人教版2024-2025學(xué)年八年級數(shù)學(xué)上冊舉一反三專題13.8等腰三角形常用作輔助線方法【七大題型】(學(xué)生版+解析)

專題13.8等腰三角形常用作輔助線方法【七大題型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1作中線構(gòu)造三線合一模型】 1【題型2作垂線構(gòu)造等腰三角形】 2【題型3構(gòu)造等腰（直角）三角形】 4【題型4作平行線構(gòu)造等腰三角形】 5【題型5倍長中線構(gòu)造等腰三角形】 6【題型6截長補(bǔ)短構(gòu)造等腰三角形】 8【題型7旋轉(zhuǎn)構(gòu)造等腰三角形】 9方法點(diǎn)撥：作中線構(gòu)造三線合一模型遇等腰三角形底邊的中點(diǎn)，常連接底邊上的中線，構(gòu)造三線合一的模型解題。【題型1作中線構(gòu)造三線合一模型】【例1】（23-24八年級·河南三門峽·期末）已知：三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D為BC邊的中點(diǎn)，（1）如圖①，E，F(xiàn)分別是AB，AC上的點(diǎn)，且BE＝AF，求證：△DEF為等腰直角三角形．（2）如圖②，若E，F(xiàn)分別為AB，CA延長線上的點(diǎn)，仍有BE＝AF，其他條件不變，那么，△DEF是否仍為等腰直角三角形？證明你的結(jié)論．【變式1-1】（23-24春·湖北武漢·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，點(diǎn)D在BC上，且DF⊥BC連接AD，CF，若∠CFE=32°，∠ADB=45°，則∠B的大小是(

)

A.32° B.64° C.77° D.87°【變式1-2】（23-24春·山東泰安·八年級統(tǒng)考期末）如圖，△ABC中，AB=2AC，AD平分∠BAC，且AD=BD.求證：CD⊥AC．

【變式1-3】（23-24春·河南南陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，四邊形ADBC中，BC=2BD，AB平分∠DBC，AB=AC，求證：AD⊥BD．

方法點(diǎn)撥：作垂線構(gòu)造三線合一模型遇等腰三角形，常作底邊上的高，構(gòu)造三線合一的模型解題?！绢}型2作垂線構(gòu)造等腰三角形】【例2】（23-24八年級·江蘇常州·階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC，E是BD上一點(diǎn)，EA⊥AB，且EB=EC．

(1)如果∠ABC=40°，則∠DEC(2)求證：BC=2AB．【變式2-1】（23-24八年級·四川自貢·期末）如圖1所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)D是線段CA延長線上一點(diǎn)，且AD=AB．點(diǎn)F是線段AB上一點(diǎn)，連接DF，以DF為斜邊作等腰Rt△DFE，連接EA，且(1)若DG⊥AE，垂足為G，求證：AE=AF+BC；(2)如圖2，若點(diǎn)F是線段BA延長線上一點(diǎn)，其他條件不變，請寫出線段AE，AF，BC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【變式2-2】（23-24八年級·江蘇南通·期中）如圖，等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，點(diǎn)D在AB上，AD=AC，BE⊥直線CD于E．（1）求∠BCD的度數(shù)；（2）求證：CD=2BE；（3）若點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，請直接寫出三條線段CB、BD、CO之間的數(shù)量關(guān)系．【變式2-3】（23-24八年級·新疆烏魯木齊·期末）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是直線AB上一點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)A、B重合），連接DC并延長到E，使得CE=CD，過點(diǎn)E作EF⊥直線BC，交直線BC于點(diǎn)F．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)D為線段AB上的任意一點(diǎn)時，用等式表示線段EF、CF、AC的數(shù)量關(guān)系，并證明；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)D為線段BA的延長線上一點(diǎn)時，依題意補(bǔ)全圖2，猜想線段EF、CF、AC的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生改變，并證明；(3)如圖3，當(dāng)點(diǎn)D在線段AB的延長線上時，直接寫出線段EF、CF、AC之間的數(shù)量關(guān)系．方法點(diǎn)撥：構(gòu)造等腰（直角）三角形在同一個三角形中證明兩線段相等或垂直時，往往構(gòu)造等腰（直角）三角形，運(yùn)用三線合一來解決問題。【題型3構(gòu)造等腰（直角）三角形】【例3】（23-24八年級·遼寧錦州·期中）如圖，△ABC中，AC=DC=4，BD垂直∠BAC的角平分線于D，E為AC的中點(diǎn)，則圖中兩個陰影部分面積之差的最大值為(

)A.6B.7C.8D.9【變式3-1】（23-24春·山東棗莊·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC，AD⊥BD，△BCD的面積為58，△ADC的面積為30，則△ABD的面積為________．

【變式3-2】（23-24春·浙江杭州·八年級開學(xué)考試）如圖，△ABC是等腰直角三角形，AD是其底邊BC上的高，E是AD上的一點(diǎn)，以CE為邊向上作等邊三角形CEF，連接BF，則∠CBF的度數(shù)為

．

【變式3-3】（23-24春·安徽亳州·八年級統(tǒng)考期末）(1)如圖1，在△ABC中，AB=AC，D、E為△ABC內(nèi)的兩點(diǎn)，AD平分∠BAC，∠EBC=∠E=60°(2)如圖2，∠BAD=120°，BD=DC，AB+AD=AC.則∠CAD的度數(shù)為________．

方法點(diǎn)撥：作平行線構(gòu)造等腰三角形作腰或底的平行線構(gòu)造等腰三角形，作角平分線的平行線也可得等腰三角形。【題型4作平行線構(gòu)造等腰三角形】【例4】（23-24八年級·河南開封·期中）如圖，△ABC是邊長為2的等邊三角形，點(diǎn)P在AB上，過點(diǎn)P作PE⊥AC，垂足為E，延長BC到點(diǎn)Q，使CQ=PA，連接PQ交AC于點(diǎn)D，則DE的長為（）

A．0.5 B．0.9 C．1 D．1.25【變式4-1】（23-24八年級·湖北宜昌·期中）如圖1，P為等邊△ABC的邊AB上一點(diǎn)，Q為BC延長線上一點(diǎn)，且PA=CQ，連PQ交AC邊于點(diǎn)D．

（1）證明：PD=DQ．（2）如圖2，過P作PE⊥AC于E，若AB=2，求DE的長．【變式4-2】（23-24八年級·全國·專題練習(xí)）在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D在射線BA上，點(diǎn)E在AC的延長線上，且BD=CE．連接DE，DE與BC邊所在的直線交于點(diǎn)F．(1)當(dāng)點(diǎn)D在線段BA上時，如圖所示，求證：DF=EF．(2)過點(diǎn)D作DH⊥BC交直線BC于點(diǎn)H．若BC=4,CF=1，求BH的長是多少？【變式4-3】（23-24八年級·廣東珠?！て谀締栴}提出】（1）如圖1，在△ABC中，∠B=∠ACB，點(diǎn)D是AB上一點(diǎn)，DE∥AC交BC于點(diǎn)E，點(diǎn)F是CE的中點(diǎn)，連接DF并延長交AC的延長線于點(diǎn)G，求證：【問題探究】（2）如圖2，在四邊形ABCD中，AB∥CD，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，連接AE，∠EAF=∠BAE，AF與DC的延長線交于點(diǎn)F．探究線段AB與AF、CF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【問題解決】（3）如圖3，某校有一塊四邊形空地ABCD，現(xiàn)將這塊空地規(guī)劃為實(shí)踐活動區(qū)域，在BC的中點(diǎn)E處修建入口，沿AE修建一條小路（小路的寬度忽略不計），將這塊空地分成兩部分，在△ABE內(nèi)種植蔬菜，在四邊形ADCE內(nèi)種植果樹，已知∠BAD=60°，AE恰好平分∠BAD，∠B=180°?12∠BCD，BC=100方法點(diǎn)撥：倍長中線構(gòu)造等腰三角形中線倍長，將相等的角或邊集中到新的三角形中構(gòu)成等腰三角形。【題型5倍長中線構(gòu)造等腰三角形】【例5】（23-24春·湖北武漢·八年級統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)A在DE上，且∠BAE=∠CDE.求證：AB=CD．

【變式5-1】（23-24八年級·四川成都·階段練習(xí)）如圖，AD是△ABC的中線，在AD上取一點(diǎn)F，連接BF并延長交AC于點(diǎn)E，使AE=EF．求證：BF=AC．【變式5-2】（23-24春·湖北武漢·八年級統(tǒng)考期末）如圖，△ABC中，點(diǎn)E在邊AC上，EB=EA，∠A=2∠CBE，CD垂直于BE的延長線于點(diǎn)D，BD=9，AC=11.5，則邊BC【變式5-3】（23-24春·山東威?！ぐ四昙壗y(tǒng)考期末）如圖，△ABC中，AD為中線，點(diǎn)E為AB上一點(diǎn)，AD，CE交于點(diǎn)F，且AE=EF.若AB=5，則CF=(

)

A.4 B.5 C.6 D.7【題型6截長補(bǔ)短構(gòu)造等腰三角形】【例6】（23-24春·安徽六安·八年級?？计谥校┰凇鰽BC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，AE平分∠BAC，∠C=2∠B，AB?BE=7，則DE=______．

【變式6-1】（23-24春·廣東深圳·八年級?？计谥校┤鐖D，已知BF平分△ABC的外角∠ABE，D為BF上一點(diǎn)，∠ABC=∠ADC．

(1)如圖1，求證：∠DAB=∠DCB；

(2)判斷△ADC的形狀并證明；

(3)如圖2，過點(diǎn)D作DH⊥AB于點(diǎn)H，若AH=7，BH=1，求線段CB的長．【變式6-2】（23-24春·廣東深圳·八年級?？计谥校┮阎凇鰽BC中，∠ABC<60°，CD平分∠ACB交AB于點(diǎn)D，點(diǎn)E在線段CD上(點(diǎn)E不與點(diǎn)C，D重合)，且∠EAC=2∠EBC．(1)如圖1，若∠EBC=27°，且EB=EC，則∠DEB=

，∠AEC=

．(2)如圖2，①求證：AE+AC=BC；②若∠ECB=30°，且AC=BE，求∠EBC的度數(shù)．【變式6-3】（23-24春·山東棗莊·八年級統(tǒng)考期中）如圖，四邊形ABCD中，E是BC上一點(diǎn)，EA=ED，∠DCB=2∠B，∠AED=∠C，探究

【題型7旋轉(zhuǎn)構(gòu)造等腰三角形】【例7】（23-24春·浙江杭州·八年級開學(xué)考試）如圖，在等腰直角△ABC中，AC=BC，∠BCA=90°，D、E為斜邊AB上的點(diǎn)，∠DCE=45°，若AD=2，DE=5，則BE的長是(

)

A.3 B.92 C.19 【變式7-1】（23-24春·湖北武漢·八年級統(tǒng)考期末）如圖，△ABC中，AB?=?AC，D是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接AD、BD、CD，∠ADB?=?∠ADC，求證DB?=?DC．

【變式7-2】（23-24春·湖北恩施·八年級校考階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB=2，AC=4，以BC為邊在BC的下方作等邊△PBC，求AP的最大值．【變式7-3】（23-24春·浙江杭州·八年級開學(xué)考試）如圖，已知在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)D、E是斜邊AB上的兩點(diǎn)(不包括端點(diǎn))，且∠DCE=45°，若AD=2.4，BE=3.2，則S△ABC=_______________.

專題13.8等腰三角形常用作輔助線方法【七大題型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1作中線構(gòu)造三線合一模型】 1【題型2作垂線構(gòu)造等腰三角形】 6【題型3構(gòu)造等腰（直角）三角形】 14【題型4作平行線構(gòu)造等腰三角形】 20【題型5倍長中線構(gòu)造等腰三角形】 28【題型6截長補(bǔ)短構(gòu)造等腰三角形】 32【題型7旋轉(zhuǎn)構(gòu)造等腰三角形】 38方法點(diǎn)撥：作中線構(gòu)造三線合一模型遇等腰三角形底邊的中點(diǎn)，常連接底邊上的中線，構(gòu)造三線合一的模型解題?！绢}型1作中線構(gòu)造三線合一模型】【例1】（23-24八年級·河南三門峽·期末）已知：三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D為BC邊的中點(diǎn)，（1）如圖①，E，F(xiàn)分別是AB，AC上的點(diǎn)，且BE＝AF，求證：△DEF為等腰直角三角形．（2）如圖②，若E，F(xiàn)分別為AB，CA延長線上的點(diǎn)，仍有BE＝AF，其他條件不變，那么，△DEF是否仍為等腰直角三角形？證明你的結(jié)論．【答案】（1）見解析；（2）△DEF為等腰直角三角，證明見解析【分析】（1）先連接AD，構(gòu)造全等三角形：△BED和△AFD．AD是等腰直角三角形ABC底邊上的中線，所以有∠CAD=∠BAD=45°，AD=BD=CD，而∠B=∠C=45°，所以∠B=∠DAF，再加上BE=AF，AD=BD，可證出：△BED≌△AFD，從而得出DE=DF，∠BDE=∠ADF，從而得出∠EDF=90°，即△DEF是等腰直角三角形；（2）還是證明：△BED≌△AFD，主要證∠DAF=∠DBE（∠DBE=180°-45°=135°，∠DAF=90°+45°=135°），再結(jié)合兩組對邊對應(yīng)相等，所以兩個三角形全等．【詳解】（1）證明：連接AD，∵AB=AC，∠BAC=90°，D為BC的中點(diǎn)，∴AD⊥BC，BD=AD．∴∠B=∠DAC=45°

又BE=AF，∴△BDE≌△ADF（SAS）．∴ED=FD，∠BDE=∠ADF．∴∠EDF=∠EDA+∠ADF=∠EDA+∠BDE=∠BDA=90°．∴△DEF為等腰直角三角形．（2）△DEF為等腰直角三角形．證明：若E，F(xiàn)分別是AB，CA延長線上的點(diǎn)，如圖所示：連接AD，∵AB=AC，∴△ABC為等腰三角形，∵∠BAC=90°，D為BC的中點(diǎn)，∴AD=BD，AD⊥BC（三線合一），∴∠DAC=∠ABD=45°．∴∠DAF=∠DBE=135°．又AF=BE，∴△DAF≌△DBE（SAS）．∴FD=ED，∠FDA=∠EDB．∴∠EDF=∠EDB+∠FDB=∠FDA+∠FDB=∠ADB=90°．∴△DEF仍為等腰直角三角形．【點(diǎn)睛】本題利用了等腰直角三角形底邊上的中線平分頂角，并且等于底邊的一半，還利用了全等三角形的判定和性質(zhì)，及等腰直角三角形的判定．【變式1-1】（23-24春·湖北武漢·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，點(diǎn)D在BC上，且DF⊥BC連接AD，CF，若∠CFE=32°，∠ADB=45°，則∠B的大小是(

)

A.32° B.64° C.77° D.87°【答案】C

【分析】

本題考查直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，四邊形內(nèi)角和定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)有關(guān)知識，如圖，取CF的中點(diǎn)T，連接DT，AT.想辦法證明AC=AF，推出∠CFA=45°進(jìn)而可解決問題．

【解答】

解：如圖，取CF的中點(diǎn)T，連接DT，AT．

∵∠BAC=90°，F(xiàn)D⊥BC，

∴∠CAF=∠CDF=90°，

∴AT=DT=12CF，

∴TD=TC=TA，

∴∠TDA=∠TAD，∠TDC=∠TCD，

∵∠ADB=45°，

∴∠ADT+∠TDC=135°，

∴∠ATC=360°?2×135°=90°，

∴AT⊥CF，

∵CT=TF，

∴AC=AF，

∴∠AFC=45°，

∴∠BFD=45°?32°=13°，

∵∠BDF=90°，

∴∠B=90°?∠BFD=77°【變式1-2】（23-24春·山東泰安·八年級統(tǒng)考期末）如圖，△ABC中，AB=2AC，AD平分∠BAC，且AD=BD.求證：CD⊥AC．

【答案】證明：如圖，取AB的中點(diǎn)E，連接DE，則AB=2AE=2BE．

∵AB=2AC，∴AE=AC．

∵AD平分∠BAC，∴∠EAD=∠CAD．

在△DEA和△DCA中，

∵{AE=AC∠EAD=∠CADAD=AD

∴△DEA≌△DCA(SAS)．

∴∠ACD=∠AED．

∵AD=BD，AE=BE，DE=DE，

∴△ADE≌△BDE(SSS)．

∴∠AED=∠BED．

又∵∠AED+∠BED=180°，

∴∠AED=∠BED=90°．

∴∠ACD=90°，本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出△DEA≌△DCA，主要培養(yǎng)了學(xué)生分析問題和解決問題的能力，題目比較好，難度適中．

如圖，取AB的中點(diǎn)E，連接DE，則AB=2AE=2BE.根據(jù)SAS證明△DEA≌△DCA，得出∠ACD=∠AED.再根據(jù)SSS證△ADE≌△BDE，推出∠AED=∠BED即可得出∠ACD=90°，此題得解．【變式1-3】（23-24春·河南南陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，四邊形ADBC中，BC=2BD，AB平分∠DBC，AB=AC，求證：AD⊥BD．

【答案】解：如圖，取BC中點(diǎn)E連接AE，

∵AB=AC，

∴△ABC是等腰三角形，

∴AE垂直且平分BC，

∴BE=CE=12BC，

∵2BD=BC，

∴BD=BE，

∵AB是∠CBD角平分線，

∴∠ABE=∠ABD

在△ABD和△ABE中，

BD=BE∠ABD=∠ABEAB=AB，

∴△ABE≌△ABD，

∴∠AEB=∠ADB，

∵AE垂直BC，

本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的三線合一，正確做出輔助線是解題的關(guān)鍵．

取BC中點(diǎn)E連接AE，得出AE垂直且平分BC，再證明△ABE≌△ABD，得出∠AEB=∠ADB，進(jìn)而可證明結(jié)論．方法點(diǎn)撥：作垂線構(gòu)造三線合一模型遇等腰三角形，常作底邊上的高，構(gòu)造三線合一的模型解題?！绢}型2作垂線構(gòu)造等腰三角形】【例2】（23-24八年級·江蘇常州·階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC，E是BD上一點(diǎn)，EA⊥AB，且EB=EC．

(1)如果∠ABC=40°，則∠DEC(2)求證：BC=2AB．【答案】(1)40°(2)證明見詳解【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義求出∠EBC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠ECB=∠EBC=20°，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)計算，得到答案；（2）作EF⊥BC于F，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到BC=2BF，證明Rt△ABE≌Rt△FBE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明結(jié)論．【詳解】（1）解：∵∠ABC=40°，BD平分∠ABC，∴∠EBC=1∵EB=EC，∴∠ECB=∠EBC=20°，∵∠DEC是△EBC的一個外角，∴∠DEC=∠ECB+∠EBC=40°；故答案為：40°（2）證明：過點(diǎn)E作EF⊥BC于點(diǎn)F，

∵BD平分∠ABC，EA⊥AB，∴EA=EF，在Rt△AEB和Rt△FEB中，∵EA=EF∴Rt△AEB≌Rt△FEB(HL)，∴AB=FB（全等三角形的對應(yīng)邊相等），∵EB=EC，EF⊥BC，∴BC=2FB，∴BC=2AB．【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)等知識，掌握三角形全等的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．【變式2-1】（23-24八年級·四川自貢·期末）如圖1所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)D是線段CA延長線上一點(diǎn)，且AD=AB．點(diǎn)F是線段AB上一點(diǎn)，連接DF，以DF為斜邊作等腰Rt△DFE，連接EA，且(1)若DG⊥AE，垂足為G，求證：AE=AF+BC；(2)如圖2，若點(diǎn)F是線段BA延長線上一點(diǎn)，其他條件不變，請寫出線段AE，AF，BC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)詳見解析(2)BC=AE+AF【分析】此題重點(diǎn)考查等腰直角三角形的性質(zhì)、同角的余角相等、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．（1）由EA⊥AB，DG⊥AE，得∠EAF=∠DGE=∠AGD=90°，而∠C=90°，AD=BA，則∠AGD=∠C，∠DAG=∠B=90°?∠BAC，即可根據(jù)“AAS”證明△DAG≌△ABC，得AG=BC，再證明△GED≌△AFE，得GE=AF，則AE=GE+AG=AF+BC；（2）作DH⊥AE交AE的延長線于點(diǎn)H，可證明△DAH≌△ABC，得AH=BC，再證明△HED≌△AFE，得HE=AF，則AE+AF=AE+HE=AH=BC．【詳解】（1）證明：如圖1，∵EA⊥AB，DG⊥AE，∴∠EAF=∠DGE=∠AGD=90°，∵∠C=90°，∴∠AGD=∠C，∠DAG=∠B=90°?∠BAC，在△DAG和△ABC中，∠AGD=∠C∠DAB=∠B∴△DAG≌△ABCAAS∴AG=BC，∵Rt△DFE是以DF為斜邊的等腰直角三角形，∴DE=EF，∠DEF=90°，∴∠GED=∠AFE=90°?∠AEF，在△GED和△AFE中，∠DGE=∠EAF∠GED=∠AFE∴△GED≌△AFEAAS∴GE=AF，∴GE+AG=AF+BC，∵GE+AG=AE，∴AE=AF+BC；（2）解：AE+AF=BC，理由：如圖2，作DH⊥AE交AE的延長線于點(diǎn)H，則∠H=∠C=∠EAF=90°，∴∠DAH=∠B=90°?∠BAC，在△DAH和△ABC中，∠H=∠C∠DAH=∠B∴△DAH≌△ABCAAS∴AH=BC，∵∠H=∠EAF=∠DEF=90°，∴∠HED=∠AFE=90°?∠AEF，在△HED和△AFE中，∠H=∠EAF∠HED=∠AFE∴△HED≌△AFEAAS∴HE=AF，∴AE+AF=AE+HE=AH，∴AE+AF=BC．【變式2-2】（23-24八年級·江蘇南通·期中）如圖，等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，點(diǎn)D在AB上，AD=AC，BE⊥直線CD于E．（1）求∠BCD的度數(shù)；（2）求證：CD=2BE；（3）若點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，請直接寫出三條線段CB、BD、CO之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）22.5°；（2）見解析；（3）BD=2OC－BC，見解析【分析】（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出∠A＝45°，利用等腰三角形進(jìn)行解答即可；（2）作AH⊥CD于H，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)解答即可；（3）由BD＝AB?AD，AB＝2CO，AD＝AC＝BC，可得BD＝2CO?BC；【詳解】解：（1）∵等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，∴∠A=∠CBA=45°，∵AD=AC，∴∠ACD=67.5°，∴∠BCD=90°－∠ACD=22.5°；（2）作AH⊥CD于H，如圖：∵BE⊥直線CD于E，AD=AC，∴CD=2CH，∠BEC=∠AHC=90°，∵∠BCE+∠DCA=∠HAC+∠DCA=90°，∴∠BCE=∠HAC，在△CBE與△ACH中，∠BCE=∠CAH∴△CBE≌△ACH（AAS），∴CH=BE，即CD=2CH=2BE；（3）如圖，在Rt△ACB中，∵AO=OB，∴AB=2OC，∵BD=AB－AD，AB=2OC，AD=AC=BC，∴BD=2OC－BC．【點(diǎn)睛】此題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，利用等腰三角形的角度與邊之間的關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．【變式2-3】（23-24八年級·新疆烏魯木齊·期末）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是直線AB上一點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)A、B重合），連接DC并延長到E，使得CE=CD，過點(diǎn)E作EF⊥直線BC，交直線BC于點(diǎn)F．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)D為線段AB上的任意一點(diǎn)時，用等式表示線段EF、CF、AC的數(shù)量關(guān)系，并證明；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)D為線段BA的延長線上一點(diǎn)時，依題意補(bǔ)全圖2，猜想線段EF、CF、AC的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生改變，并證明；(3)如圖3，當(dāng)點(diǎn)D在線段AB的延長線上時，直接寫出線段EF、CF、AC之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)結(jié)論：AC=EF+FC．理由見解析(2)結(jié)論：AC=EF?CF，理由見解析(3)AC=CF?EF【分析】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是本題的關(guān)鍵．（1）過D作DH⊥CB于H，由“AAS”可證△FEC≌△HDC，可得FC=HC，EF=DH，可得結(jié)論；（2）過D作DH⊥CB交BC的延長線于H，由“AAS”可證△FEC≌△HDC，可得FC=HC，EF=DH，可得結(jié)論．（3）過D作DH⊥CB交CB的延長線于H，由“AAS”可證△FEC≌△HDC，可得FC=HC，EF=DH，可得結(jié)論．【詳解】（1）解：結(jié)論：AC=EF+FC．理由如下：過D作DH⊥CB于H，∴∠DHC=∠DHB=90°，∵EF⊥CF，∴∠EFC=∠DHC=90°，在△FEC和△HDC中，∠EFC=∠DHC∴△FEC≌△HDCAAS∴FC=HC，EF=DH，∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠B=45°，∵∠DHB=90°，∴∠B=∠HDB=45°，∴DH=HB=EF，∵BC=CH+HB，∴AC=FC+EF；（2）依題意補(bǔ)全圖形，結(jié)論：AC=EF?CF，理由如下：過D作DH⊥CB交BC的延長線于H，∵EF⊥CF，∴∠EFC=∠DHC=90°，在△FEC和△HDC中，∠ECF=∠DCH∴△FEC≌△HDCAAS∴FC=HC，EF=DH，∵∠DHB=90°，∴∠B=∠HDB=45°，∴DH=HB=EF，∵BC=HB?CH，∴AC=EF?CF；（3）AC=CF?EF．如圖3，過D作DH⊥CB交CB的延長線于H，同理可證△FEC≌△HDCAAS∴FC=HC，EF=DH，∵∠DHB=90°，∠HBD=∠ABC=45°∴∠HBD=∠HDB=45°，∴DH=HB=EF，∵BC=CH?BH，∴AC=CF?EF．方法點(diǎn)撥：構(gòu)造等腰（直角）三角形在同一個三角形中證明兩線段相等或垂直時，往往構(gòu)造等腰（直角）三角形，運(yùn)用三線合一來解決問題?！绢}型3構(gòu)造等腰（直角）三角形】【例3】（23-24八年級·遼寧錦州·期中）如圖，△ABC中，AC=DC=4，BD垂直∠BAC的角平分線于D，E為AC的中點(diǎn)，則圖中兩個陰影部分面積之差的最大值為(

)A.6B.7C.8D.9【答案】C

【解析】解：延長BD交AC于點(diǎn)H.設(shè)AD交BE于點(diǎn)O．

∵AD⊥BH，

∴∠ADB=∠ADH=90°，

∴∠ABD+∠BAD=90°，∠H+∠HAD=90°，

∵∠BAD=∠HAD，

∴∠ABD=∠H，

∴AB=AH，

∵AD⊥BH，

∴BD=DH，

∵DC=CA，

∴∠CDA=∠CAD，

∵∠CAD+∠H=90°，∠CDA+∠CDH=90°，

∴∠CDH=∠H，

∴CD=CH=AC，

∵AE=EC，

∴S△ABE=14S△ABH，S△CDH=14S△ABH，

∵S△OBD?S△AOE=S△ADB?S△ABE=S△ADH?S△CDH=S△ACD，

∵AC=CD=3，

∴當(dāng)DC⊥AC時，△ACD的面積最大，最大面積為12×4×4=8．

∴圖中兩個陰影部分面積之差的最大值為8，

故選：C．【變式3-1】（23-24春·山東棗莊·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC，AD⊥BD，△BCD的面積為58，△ADC的面積為30，則△ABD的面積為________．

【答案】28

【分析】

本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形面積的計算；證明三角形全等得出AD=ED是解決問題的關(guān)鍵．延長AD交BC于E，由AAS證明△ABD≌△EBD，得出AD=ED，得出△ABD的面積=△EBD的面積，△CDE的面積=△ACD的面積=20，即可得出結(jié)果．

【解答】

解：延長AD交BC于E，如圖所示：

∵BD平分∠ABC，AD垂直于BD，

∴∠ABD=∠EBD，∠ADB=∠EDB=90°，

在△ABD和△EBD中，∠ABD=∠EBD∠ADB=∠EDBBD=BD,

∴△ABD≌△EBD(AAS)，

∴AD=ED，

∴△ABD的面積=△EBD的面積，△CDE的面積=△ACD的面積=30，

∴△ABD的面積=△EBD的面積=△BCD的面積?△CDE的面積=58?30=28，

故答案為【變式3-2】（23-24春·浙江杭州·八年級開學(xué)考試）如圖，△ABC是等腰直角三角形，AD是其底邊BC上的高，E是AD上的一點(diǎn)，以CE為邊向上作等邊三角形CEF，連接BF，則∠CBF的度數(shù)為

．

【答案】30°

如圖，連接BE并延長交CF于點(diǎn)H，∵△ABC是等腰直角三角形，AD為BC上的高，∴AD是BC的垂直平分線，∴EB=EC，∴∠EBC=∠ECB.∵△EFC是等邊三角形，∴∠FEC=60°，EF=EC，∴EF=EB，∴∠FBE=∠EFB.∵∠FEH=∠FBE+∠EFB，∠CEH=∠EBC+∠ECB，∴∠FEC=∠FEH+∠CEH=2∠FBE+2∠EBC=2∠FBC，∴

∠FBC=1【變式3-3】（23-24春·安徽亳州·八年級統(tǒng)考期末）(1)如圖1，在△ABC中，AB=AC，D、E為△ABC內(nèi)的兩點(diǎn)，AD平分∠BAC，∠EBC=∠E=60(2)如圖2，∠BAD=120°，BD=DC，AB+AD=AC.則∠CAD的度數(shù)為________．

【答案】(1)8；

(2)60°．

【分析】

此題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，求得MN的長是解決問題的關(guān)鍵．

延長ED交BC于M，延長AD交BC于N，作出輔助線后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出BE=6，DE=2，進(jìn)而得出△BEM為等邊三角形，△EFD為等邊三角形，從而得出BN的長，進(jìn)而求出答案．

【解答】

解：(1)延長ED交BC于M，延長AD交BC于N，

∵∠EBC=∠E=60°，

∴△BEM為等邊三角形，

∴∠EMB=60°，EM=BM=BE=6，

又∵DE=2，

∴DM=EM?DE=4，

∵AB=AC，AD平分∠BAC，

∴AN⊥BC，BC=2BN，

∴∠MDN=90°?60°=30°，

∴MN=DM2=2，

∴BN=BM?MN=4，

∴BC=2BN=8．

故答案為：8．

(2)【分析】

本題主要考察的是三角形全等的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定：有一個角是60°的等腰三角形是

等邊三角形，等邊三角形的三個內(nèi)角都等于60°.解題的關(guān)鍵是熟記全等三角形的性質(zhì)與判定;

延長BA到E使AD=AE，從而可證明BE=AC和△ADE是等邊三角形，即可得到AD=DE;再根據(jù)SSS證△ADC≌△EDB，即可得∠DAC=∠E=60°，從而得出結(jié)論．

【解答】

解：延長BA到E，使AE=AD，連接DE，

∵∠BAD=120°，

∴∠DAE=180°?120°=60°，

又∵AE=AD，

∴△DAE是等邊三角形，

∴DE=AD，∠E=60°，

又∵BE=AB+AE，AB+AD=AC，

∴BE=AC，

在△BDE和△CDA中，

BD=CDBE=CADE=AD

∴△BDE≌方法點(diǎn)撥：作平行線構(gòu)造等腰三角形作腰或底的平行線構(gòu)造等腰三角形，作角平分線的平行線也可得等腰三角形?！绢}型4作平行線構(gòu)造等腰三角形】【例4】（23-24八年級·河南開封·期中）如圖，△ABC是邊長為2的等邊三角形，點(diǎn)P在AB上，過點(diǎn)P作PE⊥AC，垂足為E，延長BC到點(diǎn)Q，使CQ=PA，連接PQ交AC于點(diǎn)D，則DE的長為（）

A．0.5 B．0.9 C．1 D．1.25【答案】C【分析】本題主要考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．過P作BC的平行線交AC于F，通過AAS證明△PFD≌△QCD，得FD=CD，再由△APF是等邊三角形，即可得出【詳解】解：過P作BC的平行線交AC于F，如圖所示：

∴∠Q=∠FPD，∵△ABC是等邊三角形，∴∠APF=∠B=60°，∴△APF是等邊三角形，∴AP=PF，∵AP=CQ，在△PFD中和△QCD中，∠FPD=∠Q∠PDF=∠QDC∴△PFD≌∴FD=CD，∵PE⊥AC于E，△APF是等邊三角形，∴AE=EF，∴AE+DC=EF+FD，∴DE=1∵AC=2，∴DE=1，故選：C．【變式4-1】（23-24八年級·湖北宜昌·期中）如圖1，P為等邊△ABC的邊AB上一點(diǎn)，Q為BC延長線上一點(diǎn)，且PA=CQ，連PQ交AC邊于點(diǎn)D．

（1）證明：PD=DQ．（2）如圖2，過P作PE⊥AC于E，若AB=2，求DE的長．【答案】答案見解析.【分析】(1）利用平行線的性質(zhì)結(jié)合全等三角形的判定與性質(zhì)得出即可；（2）過P作PF∥BC交AC于F，得出等邊三角形APF，推出AP=PF=QC，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出EF=AE，證△PFD≌△QCD，推出FD=CD，推出DE=12【詳解】

證明：如圖1，過點(diǎn)P作PF∥BC交AC于點(diǎn)F；∵PF∥BC，∴△APF∽△ABC，又∵△ABC是等邊三角形，∴△APF是等邊三角形，∴∠APF=∠BCA=60°，AP=PF=AF=CQ，∴∠FDP=∠DCQ，∠FDP=∠CDQ，∵在△PDF和△QDC中，∠PDF=∠QDC∠DFP=∠QCD∴△PDF≌△QDC（AAS），∴PD=DQ；

（2）解：如圖2，過P作PF∥BC交AC于F．∵PF∥BC，△ABC是等邊三角形，∴∠PFD=∠QCD，△APF是等邊三角形，∴AP=PF=AF，∵PE⊥AC，∴AE=EF，∵AP=PF，AP=CQ，∴PF=CQ．由（1）可知∴△PFD≌△QCD（AAS），∴FD=CD，∵AE=EF，∴EF+FD=AE+CD，∴AE+CD=DE=12∴DE=1．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)等知識點(diǎn)的應(yīng)用，能綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵，通過做此題培養(yǎng)了學(xué)生分析問題和解決問題的能力，題型較好，難度適中．【變式4-2】（23-24八年級·全國·專題練習(xí)）在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D在射線BA上，點(diǎn)E在AC的延長線上，且BD=CE．連接DE，DE與BC邊所在的直線交于點(diǎn)F．(1)當(dāng)點(diǎn)D在線段BA上時，如圖所示，求證：DF=EF．(2)過點(diǎn)D作DH⊥BC交直線BC于點(diǎn)H．若BC=4,CF=1，求BH的長是多少？【答案】(1)見解析(2)BH的長為1或3【分析】（1）過點(diǎn)D作DG∥AC，交BC于點(diǎn)G，利用平行線的性質(zhì)和等邊對等角證明∠DGB=∠B，得到BD=GD，進(jìn)而推出GD=CE，再證明△DGF≌△ECF(ASA（2）分當(dāng)點(diǎn)D在線段BA上時，過點(diǎn)E作EO⊥BC，交BC延長線于O，當(dāng)點(diǎn)D在BA的延長線上時，過點(diǎn)E作EO⊥BC交BC的延長線于點(diǎn)O，先證明△DHB≌△EOC(AAS)，得到BH=CO，進(jìn)而求出HO=4，再證明△DHF≌△EOF(AAS)，得到【詳解】（1）證明：過點(diǎn)D作DG∥AC，交BC于點(diǎn)

∴∠DGB=∠ACB，∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∴∠DGB=∠B，∴BD=GD，∵BD=CE，∴GD=CE，∵DG∥∴∠GDF=∠CEF,∠DGF=∠ECF，∴△DGF≌△ECF(ASA∴DF=EF；（2）解：如圖所示，當(dāng)點(diǎn)D在線段BA上時，過點(diǎn)E作EO⊥BC，交BC延長線于O，點(diǎn)D作DH⊥BC，

∵AB=AC，∴∠B=∠ACB=∠OCE，又∵∠DHB=∠EOC=90°,BD=CE，∴△DHB≌△EOC(AAS∴BH=CO，∴HO=HC+CO=HC+HB=BC=4，∵∠DHF=∠EOF=90°,∠DFH=∠EFO，由（1）得：DF=EF∴△DHF≌△EOF(AAS∴HF=OF=1∵CF=1，∴BH=CO=OF?CF=2?1=1；當(dāng)點(diǎn)D在BA的延長線上時，過點(diǎn)E作EO⊥BC交BC的延長線于點(diǎn)O，過點(diǎn)D作DH⊥BC，如圖，

同理可證△DHB≌△EOC(AAS)，∴HO=HC+CO=HC+HB=BC=4，∴HF=OF=1∵CF=1，∴BH=CO=OF+CF=2+1=3；綜上所述，BH的長為1或3．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)與判定，平行線的性質(zhì)等等，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．【變式4-3】（23-24八年級·廣東珠海·期末）【問題提出】（1）如圖1，在△ABC中，∠B=∠ACB，點(diǎn)D是AB上一點(diǎn)，DE∥AC交BC于點(diǎn)E，點(diǎn)F是CE的中點(diǎn)，連接DF并延長交AC的延長線于點(diǎn)G，求證：【問題探究】（2）如圖2，在四邊形ABCD中，AB∥CD，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，連接AE，∠EAF=∠BAE，AF與DC的延長線交于點(diǎn)F．探究線段AB與AF、CF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【問題解決】（3）如圖3，某校有一塊四邊形空地ABCD，現(xiàn)將這塊空地規(guī)劃為實(shí)踐活動區(qū)域，在BC的中點(diǎn)E處修建入口，沿AE修建一條小路（小路的寬度忽略不計），將這塊空地分成兩部分，在△ABE內(nèi)種植蔬菜，在四邊形ADCE內(nèi)種植果樹，已知∠BAD=60°，AE恰好平分∠BAD，∠B=180°?12∠BCD，BC=100【答案】（1）見解析；（2）AB=AF+CF，見解析；（3）CD的長為50【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)和判定，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)和判定，理清角度關(guān)系和線段的關(guān)系，作出正確的輔助線是解題的關(guān)鍵；（1）由DE∥AG，∠B=∠ACB可得BD=DE，∠FDE=∠FGC，由F是CE的中點(diǎn)，可得EF=CF，進(jìn)而可證△DEF≌△GCF，由全等的性質(zhì)即可得證；（2）由AB∥DC和E為BC邊的中點(diǎn)，可證△ABE≌△GCE，再由等腰三角形性質(zhì)和判定，即可得證；（3）由AB∥MN，∠BAD=60°，得∠BAE=∠M，再由點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，可證△ABE≌△MCE，由全等三角形的性質(zhì)可得AE=ME，由AE平分∠BAD，結(jié)合等腰三角形的判定，可證AN=MN，由等腰三角形三線合一可得∠ANE=∠MNE=∠CND=60°，由∠B=180°?12∠BCD，∠B+∠ECN=180°，可得∠ECN=∠DCN，進(jìn)而可證△CNE≌△CND【詳解】（1）證明：∵DE∥AG，∠B=∠ACB，∴∠FDE=∠FGC，∠BED=∠ACB=∠B，∴BD=DE，∵點(diǎn)F是CE的中點(diǎn)，∴EF=CF，∵∠FDE=∠FGC，∠DFE=∠GFC，EF=CF，∴△DEF≌△GCF(AAS∴DE=GC，∴BG=CG．（2）解：AB=AF+CF．理由：分別延長AE、DF，AE與∵AB∥DC，∴∠B=∠GCE，∠BAE=∠EGC，∵E為BC邊的中點(diǎn)，∴BE=CE，∴△ABE≌△GCE(AAS∴AB=CG，又∵∠EAF=∠BAE，∴∠G=∠EAF，∴AF=GF，∴AB=CG=GF+CF=AF+CF．（3）解：過C作CM∥AB交AE的延長線于點(diǎn)M，延長MC交AD于點(diǎn)N，連接EN，∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，BC=100m∴BE=CE=50m∵AB∥MN，∠BAD=60°，∴∠B+∠ECN=180°，∠BAD=∠CND=60°，∠BAE=∠M，∵∠BAE=∠M，∠AEB=∠MEC，BE=CE，∴△ABE≌△MCE(AAS∴AE=ME，∵AE平分∠BAD，∴∠M=∠BAE=∠DAE，∴AN=MN，又AE=ME，∴NE平分∠ANM，∴∠ANE=∠MNE=∠CND=60°，∵∠B=180°?12∠BCD∴∠ECN=∠DCN，∵∠CNE=∠CND，CN=CN，∠ECN=∠DCN，∴△CNE≌△CND(ASA∴CD=CE=50m方法點(diǎn)撥：倍長中線構(gòu)造等腰三角形中線倍長，將相等的角或邊集中到新的三角形中構(gòu)成等腰三角形?！绢}型5倍長中線構(gòu)造等腰三角形】【例5】（23-24春·湖北武漢·八年級統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)A在DE上，且∠BAE=∠CDE.求證：AB=CD．

【答案】證明：延長DE到F，使EF=DE，連接BF，

∵E是BC的中點(diǎn)，

∴BE=CE，

∵在△BEF和△CED中

BE=CE∠BEF=∠CEDEF=DE，

∴△BEF≌△CED．

∴∠F=∠CDE，BF=CD．

∵∠BAE=∠CDE，

∴∠BAE=∠F．

∴AB=BF，

又∵BF=CD，

∴AB=CD【解析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)；一般證明線段相等大多數(shù)是通過全等三角形解決問題，有時沒有全等三角形時，可以利用等腰三角形的性質(zhì)解決問題．

此題要證明AB=CD，不能通過證明△ABE和△CED全等得到，因?yàn)楦鶕?jù)已知條件無法證明它們?nèi)龋荒敲纯梢岳玫妊切蔚男再|(zhì)來解題，為此必須把AB和CD通過作輔助線轉(zhuǎn)化到一個等腰三角形中，而延長DE到F，使EF=DE，連接BF就可以達(dá)到要求，然后利用全等三角形的判定與性質(zhì)就可以證明題目的問題．【變式5-1】（23-24八年級·四川成都·階段練習(xí)）如圖，AD是△ABC的中線，在AD上取一點(diǎn)F，連接BF并延長交AC于點(diǎn)E，使AE=EF．求證：BF=AC．【答案】見解析【分析】題目主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定，理解題意，作出輔助線是解題關(guān)鍵．延長AD至H，使得DH=AD，連接BH，根據(jù)全等三角形的判定得出△ADC?△HDB(SAS)，再由其性質(zhì)確定AC=BH,∠CAD=∠H，根據(jù)等量代換及等角對等邊即可證明．【詳解】證明：如圖，延長AD至H，使得DH=AD，連接BH，如圖所示：∵AD是△ABC的中線，∴BD=CD，∵∠ADC=∠BDH,AD=DH，∴△ADC?△HDB(SAS)，∴AC=BH,∠CAD=∠H.∵AE=EF,∴∠EAF=∠AFE∵∠AFE=∠BFH,∴∠H=∠BFH，∴BF=BH，∴BF=AC．【變式5-2】（23-24春·湖北武漢·八年級統(tǒng)考期末）如圖，△ABC中，點(diǎn)E在邊AC上，EB=EA，∠A=2∠CBE，CD垂直于BE的延長線于點(diǎn)D，BD=9，AC=11.5【答案】3【解析】解：延長BD到F，使得DF=BD，連接CF，如圖所示：

∵CD⊥BF，

∴△BCF是等腰三角形，

∴BC=CF，

過點(diǎn)C作CH/?/AB，交BF于點(diǎn)H，

∴∠ABD=∠CHD=2∠CBD=2∠F，

∴HF=CH，

∵EB=EA，

∴∠ABE=∠BAE，

∵CH/?/AB，

∴∠ABE=∠CHE，∠BAE=∠ECH，

∴∠CHE=∠ECH，

∴EH=CE，

∵EA=EB，

∴AC=BH，

∵BD=9，AC=11.5，

∴DH=BH?BD=AC?BD=11.5?9=52，

∴HF=CH=DF?DH=BD?DF=9?2.5=132，

在Rt△CDH中，由勾股定理得：CD=CH2?DH2=(132)2?(52)2=6，

在Rt△BCD中，由勾股定理得：BC=BD2+CD2=92+62=313，

故答案為：【變式5-3】（23-24春·山東威?！ぐ四昙壗y(tǒng)考期末）如圖，△ABC中，AD為中線，點(diǎn)E為AB上一點(diǎn)，AD，CE交于點(diǎn)F，且AE=EF.若AB=5，則CF=(

)

A.4 B.5 C.6 D.7【答案】B

解：如圖?①，延長AD至點(diǎn)G，使DG=AD，連接CG．

因?yàn)锽D=CD，∠ADB=∠GDC，所以△ABD≌△GCD(SAS)．所以AB=CG，∠G=∠EAF．因?yàn)锳E=EF，所以∠EAF=∠EFA．又因?yàn)椤螮FA=∠CFG，所以∠G=∠GFC，所以CG=CF．所以AB=CF=5．

故選B．

本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì).正確做出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．

延長AD至點(diǎn)G，使DG=AD，連接CG，證明△ABD≌△GCD，再運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)可得AB=CG，∠G=∠EAF，然后運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)可得CG=CF，進(jìn)而求解即可【題型6截長補(bǔ)短構(gòu)造等腰三角形】【例6】（23-24春·安徽六安·八年級?？计谥校┰凇鰽BC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，AE平分∠BAC，∠C=2∠B，AB?BE=7，則

【答案】7解：在BC上截取BF=AB，連接AF，

∵AB?BE=7，

∴BF?BE=7，

即EF=7，

設(shè)∠B=α，則∠C=2α，

∴∠BAC=180°?3α，

∵AE平分∠BAC，

∴∠BAE=12∠BAC=90°?32α，

∴∠3=∠B+∠BAE=α+90°?32α=90°?12α，

∵AB=FB，

∴∠2=180°?α2=90°?12α，

∴∠3=∠2，

∴AE=AF，

∵AD⊥BC，

∴DE=12EF=7【變式6-1】（23-24春·廣東深圳·八年級校考期中）如圖，已知BF平分△ABC的外角∠ABE，D為BF上一點(diǎn)，∠ABC=∠ADC．

(1)如圖1，求證：∠DAB=∠DCB；

(2)判斷△ADC的形狀并證明；

(3)如圖2，過點(diǎn)D作DH⊥AB于點(diǎn)H，若AH=7，BH=1，求線段CB的長．【答案】解：(1)證明：如圖1，設(shè)AB交CD于點(diǎn)O．

∵∠ADO+∠AOD+∠DAO=180°，∠OBC+∠BOC+∠BCO=180°，

又∠ADO=∠OBC，∠AOD=∠BOC，

∴∠DAB=∠DCB;

(2)結(jié)論：△ADC是等腰三角形．

理由：在射線BE上截取BH=BA，連接DH．

∵BF平分∠ABE，

∴∠ABD=∠HBD．

在△ABD和△HBD中，

BA=BH,∠ABD=∠HBD,BD=BD,

∴△ABD≌△HBD(SAS)，

∴DA=DH，∠DAB=∠H．

∵∠DAB=∠DCB，

∴∠H=∠DCB

∴DH=DC，

∴DA=DC，即△ADC為等腰三角形；

(3)如圖2，作DG⊥BE于點(diǎn)G．

∵BF平分∠ABE，DG⊥BE，DH⊥BA，

∴DG=DH．

在Rt△ADH和Rt△CDG中，

AD=CD,DH=DG,

∴Rt△ADH≌Rt△CDG(HL)，

∴AH=GC=7．

在Rt△DBG和Rt△DBH中，

DG=DH,DB=DB,

∴Rt△DBG≌Rt△DBH(HL)，

∴BH=BG=1，本題考查三角形綜合題、等腰三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)．角平分線的性質(zhì)定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線構(gòu)造全等三角形解決問題．

(1)根據(jù)三角形內(nèi)角和定理以及對頂角相等即可解決問題；

(2)在射線BE上截取BH=BA，連接DH，證明△ABD≌△HBD，得到DA=DH，再證明DH=DC即可；

(3)作DG⊥BE于點(diǎn)E.證明AH=CG，BH=BG即可．【變式6-2】（23-24春·廣東深圳·八年級?？计谥校┮阎凇鰽BC中，∠ABC<60°，CD平分∠ACB交AB于點(diǎn)D，點(diǎn)E在線段CD上(點(diǎn)E不與點(diǎn)C，D重合)，且∠EAC=2∠EBC．(1)如圖1，若∠EBC=27°，且EB=EC，則∠DEB=

，∠AEC=

．(2)如圖2，①求證：AE+AC=BC；②若∠ECB=30°，且AC=BE，求∠EBC的度數(shù)．【答案】(1)54°;99°

(2)①如圖，在CB上截取CF，使得FC＝AC，連接EF．

因?yàn)镃D平分∠ACB，

所以∠1＝∠2．

在△ACE和△FCE中，因?yàn)锳C＝FC，∠1＝∠2，EC＝EC，

所以△ACE≌△FCE，

所以∠3＝∠4，AE＝FE．

因?yàn)椤?＝∠5+∠6，

所以∠3＝∠5+∠6．

因?yàn)椤?＝2∠6，

所以∠5＝∠6，

所以FB＝FE．

所以AE＝FB，

所以AE+AC＝FB+FC＝BC．②如圖，連接AF．

因?yàn)椤?＝∠2＝30°，

所以∠ACF＝∠1+∠2＝60°．

因?yàn)锳C＝FC，

所以△ACF是等邊三角形，

所以AF＝AC，∠FAC＝60°．

因?yàn)锳C＝BE，

所以BE＝AF．

在△BFE和△AEF中，因?yàn)锽F＝AE，F(xiàn)E＝EF，BE＝AF，

所以△BFE≌△AEF，

所以∠6＝∠7．

因?yàn)椤?+∠3＝60°，

所以∠6+∠3＝60°．

因?yàn)椤?＝2∠6，

所以∠6+2∠6＝60°，

所以∠6＝20°，即∠EBC＝20°.1.

根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理以及等腰三角形的性質(zhì)進(jìn)行求解．

2.

利用截取法，構(gòu)造一個三角形與△ACE全等，然后通過長度或角度之間的關(guān)系進(jìn)行求解．【變式6-3】（23-24春·山東棗莊·八年級統(tǒng)考期中）如圖，四邊形ABCD中，E是BC上一點(diǎn)，EA=ED，∠DCB=2∠B，∠AED=∠C，探究

【答案】解：DC、CE、BE之間的數(shù)量關(guān)系是BE=DC+CE，

證明：在EB上截取EF，使得EF=DC，連接AF，

∵∠EDC+∠DEC+∠C=180°，∠AEF+∠DEC+∠AED=180°，

且∠AED=∠C，

∴∠EDC=∠AEF；

在△AEF和△EDC中，

EF=DC∠AEF=∠EDCAE=DE?,

∴△AEF≌△EDC(SAS)，

∴EC=AF，∠AFE=∠C=2∠B，

∵∠AF