高考數(shù)學(xué) 試題匯編 第二節(jié) 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算與數(shù)量積 理（含解析）

第二節(jié)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算與數(shù)量積坐標(biāo)形式下的向量運(yùn)算考向聚焦平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算是高考的一個(gè)重點(diǎn),主要考查方向有:(1)圍繞線性運(yùn)算、共線向量及數(shù)量積的運(yùn)算命題;(2)通過坐標(biāo)運(yùn)算證明兩個(gè)向量平行等位置關(guān)系.此外平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算作為工具也時(shí)常出現(xiàn)在解析幾何、三角函數(shù)等問題中.本節(jié)內(nèi)容多以選擇、填空題考查,難度較小,所占分值5分左右1.(年重慶卷,理6,5分)設(shè)x,y∈R,向量a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),且a⊥c,b∥c,則|a+b|等于()(A)5 (B)10 (C)25 (D)10解析:∵a⊥c,∴2x-4=0,∴x=2,∵b∥c,∴1×(-4)=2y,∴y=-2,∴a+b=(2,1)+(1,-2)=(3,-1),∴|a+b|=32+(-答案:B.2.(年廣東卷,理3,5分)若向量BA→=(2,3),CA→=(4,7),則(A)(-2,-4) (B)(3,4)(C)(6,10) (D)(-6,-10)解析:BC→=BA→+AC→=BA答案:A.3.(年北京卷,理10)已知向量a=(3,1),b=(0,-1),c=(k,3).若a-2b與c共線,則k=.

解析:a-2b=(3,3),∵a-2b與c共線,∴3=3k,∴k=1.答案:14.(年陜西卷,理11)已知向量a=(2,-1),b=(-1,m),c=(-1,2),若(a+b)∥c,則m=.

解析:a+b=(1,m-1),∵(a+b)∥c,又c=(-1,2),∴1×2-(-1)×(m-1)=0,得m=-1.答案:-1若a=(x1,y1),b=(x2,y2),且a∥b,則有x1y2-x2y1=0.向量的數(shù)量積及應(yīng)用考向聚焦數(shù)量積是高考的重點(diǎn)也是熱點(diǎn)考查內(nèi)容,考查方向主要體現(xiàn)在:(1)直接利用數(shù)量積定義計(jì)算求解;(2)利用數(shù)量積求兩向量的夾角;(3)利用平面向量的數(shù)量積解決有關(guān)向量垂直問題;(4)利用數(shù)量積求解向量模的問題.另外在解答題中,向量的數(shù)量積與三角函數(shù)交匯,與解析幾何交匯也是高考命題的關(guān)注點(diǎn),前4種情況往往以客觀題的形式出現(xiàn),難度在中檔以下,所占分值為5分左右備考指津訓(xùn)練題型:(1)數(shù)量積公式的直接應(yīng)用以及數(shù)量積公式的變形應(yīng)用,特別需要關(guān)注數(shù)量積的兩種表達(dá)形式;(2)數(shù)量積在與其他知識(shí)相結(jié)合時(shí)常常通過數(shù)量積的運(yùn)算以后,已知條件才明朗5.(年天津卷,理7,5分)已知△ABC為等邊三角形,AB=2.設(shè)點(diǎn)P,Q滿足AP→=λAB→,AQ→=(1-λ)AC→,λ∈R,若BQ→·CP(A)12 (B)(C)1±10解析:BQ→·CP→=(BA→+AQ→)·(=[BA→+(1-λ)AC→]·[CA→+=BA→·CA→-λAB→2+(λ-1)AC→2+λ=2×2×cos60°-4λ+4(λ-1)+λ(1-λ)×2×2cos60°=-2+2λ-2λ2=-32∴4λ2-4λ+1=0,∴(2λ-1)2=0,∴λ=12.故選答案:A.6.(年湖南卷,理7,5分)在△ABC中,AB=2,AC=3,AB→·BC→=1,則BC=((A)3 (B)7 (C)22 (D)23解析:如圖,在△ABC中,因?yàn)锳B→·=|AB→||BC→|cos(所以|BC→|cosB=-1由余弦定理可得32=22+BC2-2·2·BC·cosB=4+BC2+2,BC2=3,BC=3,故選A.答案:A.在△ABC中,要注意兩向量的夾角與三角形內(nèi)角的關(guān)系,另外要注意與正、余弦定理結(jié)合使用.7.(年廣東卷,理8,5分)對(duì)任意兩個(gè)非零的平面向量α和β,定義αβ=α·ββ·β,若平面向量a,b滿足|a|≥|b|>0,a與b的夾角θ∈(0,π4),且ab和ba都在集合{n2|n(A)12 (B)1 (C)32解析:由題意知ab=a·bb·b=|a||bba=b·aa·a=|b||a|cosθ|a以上兩式相乘,得:cos2θ=14n1n2∵θ∈(0,π4),∴22<cosθ<1,12<cos∴12<14n1n2<1,2<n1n又n1,n2∈Z,∴n1=1,n2=3或n1=3,n2=1,由|a|≥|b|>0,知:ab≥ba>0,∴n1=3,∴ab=n12=答案:C.新概念題,以向量為載體,考查三角函數(shù)、集合、不等式,是一道難度較大的考題,綜合性強(qiáng).8.(年廣東卷,理3)若向量a,b,c滿足a∥b且a⊥c,則c·(a+2b)等于()(A)4 (B)3 (C)2 (D)0解析:∵a∥b且a⊥c,∴b⊥c,從而a·c=0,b·c=0,∴c·(a+2b)=c·a+c·2b=0.故選D.答案:D.9.(年全國新課標(biāo)卷,理10)已知a與b均為單位向量,其夾角為θ,有下列四個(gè)命題p1:|a+b|>1?θ∈[0,2πp2:|a+b|>1?θ∈(2π3,p3:|a-b|>1?θ∈[0,π3p4:|a-b|>1?θ∈(π3,π其中的真命題是()(A)p1,p4 (B)p1,p3 (C)p2,p3 (D)p2,p4解析:|a+b|>1?|a+b|2>1?a2+b2+2|a||b|cosθ>1,∴cosθ>-12又∵θ∈[0,π],∴θ∈[0,2π∴p1為真命題,故p2為假命題.又|a-b|>1?|a-b|2>1?a2+b2-2|a||b|cosθ>1,∴cosθ<12又∵θ∈[0,π],∴θ∈(π3,π∴p4為真命題,故p3為假命題.故選A.答案:A.10.(年遼寧卷,理10)若a,b,c均為單位向量,且a·b=0,(a-c)·(b-c)≤0,則|a+b-c|的最大值為()(A)2-1 (B)1 (C)2 (D)2解析:由題意(a-c)·(b-c)≤0可化為a·b-a·c-b·c+c2≤0,即a·c+b·c≥1,所以|a+b-c|=a=3-2(答案:B.11.(年遼寧卷,理8)平面上O,A,B三點(diǎn)不共線,設(shè)OA→=a,OB→=b,則(A)|a|(C)12|解析:∵a·b=|a||b|cos<a,b>=|a||b|cos∠AOB,∴cos∠AOB=a·S△OAB=12|a||b|sin∠=12|a||b|1-cos=12答案:C.12.(年新課標(biāo)全國卷,理13,5分)已知向量a,b夾角為45°,且|a|=1,|2a-b|=10,則|b|=.

解析:主要考查數(shù)量積及向量的模的運(yùn)算.∵<a,b>=45°,|a|=1,|2a-b|=10,∴(2a-b)2=10即4|a|2-4|a||b|cos45°+|b|2=10,∴|b|2-22|b|-6=0,∴|b|=32.答案:3213.(年江蘇數(shù)學(xué),9,5分)如圖,在矩形ABCD中,AB=2,BC=2,點(diǎn)E為BC的中點(diǎn),點(diǎn)F在邊CD上,若AB→·AF→=2,則AE→·BF→解析:本題考查平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)計(jì)算.以A點(diǎn)為原點(diǎn),AB所在直線為x軸,AD所在直線為y軸建立直角坐標(biāo)系,則AB→=(2,0),AE→=(設(shè)F(t,2),AF→∵AB→·AF→=2t=2,∴AE→·BF→=(2,1)(1-2,2)=答案:2本題給出了向量問題的新的背景,立意新穎.14.(年北京卷,理13,5分)已知正方形ABCD的邊長為1,點(diǎn)E是AB邊上的動(dòng)點(diǎn),則DE→·CB→的值為;DE→·DC→解析:由題意,可建立如圖所示的坐標(biāo)系,則D(0,0),C(0,1),B(1,1),A(1,0),E(1,y),且0≤y≤1.∴DE→·CB→=(1,y)·(1,0)=1+0DE→·DC→=(1,y)當(dāng)y=1時(shí),DE→·DC答案:11運(yùn)用坐標(biāo)法處理數(shù)量積是一種比較簡單的方法.15.(年浙江卷,理15,4分)在△ABC中,M是BC的中點(diǎn),AM=3,BC=10,則AB→·AC→=解析:不妨設(shè)△ABC為等腰三角形,則AM⊥BC.AB→·AC→=(AM→+MB→)·(AM→+MC→)=答案:-1616.(年上海數(shù)學(xué),理12,4分)在平行四邊形ABCD中,∠A=π3,邊AB、AD的長分別為2、1,若M、N分別是邊BC、CD上的點(diǎn),且滿足|BM→||BC→|=|解析:設(shè)|BM→||BC→|因?yàn)锳M→=AB→+BM→=ABAN→=AD→+DN→=BC→-x所以AM→·AN→=(AB→+xBC→)(BC→=AB→·BC→-xAB→2+AB→2+xBC→2-x=-x2-2x+5=-(x+1)2+6,因?yàn)?≤x≤1,所以2≤AM→·AN→答案:[2,5]17.(年安徽卷,理14,5分)若平面向量a,b滿足|2a-b|≤3,則a·b的最小值是.

解析:本題考查向量的模和數(shù)量積的相關(guān)知識(shí).|2a-b|≤3?4a2+b2≤9+4a·b,4a2+b2≥4|a|·|b|≥-4ab?9+4a·b≥-4a·b?a·b≥-98∴a·b的最小值是-98答案:-918.(年安徽卷,理13)已知向量a、b滿足(a+2b)·(a-b)=-6,且|a|=1,|b|=2,則a與b的夾角為.

解析:由(a+2b)·(a-b)=a2+a·b-2b2=1+2cos<a,b>-8=-6知cos<a,b>=12,故a與b的夾角為π答案:π19.(年江蘇卷,10)已知e1,e2是夾角為2π3的兩個(gè)單位向量,a=e1-2e2,b=ke1+e2.若a·b=0,則實(shí)數(shù)k的值為解析:∵a·b=(e1-2e2)·(ke1+e2)=ke12+(1-2k)e1·e2-2e22=k|e1|2+(1-2k)|e1||e2|·cos<e1,e2=k+(1-2k)×cos2π=2k-52∴k=54答案:520.(年天津卷,理14)已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰DC上的動(dòng)點(diǎn),則|PA→+3PB→|的最小值為解析:法一:如圖建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè)C(0,b),則B(1,b),又A(2,0),設(shè)P(0,y),則PA→+3PB∴|PA→+3PB→|2=25+(3b-4y)∴當(dāng)3b-4y=0,即y=34|PA→+3PB→|∴|PA→+3PB法二:設(shè)DP→=xDC→(0<x<1),則PC→∴PA→=DA→-DP→=DAPB→=PC→+CB→=(1-x)DC∴PA→+3PB→=52∴|PA→+3PB→|2=254DA→2+2×52×(3-4x)DA→·DC當(dāng)且僅當(dāng)x=34時(shí)取“=”∴|PA→+3PB答案:521.(年江蘇卷,15)在