知識的能力．【題型2利用線段的條數(shù)解決實際問題】【例2】（2023上·河南許昌·七年級許昌市第一中學校聯(lián)考期末）2022年9月8日，隨著列車從鄭州港區(qū)段鳴笛出發(fā)，鄭許市域鐵路開始空載試運行，未來“雙城生活模式”指日可待．圖中展示了鄭許市域鐵路的其中五個站點，若要滿足乘客在這五個站點之間的往返需求，鐵路公司需要準備種不同的車票．【答案】20【分析】先求得單程的車票數(shù)，在求出往返的車票數(shù)即可．【詳解】解：5個點中線段的總條數(shù)是4×5÷2=10（種），∵任何兩站之間，往返兩種車票，∴應印制10×2=20（種），故答案為：20．【點睛】此題考查了數(shù)線段，解決本題的關(guān)鍵是掌握“直線上有n個點，則線段的數(shù)量有nn?1【變式2-1】（2023上·山東聊城·七年級統(tǒng)考期中）如圖，點B，C，D在線段AE上．（1）圖中共有幾條線段？說說你分析這個問題的具體思路．（2）你能用上面的思路來解決“8位同學參加班上組織的象棋比賽，比賽采用單循環(huán)制（即每兩位同學之間都要進行一場比賽），那么一共要進行多少場比賽”這個問題嗎？【答案】（1）10，思路見解析；（2）28【分析】(1)從左向右依次固定一個端點A，B，C，D找出線段，最后求和即可；(2)設(shè)線段上有m個點，該線段上共有線段x條，根據(jù)數(shù)線段的特點列出式子化簡即可，把8位同學看作直線上的8個點即可得出結(jié)果．【詳解】解：(1)共有10條線段，∵以點A為左端點向右的線段有：線段AB、AC、AD、AE，以點B為左端點向右的線段有線段BC、BD、BE，以點C為左端點向右的線段有線段CD、CE，以點D為左端點的線段有線段DE，∴共有10條線段；(2)設(shè)線段上有m個點，該線段上共有線段x條，則x=m?1∴倒序排列有x=1+2+3+?+m?3∴兩式相加得2x=m+m+?+m=mm?1∴x=m把8位同學看作直線上的8個點，每兩位同學之間的一場比賽看作為一條線段，直線上8個點所構(gòu)成的線段條數(shù)就等于比賽的場數(shù)，因此一共要進行8×8【點睛】本題考查的是線段的計數(shù)問題，主要是數(shù)線段的技巧和方法，解本題的關(guān)鍵是找出規(guī)律，此類題目容易數(shù)重或遺漏，要特別注意．【變式2-2】（2023上·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·七年級?？计谀?個籃球隊進行單循環(huán)比賽,總的比賽場次是多少?4個球隊呢?5個球隊呢?【答案】見解析【詳解】試題分析：用直線上的點代表球隊，進行單循環(huán)比賽可用線段來表示，3個籃球隊比賽的總場次可以看作直線上三個點所得線段的條數(shù)，4個籃球隊比賽的總場次可以看作直線上4個點所得線段的條數(shù)，5個籃球隊比賽的總場次可以看作直線上5個點所得線段的條數(shù)，畫出圖形，即可得結(jié)論.試題解析：用直線上的點代表球隊,進行單循環(huán)比賽可用線段來表示.3個球隊共比賽用線段AB,BC,AC表示,共有3場;4個球隊比賽用線段AB,AC,AD,BC,BD,CD表示,共有6場;5個球隊比賽用線段AB,AC,AD,AE,BC,BD,BE,CD,CE,DE表示,共有10場.【變式2-3】（2023上·江西吉安·七年級?？茧A段練習）觀察圖形，并回答下列問題：

(1)圖中共有幾條線段？說明你分析這個問題的具體思路；(2)請你用上面的思路來解決“十五個同學聚會每個人都與其他人握一次手，共握了多少次”這個問題；(3)十五個同學聚會，每個人都送給其他人一張名片呢，共送了幾張？【答案】(1)10條，見解析；(2)共握了105次；(3)共送了210張．【分析】（1）根據(jù)線段的概念，分別得到以A、B、C、D為端點，且不重復的線段，相加即可得到答案；（2）將人演化成點，根據(jù)（1）結(jié)論，即可得到答案；（3）十五個同學聚會，每個人都送給其他人一張名片，即每個人都送了14次，據(jù)此即可得到答案．【詳解】（1）解：圖中共有10條線段，分析思路如下：以A為端點的線段有：AB、AC、AD、AE，共4條；以B為端點，且與前面不重復的線段有：BC、BD、BE，共3條；以C為端點，且與前面不重復的線段有：CD、CE，共2條；以D為端點，且與前面不重復的線段有：DE，共1條；答：圖中共有4+3+2+1=10條線段；（2）解：將人演化成點，根據(jù)（1）結(jié)論可知，握手的次數(shù)為：14+13+12+?+3+2+1=105，答：十五個同學聚會每個人都與其他人握一次手，共握了105次；（3）解：十五個同學聚會，每個人都送給其他人一張名片，即每個人都送了14次，15×14=210，答：十五個同學聚會，每個人都送給其他人一張名片呢，共送了210張．【點睛】本題考查了線段的計數(shù)，線段計數(shù)時注意分類討論，做到不遺漏，不重復，理解（3）互送的區(qū)別．【題型3直線、射線、線段的規(guī)律探究】【例3】（2023上·湖北武漢·七年級?？茧A段練習）如圖，點M在線段AN的延長線上，且線段MN=20，第一次操作：分別取線段AM和AN的中點M1，N1；第二次操作：分別取線段AM1和AN1的中點M2,NA．20?1029 B．20+1029【答案】D【分析】根據(jù)MN=20，M1、N1分別為AM、AN的中點，求出M1N1的長度，再由M【詳解】解：∵MN=20，M1、N∴M1∵M2、N∴M2根據(jù)規(guī)律得到Mn∴M1【點睛】本題是對線段規(guī)律性問題的考查，準確根據(jù)題意找出規(guī)律是解決本題的關(guān)鍵，相對較難.【變式3-1】（2023上·重慶江津·七年級統(tǒng)考期末）如圖，圖①中有1條線段，圖②中有3條不同線段，圖③中有6條不同線段，按此規(guī)律下去，圖⑦中有（

）條不同的線段．A．21 B．22 C．24 D．28【答案】D【分析】有3個圖可知，圖1有2個點，圖2比圖1增加一個點，增加了2條線段；圖3比圖2增加一個點，增加3條線段，得規(guī)律為：每增加一個點，就增加前一個圖中點的個數(shù)條線段，故圖7有1+2+3+4+5+6+7=28條線段．【詳解】解：圖1有2個點，1條線段；圖2有2+1=3個點，1+2=3條線段；圖3有3+1=4個點，1+2+3=6條線段；……圖7有7+1=8個點，1+2+3+4+5+6+7=28條線段，故選：D．【點睛】本題考查的是圖形的變化類，解題的關(guān)鍵是找到每增加一個點，就增加前一個圖中點的個數(shù)條線段，這一規(guī)律．【變式3-2】（2023·河北唐山·校聯(lián)考一模）如圖，平面內(nèi)有公共端點的六條射線OA，OB，OC，OD，OE，OF，從射線OA開始按逆時針方向依次在射線上寫出數(shù)字1，2，3，4，5，6，7.…(1)“17”在射線_____上.(2)請寫出OA，OB，OD三條射線上數(shù)字的排列規(guī)律.(3)“2019”在哪條射線上？【答案】(1)OE；(2)見解析；(3)“2019”在射線OC上.【分析】（1）根據(jù)數(shù)字排列規(guī)律，依次數(shù)下去就可以得到）“17”在射線OE上；（2）因為正整數(shù)按照6個數(shù)字一循環(huán)，依次排列，因此，出現(xiàn)在每一條射線上的數(shù)字都可以看做一個等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列通項公式an=a1+（n-1）×d即可寫出．（3）因為正整數(shù)按照6個數(shù)字一循環(huán)，依次排列，所以將2019除以6，如果能被整除，則落在射線OF上，如果有余數(shù)，則依次落在OA至OE上．【詳解】解：(1)根據(jù)已知總結(jié)排列如下：射線OA：171319…射線OB：281420…射線OC：391521…射線OD：4101622…射線OE：5111723…射線OF：6121824…故“17”在射線OE上．(2)根據(jù)已知總結(jié)排列如下：射線OA：171319…數(shù)字排列規(guī)律：6n-5（n為正整數(shù)）射線OB：281420…數(shù)字排列規(guī)律：6n-4（n為正整數(shù)）射線OC：391521…數(shù)字排列規(guī)律：6n-3（n為正整數(shù)）射線OD：4101622…數(shù)字排列規(guī)律：6n-2（n為正整數(shù)）(3)射線OE：5111723…數(shù)字排列規(guī)律：6n-1（n為正整數(shù)）射線OF：6121824…數(shù)字排列規(guī)律：6n（n為正整數(shù)）在六條射線上的數(shù)字規(guī)律中，只有6n-3=2019有整數(shù)解，解為n=337∴“2019”在射線OC上.【點睛】本題考查數(shù)字的排列規(guī)律，考查了學生要從數(shù)字的排列中找到規(guī)律，然后寫出規(guī)律即可求出相應值．此外掌握等差數(shù)列的通項公式an=a1+（n-1）×d對解決此類問題有很大幫助．【變式3-3】觀察圖形找出規(guī)律，并解答問題．(1)5條直線相交，最多有_____個交點，平面最多被分成_____塊；(2)n條直線相交，最多有__________個交點，平面最多被分成____________塊．【答案】(1)10,16;(2)nn?12,[1＋【分析】（1）根據(jù)每兩條直線就有一個交點，可以列舉出所有情況后再求解；（2）根據(jù)列舉的數(shù)值得出規(guī)律，再根據(jù)規(guī)律解題．【詳解】如圖，（1）任意畫2條直線，它們最多有1個交點；（2）任意畫3條直線，它們最多有3個交點；（3）任意畫4條直線（只畫交點個數(shù)最多的情況），最多有6個交點；（4）5條直線最多有10個交點；n條直線最多有12一條直線可以把平面分成兩部分，兩條直線最多可以把平面分成4部分，三條直線最多可以把平面分成7部分，四條直線最多可以把平面分成11部分，可以發(fā)現(xiàn)，兩條直線時多了2部分，三條直線比原來多了3部分，四條直線時比原來多了4部分，…，n條時比原來多了n部分．因為n=1，a1=1+1，n=2，a2=a1+2，n=3，a3=a2+3，n=4，a4=a3+4，…n=n，an=an-1+n，以上式子相加整理得，an=1+1+2+3+…+n=1+nn+1當n=5時，1+nn+1【點睛】本題考查了直線射線和線段，要知道從一般到具體的探究方法，并找到規(guī)律．【題型4線段的和差的實際應用】【例4】（2023上·河南周口·七年級?？茧A段練習）如圖1是一種壁掛式折疊凳完全開啟時，與完全閉合時的狀態(tài)，圖2是完全開啟狀態(tài)的側(cè)面結(jié)構(gòu)示意圖，外框?qū)扐B與CD相等，具體數(shù)據(jù)如圖2所示，則外框?qū)挒椋?/p>

）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm【答案】D【分析】根據(jù)圖2給出的信息進行計算即可．【詳解】解：由題意可知，折疊凳的內(nèi)層長為37cm，即BC=37又∵AB=CD，∴AB=AD?BC∴外框?qū)挒?cm【點睛】本題考查了線段和與差的應用，弄清圖中線段之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式4-1】（2023上·山東菏澤·七年級統(tǒng)考期末）某攝制組從A市到B市有一天的路程，由于堵車中午才趕到一個小鎮(zhèn)（D），只行駛了原計劃的三分之一（原計劃行駛到C地），過了小鎮(zhèn)，汽車趕了400千米，傍晚才停下來休息（休息處E），司機說：再走從C地到這里路程的二分之一就到達目的地了，問：A，B兩市相距多少千米．【答案】D，B兩市相距600千米．【分析】根據(jù)題意可知DE的距離且可以得到AD=12DC，EB=12【詳解】如圖，由題意可知，DE=400千米，AD=12DC∴AD+EB=1∴AB=AD+EB+DE=200+400=600（千米）答：A，B兩市相距600千米．【點睛】本題考查了求解線段長度在實際生活中的應用，能夠找出線段之間的等量關(guān)系是解題關(guān)鍵．【變式4-2】（2023上·浙江溫州·七年級統(tǒng)考期末）如圖1，一款暗插銷由外殼AB，開關(guān)CD，鎖芯DE三部分組成，其工作原理如圖2，開關(guān)CD繞固定點O轉(zhuǎn)動，由連接點D帶動鎖芯DE移動.圖3為插銷開啟狀態(tài)，此時連接點D在線段AB上，如D1位置.開關(guān)CD繞點O順時針旋轉(zhuǎn)180°后得到C2D2，鎖芯彈回至D2E2位置（點B與點E2重合），此時插銷閉合如圖4.已知【答案】24【分析】結(jié)合圖形得出當點D在O的右側(cè)時，即D1位置時，B與點E的距離為BE1，當點D在O的左側(cè)時，即D2位置時，B與點E重合，即E2【詳解】解：由圖3得，當點D在O的右側(cè)時，即D1位置時，B與點E的距離為B由圖4得，當點D在O的左側(cè)時，即D2位置時，B與點E重合，即E∴BE∵AD∴AO?OD∴OC∴OC∵CD=OC+OD=OC∴CD=OC∴2OD∴BE故答案為：24．【點睛】題目主要考查線段間的數(shù)量關(guān)系，理解題意，結(jié)合圖形求解是解題關(guān)鍵．【變式4-3】（2023上·江蘇揚州·七年級校考期末）如圖1，線段OP表示一條拉直的細線，A、B兩點在線段OP上，且OA：AP＝1：2，OB：BP＝2：7．若先固定A點，將OA折向AP，使得OA重疊在AP上；如圖2，再從圖2的B點及與B點重疊處一起剪開，使得細線分成三段，則此三段細線由小到大的長度比是（）A．1:1:2 B．2:2:5 C．2:3:4 D．2:3:5【答案】B【分析】根據(jù)題意設(shè)OB的長度為2a,則BP的長度為7a，OP的長度為9a，從而根據(jù)比值可以得到圖一中各線段的長，根據(jù)題意可以求出折疊后，再剪開各線段的長度，從而可以求得三段細線由小到大的長度比，本題得以解決．【詳解】解：設(shè)OB的長度為2a，則BP的長度為7a，OP的長度為9a，∵OA：AP＝1：2，∴OA＝3a，AP＝6a，又∵先固定A點，將OA折向AP，使得OA重疊在AP上，如圖2，再從圖2的B點及與B點重迭處一起剪開，使得細線分成三段，∴這三段從小到大的長度分別是：2a、2a、5a，∴此三段細線由小到大的長度比為：2a：2a：5a＝2：2：5，【點睛】本題考查比較線段的長短，解題的關(guān)鍵是理解題意，求出各線段的長度．【題型5三角板中角度探究】【例5】（2023上·福建福州·七年級統(tǒng)考期末）已知∠AOB．在∠AOB內(nèi)部畫射線OC，得到三個角，分別為∠AOC,∠BOC,∠AOB．若這三個角中有一個角是另外一個角的兩倍，則稱射線OC為∠AOB二倍角線．

(1)一個角的平分線這個角的“二倍角線”（填“是”或“不是”）；(2)如圖①，若∠AOB=90°,∠BOC<∠AOC,OC為∠AOB的二倍角線，求∠AOC的度數(shù)；(3)如圖②，將一塊三角板AOB的直角頂點O放在直線MN上，且三角板AOB繞著點O轉(zhuǎn)動，若OC是∠AOB的二倍角線，OB是∠CON的二倍角線，請直接寫出∠BON的度數(shù)．【答案】(1)是(2)60°(3)15°或30°或60°或22.5°或45°或90°或120°【分析】（1）根據(jù)“二倍角線”的定義，即可求解；（2）根據(jù)“二倍角線”的定義，可得∠AOC=2∠BOC，即可求解；（3）分9種情況結(jié)合“二倍角線”的定義，即可求解．【詳解】（1）解：一個角的平分線是這個角的“二倍角線”；故答案為：是（2）解：依題意得：∠AOC=2∠BOC，∵∠AOC+∠BOC=∠AOB=90°，∴∠AOC=60°；（3）解：當∠AOC=∠BOC,∠BON=∠BOC時，∠BON=∠AOC=1當∠AOC=∠BOC,∠BON=2∠BOC時，∠BON=2∠AOC=∠AOB=90°；當∠AOC=∠BOC,2∠BON=∠BOC時，∠BON=1當∠AOC=2∠BOC,∠BON=∠BOC時，∠BON=∠BOC=2當2∠AOC=∠BOC,∠BON=∠BOC時，∠BON=∠BOC=1當∠AOC=2∠BOC,∠BON=2∠BOC時，∠BON=∠AOC=2當∠AOC=2∠BOC,2∠BON=∠BOC時，∠BON=1當2∠AOC=∠BOC,2∠BON=∠BOC時，∠BON=∠AOC=1當2∠AOC=∠BOC,∠BON=2∠BOC時，∠BON=4∠AOC=4終上所述，∠BON的度數(shù)為15°或30°或60°或22.5°或45°或90°或120°．【點睛】本題主要考查了有關(guān)角平分線的計算，理解新定義是解題的關(guān)鍵．【變式5-1】（2023上·福建福州·七年級?？计谀⒁桓比前迦鐖D1放置于桌面，其中30°、45°角共頂點，CM平分∠BCE，CN平分∠BCD．當三角板DEC從圖1中位置繞著點C逆時針旋轉(zhuǎn)到圖2中的位置時，∠MCN是（）A．變大 B．不變 C．變小 D．無法確定【答案】B【分析】根據(jù)圖形以及角平分線的定義，在圖1和圖2的情況下，表示出∠MCN，做比較即可作答．【詳解】如圖，如圖1，∵CM平分∠BCE，CN平分∠BCD，∴∠BCM=12∠BCE∴∠MCN=∠BCM+∠BCN=1根據(jù)題意可知：∠DCE=30°，∴∠MCN=1如圖2，∵CM平分∠BCE，CN平分∠BCD，∴∠BCM=12∠BCE∴∠MCN=∠BCN?∠BCM=1根據(jù)題意可知：∠DCE=30°，∴∠MCN=1即可知∠MCN大小不變，【點睛】本題主要考查了角平分線的定義，掌握角平分線的定義是解答本題的關(guān)鍵．【變式5-2】（2023下·黑龍江齊齊哈爾·七年級克東縣第三中學校考開學考試）如圖OB是∠AOC內(nèi)部的一條射線，把三角板60°角的頂點放到O處，轉(zhuǎn)動三角板，當三角板的OD邊平分∠AOB時，三角板的另一邊OE也恰好平分∠BOC：

(1)求∠AOC的度數(shù)．(2)射線OB一定平分∠EOD嗎？若OB平分∠EOD，求∠COB和∠AOB度數(shù)【答案】(1)120°(2)射線OB不一定平分∠EOD，∠COB的度數(shù)為60°，∠AOB的度數(shù)為60°【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義可得∠AOB=2∠BOD，∠BOC=2∠BOE，然后根據(jù)角的和差關(guān)系進行計算即可解答；（2）根據(jù)∠EOB和∠BOD不一定相等，從而可得射線OB不一定平分∠EOD，然后利用角平分線的定義可得∠BOD=∠BOE=1【詳解】（1）∵OD邊平分∠AOB，OE平分∠BOC，∴∠AOB=2∠BOD，∠BOC=2∠BOE，∵∠EOD=60°，∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=2∠BOD+2∠BOE=2=2∠EOD=120°，∴∠AOC的度數(shù)為120°；（2）射線OB不一定平分∠EOD，∵OB平分∠EOD，∴∠BOD=∠BOE=1由（1）可得：∠AOB=2∠BOD=60°，∠BOC=2∠BOE=60°，∴∠COB的度數(shù)為60°，∠AOB的度數(shù)為60°．【點睛】本題考查了角的計算，角平分線的定義，熟練掌握雙角平分線模型是解題的關(guān)鍵．【變式5-3】（2023上·江蘇泰州·七年級?？计谀┤鐖D1，直線DE上有一點O，過點O在直線DE上方作射線OC，將一直角三角板AOB(其中∠OAB=30°)的直角頂點放在點O處，一條直角邊OA在射線OD上，另一邊OB在直線DE上方，將直角三角板繞著點O按每秒10°的速度逆時針旋轉(zhuǎn)一周，設(shè)旋轉(zhuǎn)時間為t秒．(1)當直角三角板旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置時，OB恰好平分∠COE，此時，∠AOC與∠AOD之間數(shù)量關(guān)系為___________；(2)若射線OC的位置固定不變，且∠COE=130°．①在旋轉(zhuǎn)的過程中，是否存在某個時刻，使得射線OB，OC，OD中的某一條射線是另外兩條射線夾角的平分線？若存在，請求出所有滿足題意t的值，若不存在，請說明理由；②如圖3，在旋轉(zhuǎn)的過程中，邊AB與射線OE相交．(i)求∠AOC?∠BOE的值．(ii)若2∠AOE+13∠BOD=∠AOD?【答案】(1)∠AOC=∠AOD(2)①存在，t=29.5、1、22；；②(i)40°；(ii)∠BOE=48°【分析】(1)由∠AOB=90°知∠BOC+∠AOC=90°、∠AOD+∠BOE=90°，可得∠AOD=∠AOC；(2)①當OB平分∠COD時∠BOD=∠BOC=、當OC平分∠BOD時∠BOC=∠COD、當OD平分∠BOC時∠BOD=∠COD，分別列出關(guān)于t的方程，解之可得；②(i)根據(jù)角的和差即可得到結(jié)論；(ii)根據(jù)已知條件建立方程，解方程即可求解．【詳解】（1）解：∠AOD=∠AOC．理由如下：∵∠AOB=90°，∴∠BOC+∠AOC=90°，∠AOD+∠BOE=90°，∵OB恰好平分∠COE∴∠BOC=∠BOE，∴∠AOD=∠AOC，故答案為：∠AOD=∠AOC，（2）①存在．理由：∵∠COE=130°，∴∠COD=180°?130°=50°，當OB平分∠COD時，∠BOD=∠BOC=12∠COD，即10t+90?25=360當OC平分∠BOD時，∠BOC=∠COD，即10t+90=2×50，解得t=1；當OD平分∠BOC時，∠BOD=∠COD，即360?10t=50+90，解得：t=22；綜上所述，t的值為29.5、1、22；②(i)∵∠AOC=∠COE?∠AOE=130°?∠AOE，∠BOE=90°?∠AOE，∴∠AOC?∠BOE=130°?∠AOE∴∠AOC?∠BOE的值為40°．(ii)∵∠COE=130°設(shè)∠BOE=α，則∠AOE=90°?α，∠BOD=180°?α，∠AOD=180°?∠AOE=180°?90°?α=90°+α，∵2∠AOE+1∴290°?α解得：α=48°，即∠BOE=48°．【點睛】本題主要考查角平分線的定義、余角的性質(zhì)及角的計算，一元一次方程的應用，根據(jù)題意全面考慮所有可能以分類討論是解題的關(guān)鍵．【題型6探究角度之間的關(guān)系】【例6】（2023上·北京海淀·七年級北理工附中校考期末）對于同一平面內(nèi)的∠AOB及內(nèi)部的射線OC，給出如下定義：若組成的3個角：∠AOB，∠AOC和∠BOC中，一個角的度數(shù)是另一個角度數(shù)的兩倍時，則稱射線OC是∠AOB的“牛線”．（1）圖1中，OC平分∠AOB，則射線OC_______∠AOB的一條“牛線”．（填“是”或“不是”）．（2）當射線OC是∠AOB的“牛線”時，直接寫出所有滿足條件的∠AOB與∠BOC的關(guān)系．（3）已知：如圖2，在平面內(nèi)，∠AOB=60°，若射線OC繞點O從射線OB的位置開始，以每秒5°的速度逆時針方向旋轉(zhuǎn)．同時射線OA繞點O以每秒1°的速度逆時針方向旋轉(zhuǎn)，當射線OC與射線OA碰撞后，射線OA的速度發(fā)生變化，以每秒5°的速度繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，此時的射線OC則以每秒1°的速度繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，當射線OA與射線OB的反向延長線重合時，所有旋轉(zhuǎn)皆停止，若旋轉(zhuǎn)的時間記為t秒，當射線OC是∠AOB的“牛線”時，直接寫出所有滿足條件的t的值．【答案】（1）是；（2）∠AOB=2∠BOC，∠AOB=3∠BOC，∠AOB=32∠BOC；（3）203或30【分析】（1）由角平分線的性質(zhì)得∠AOB=2∠AOC，根據(jù)“牛線”的定義可以證明射線OC是∠AOB的一條牛線；（2）分情況討論，∠AOB=2∠BOC，∠AOC=2∠BOC，∠BOC=2∠AOC，分別求出∠AOB與∠BOC的關(guān)系；（3）分情況討論，在OC與OA重合前，設(shè)∠BOC=5t，∠BOA=60+t，由（2）中的關(guān)系式列方程求解，在OC和OA重合后，設(shè)重合后旋轉(zhuǎn)的時間是t2，則∠BOC=75+t2【詳解】解：（1）是，∵OC平分∠AOB，∴∠AOB=2∠AOC，∴射線OC是∠AOB的一條牛線；（2）∵射線OC是∠AOB的一條牛線，∴∠AOB=2∠BOC，或∠AOC=2∠BOC，此時∠AOB=3∠BOC，或∠BOC=2∠AOC，此時∠AOB=3（3）①如圖，在OC與OA重合前，∠BOC=5t，∠BOA=60+t，若∠AOB=2∠BOC，則60+t=2×5t，解得t=20若∠AOB=3∠BOC，則60+t=3×5t，解得t=30若∠AOB=32∠BOC，則60+t=當OC和OA重合時，60+t=5t，解得t=15，此時∠A∵當射線OA與射線OB的反向延長線重合時，所有旋轉(zhuǎn)皆停止，∴5t≤180?75，解得t≤21，∴t≤21+15，即t≤36，②如圖，在OC和OA重合后，∠BOD=75°，設(shè)重合后旋轉(zhuǎn)的時間是t2∠BOC=75+t2，若∠AOB=2∠BOC，則75+5t2=275+t若∠AOB=3∠BOC，則75+5t2=375+t若∠AOB=32∠BOC，則75+5t2綜上：t的值是203或307或12013【點睛】本題考查角度的計算，解題的關(guān)鍵是掌握列方程求解角度運動問題的方法，需要注意進行分類討論．【變式6-1】（2023上·重慶·七年級校聯(lián)考期末）點O為直線AB上一點，在直線AB上側(cè)任作一個∠COD，使得∠COD=90°．（1）如圖1，過點O作射線OE，當OE恰好為∠AOD的角平分線時，請直接寫出∠BOD與∠COE之間的倍數(shù)關(guān)系，即∠BOD=______∠COE（填一個數(shù)字）；（2）如圖2，過點O作射線OE，當OC恰好為∠AOE的角平分線時，另作射線OF，使得OF平分∠COD，求∠FOB+∠EOC的度數(shù)；（3）在（2）的條件下，若∠EOC=3∠EOF，求∠AOE的度數(shù)．【答案】(1)2;(2)135°；(3)67.5°.【詳解】試題分析：（1）由題意可得∠AOC=90°-∠BOD；∠AOE=12∠AOD；∠AOD=180°-∠BOD；把上述三個關(guān)系式代入∠COE=∠AOE-∠AOC中化簡即可得到∠COE=1（2）由OC為∠AOE的角平分線，OF平分∠COD可得：∠AOC=∠COE，∠DOF=∠COF=45°；結(jié)合∠BOD+∠AOC=90°，∠EOC+∠FOB=∠EOC+∠FOD+∠BOD即可求得∠EOC+∠FOB的度數(shù)；（3）如備用圖，設(shè)∠EOF=x，則∠EOC=3x，結(jié)合（2）可得∠AOE=2∠EOC=6x，∠COF=4x=45°，由此即可解得∠AOE=67.5°.試題解析：（1）∠BOD=2∠COE；理由如下：∵∠COD=90°．∴∠BOD+∠AOC=90°，∵OE平分∠AOD，∴∠AOE=∠DOE=12又∵∠BOD=180°-∠AOD，∴∠COE=∠AOE-∠AOC=12∠AOD-（90°-∠BOD）=12（180°-∠BOD）-90°+∠BOD=∴∠BOD=2∠COE；（2）∵OC為∠AOE的角平分線，OF平分∠COD，∴∠AOC=∠COE，∠COF=∠DOF=45°，∴∠FOB+∠EOC=∠DOF+∠BOD+∠AOC=45°+90°=135°；（3）如備用圖：∵∠EOC=3∠EOF，∴設(shè)∠EOF=x，則∠EOC=3x，∴∠COF=4x，∴結(jié)合（2）可得：∠AOE=2∠COE=6x，∠COF=4x=45°，解得：x=11.25°，∴∠AOE=6×11.25°=67.5°．點睛：（1）解第2小題時，把∠FOB化為∠FOD+∠BOD來表達，∠EOC化為∠AOC來表達，這樣就可利用∠AOC+∠BOD=90°，∠FOD=45°來求得所求量；（2）解第3小題時，要記住是在第2小題的條件下來解題，這樣設(shè)∠EOF=x，就可由本問的條件結(jié)合第2小題的條件得到∠COF=4x=45°，解得x，再由∠AOE=2∠COE=6x就可求得∠AOE的度數(shù).【變式6-2】（2023上·新疆烏魯木齊·七年級統(tǒng)考期末）圖（1）所示，點O是直線AB上一點，∠COD是直角，OE平分∠BOC．(1)若∠AOC＝30°，求∠DOE的度數(shù)；(2)將圖（1）中的∠COD繞點O順時針旋轉(zhuǎn)至圖（2）所示的位置，以（1）題思路探究∠AOC與∠DOE的度數(shù)之間的關(guān)系，并說明理由；(3)將圖（1）中的∠COD繞點O順時針旋轉(zhuǎn)至圖（3）所示的位置，直接寫出∠AOC與∠DOE的度數(shù)之間的關(guān)系．【答案】(1)15°(2)∠AOC=2∠DOE(3)∠AOC=360°?2∠DOE【分析】（1）由已知可求出∠BOC=180°?∠AOC=150°，再由∠COD是直角，OE平分∠BOC求出∠DOE的度數(shù)；（2）由∠COD是直角，OE平分∠BOC可得出∠COE=∠BOE=90°?∠DOE，則得∠AOC=180°?∠BOC=180°?2∠COE=180°?2(90°?∠DOE)，從而得出∠AOC和∠DOE的度數(shù)之間的關(guān)系；（3）根據(jù)（2）的解題思路，即可解答．【詳解】（1）解：由已知得∠AOC＝30°，則∠BOC=180°?∠AOC=150°，又∠COD是直角，OE平分∠BOC，∴∠DOE=∠COD?∠COE=∠COD?1故答案為：15°；（2）解：∠AOC=2∠DOE；理由：∵∠COD是直角，OE平分∠BOC，∴∠COE=∠BOE=90°?∠DOE，則得∠AOC=180°?∠BOC=180°?2∠COE=180°?2(90°?∠DOE)=2∠DOE，所以得：∠AOC=2∠DOE；（3）解：∠AOC=360°?2∠DOE；理由：∵OE平分∠BOC，∴∠BOC=2∠COE，則得∠AOC=180°?∠BOC=180°?2∠COE=180°?2(∠DOE?90°)=360°?2∠DOE，所以得：∠AOC=360°?2∠DOE．【點睛】本題考查的知識點是角平分線的性質(zhì)、幾何圖形中角的計算，解題的關(guān)鍵是正確運用有關(guān)性質(zhì)準確計算角的和差倍分．【變式6-3】（2023上·湖南長沙·七年級湖南師大附中博才實驗中學校考期末）如圖，兩條直線AB，CD相交于點O，且∠AOC=∠BOD=90°，射線OM從OB開始繞O點逆時針方向旋轉(zhuǎn)，速度為每秒15°，射線ON同時從OD開始繞O點順時針方向旋轉(zhuǎn)，速度為每秒12°，運動時間為t秒（0<t<12，本題出現(xiàn)的角均不大于平角）．(1)當t=2時，∠AOM的度數(shù)為________度，∠NOM的度數(shù)為________度．(2)t為何值時，∠AOM=∠AON．(3)當射線OM在∠BOC的內(nèi)部時，探究13∠DOM?4∠AON3∠MON【答案】(1)150(2)t=10(3)是，13∠DOM?4∠AON【分析】（1）求出t=2時，∠BOM,∠DON的度數(shù)，利用∠AOM=180°?∠BOM,∠NOM=∠NOD+∠DOB+∠BOM，進行求解即可；（2）分別用含t的式子，表示出∠AOM和∠AON，分∠AON在∠AOD內(nèi)部和∠AOC的內(nèi)部，兩種情況討論，利用∠AOM=∠AON，列式求解即可；（3）分別用含t的式子表示出∠DOM,∠AON,∠MON，計算13∠DOM?4∠AON3∠MON【詳解】（1）解：當t=2時，∠BOM=2×15°=30°，∴∠AOM=180°?∠BOM=180°?30°=150°，∠NOM=∠NOD+∠DOB+∠BOM=24°+90°+30°=144°，故答案為：150，（2）解：∵∠AOC=∠BOD=90°，∴∠AOD=∠BOC=90°由題意得：∠BOM=15°?t，∴∠AOM=180°?∠BOM=180°?15°?t，當∠AON在∠AOD內(nèi)部時：∠AON=∠AOD?∠DON=90°?12°?t∵∠AOM=∠AON，∴180°?15°?t=90°?12°?t，解得：t=30（不符合題意，舍掉）；當∠AON在∠AOC內(nèi)部時：∠AON=∠DON?∠AOD=12°?t?90°，∵∠AOM=∠AON，∴180°?15°?t=12°?t?90°，解得：t=10；∴當t=10時，∠AOM=∠AON；（3）解：∵∠BOM=15°?t,∠DON=12°?t，當射線OM在∠BOC的內(nèi)部時，0<15°?t<90°，∴0<t<6，∴0°<12°?t<72°，∴射線ON在∠AOD內(nèi)部，∴∠DOM=∠BOD+∠BOM=90°+15°?t,∠AON=∠AOD?∠DON=90°?12°?t，∠NOM=∠NOD+∠DOB+∠BOM=12°?t+90°+15°?t=90°+27°?t則：13∠DOM?4∠AON===3；∴13∠DOM?4∠AON3∠MON【點睛】本題考查角度的計算．根據(jù)題意正確的表示出各角的度數(shù)，是解題的關(guān)鍵．【題型7角度中的規(guī)律探究】【例7】（2023上·江蘇揚州·七年級統(tǒng)考期末）已知，OM、ON分別是∠AOC，∠BOC的角平分線．(1)如圖1，若∠AOB=120°，∠BOC=30°，則∠MON=________°；(2)如圖1，若∠AOB=120°，∠BOC=β°，能否求出∠MON的度數(shù)？若能，求出其值，若不能，試說明理由；(3)如圖2，若∠BOC=β°，∠BOC=β°，是否仍然能求出∠MON的度數(shù)，若能，求∠MON的度數(shù)（用含α或β的式子表示），并從你的求解過程中總結(jié)出你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律．【答案】（1）60（2）（3）【詳解】試題分析：（1）∵OM是∠AOC的角平分線∴∠∵ON是∠BOC的角平分線∴∠∵∠AOB=120°，∠BOC=30°∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=∴∠AOM=∠MOC=75∴∠（2）（3）考點：計算角的度數(shù)點評：充分利用角的等分線，通過已知角的加減乘除求出未知角的度數(shù)．【變式7-1】（2023上·福建龍巖·七年級統(tǒng)考期末）在銳角∠AOB內(nèi)部，畫出1條射線，可以畫出3個銳角；畫出2條不同的射線，可以畫出6個銳角；畫出3條不同的射線，可以畫出10個銳角．照此規(guī)律，畫19條不同的射線，可以畫出銳角的個數(shù)為（）A．165 B．186 C．199 D．210【答案】D【分析】根據(jù)已知條件得出規(guī)律為從一個角的內(nèi)部引出n條射線所得到的銳角的個數(shù)是12【詳解】在銳角∠AOB內(nèi)部，畫出1條射線，可以畫出3個銳角；畫出2條不同的射線，可以畫出6個銳角；畫出3條不同的射線，可以畫出10個銳角；……∴從一個角的內(nèi)部引出n條射線所得到的銳角的個數(shù)是1+2+3+?+(n+1)=1∴畫19條不同的射線，可以畫出銳角的個數(shù)為12故選：D．【點睛】本題考查了角的概念，解題的關(guān)鍵是找到規(guī)律．【變式7-2】（2023下·重慶忠縣·七年級統(tǒng)考期末）如圖中∠AOB＝60°，圖①中∠AOC1＝∠C1OB，圖②中∠AOC1＝∠C1OC2＝∠C2OB，圖③中∠AOC1＝∠C1OC2＝∠C2OC3＝∠C3OB，…，按此規(guī)律排列下去，前④個圖形中的∠AOC1之和為(

)A．60° B．67° C．77° D．87°【答案】A【分析】根據(jù)前三個圖形可知圖①中OC1為2等分線，圖②中OC1為3等分線，圖③中【詳解】解：根據(jù)題意可得，圖①中，∠AOC圖②中，∠AOC圖③中，∠AOC依次類推，第④個圖中，∠AOC∴前④個圖形中的∠AOC1之和為【點睛】本題主要考查了角的計算，根據(jù)題意找出角度變化規(guī)律進行計算是解決本題的關(guān)鍵．【變式7-3】（2023上·河北保定·七年級統(tǒng)考期末）(1)如圖1，已知∠AOB=90°，∠BOC=30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC．填空：∠MON=；(2)如圖2，∠AOB=90°，∠BOC=x，仍然分別作∠AOC、∠BOC的平分線OM、ON，能否求出∠MON的度數(shù)？若能，求出其值；若不能，說明理由．(3)如圖3，若∠AOB=α，∠BOC=β(α、β均為銳角，且α＞β)，仍然分別作∠AOC、∠BOC的平分線OM、ON，能否求出∠MON的度數(shù)．若能，求∠MON的度數(shù)．(4)從(1)、(2)、(3)的結(jié)果中，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？【答案】（1）45°；（2）能，∠MON=45°；（3）能，∠【分析】（1）根據(jù)題意可知，∠AOC=120°，由OM平分∠AOC，ON平分∠BOC；推出∠MOC=∠AOC=60°，∠CON=12（2）根據(jù)（1）的求解思路，先利用角平分線的定義表示出∠MOC與∠NOC的度數(shù)，然后相減即可得到∠MON的度數(shù)；（3）用α、β表示∠MOC，∠NOC，根據(jù)∠MON=∠MOC-∠NOC得解．（4）由（1）、（2）、（3）的結(jié)果中，∠MON的度數(shù)與∠BCO無關(guān)，∠MON=a2【詳解】（1）∵∠AOB=90°，∠BOC=30°，∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=90°+30°=120°，∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，∴∠MOC=∠AOC=60°，∠CON=12∴∠MON=∠MOC-∠CON=60°-15°=45°；（2）能．∵∠AOB=90°，∠BOC=x，∴∠AOC=90°+x，∵OM、ON分別平分∠AOC，∠BOC，∴∠MOC=12∠AOC=12（90°+x°）=45°+∴∠CON=12∠BOC=1∴∠MON=∠MOC-∠CON=45°+12x-1（3）∵∠AOB=α，∠BOC=β，∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=α+β，∵OM平分∠AOC，∴∠MOC=12∠AOC=1∵ON平分∠BOC，∴∠NOC=12∠BOC=β∴∠MON=∠MOC-∠NOC=12（α+β）-β2=（4）規(guī)律：∠MON的度數(shù)與∠BCO無關(guān)，∠MON=α2∵∠AOB=α，∠BOC=β，∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=