人教版2024-2025學(xué)年九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)同步講義專題21.3根的判別式【十大題型】(學(xué)生版+解析)

專題21.3根的判別式【十大題型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1判斷不含參數(shù)的一元二次方程的根的情況】 1【題型2判斷含參數(shù)的一元二次方程的根的情況】 2【題型3由一元二次方程的根的情況確定字母的值或取值范圍】 2【題型4證明一元二次方程的根的情況】 3【題型5由根的判別式求代數(shù)式的取值范圍】 3【題型6根的判別式與三角形的綜合運(yùn)用】 3【題型7根的判別式與四邊形的綜合運(yùn)用】 4【題型8根的判別式與不等式、分式、函數(shù)等知識(shí)的綜合】 4【題型9一元二次方程中的新定義問題】 5【題型10一元二次方程中的多結(jié)論問題】 6知識(shí)點(diǎn)1：一元二次方程根的判別式一元二次方程根的判別式：?=b2?4ac①當(dāng)?=b2②當(dāng)?=b2③當(dāng)?=b2【題型1判斷不含參數(shù)的一元二次方程的根的情況】【例1】（23-24九年級(jí)·浙江寧波·期末）關(guān)于一元二次方程x2+3x?2=0根的情況，下列說法正確的是（

）A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C．只有一個(gè)實(shí)數(shù)根 D．沒有實(shí)數(shù)根【變式1-1】（23-24九年級(jí)·廣東廣州·期末）方程x2?4=0的根的情況是（A．沒有實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 D．只有一個(gè)實(shí)數(shù)根【變式1-2】（23-24九年級(jí)·河南許昌·期末）設(shè)一元二次方程x2+bx+c=0．在下面的三組條件中選擇其中一組b，①b=2，c=1；②b=5，c=6；③b=4，c=?2．【變式1-3】（23-24九年級(jí)·河南安陽(yáng)·期中）下列一元二次方程中，沒有實(shí)數(shù)根的是（

）A．x2?2x=0 B．x2+4x?4=0 C．【題型2判斷含參數(shù)的一元二次方程的根的情況】【例2】（23-24九年級(jí)·貴州畢節(jié)·期末）關(guān)于x的方程x2+(k?2)x?k=0的根的情況，下列說法正確的是（A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C．無實(shí)數(shù)根 D．無法確定【變式2-1】（23-24九年級(jí)·浙江溫州·期末）已知一元二次方程x2(1)當(dāng)b=2時(shí)，若方程的一個(gè)根為?3，求c的值以及方程的另一個(gè)根；(2)當(dāng)c+1=1【變式2-2】（23-24九年級(jí)·安徽合肥·期末）一元二次方程x2+4x?7=0的根的情況是（A．無實(shí)數(shù)根 B．有一個(gè)實(shí)根C．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 D．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根【變式2-3】（23-24九年級(jí)·浙江臺(tái)州·期末）對(duì)于一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0，下列說法A．若x=?B．若c=0，則方程axC．若ac<0，則方程axD．若a+c=0，則方程ax【題型3由一元二次方程的根的情況確定字母的值或取值范圍】【例3】（23-24·四川廣安·中考真題）若關(guān)于x的一元二次方程(m+1)x2?2x+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則mA．m<0且m≠?1 B．m≥0C．m≤0且m≠?1 D．m<0【變式3-1】（23-24九年級(jí)·浙江紹興·期末）若方程x2?4x+c=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則c的值是（A．2 B．3 C．4 D．8【變式3-2】（23-24九年級(jí)·安徽亳州·期末）關(guān)于x的一元二次方程2x2+4x+m=0的根的判別式的值為24，則【變式3-3】（23-24九年級(jí)·四川眉山·期末）關(guān)于x的方程k?1x2?x+14A．k≥2 B．k≤2且k≠1 C．k>2 D．k<2且k≠1【題型4證明一元二次方程的根的情況】【例4】（23-24九年級(jí)·四川瀘州·期末）已知：關(guān)于x的一元二次方程x?1x?2?m【變式4-1】（23-24九年級(jí)·北京順義·期末）關(guān)于x的一元二次方程x2(1)求證：方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；(2)若方程的一個(gè)根小于?2，求m的取值范圍．【變式4-2】（23-24九年級(jí)·江蘇泰州·期末）已知關(guān)于x的一元二次方程x2(1)當(dāng)m=2時(shí)，解這個(gè)方程；(2)試判斷方程根的情況，并說明理由．【變式4-3】（23-24九年級(jí)·福建泉州·期末）已知關(guān)于x的一元二次方程x2(1)求證：該方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；(2)若m>0，且該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的積為12，求m的值．【題型5由根的判別式求代數(shù)式的取值范圍】【例5】（23-24九年級(jí)·安徽·期末）若實(shí)數(shù)a，b滿足a?2ab+2ab2+4=0，則a【變式5-1】（23-24九年級(jí)·浙江寧波·期末）已知實(shí)數(shù)m,n滿足m2?mn+n2=3，設(shè)P=A．3 B．4 C．5 D．6【變式5-2】（23-24九年級(jí)·浙江溫州·期中）已知關(guān)于x的一元二次方程x2?2x+3m=0有實(shí)數(shù)根，設(shè)此方程的一個(gè)實(shí)數(shù)根為t，令y=t2?2t+4m+1【變式5-3】（23-24九年級(jí)·江西景德鎮(zhèn)·期末）設(shè)實(shí)數(shù)x,y,z滿足x2+y2+【題型6根的判別式與三角形的綜合運(yùn)用】【例6】（23-24九年級(jí)·四川眉山·期末）已知關(guān)于x的一元二次方程x2(1)求證：無論m取何值時(shí)，這個(gè)方程總有實(shí)數(shù)根；(2)若△ABC的兩邊AB,AC的長(zhǎng)是這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，第三邊BC的長(zhǎng)為3，當(dāng)△ABC是等腰三角形時(shí)，求m的值．【變式6-1】（23-24九年級(jí)·山西晉城·期末）關(guān)于x的方程x2?2cx+a2+b2=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，若a，A．等邊三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰直角三角形【變式6-2】（23-24九年級(jí)·河南駐馬店·期末）已知關(guān)于x的方程，x2(1)求證：無論k為任意實(shí)數(shù)值方程，總有實(shí)數(shù)根；(2)若等腰三角形ABC的一邊a=1，另兩邊b、c恰是這個(gè)方程的兩個(gè)根，求三角形ABC的周長(zhǎng)．【變式6-3】（23-24·廣東惠州·二模）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+2k＝0．（1）求證：方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；（2）記該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x1和x2若以x1，x2，3為三邊長(zhǎng)的三角形是直角三角形，求k的值．【題型7根的判別式與四邊形的綜合運(yùn)用】【例7】（23-24九年級(jí)·安徽黃山·期末）已知關(guān)于x的一元二次方程x2(1)求證：無論k取什么實(shí)數(shù)值，該方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)當(dāng)k=11時(shí)，該方程的兩個(gè)根分別是菱形ABCD的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)，求菱形ABCD的面積．【變式7-1】（23-24九年級(jí)·湖南·階段練習(xí)）已知?ABCD的兩對(duì)角線AC，BD的長(zhǎng)是關(guān)于x的方程x2(1)若AC的長(zhǎng)為1，求m的值；(2)當(dāng)m為何值時(shí)，?ABCD是矩形．【變式7-2】（23-24九年級(jí)·廣西崇左·期末）已知正方形ABCD的對(duì)角線AC，BD的長(zhǎng)是關(guān)于x的方程x2（1）求m的值；（2）求正方形的面積．【變式7-3】（23-24·四川成都·二模）已知矩形的長(zhǎng)和寬分別為a和b，如果存在另外一個(gè)矩形，它的周長(zhǎng)和面積分別是已知矩形的三分之一，則a，b應(yīng)該滿足的條件為．【題型8根的判別式與不等式、分式、函數(shù)等知識(shí)的綜合】【例8】（23-24九年級(jí)·重慶萬州·期中）若整數(shù)a使得關(guān)于x的一元二次方程a?2x2+2a+3x+1=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，并且使得關(guān)于y的分式方程3?ayA．2 B．3 C．4 D．5【變式8-1】（23-24·廣東汕頭·三模）一元二次方程x2?2x?4=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根a，b，那么一次函數(shù)A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【變式8-2】（23-24九年級(jí)·安徽亳州·階段練習(xí)）已知不等式組x?a>012x?3<1有且僅有4個(gè)整數(shù)解，則關(guān)于x的方程aA．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C．無實(shí)數(shù)根 D．無法判斷【變式8-3】（23-24·山東菏澤·模擬預(yù)測(cè)）已知關(guān)于x、y的方程組x?2y=3m?n,xy=n2?2m2+3n+4【題型9一元二次方程中的新定義問題】【例9】（23-24九年級(jí)·浙江寧波·期末）新定義：《a，b，c》為一元二次方程ax2+bx+c=0(其中a≠0,a,b,c為實(shí)數(shù))的“共同體數(shù)”，如：x2+2x?1=0的“共同體數(shù)”為《1，2，?1A．《3，2，1》 B．《3，4，5》 C．《n+1，2n，n?1》 D．《m,m,m+【變式9-1】（23-24九年級(jí)·浙江金華·期末）對(duì)于實(shí)數(shù)a，b定義新運(yùn)算：a△b=b2?ab，若關(guān)于x的方程6△x=k有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根，則k【變式9-2】（23-24九年級(jí)·遼寧沈陽(yáng)·階段練習(xí)）定義一種新運(yùn)算“a△b”，對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，b，a△b=ba2+3a?1，如3△4=4×32+3×3?1，若x△k=0（k為實(shí)數(shù)）是關(guān)于A．k≤?94 B．k≤?C．k≥?94 D．k≥?【變式9-3】（23-24·四川達(dá)州·一模）閱讀下列材料：我們發(fā)現(xiàn)，關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0，如果定義：兩根都為整數(shù)的一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0稱為“全整根方程”，代數(shù)式4ac?b24a的值為該“全整根方程”的“最值碼”，用Qa,b,c表示，即Qa,b,c=4ac?b2(1)“全整根方程”x2(2)關(guān)于x的一元二次方程x2?2m?1x+m(3)若關(guān)于x的一元二次方程x2+1?mx+m?2=0是x2+n?1【題型10一元二次方程中的多結(jié)論問題】【例10】（23-24九年級(jí)·浙江紹興·期末）已知aa>1是關(guān)于x的方程x2?bx+b?a=0的實(shí)數(shù)根．下列說法：①此方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；②當(dāng)a=t＋1時(shí)，一定有b=t?1A．①② B．②③ C．①③ D．③④【變式10-1】（23-24九年級(jí)·湖北武漢·階段練習(xí)）關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0①若4a?2b+c=0，則關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0②當(dāng)（a+c）2≤b③若b2④若ax2+bx+c=0（a≠0【變式10-2】（23-24九年級(jí)·河北石家莊·階段練習(xí)）已知關(guān)于x的一元二次方程ax①若ac＞0，則方程a②若a+b+③若c是方程ax2+④若x0是一元二次方程ax2A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式10-3】（23-24九年級(jí)·浙江舟山·期中）對(duì)于一元二次方程ax①若方程ax2+c=0②若方程ax2+bx+c=0(a≠0)③若c是方程ax2+bx+c=0(a≠0)④若x0是一元二次方程ax其中正確的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)專題21.3根的判別式【十大題型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1判斷不含參數(shù)的一元二次方程的根的情況】 1【題型2判斷含參數(shù)的一元二次方程的根的情況】 3【題型3由一元二次方程的根的情況確定字母的值或取值范圍】 5【題型4證明一元二次方程的根的情況】 7【題型5由根的判別式求代數(shù)式的取值范圍】 9【題型6根的判別式與三角形的綜合運(yùn)用】 12【題型7根的判別式與四邊形的綜合運(yùn)用】 15【題型8根的判別式與不等式、分式、函數(shù)等知識(shí)的綜合】 18【題型9一元二次方程中的新定義問題】 20【題型10一元二次方程中的多結(jié)論問題】 24知識(shí)點(diǎn)1：一元二次方程根的判別式一元二次方程根的判別式：?=b2①當(dāng)?=b2②當(dāng)?=b2③當(dāng)?=b2【題型1判斷不含參數(shù)的一元二次方程的根的情況】【例1】（23-24九年級(jí)·浙江寧波·期末）關(guān)于一元二次方程x2+3x?2=0根的情況，下列說法正確的是（A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C．只有一個(gè)實(shí)數(shù)根 D．沒有實(shí)數(shù)根【答案】A【分析】本題考查了根的判別式，一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：（1）Δ>0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）Δ=0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；（3）【詳解】解：由△Δ=∴一元二次方程x2故選：A【變式1-1】（23-24九年級(jí)·廣東廣州·期末）方程x2?4=0的根的情況是（A．沒有實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 D．只有一個(gè)實(shí)數(shù)根【答案】C【分析】本題主要考查了一元二次方程根的判別式．利用一元二次方程根的判別式，即可求解．【詳解】解：∵Δ=∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故選：C【變式1-2】（23-24九年級(jí)·河南許昌·期末）設(shè)一元二次方程x2+bx+c=0．在下面的三組條件中選擇其中一組b，①b=2，c=1；②b=5，c=6；③b=4，c=?2．【答案】選②，方程的解為x1=?2，x2=?3【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式，以及解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是掌握當(dāng)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根時(shí)，判別式Δ>0【詳解】解：∵使這個(gè)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴b2∴②③均可，當(dāng)選②解方程時(shí)：x2x+2x+3x+2=0或x+3=0，∴x1=?2當(dāng)選③解方程時(shí)：x2x2x+22x+2=±6∴x1=【變式1-3】（23-24九年級(jí)·河南安陽(yáng)·期中）下列一元二次方程中，沒有實(shí)數(shù)根的是（

）A．x2?2x=0 B．x2+4x?4=0 C．【答案】D【分析】本題考查一元二次方程根的判別式與實(shí)數(shù)根之間的關(guān)系，注意根的判別式的各量是一般式的各項(xiàng)系數(shù)，根的判別式Δ與實(shí)數(shù)根的情況之間的關(guān)系如下：Δ>0，一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；Δ=0，一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；【詳解】解：A選項(xiàng)Δ=B選項(xiàng)Δ=16+16=32>0C選項(xiàng)方程的一般式為：x2?4x+1=0，則D選項(xiàng)方程Δ=0?4×3×2=?24<0故選：D．【題型2判斷含參數(shù)的一元二次方程的根的情況】【例2】（23-24九年級(jí)·貴州畢節(jié)·期末）關(guān)于x的方程x2+(k?2)x?k=0的根的情況，下列說法正確的是（A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C．無實(shí)數(shù)根 D．無法確定【答案】A【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式，配方法．先計(jì)算出方程的判別式，根據(jù)判別式的符號(hào)即可判斷方程根的情況．【詳解】解：關(guān)于x的方程x2∵a=1，b=k?2，c=?k，∴b2所以關(guān)于x的一元二次方程x2故選：A．【變式2-1】（23-24九年級(jí)·浙江溫州·期末）已知一元二次方程x2(1)當(dāng)b=2時(shí)，若方程的一個(gè)根為?3，求c的值以及方程的另一個(gè)根；(2)當(dāng)c+1=1【答案】(1)c=?3，方程另外一個(gè)根為x=1(2)原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根【分析】本題主要考查了根的判別式以及解一元二次方程等知識(shí)點(diǎn)，（1）將b=2和方程的一個(gè)根為?3代入方程求出c值，再解方程即可；（2）根據(jù)c+1=14b熟練掌握根的判別式以及解一元二次方程是解決此題的關(guān)鍵．【詳解】（1）∵b=2時(shí)，若方程的一個(gè)根為?3，∴?32+2×∴得到方程為x2+2x?3=0，解得x1∴c=?3，方程另外一個(gè)根為x=1；（2）∵c+1=1∴c=∴Δ∴原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．【變式2-2】（23-24九年級(jí)·安徽合肥·期末）一元二次方程x2+4x?7=0的根的情況是（A．無實(shí)數(shù)根 B．有一個(gè)實(shí)根C．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 D．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根【答案】D【分析】本題考查了根的判別式：先計(jì)算判別式的值，然后根據(jù)判別式的意義判斷方程根的情況．【詳解】解：∵x2∴a=1,b=4,c=?7，Δ=故選：D．【變式2-3】（23-24九年級(jí)·浙江臺(tái)州·期末）對(duì)于一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0，下列說法A．若x=?B．若c=0，則方程axC．若ac<0，則方程axD．若a+c=0，則方程ax【答案】B【分析】此題主要考查了解一元二次方程，一元二次方程的解，一元二次方程根的情況與判別式Δ的關(guān)系：Δ＞0?方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；Δ=0?方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，根據(jù)解一元二次方程的方法，判別式的意義，一元二次方程的解的定義逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：A、將x=?1代入方程ax2+bx+c=0(a≠0)∴本選項(xiàng)說法正確，不符合題意；B、若c=0，則方程為ax∴Δ=∴程axC、∵ac＜0，∴Δ=∴方程axD、∵方程ax2+bx+c=0∵Δ=∴方程ax故選：B．【題型3由一元二次方程的根的情況確定字母的值或取值范圍】【例3】（23-24·四川廣安·中考真題）若關(guān)于x的一元二次方程(m+1)x2?2x+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則mA．m<0且m≠?1 B．m≥0C．m≤0且m≠?1 D．m<0【答案】A【分析】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，對(duì)于一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0，若Δ=b2?4ac>0，則方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，若Δ=b2【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程(m+1)x∴Δ=解得：m<0，∵m+1≠0，∴m≠?1，∴m的取值范圍是：m<0且m≠?1．故選：A．【變式3-1】（23-24九年級(jí)·浙江紹興·期末）若方程x2?4x+c=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則c的值是（A．2 B．3 C．4 D．8【答案】C【分析】本題主要考查解一元二次方程根的判別式，掌握根的判別式是解題的關(guān)鍵．本題有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，即Δ=【詳解】解：∵該方程有兩個(gè)相等實(shí)根，∴Δ=解得c=4；故答案為：C．【變式3-2】（23-24九年級(jí)·安徽亳州·期末）關(guān)于x的一元二次方程2x2+4x+m=0的根的判別式的值為24，則【答案】?1【分析】本題考查一元二次方程根的判別式．掌握一元二次方程ax2+bx+c=0【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程2x∴Δ=解得：m=?1．故答案為：?1．【變式3-3】（23-24九年級(jí)·四川眉山·期末）關(guān)于x的方程k?1x2?x+14A．k≥2 B．k≤2且k≠1 C．k>2 D．k<2且k≠1【答案】D【分析】本題考查了根的判別式以及一元二次方程的定義，牢記“當(dāng)Δ>0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根”是解題的關(guān)鍵．根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)非零及根的判別式Δ>0，即可得出關(guān)于k的一元一次不等式組，解之即可得出k的取值范圍．【詳解】解：∵關(guān)于x的方程k?1x∴k?1≠0△=解得：k<2且k≠1．故選：D．【題型4證明一元二次方程的根的情況】【例4】（23-24九年級(jí)·四川瀘州·期末）已知：關(guān)于x的一元二次方程x?1x?2?m【答案】見解析【分析】本題考查了根的判別式，一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的根與Δ=b2?4ac有如下關(guān)系：當(dāng)Δ>0【詳解】證明：由x?1x?2?m則?Δ=∵無論m取何值，都有m2∴4m2+1≥1>0∴無論m取何值，原方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．【變式4-1】（23-24九年級(jí)·北京順義·期末）關(guān)于x的一元二次方程x2(1)求證：方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；(2)若方程的一個(gè)根小于?2，求m的取值范圍．【答案】(1)見解析(2)m>3【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式，因式分解法解一元二次方程，解一元一次不等式．熟練掌握一元二次方程根的判別式，因式分解法解一元二次方程，解一元一次不等式是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)Δ=（2）由x2+mx+m?1=0，可得x+m?1x+1=0，解得，x=1?m或x=?1，由方程的一個(gè)根小于【詳解】（1）證明：∵x2∴Δ=∴方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；（2）解：∵x2∴x+m?1x+1解得，x=1?m或x=?1，∵方程的一個(gè)根小于?2，∴1?m<?2，解得，m>3．【變式4-2】（23-24九年級(jí)·江蘇泰州·期末）已知關(guān)于x的一元二次方程x2(1)當(dāng)m=2時(shí)，解這個(gè)方程；(2)試判斷方程根的情況，并說明理由．【答案】(1)x(2)有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，理由見解析【分析】本題考查解一元二次方程，由一元二次方程的判別式判斷其根的情況．掌握解一元二次方程的方法和一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判別式為Δ=b2?4ac（1）當(dāng)m=2時(shí)，原方程為x2?6x+9=0，即（2）根據(jù)方程可求出Δ=【詳解】（1）解：當(dāng)m=2時(shí)，原方程為x2?3×2x+2×2∴x?32∴x1（2）解：由題意可知a=1，b=?3m，c=2m∴Δ=∴原方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．【變式4-3】（23-24九年級(jí)·福建泉州·期末）已知關(guān)于x的一元二次方程x2(1)求證：該方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；(2)若m>0，且該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的積為12，求m的值．【答案】(1)見解析(2)m=2【分析】此題考查了一元二次方程根的判別式，解一元二次方程，熟練掌握一元二次方程根的判別式及一元二次方程的解法是解本題的關(guān)鍵．（1）表示出根的判別式，判斷其值大于等于0即可得證；（2）利用因式分解法可得x1=m,x2=3m【詳解】（1）證明：∵a=1,b=?4m,c=3m∴Δ∵無論m取何值時(shí)，4m2≥0∴原方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；（2）解：∵x2?4mx+3∴x∵該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的積為12∴3m∴m=±2，∵m>0，∴m=2．【題型5由根的判別式求代數(shù)式的取值范圍】【例5】（23-24九年級(jí)·安徽·期末）若實(shí)數(shù)a，b滿足a?2ab+2ab2+4=0，則a【答案】?8≤a<0【分析】由實(shí)數(shù)a，b滿足a?2ab+2ab2+4=0得到關(guān)于b的一元二次方程2ab2?2ab+a+4=0，由根的判別式【詳解】解：∵實(shí)數(shù)a，b滿足a?2ab+2ab∴關(guān)于b的一元二次方程2abΔ=?2a2即aa+8≤0且∴a>0a+8≤0或a<0解得?8≤a<0，即a的取值范圍是?8≤a<0．故答案為：?8≤a<0【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程根的判別式、一元一次不等式組的解法等知識(shí)，由根的判別式Δ=?4a2【變式5-1】（23-24九年級(jí)·浙江寧波·期末）已知實(shí)數(shù)m,n滿足m2?mn+n2=3，設(shè)P=A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】由原式得，P=2m2?3．將m2?mn+n2【詳解】解：將兩個(gè)等式相加得：P+3=2m2，則要求P的最大值，只需求出m2將m2?mn+n2=3根據(jù)方程有實(shí)數(shù)解，所以Δ=可得m2≤4，即所以當(dāng)m2=4時(shí)，故選：C【點(diǎn)睛】本題考查等式性質(zhì)，一元二次方程根的判別式，將含有多個(gè)參數(shù)的等式理解為含參數(shù)的一元二次方程，從而運(yùn)用方程的知識(shí)解決問題是解題的關(guān)鍵．【變式5-2】（23-24九年級(jí)·浙江溫州·期中）已知關(guān)于x的一元二次方程x2?2x+3m=0有實(shí)數(shù)根，設(shè)此方程的一個(gè)實(shí)數(shù)根為t，令y=t2?2t+4m+1【答案】y≤4【分析】由一元二次方程根的判別式先求解m≤3，根據(jù)一元二次方程的解的定義得出t2【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程x2∴△=b解得：m≤3，設(shè)此方程的一個(gè)實(shí)數(shù)根為t，∴∴y==?3m+4m+1=m+1∵m≤3∴m+1≤4即y≤4故答案為：y≤4．【點(diǎn)睛】本題考查的是一元二次方程根的判別式，一元二次方程的解的定義，不等式的性質(zhì)，熟練的運(yùn)用一元二次方程根的判別式與根與系數(shù)的關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．【變式5-3】（23-24九年級(jí)·江西景德鎮(zhèn)·期末）設(shè)實(shí)數(shù)x,y,z滿足x2+y2+【答案】6【分析】先將已知等式配成一個(gè)完全平方的形式，再令x?y=ay?z=b【詳解】x兩邊同乘以2得：2(整理得：(x?y)令x?y=ay?z=b，則代入①得：a化簡(jiǎn)得：a由題意可知，關(guān)于a的一元二次方程a2則方程的根的判別式Δ=解得：b≤6，即所以y?z的最大值為6故答案為：6.【點(diǎn)睛】本題是一道難題，考查了求代數(shù)式的極值的知識(shí)，在已知條件轉(zhuǎn)換變形后，將其看成一個(gè)一元二次方程的實(shí)數(shù)根的情況來分析是解題關(guān)鍵.【題型6根的判別式與三角形的綜合運(yùn)用】【例6】（23-24九年級(jí)·四川眉山·期末）已知關(guān)于x的一元二次方程x2(1)求證：無論m取何值時(shí)，這個(gè)方程總有實(shí)數(shù)根；(2)若△ABC的兩邊AB,AC的長(zhǎng)是這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，第三邊BC的長(zhǎng)為3，當(dāng)△ABC是等腰三角形時(shí)，求m的值．【答案】(1)見解析(2)m的值為1【分析】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，解一元二次方程：（1）利用一元二次方程根的判別式，即可求解；（2）利用因式分解法求出方程的兩根，x1=m，【詳解】（1）解：Δ=9==m+2∴無論m取何值時(shí)，這個(gè)方程總有實(shí)數(shù)根．（2）解：xx?mx?2m?2∴x1=m，當(dāng)m=3時(shí)，三邊為3，3，8（舍），當(dāng)2m+2=3時(shí)，m=12，三邊為∴m的值為12【變式6-1】（23-24九年級(jí)·山西晉城·期末）關(guān)于x的方程x2?2cx+a2+b2=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，若a，A．等邊三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【分析】由關(guān)于x的方程x2?2cx+a2+b2【詳解】解：∵關(guān)于x的方程x2∴△=?2c2?4∴△ABC是直角三角形，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根的判別式，勾股定理逆定理．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用．【變式6-2】（23-24九年級(jí)·河南駐馬店·期末）已知關(guān)于x的方程，x2(1)求證：無論k為任意實(shí)數(shù)值方程，總有實(shí)數(shù)根；(2)若等腰三角形ABC的一邊a=1，另兩邊b、c恰是這個(gè)方程的兩個(gè)根，求三角形ABC的周長(zhǎng)．【答案】(1)證明見解析(2)5【分析】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，解一元二次方程，等腰三角形的定義和構(gòu)成三角形的條件：（1）根據(jù)一元二次方程根的判別式進(jìn)行求解即可；（2）分當(dāng)?shù)妊切蔚难L(zhǎng)為1時(shí)，則x=1是方程x2?k+2【詳解】（1）證明：由題意得，Δ====k?2∴無論k為任意實(shí)數(shù)值方程，總有實(shí)數(shù)根；（2）解：當(dāng)?shù)妊切蔚难L(zhǎng)為1時(shí)，則x=1是方程x2∴1?k+2∴k=1，∴原方程為x2解得x=1或x=2，∴底邊長(zhǎng)為2，∵1+1=2，∴此時(shí)不能構(gòu)成三角形，不符合題意；當(dāng)?shù)走呴L(zhǎng)為1時(shí)，則原方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴Δ=∴k=2，∴原方程為x2解得x1∵1+2>2，∴此時(shí)能構(gòu)成三角形，∴△ABC的周長(zhǎng)為2+2+1=5．【變式6-3】（23-24·廣東惠州·二模）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+2k＝0．（1）求證：方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；（2）記該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x1和x2若以x1，x2，3為三邊長(zhǎng)的三角形是直角三角形，求k的值．【答案】（1）見詳解；（2）k的值為2或102【分析】（1）先把方程變?yōu)橐辉畏匠桃话闶?，然后確定a=1，b=?2k+1（2）將方程因式分解得x?2kx?1=0，得出方程的解x1=2k，【詳解】解：（1）∵關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+2k＝0．∴a=1，∴Δ=b∴方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；（2）將方程因式分解得x?2kx?1解得x1∵以2k，1，3為三邊長(zhǎng)的三角形是直角三角形，∴當(dāng)2k＜3時(shí)，則12+2k當(dāng)2k＞3時(shí)，則12+3以1，2k，3為三邊長(zhǎng)的三角形是直角三角形，k的值為2或102【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程根的判別式，因式分解法和直接開平方法解一元二次方程，勾股定理，掌握一元二次方程根的判別式，因式分解法和直接開平方法解一元二次方程，勾股定理是解題關(guān)鍵．【題型7根的判別式與四邊形的綜合運(yùn)用】【例7】（23-24九年級(jí)·安徽黃山·期末）已知關(guān)于x的一元二次方程x2(1)求證：無論k取什么實(shí)數(shù)值，該方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)當(dāng)k=11時(shí)，該方程的兩個(gè)根分別是菱形ABCD的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)，求菱形ABCD的面積．【答案】(1)詳見解析(2)S【分析】（1）根據(jù)根的判別式的范圍即可證明；（2）求出一元二次方程的兩個(gè)根，根據(jù)菱形的面積公式進(jìn)行解答即可；此題考查菱形的性質(zhì)、一元二次方程根的判別式和解一元二次方程，熟練掌握一元二次方程根的判別式和一元二次方程的解法是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）證明：Δ=∴Δ∴無論k取什么實(shí)數(shù)值，該方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．（2）當(dāng)k=11時(shí)，原方程為x2a=1,b=?8,c=6，Δ=∴x=8±∴x1∴【變式7-1】（23-24九年級(jí)·湖南·階段練習(xí)）已知?ABCD的兩對(duì)角線AC，BD的長(zhǎng)是關(guān)于x的方程x2(1)若AC的長(zhǎng)為1，求m的值；(2)當(dāng)m為何值時(shí)，?ABCD是矩形．【答案】(1)m=(2)1【分析】本題考查一元二次方程的解，根的判別式，矩形的判定．（1）將x=1代入方程，求出m的值即可；（2）根據(jù)對(duì)角線相等的平行四邊形為矩形，得到方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，得到Δ=0【詳解】（1）解：∵?ABCD的兩對(duì)角線AC，BD的長(zhǎng)是關(guān)于x的方程x2∴當(dāng)AC的長(zhǎng)為1時(shí)，12解得：m=3（2）∵?ABCD的兩對(duì)角線AC，BD，∴當(dāng)AC=BD時(shí)，?ABCD是矩形，∴方程x2∴Δ解得m1=m【變式7-2】（23-24九年級(jí)·廣西崇左·期末）已知正方形ABCD的對(duì)角線AC，BD的長(zhǎng)是關(guān)于x的方程x2（1）求m的值；（2）求正方形的面積．【答案】（1）2；（2）12【分析】（1）先根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AC=BD，再利用一元二次方程根的判別式即可得；（2）先解一元二次方程可得AC=BD=1，再利用正方形的面積公式即可得．【詳解】解：（1）在正方形ABCD中，AC=BD，由題意得：關(guān)于x的方程x2即m2解得m1∵AC=BD>0，∴m故m的值為2；（2）由（1）得：方程為x2解得x1∴AC=BD=1，則正方形的面積為12【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的幾何應(yīng)用、正方形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握一元二次方程根的判別式是解題關(guān)鍵．【變式7-3】（23-24·四川成都·二模）已知矩形的長(zhǎng)和寬分別為a和b，如果存在另外一個(gè)矩形，它的周長(zhǎng)和面積分別是已知矩形的三分之一，則a，b應(yīng)該滿足的條件為．【答案】a【分析】因?yàn)榫匦蔚拈L(zhǎng)和寬分別為a、b，所以其周長(zhǎng)和面積分別為2(a+b)和ab，設(shè)所求矩形的長(zhǎng)為x，則寬為13(a+b)-x，其面積為x[13(a+b)-x]，根據(jù)題意得：x[13(a+b)-x]=【詳解】解：設(shè)所求矩形的長(zhǎng)為x，則寬為13(a+b)-x，其面積為x[13(a+b)-根據(jù)題意得：x[13(a+b)-x]=13即x2∵存在該矩形，使它的周長(zhǎng)和面積分別是已知矩形的三分之一∴方程有解，∴△=1=19=19∴a∴a故答案為：a2【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程解的判別式，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意，列出方程，把問題轉(zhuǎn)化為求△的問題．【題型8根的判別式與不等式、分式、函數(shù)等知識(shí)的綜合】【例8】（23-24九年級(jí)·重慶萬州·期中）若整數(shù)a使得關(guān)于x的一元二次方程a?2x2+2a+3x+1=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，并且使得關(guān)于y的分式方程3?ayA．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】對(duì)于關(guān)于x的一元二次方程a?2x2+2a+3x+1=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，利用判別式的意義得到a-2≠0且2a+3≥0且△=（2a+3）2【詳解】解：∵整數(shù)a使得關(guān)于x的一元二次方程a?2x∴a-2≠0且2a+3≥0且△=（2a+3）2-4（a-2）≥0，∴?3∴整數(shù)a為：-1，0，1，3，4，5；去分母得3-ay+3-y=-2y，解得y=6a?1而y≠3，則6a?1當(dāng)a=-1，0，4時(shí)，分式方程有整數(shù)解，∴符合條件的所有a的個(gè)數(shù)是3．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與△=b2-4ac有如下關(guān)系：當(dāng)△＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根．【變式8-1】（23-24·廣東汕頭·三模）一元二次方程x2?2x?4=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根a，b，那么一次函數(shù)A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可求出ab與a+b的值，然后根據(jù)一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求出答案．【詳解】解：由根與系數(shù)的關(guān)系可知：a+b=2，ab=?4，∴1?ab=5∴一次函數(shù)解析式為：y=5x+2，故一次函數(shù)的圖象一定不經(jīng)過第四象限．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系以及一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)．【變式8-2】（23-24九年級(jí)·安徽亳州·階段練習(xí)）已知不等式組x?a>012x?3<1有且僅有4個(gè)整數(shù)解，則關(guān)于x的方程aA．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C．無實(shí)數(shù)根 D．無法判斷【答案】C【分析】本題考查解含參數(shù)的一元一次不等式組、不等式的性質(zhì)及利用判別式確定一元二次方程根的情況等知識(shí)，先解一元一次不等式，再根據(jù)方程組解的情況得到3≤a<4，再結(jié)合一元二次方程的判別式，由不等式的性質(zhì)確定Δ<0【詳解】解：x?a>0由①得x>a；由②得x<8；∵不等式組x?a>01∴3≤a<4；∵關(guān)于x的方程ax2+∴?15<Δ≤?11，即∴關(guān)于x的方程ax故選：C．【變式8-3】（23-24·山東菏澤·模擬預(yù)測(cè)）已知關(guān)于x、y的方程組x?2y=3m?n,xy=n2?2m2+3n+4【答案】1，2【分析】本題考查了整體思路解一元二次方程組，解題的關(guān)鍵是熟練掌握整體思想．先將二元二次方程組整理成一元二次方程，由于方程存在實(shí)根得到3n?m+42?8【詳解】解：由題意可知，得2yΔ=即3n?m+42∵對(duì)每一個(gè)實(shí)數(shù)n都有實(shí)數(shù)解，∴m2解得：?1≤m≤2，其中m的正整數(shù)解為1，2．故答案為：1，2．【題型9一元二次方程中的新定義問題】【例9】（23-24九年級(jí)·浙江寧波·期末）新定義：《a，b，c》為一元二次方程ax2+bx+c=0(其中a≠0,a,b,c為實(shí)數(shù))的“共同體數(shù)”，如：x2+2x?1=0的“共同體數(shù)”為《1，2，?1A．《3，2，1》 B．《3，4，5》 C．《n+1，2n，n?1》 D．《m,m,m+【答案】C【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式的意義，根據(jù)一元二次方程根的判別式進(jìn)行計(jì)算，即可求解．【詳解】解：A.當(dāng)“共同體數(shù)”為《3，2，1》時(shí)，一元二次方程為3∵Δ=∴3xB.當(dāng)“共同體數(shù)”為《3，4，5》時(shí)，一元二次方程為3∵Δ=∴3xC.當(dāng)“共同體數(shù)”為《n+1，2n，n?1》時(shí)，一元二次方程為n+1∵Δ=∴n+1x2+2nx+n?1=0D.當(dāng)“共同體數(shù)”為《m,m,m+1m∵Δ=∴mx故選：C．【變式9-1】（23-24九年級(jí)·浙江金華·期末）對(duì)于實(shí)數(shù)a，b定義新運(yùn)算：a△b=b2?ab，若關(guān)于x的方程6△x=k有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根，則k【答案】?9【分析】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根與系數(shù)有如下關(guān)系：當(dāng)b2?4ac>0【詳解】解：由題可得：x2∵方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴Δ=36+4k=0解得k=?9，故答案為：?9．【變式9-2】（23-24九年級(jí)·遼寧沈陽(yáng)·階段練習(xí)）定義一種新運(yùn)算“a△b”，對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，b，a△b=ba2+3a?1，如3△4=4×32+3×3?1，若x△k=0（k為實(shí)數(shù)）是關(guān)于A．k≤?94 B．k≤?C．k≥?94 D．k≥?【答案】D【分析】利用新定義得到kx2+3x?1=0，然后利用Δ【詳解】解：由新定義得kx∵該方程是關(guān)于x的一元二次方程，∴k≠0，∵方程有實(shí)數(shù)根．∵Δ=解得：k≥?9∴該方程有實(shí)數(shù)根時(shí)，k≥?94故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根與Δ=b2?4ac【變式9-3】（23-24·四川達(dá)州·一模）閱讀下列材料：我們發(fā)現(xiàn)，關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0，如果定義：兩根都為整數(shù)的一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0稱為“全整根方程”，代數(shù)式4ac?b24a的值為該“全整根方程”的“最值碼”，用Qa,b,c表示，即Qa,b,c=4ac?b2(1)“全整根方程”x2(2)關(guān)于x的一元二次方程x2?2m?1x+m(3)若關(guān)于x的一元二次方程x2+1?mx+m?2=0是x2+n?1【答案】(1)?(2)方程x2?2m?1(3)m?n=2【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式以及“全整根方程”的定義，理解新定義的含義是解本題的關(guān)鍵．（1）直接利用新定義Qa,b,c（2）通過m的取值范圍確定根的判別式b2?4ac的范圍，繼而根據(jù)“整數(shù)根”特點(diǎn)確定根的判別式的取值，最后結(jié)合m為整數(shù)確定（3）依次求出方程x2+1?mx+m?2=0和x2+n?1【詳解】（1）解：“全整根方程”x2Qa,b,c（2）解：∵x2∴b2∵4<m<15，∴29<4m+13<73，∵x2∴b2即4m+13是完全平方數(shù)，∴4m+13=