新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義命題方向全歸類(lèi)能力拓展07不等式恒成立問(wèn)題(10種考向)(原卷版+解析)

能力拓展07不等式恒成立問(wèn)題【命題方向目錄】命題方向一：直接法命題方向二：端點(diǎn)恒成立命題方向三：端點(diǎn)不成立命題方向四：分離參數(shù)之全分離，半分離，換元分離命題方向五：洛必達(dá)法則命題方向六：同構(gòu)法命題方向七：必要性探路命題方向八：max，min函數(shù)問(wèn)題命題方向九：構(gòu)造函數(shù)技巧命題方向十：雙變量最值問(wèn)題【方法技巧與總結(jié)】1、利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問(wèn)題的求解策略：（1）通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；（2）利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題；（3）根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問(wèn)題，就要考慮利用分類(lèi)討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問(wèn)題的區(qū)別．2、利用參變量分離法求解函數(shù)不等式恒（能）成立，可根據(jù)以下原則進(jìn)行求解：（1），；（2），；（3），；（4），．3、不等式的恒成立與有解問(wèn)題，可按如下規(guī)則轉(zhuǎn)化：一般地，已知函數(shù)，，，．（1）若，，有成立，則；（2）若，，有成立，則；（3）若，，有成立，則；（4）若，，有成立，則的值域是的值域的子集．4、法則1若函數(shù)和滿(mǎn)足下列條件：（1）及；（2）在點(diǎn)的去心HYPERLINK鄰域內(nèi)，與可導(dǎo)且；（3），那么=．法則2若函數(shù)和滿(mǎn)足下列條件：（1）及；（2），和在與上可導(dǎo)，且；（3），那么=．法則3若函數(shù)和滿(mǎn)足下列條件：（1）及；（2）在點(diǎn)的去心HYPERLINK鄰域內(nèi)，與可導(dǎo)且；（3），那么=．注意：利用洛必達(dá)法則求未定式的極限是微分學(xué)中的重點(diǎn)之一，在解題中應(yīng)注意：（1）將上面公式中的，，，洛必達(dá)法則也成立．（2）洛必達(dá)法則可處理，，，，，，型．（3）在著手求極限以前，首先要檢查是否滿(mǎn)足，，，，，，型定式，否則濫用洛必達(dá)法則會(huì)出錯(cuò)．當(dāng)不滿(mǎn)足三個(gè)前提條件時(shí)，就不能用洛必達(dá)法則，這時(shí)稱(chēng)洛必達(dá)法則不適用，應(yīng)從另外途徑求極限．（4）若條件符合，洛必達(dá)法則可連續(xù)多次使用，直到求出極限為止．，如滿(mǎn)足條件，可繼續(xù)使用洛必達(dá)法則．【典例例題】命題方向一：直接法例1．（2023·遼寧·高三本溪高中校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)且，函數(shù)，．(1)證明：恒成立；(2)若對(duì)，恒成立，求a的取值范圍．例2．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·高三江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)若不等式對(duì)一切恒成立，則正整數(shù)的最大值為（

）A． B． C． D．命題方向二：端點(diǎn)恒成立例3．（2023·四川綿陽(yáng)·四川省綿陽(yáng)南山中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù)．(1)求在處的切線(xiàn)方程；(2)若任意，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．例4．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)，.(1)求證：在上恒成立；(2)若關(guān)于的不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.例5．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)，其中為實(shí)數(shù)，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．是的導(dǎo)數(shù)．（1）試討論的極值點(diǎn)；（2）①若，證明：當(dāng)時(shí)，恒成立；②當(dāng)時(shí)，恒成立，求的取值范圍．命題方向三：端點(diǎn)不成立例6．（2023·浙江舟山·舟山中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)若恒成立，求的最小值；(2)求證：；(3)已知恒成立，求的取值范圍．例7．（2023·江蘇南京·高二南京市中華中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．例8．（2023·江西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若對(duì)于任意的，恒成立，求實(shí)數(shù)的最小值．變式1．（2023·四川綿陽(yáng)·四川省綿陽(yáng)南山中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，．(1)若，求函數(shù)的最小值及取得最小值時(shí)的值；(2)若函數(shù)對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．命題方向四：分離參數(shù)之全分離，半分離，換元分離例9．（2023·河南鄭州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)，．(1)討論的極值的個(gè)數(shù)；(2)若在上恒成立，求a的取值范圍．例10．（2023·甘肅張掖·高臺(tái)縣第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)．(1)討論的極值；(2)當(dāng)時(shí)，，求k的取值范圍．命題方向五：洛必達(dá)法則例11．已知函數(shù)在處取得極值，且曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)與直線(xiàn)垂直.(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)若，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.例12．設(shè)函數(shù).當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍.命題方向六：同構(gòu)法例13．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)，函數(shù)，若對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．例14．（2023·江西南昌·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）若關(guān)于的不等式對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．例15．（2023·重慶萬(wàn)州·高三重慶市萬(wàn)州第二高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù).(1)若，判斷的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；(2)當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.命題方向七：必要性探路例16．（2023·江西九江·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)(1)討論f(x)的單調(diào)性：(2)當(dāng)時(shí)，若，，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．例17．（2023·上海普陀·曹楊二中?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)求證：；(2)若，試比較與的大??；(3)若，問(wèn)是否恒成立？若恒成立，求的取值范圍；若不恒成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.例18．（2023·福建福州·高三?？计谥校┮阎瘮?shù)．(1)若恒成立，直接寫(xiě)出a的值，并證明該不等式；(2)證明：當(dāng)時(shí)，；(3)當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求a的取值集合．命題方向八：max，min函數(shù)問(wèn)題例19．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)，，其中.(1)證明：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；(2)用表示中的最大值，記.是否存在實(shí)數(shù)a，對(duì)任意的，恒成立.若存在，求出，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.例20．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)，，其中.（1）證明：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；（2）用表示m，n中的最大值，記.是否存在實(shí)數(shù)a，對(duì)任意的，恒成立.若存在，求出a；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.命題方向九：構(gòu)造函數(shù)技巧例21．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)，．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，且關(guān)于的不等式在上恒成立，其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．例22．（2023·湖北·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)求函數(shù)在處的切線(xiàn)方程；(2)若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.命題方向十：雙變量最值問(wèn)題例23．（2023·江蘇·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知，，對(duì)于，恒成立，則的最小值為（

）A． B．－1 C． D．－2例24．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)，，其中．（1）當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)與函數(shù)的圖象相切，求的值；（2）當(dāng)時(shí)，若對(duì)任意，都有恒成立，求的最小值．【過(guò)關(guān)測(cè)試】1．（2023·陜西咸陽(yáng)·武功縣普集高級(jí)中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，給出以下三個(gè)結(jié)論：①如果有兩個(gè)不同的根，則；②當(dāng)時(shí)，恒成立；③如果有兩個(gè)根，，則.其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)為（

）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)2．（2023·四川成都·石室中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）對(duì)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第六中學(xué)校校考三模）設(shè)實(shí)數(shù)，對(duì)任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．（2023·江西·江西師大附中?？既＃┤舨坏仁皆谏虾愠闪ⅲ瑒t實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．5．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，若對(duì)任意，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．6．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）若不等式對(duì)恒成立，那么的最大整數(shù)值為（

）A． B．1 C．2 D．39．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）若，恒成立，則a的最小值為（

）A． B． C． D．10．（多選題）（2023·湖南長(zhǎng)沙·周南中學(xué)?？既＃┤簦艉愠闪?，則的值不可以是（

）A． B．1 C． D．11．（多選題）（2023·山西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知，則的可能取值有（

）A． B． C． D．12．（多選題）（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）若不等式恒成立，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則的值可能為（

）A． B． C． D．13．（多選題）（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知時(shí)，，則（

）A．當(dāng)時(shí)， B．當(dāng)時(shí)，C．當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)時(shí)，14．（多選題）（2023·吉林長(zhǎng)春·東北師大附中校考模擬預(yù)測(cè)）已知，，則（

）A． B．C． D．15．（多選題）（2023·重慶·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）若實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足，則（

）A． B． C． D．16．（2023·廣東佛山·高三佛山市第四中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)，對(duì)任意的正實(shí)數(shù)x都有恒成立，則a的取值范圍是__________．17．（2023·陜西咸陽(yáng)·武功縣普集高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知是定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，若，，且時(shí)，恒成立，則的取值范圍是_________.18．（2023·河南鄭州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，，若恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為_(kāi)_____．19．通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；20．利用分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題．21．根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，若參變分離不易求解問(wèn)題，就要考慮利用分類(lèi)討論法和放縮法，注意恒成立與有解問(wèn)題的區(qū)別．22．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）若，不等式恒成立，則參數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_____．23．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）若，不等式恒成立，則參數(shù)k的取值范圍為_(kāi)_____．24．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）若對(duì)于，不等式恒成立，則參數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_____．25．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)實(shí)數(shù)，若對(duì)不等式恒成立，則m的取值范圍為_(kāi)_______．26．（2023·遼寧沈陽(yáng)·高三校聯(lián)考學(xué)業(yè)考試）已知實(shí)數(shù)，函數(shù)，．(1)若不等式恒成立，求a的取值范圍；(2)若不等式恒成立，求a的取值范圍．27．（2023·浙江寧波·高三期末）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程；(2)若對(duì)恒成立，求k的取值范圍；(3)求證：對(duì)，不等式恒成立.28．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知，.(1)若恒成立，求m的取值范圍；(2)若不等式在區(qū)間上恒成立，求a的取值范圍．29．（2023·江蘇泰州·高三江蘇省泰興中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，其中．(1)若對(duì)一切，恒成立，求的值；(2)在函數(shù)的圖像上取定點(diǎn)，記直線(xiàn)的斜率為，證明：存在，使恒成立．30．（2023·陜西渭南·高三?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，恒成立，求的取值范圍；(2)若曲線(xiàn)的一條切線(xiàn)為，證明：當(dāng)時(shí)，恒成立.31．（2023·山西晉中·高三?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，．(1)設(shè)函數(shù)，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若存在常數(shù)，，使得，對(duì)恒成立，且，對(duì)恒成立，則稱(chēng)直線(xiàn)為函數(shù)與的“分界線(xiàn)”，試問(wèn)：與是否存在“分界線(xiàn)”？若存在，求出“分界線(xiàn)”的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．32．（2023·重慶九龍坡·重慶市育才中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)方程；(2)當(dāng)時(shí)，恒成立，求的值；(3)當(dāng)，時(shí)，恒成立，直接寫(xiě)出的取值范圍．33．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.(1)若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.34．（2023·黑龍江大慶·高三鐵人中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知．(1)求證：對(duì)于，恒成立；(2)若對(duì)于，有恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．35．（2023·浙江舟山·高三舟山中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若在恒成立，求正實(shí)數(shù)的取值范圍．

能力拓展07不等式恒成立問(wèn)題【命題方向目錄】命題方向一：直接法命題方向二：端點(diǎn)恒成立命題方向三：端點(diǎn)不成立命題方向四：分離參數(shù)之全分離，半分離，換元分離命題方向五：洛必達(dá)法則命題方向六：同構(gòu)法命題方向七：必要性探路命題方向八：max，min函數(shù)問(wèn)題命題方向九：構(gòu)造函數(shù)技巧命題方向十：雙變量最值問(wèn)題【方法技巧與總結(jié)】1、利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問(wèn)題的求解策略：（1）通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；（2）利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題；（3）根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問(wèn)題，就要考慮利用分類(lèi)討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問(wèn)題的區(qū)別．2、利用參變量分離法求解函數(shù)不等式恒（能）成立，可根據(jù)以下原則進(jìn)行求解：（1），；（2），；（3），；（4），．3、不等式的恒成立與有解問(wèn)題，可按如下規(guī)則轉(zhuǎn)化：一般地，已知函數(shù)，，，．（1）若，，有成立，則；（2）若，，有成立，則；（3）若，，有成立，則；（4）若，，有成立，則的值域是的值域的子集．4、法則1若函數(shù)和滿(mǎn)足下列條件：（1）及；（2）在點(diǎn)的去心HYPERLINK鄰域內(nèi)，與可導(dǎo)且；（3），那么=．法則2若函數(shù)和滿(mǎn)足下列條件：（1）及；（2），和在與上可導(dǎo)，且；（3），那么=．法則3若函數(shù)和滿(mǎn)足下列條件：（1）及；（2）在點(diǎn)的去心HYPERLINK鄰域內(nèi)，與可導(dǎo)且；（3），那么=．注意：利用洛必達(dá)法則求未定式的極限是微分學(xué)中的重點(diǎn)之一，在解題中應(yīng)注意：（1）將上面公式中的，，，洛必達(dá)法則也成立．（2）洛必達(dá)法則可處理，，，，，，型．（3）在著手求極限以前，首先要檢查是否滿(mǎn)足，，，，，，型定式，否則濫用洛必達(dá)法則會(huì)出錯(cuò)．當(dāng)不滿(mǎn)足三個(gè)前提條件時(shí)，就不能用洛必達(dá)法則，這時(shí)稱(chēng)洛必達(dá)法則不適用，應(yīng)從另外途徑求極限．（4）若條件符合，洛必達(dá)法則可連續(xù)多次使用，直到求出極限為止．，如滿(mǎn)足條件，可繼續(xù)使用洛必達(dá)法則．【典例例題】命題方向一：直接法例1．（2023·遼寧·高三本溪高中校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)且，函數(shù)，．(1)證明：恒成立；(2)若對(duì)，恒成立，求a的取值范圍．【解析】（1）證明：的定義域?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，，時(shí)，，所以在區(qū)間（0，1）內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增．故的最小值為，因此恒成立．（2）①當(dāng)時(shí)，取，則，即不符合題意；②當(dāng)時(shí)，取，則，即不符合題意；③當(dāng)時(shí)，由，所以，即對(duì)恒成立．令，，且，所以對(duì)恒成立．設(shè)，，則，設(shè)，則，由（1）知，所以，同理，由可推出，所以，即在上單調(diào)遞增，又，所以在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，故成立．綜上a的取值范圍為．例2．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·高三江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù)若不等式對(duì)一切恒成立，則正整數(shù)的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意不等式對(duì)一切恒成立，即對(duì)一切恒成立，令，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，則需恒成立；令，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，當(dāng)時(shí)，，取，（），取，即在存在唯一的零點(diǎn)，且，故時(shí)，，時(shí)，，故正整數(shù)的最大值為7，故選：C命題方向二：端點(diǎn)恒成立例3．（2023·四川綿陽(yáng)·四川省綿陽(yáng)南山中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù)．(1)求在處的切線(xiàn)方程；(2)若任意，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】（1）時(shí)，；又，則，切線(xiàn)方程為：，即（2），則，又令，①當(dāng)，即時(shí)，恒成立，∴在區(qū)間上單調(diào)遞增，∴，∴，∴在區(qū)間上單調(diào)遞增，∴（不合題意）；②當(dāng)即時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，∴，∴，∴在區(qū)間上單調(diào)遞減，∴（符合題意）；③當(dāng)，即時(shí)，由，∴，使，且時(shí)，，∴在上單調(diào)遞增，∴（不符合題意）；綜上，的取值范圍是；例4．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)，.(1)求證：在上恒成立；(2)若關(guān)于的不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】(1)證明：因?yàn)椋O(shè)，則，令，則所以在上單調(diào)遞增，，即所以在上單調(diào)遞增，所以，即，所以在上單調(diào)遞增，所以(2)當(dāng)時(shí)，，設(shè)，即，由（1）可得所以，從而在上單調(diào)遞增，，于是當(dāng)任意的實(shí)數(shù)，在上恒成立；當(dāng)時(shí)，在上恒成立，因?yàn)椋谑?，故不符合題意.綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.例5．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)，其中為實(shí)數(shù)，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．是的導(dǎo)數(shù)．（1）試討論的極值點(diǎn)；（2）①若，證明：當(dāng)時(shí)，恒成立；②當(dāng)時(shí)，恒成立，求的取值范圍．【解析】（1），則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，無(wú)極值點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，令，則，令，則，單調(diào)遞增，令，則，單調(diào)遞減，的極小值點(diǎn)為，無(wú)極大值點(diǎn)，綜上：當(dāng)時(shí)，無(wú)極值點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，的極小值點(diǎn)為，無(wú)極大值點(diǎn)．（2）①證明：當(dāng)時(shí)，設(shè)，，則，故在，上單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，，故在，上單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，恒成立．②設(shè)，則，且，則，且，，，，則在，上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，由于在，上單調(diào)遞增，則當(dāng)時(shí)，，則在，上單調(diào)遞增，故，則在，上單調(diào)遞增，故，符合題意，當(dāng)時(shí)，，利用（1）中已證結(jié)論可得由于在，上單調(diào)遞增，，故必然存在，使得時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，則當(dāng)時(shí)，，綜上，的取值范圍為，．命題方向三：端點(diǎn)不成立例6．（2023·浙江舟山·舟山中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)若恒成立，求的最小值；(2)求證：；(3)已知恒成立，求的取值范圍．【解析】(1)等價(jià)于，令，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，則，的最小值為.(2)證明：當(dāng)時(shí)，由（1）得，即.令，則，即.(3)恒成立，即恒成立,，由（2）知恒成立，，故的取值范圍為.例7．（2023·江蘇南京·高二南京市中華中學(xué)校考期末）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】（1）的定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，，在上為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，由，得，由，得，所以在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù).綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù).（2），設(shè)，則原不等式恒成立等價(jià)于在上恒成立，，在上為增函數(shù)，則在上恒成立，等價(jià)于在上恒成立，等價(jià)于在上恒成立令，，令，得，令，得，所以在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以，故.例8．（2023·江西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若對(duì)于任意的，恒成立，求實(shí)數(shù)的最小值．【解析】（1）由定義域?yàn)橛至?，顯然在單調(diào)遞減，且；∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．則在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減（2）法一：∵任意的，恒成立，∴恒成立，即恒成立令，則．令，則在上單調(diào)遞增，∵，．∴存在，使得當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞減，由，可得，∴，又∴，故的最小值是1．法二：∴恒成立，即恒成立令不妨令，顯然在單調(diào)遞增．∴在恒成立．令∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，即在單調(diào)遞增在單調(diào)遞減∴∴，故的最小值是1．變式1．（2023·四川綿陽(yáng)·四川省綿陽(yáng)南山中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，．(1)若，求函數(shù)的最小值及取得最小值時(shí)的值；(2)若函數(shù)對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)椋?，令得，所以，?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，函數(shù)在處取得最小值，.（2）因?yàn)楹瘮?shù)對(duì)恒成立所以對(duì)恒成立，令，則，①當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，所以，由可得，即滿(mǎn)足對(duì)恒成立；②當(dāng)時(shí)，則，，在上單調(diào)遞增，因?yàn)楫?dāng)趨近于時(shí)，趨近于負(fù)無(wú)窮，不成立，故不滿(mǎn)足題意；③當(dāng)時(shí)，令得令，恒成立，故在上單調(diào)遞增，因?yàn)楫?dāng)趨近于正無(wú)窮時(shí)，趨近于正無(wú)窮，當(dāng)趨近于時(shí)，趨近于負(fù)無(wú)窮，所以，使得，，所以，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，只需即可；所以，，，因?yàn)?，所以，所以，解得，所以，?/p>

綜上所解，實(shí)數(shù)a的取值范圍為．命題方向四：分離參數(shù)之全分離，半分離，換元分離例9．（2023·河南鄭州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)，．(1)討論的極值的個(gè)數(shù)；(2)若在上恒成立，求a的取值范圍．【解析】（1）定義域?yàn)?，，令，?dāng)a＝0時(shí)，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以有一個(gè)極大值；當(dāng)時(shí)，①，為圖象開(kāi)口朝下的二次函數(shù)，，∴的兩根為，顯然，，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以有一個(gè)極大值；②，可知，∴在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．所以有2個(gè)極值，一個(gè)極大值，一個(gè)極小值；③時(shí)，可得，∴在上單調(diào)遞增，所以無(wú)極值．綜上所述，當(dāng)時(shí)，有一個(gè)極大值；當(dāng)時(shí)，有一個(gè)極大值，一個(gè)極小值；當(dāng)時(shí)，無(wú)極值．（2）設(shè)，，，∴，∴，兩邊同時(shí)取倒數(shù)，∴，∴，又∵，∴即可，由，可得，設(shè)，，∴設(shè)，，∴，∴，∴單調(diào)遞減，∴，∴，∴a的取值范圍為．例10．（2023·甘肅張掖·高臺(tái)縣第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)．(1)討論的極值；(2)當(dāng)時(shí)，，求k的取值范圍．【解析】（1），記，則．①當(dāng)時(shí)，，在R上單調(diào)遞減，故無(wú)極值．②當(dāng)時(shí)，令，得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減．所以在處取得極大值，且極大值為．綜上所述，當(dāng)時(shí)，無(wú)極值；當(dāng)時(shí)，的極大值為，無(wú)極小值．（2）可化為，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)可得；當(dāng)時(shí)，不等式可化為，設(shè)，則，

設(shè)，則，所以單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，所以函數(shù)在和上都為增函數(shù)，取，則，設(shè)，則當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，所以的最小值為，即，所以當(dāng)和時(shí)，沒(méi)有最小值，但當(dāng)x趨近－1時(shí)，無(wú)限趨近，且，又恒成立，所以，所以．綜上，k的取值范圍為．命題方向五：洛必達(dá)法則例11．已知函數(shù)在處取得極值，且曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)與直線(xiàn)垂直.(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)若，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】(1)，；函數(shù)在處取得極值，；又曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)與直線(xiàn)垂直，；解得：；（2）不等式恒成立可化為，即；當(dāng)時(shí)，恒成立；當(dāng)時(shí)，恒成立，令，則；令，則；令，則；得在是減函數(shù)，故，進(jìn)而（或，，得在是減函數(shù)，進(jìn)而）．可得：，故，所以在是減函數(shù)，而要大于等于在上的最大值，但當(dāng)時(shí)，沒(méi)有意義，變量分離失效，我們可以由洛必達(dá)法得到答案，，故答案為．例12．設(shè)函數(shù).當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍.【解析】由題設(shè)，此時(shí).①當(dāng)時(shí)，若，則，不成立；②當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，即；若，則；若，則等價(jià)于，即.記，則.記，則，.因此，在上單調(diào)遞增，且，所以，即在上單調(diào)遞增，且，所以.因此，所以在上單調(diào)遞增.由洛必達(dá)法則有，即當(dāng)時(shí)，，即有，所以.綜上所述，的取值范圍是.命題方向六：同構(gòu)法例13．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)，函數(shù)，若對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)?，?duì)恒成立，又，所以，即，即，令，，∴，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，可得時(shí)，函數(shù)取得極小值即最小值，，∴恒成立，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，又原不等式等價(jià)于，所以，即，即恒成立，令，，則，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，可得時(shí)，函數(shù)取得極大值即最大值.，所以.故選：A.例14．（2023·江西南昌·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）若關(guān)于的不等式對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意可知，，即對(duì)恒成立．設(shè)，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．①在上，若恒成立，即，；②在上，若，則恒成立，即恒成立，令，，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為．故選：B．例15．（2023·重慶萬(wàn)州·高三重慶市萬(wàn)州第二高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù).(1)若，判斷的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；(2)當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】（1），，定義域?yàn)?，令，可得，設(shè)，則，令，得在上單調(diào)遞增；令，得，在上單調(diào)遞減，.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，從而可畫(huà)出的大致圖象，

①當(dāng)或時(shí)，沒(méi)有零點(diǎn)；②當(dāng)或時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)；③當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn).（2）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，可化為在上恒成立，該問(wèn)題等價(jià)于在上恒成立，即在上恒成立，令，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，，即，即①當(dāng)時(shí)，，不等式恒成立；②當(dāng)時(shí)，令，顯然單調(diào)遞增，且，故存在，使得，所以，即，而，此時(shí)不滿(mǎn)足，所以實(shí)數(shù)不存在.綜上可知，使得恒成立的實(shí)數(shù)的取值范圍為.命題方向七：必要性探路例16．（2023·江西九江·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)(1)討論f(x)的單調(diào)性：(2)當(dāng)時(shí)，若，，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【解析】（1）．當(dāng)時(shí)，，易知f(x)在R上單調(diào)遞減．當(dāng)時(shí)，令，可得；令，可得且，∴f(x)在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．當(dāng)時(shí)，令，可得且；令，可得，∴在和上單調(diào)增，在上單調(diào)遞減．（2）當(dāng)時(shí)，由，得即，令，則∵，且，∴存在，使得當(dāng)時(shí)，，∴，即．下面證明當(dāng)時(shí)，對(duì)恒成立．∵，且，∴設(shè)，∴，可知F(x)在上單調(diào)遞減，在(0，+∞)上單調(diào)遞增，∴，∴，∴，∴綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍為．例17．（2023·上海普陀·曹楊二中校考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)求證：；(2)若，試比較與的大??；(3)若，問(wèn)是否恒成立？若恒成立，求的取值范圍；若不恒成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】（1）即證，令，，當(dāng)所以此時(shí)單調(diào)遞減；當(dāng)所以此時(shí)單調(diào)遞增；即當(dāng)時(shí)，取得極小值也是最小值，所以，得證；（2）設(shè)，則，①當(dāng)時(shí)，，所以，而此時(shí)，故，在減函數(shù)，，即；②當(dāng)時(shí)，由（1）知，令，即在單調(diào)遞增，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)，又恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)，所以，即，即綜上，若，.（3）恒成立，設(shè)，即證在上恒成立，易得，當(dāng)時(shí)，若，下面證明：當(dāng)時(shí)，，在上恒成立，因?yàn)?，設(shè)，則，所以在上是單調(diào)遞增函數(shù)，所以，所以在上是嚴(yán)格增函數(shù)，若時(shí)，，即在右側(cè)附近單調(diào)遞減，此時(shí)必存在，不滿(mǎn)足恒成立，故當(dāng)時(shí)，不等式恒成立.例18．（2023·福建福州·高三?？计谥校┮阎瘮?shù)．(1)若恒成立，直接寫(xiě)出a的值，并證明該不等式；(2)證明：當(dāng)時(shí)，；(3)當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求a的取值集合．【解析】（1）的值為，即不等式，證明如下：構(gòu)造函數(shù)，，所以在區(qū)間遞減；在區(qū)間遞增.所以，故，即不等式恒成立.（2），構(gòu)造函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，，，，所以，所以在區(qū)間上遞減.當(dāng)時(shí)，，，，所以，所以在區(qū)間上遞增.當(dāng)時(shí)，，，所以，所以在區(qū)間上遞增.所以，即.（3）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，即時(shí)，不等式恒成立，構(gòu)造函數(shù)，即,由于且，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，由于是可導(dǎo)函數(shù)，且，則是函數(shù)的極小值點(diǎn)，所以，解得.下面證明當(dāng)時(shí)，為的極小值點(diǎn)：此時(shí)，，令，，由（2）可知，當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上遞增，，所以在區(qū)間遞減；在區(qū)間遞增，所以是的極小值點(diǎn)，符合題意.所以的取值集合是.命題方向八：max，min函數(shù)問(wèn)題例19．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)，，其中.(1)證明：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；(2)用表示中的最大值，記.是否存在實(shí)數(shù)a，對(duì)任意的，恒成立.若存在，求出，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】（1），.當(dāng)時(shí)，，則；當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，在上是增函數(shù)，又，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.（2）函數(shù)的定義域?yàn)?，由?）知，當(dāng)時(shí)，，又，所以當(dāng)時(shí)，恒成立，由于當(dāng)時(shí)，恒成立，所以等價(jià)于：當(dāng)時(shí)，..①若，當(dāng)時(shí)，，故，遞增，此時(shí)，不合題意；②若，當(dāng)時(shí)，由知，存在，使得，根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性可知，在上遞增，故當(dāng)，，遞增，此時(shí)，不合題意；③若，當(dāng)時(shí)，由知，對(duì)任意，，遞減，此時(shí)，符合題意.綜上可知：存在實(shí)數(shù)滿(mǎn)足題意，的取值范圍是.例20．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)，，其中.（1）證明：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；（2）用表示m，n中的最大值，記.是否存在實(shí)數(shù)a，對(duì)任意的，恒成立.若存在，求出a；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】（1）證明：，.當(dāng)時(shí)，，則；當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，在上是增函數(shù)，又，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.（2）函數(shù)的定義域?yàn)椋桑?）知，當(dāng)時(shí)，，又，所以當(dāng)時(shí)，恒成立，由于當(dāng)時(shí)，恒成立，所以等價(jià)于：當(dāng)時(shí)，..①若，當(dāng)時(shí)，，故，遞增，此時(shí)，不合題意；②若，當(dāng)時(shí)，由知，存在，當(dāng)，，遞增，此時(shí)，不合題意；③若，當(dāng)時(shí)，由知，對(duì)任意，，遞減，此時(shí)，符合題意.綜上可知：存在實(shí)數(shù)滿(mǎn)足題意，的取值范圍是.命題方向九：構(gòu)造函數(shù)技巧例21．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)，．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，且關(guān)于的不等式在上恒成立，其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】（1）根據(jù)題意可知的定義域?yàn)?，，令，得．?dāng)時(shí)，時(shí)，，時(shí)；當(dāng)時(shí)，時(shí)，，時(shí)．綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（2）依題意，，即在上恒成立，令，則．對(duì)于，，故其必有兩個(gè)零點(diǎn)，且兩個(gè)零點(diǎn)的積為，則兩個(gè)零點(diǎn)一正一負(fù)，設(shè)其正零點(diǎn)為，則，即，且在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，即．令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，故，顯然函數(shù)在上是關(guān)于的單調(diào)遞增函數(shù)，則，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為．例22．（2023·湖北·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)求函數(shù)在處的切線(xiàn)方程；(2)若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】（1），，，的圖像在處的切線(xiàn)方程為，即.（2）解法一：由題意得，因?yàn)楹瘮?shù)，故有，等價(jià)轉(zhuǎn)化為，即在時(shí)恒成立，所以，令，則，令，則，所以函數(shù)在時(shí)單調(diào)遞增，，，，使得，當(dāng)時(shí)，，即單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，即單調(diào)遞增，故，由，得在中，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，即與，，，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.解法二：因?yàn)楹瘮?shù)，故有，等價(jià)轉(zhuǎn)化為：，構(gòu)造，，所以可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，即成立，令，令，在單調(diào)遞增，又，所以存在，使得，即，可知，當(dāng)時(shí)，可知恒成立，即此時(shí)不等式成立；當(dāng)時(shí)，又因?yàn)?，所以，與不等式矛盾；綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為.命題方向十：雙變量最值問(wèn)題例23．（2023·江蘇·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知，，對(duì)于，恒成立，則的最小值為（

）A． B．－1 C． D．－2【答案】C【解析】因?yàn)閷?duì)于，恒成立，所以對(duì)于，恒成立，設(shè)，所以.當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以函數(shù)沒(méi)有最大值，所以這種情況不滿(mǎn)足已知；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減.所以.所以.所以.設(shè)，所以，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增.所以.所以的最小值為.故選：C例24．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)，，其中．（1）當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)與函數(shù)的圖象相切，求的值；（2）當(dāng)時(shí)，若對(duì)任意，都有恒成立，求的最小值．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)與函數(shù)的圖象相切于，因?yàn)椋裕瑒t且，即，解得：.（2）若對(duì)任意，都有恒成立，得.假設(shè)，則當(dāng)時(shí)，，而當(dāng)時(shí)，.取，則當(dāng)時(shí)，，而，矛盾；故.當(dāng)時(shí)，由，得，即.下證：能取到.當(dāng)時(shí)，.記，則，令，得；令，得；所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，所以，即.所以.即對(duì)任意恒成立，故的最小值為.【過(guò)關(guān)測(cè)試】1．（2023·陜西咸陽(yáng)·武功縣普集高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，給出以下三個(gè)結(jié)論：①如果有兩個(gè)不同的根，則；②當(dāng)時(shí)，恒成立；③如果有兩個(gè)根，，則.其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)為（

）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【答案】D【解析】①正確，如果有兩個(gè)不同的根，即有兩個(gè)根.設(shè)，，易知在上是減函數(shù)，且，所以當(dāng)時(shí)，，即，此時(shí)為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，即，此時(shí)為減函數(shù)，所以由圖象可知，即；②正確，設(shè)，則，所以當(dāng)時(shí)，此時(shí)為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)為減函數(shù)，所以時(shí)，取得最大值，最大值為0，即，所以，當(dāng)時(shí)，恒成立；③正確，由于有兩個(gè)根，，令，即，即，要證明成立，只需證明，即，故只需證明，即證明，設(shè)，則，則上式化為.設(shè)，，即在上為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，由于，則，即成立，故命題成立.故選：D.2．（2023·四川成都·石室中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）對(duì)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由有意義可知，.由，得.令，即有.因?yàn)?，所?令，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為當(dāng)，恒成立.因?yàn)?，令，即；令，即，，則在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減.注意到，，所以當(dāng)時(shí)，.因?yàn)楫?dāng)，恒成立，所以只需且，解得.故選：C.3．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第六中學(xué)校?？既＃┰O(shè)實(shí)數(shù)，對(duì)任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)楹愠闪⒓?，可得，令，則恒成立.又，故當(dāng)時(shí)，，故在區(qū)間上為增函數(shù).又恒成立，則在區(qū)間上恒成立，即，.構(gòu)造，則，令有，故當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，為減函數(shù).故，故，即.故選：B4．（2023·江西·江西師大附中校考三模）若不等式在上恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】不等式在上恒成立，兩邊同除得在上恒成立，令，則，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，令，，即在上恒成立，所以只需即可，令，則，令，則在上恒成立，單調(diào)遞增，又因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，即，故選：B5．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，若對(duì)任意，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】當(dāng)時(shí)，，故，故，令，則，令，故，令，故，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍為，故選：D6．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）若不等式對(duì)恒成立，那么的最大整數(shù)值為（

）A． B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】因?yàn)閷?duì)恒成立，即在恒成立，構(gòu)建，，則對(duì)恒成立，則，即，解得.下面證明當(dāng)時(shí)，對(duì)恒成立，①因?yàn)榈亩x域?yàn)?，且，?gòu)建，則有，且，所以在上單調(diào)遞減，且，可得：當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，即，在上單調(diào)遞減；所以.②因?yàn)楫?dāng)時(shí)，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以；又因?yàn)?，所以，所以在恒成立，整理得在恒成立，且，則在上恒成立；綜上所述：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，對(duì)恒成立，即對(duì)恒成立，所以的最大整數(shù)值為2.故選：C.7．根據(jù)恒成立問(wèn)題，先取特值得到參數(shù)的取值范圍，再證明其充分性；8．證明不等式時(shí)，可以利用中間值法說(shuō)明，即證.9．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）若，恒成立，則a的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】依題意，．因?yàn)?，所以，若，顯然成立，此時(shí)滿(mǎn)足；若，令，在上恒成立，∴在上單調(diào)遞增，而，∴．綜上，在上恒成立，∴．令，，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減.所以，即．所以a的最小值為.故選：B．10．（多選題）（2023·湖南長(zhǎng)沙·周南中學(xué)?？既＃┤?，若恒成立，則的值不可以是（

）A． B．1 C． D．【答案】ABD【解析】因?yàn)椋葍r(jià)于，等價(jià)于，所以原題意即為恒成立，令，則，又易得在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，所以，即，故恒成立，令，則，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，解得，所以若恒成立，則.故A、B、D錯(cuò)誤，C正確.故選：ABD.11．（多選題）（2023·山西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知，則的可能取值有（

）A． B． C． D．【答案】BD【解析】已知，當(dāng)時(shí)，成立；當(dāng)時(shí)，恒成立或恒成立；即恒成立或恒成立；設(shè)單調(diào)遞減；單調(diào)遞增；無(wú)最大值.設(shè)單調(diào)遞減；單調(diào)遞增；無(wú)最大值.當(dāng)時(shí)，成立或成立；當(dāng)時(shí)，成立或無(wú)解；當(dāng)時(shí)，恒成立或恒成立；即恒成立或恒成立；設(shè)單調(diào)遞減；單調(diào)遞增；無(wú)最小值.設(shè)單調(diào)遞減；無(wú)最小值.當(dāng)時(shí)，恒成立或成立；當(dāng)時(shí)，成立；或無(wú)解；所以.故選：BD.12．（多選題）（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）若不等式恒成立，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則的值可能為（

）A． B． C． D．【答案】ABD【解析】因?yàn)椋?，則．令，則．當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．故，即，從而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．又，所以，則，所以．令，則．當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．故，且當(dāng)時(shí)，.故選：ABD．13．（多選題）（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知時(shí)，，則（

）A．當(dāng)時(shí)， B．當(dāng)時(shí)，C．當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)時(shí)，【答案】BCD【解析】設(shè)，，，由得，所以時(shí)，或.A和B選項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，所以，即當(dāng)時(shí)，，故.設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減.故，即，所以有，即，.設(shè)，由題意可知，，，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增，所以，得，由得，，當(dāng)時(shí)，由得，則，故B正確，取，，，則，故A錯(cuò)誤；C和D選項(xiàng)：當(dāng)時(shí)，由題意，恰為，兩交點(diǎn)，所在直線(xiàn)，則則由對(duì)數(shù)平均不等式知，.故，故CD正確故選：BCD14．（多選題）（2023·吉林長(zhǎng)春·東北師大附中?？寄M預(yù)測(cè)）已知，，則（

）A． B．C． D．【答案】AC【解析】由已知可得，.設(shè)，則恒成立，所以，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.又，，根據(jù)零點(diǎn)存在定理可得，，使得，所以，由可得，.對(duì)于A項(xiàng)，因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.因?yàn)?，，所以，故A項(xiàng)正確；對(duì)于B項(xiàng)，因?yàn)椋?令，，則.因?yàn)?，所以，，所以，所以，?dāng)時(shí)，恒成立.又，所以，即，即，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)，因?yàn)?，所?設(shè)，，則.因?yàn)?，所以，所以，所以在上恒成立，所以，在上單調(diào)遞增.又，所以，所以，故C項(xiàng)正確；對(duì)于D項(xiàng)，因?yàn)?，所?設(shè)，，則.因?yàn)椋?，，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.因?yàn)?，所以，?因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.因?yàn)?，所以，所以，，所以在上恒成立，所以，在上單調(diào)遞增.又，所以，所以，，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AC.15．（多選題）（2023·重慶·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）若實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足，則（

）A． B． C． D．【答案】AC【解析】依題意可知，不等式可化為，設(shè)，則，即，設(shè)，，所以在區(qū)間遞增；在區(qū)間遞減.所以，所以要使成立，則，即，由于，故解得，則，，，，所以AC選項(xiàng)正確.故選：AC16．（2023·廣東佛山·高三佛山市第四中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)，對(duì)任意的正實(shí)數(shù)x都有恒成立，則a的取值范圍是__________．【答案】【解析】因?yàn)閷?duì)任意的正實(shí)數(shù)x都有恒成立，所以，即對(duì)任意的正實(shí)數(shù)x恒成立，因?yàn)楹瘮?shù)與函數(shù)互為反函數(shù)，且，所以對(duì)任意的正實(shí)數(shù)x恒成立，即，令，則，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以，所以，解得.故答案為：.17．（2023·陜西咸陽(yáng)·武功縣普集高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知是定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，若，，且時(shí)，恒成立，則的取值范圍是_________.【答案】【解析】由于，因?yàn)?，，設(shè)，則，所以當(dāng)時(shí)，，此時(shí)為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)為減函數(shù)；所以，即，故在上是減函數(shù).又由于時(shí)，恒成立，所以，設(shè)，易知該函數(shù)為單調(diào)增函數(shù)，故時(shí)，，只需，即.又由于化為，，設(shè)，由，得，故等價(jià)變形為當(dāng)時(shí)，，令，則，故當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，所以若使在上恒成立，只需，即.綜上，.故答案為：18．（2023·河南鄭州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，，若恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為_(kāi)_____．【答案】【解析】由題意可得函數(shù)的定義域?yàn)?，不等式等價(jià)于恒成立，即恒成立，令，則．令，則在上單調(diào)遞增，因?yàn)椋?，所以存在，使得，?dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞減；所以，由于，可得，即，所以，又恒成立，即，所以，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為．19．通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；20．利用分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題．21．根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，若參變分離不易求解問(wèn)題，就要考慮利用分類(lèi)討論法和放縮法，注意恒成立與有解問(wèn)題的區(qū)別．22．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）若，不等式恒成立，則參數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_____．【答案】【解析】由于不等式恒成立，于是得到，然后構(gòu)建函數(shù)，，則，再構(gòu)建一個(gè)函數(shù)，，則，函數(shù)單調(diào)遞增，于是當(dāng)時(shí)，，則，函數(shù)單調(diào)遞增，而，于是函數(shù)，因此參數(shù)的取值范圍為．故答案為：．23．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）若，不等式恒成立，則參數(shù)k的取值范圍為_(kāi)_____．【答案】【解析】設(shè)，則，令，是增函數(shù)，即是增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，即是增函數(shù)，，符合題意；當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，令，則，所以，因?yàn)椋瑒t，取，則，所以當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)，即，不滿(mǎn)足題意；綜上：.故答案為：.24．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）若對(duì)于，不等式恒成立，則參數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_____．【答案】【解析】令，可得，若時(shí)，，單調(diào)遞減，又由，所以當(dāng)時(shí)，可得，不符合題意，舍去；若時(shí)，令，可得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；又由，所以存在，使得，不符合題意，舍去；若時(shí)，令，可得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，且，所以當(dāng)時(shí)，恒成立，符合題意，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為．故答案為：．25．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)實(shí)數(shù)，若對(duì)不等式恒成立，則m的取值范圍為_(kāi)_______．【答案】【解析】由，構(gòu)造函數(shù)，在為增函數(shù)，則即對(duì)不等式恒成立，則，構(gòu)造函數(shù)令，得；令，得；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，即.故答案為：.26．（2023·遼寧沈陽(yáng)·高三校聯(lián)考學(xué)業(yè)考試）已知實(shí)數(shù)，函數(shù)，．(1)若不等式恒成立，求a的取值范圍；(2)若不等式恒成立，求a的取值范圍．【解析】（1）由題設(shè)，()在上恒成立，所以在上恒成立，令，只需即可，由，故時(shí)，時(shí)，所以在上遞減，在上遞增，則，綜上，.（2）由題設(shè)，()在上恒成立，所以在上恒成立，（i）當(dāng)時(shí)證恒成立即可，令，則，若且，則，在上，遞減，在上，遞增，所以，即在上恒成立，故恒成立，滿(mǎn)足；（ii）當(dāng)時(shí)，，又在上遞增，所以，由（i）知：，所以恒成立，滿(mǎn)足；（iii）當(dāng)時(shí)，由上知：成立，僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，令，則，令，則，所以使成立，即成立，由，同（ii）分析可得：，故使成立，不合題意；綜上，.27．（2023·浙江寧波·高三期末）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程；(2)若對(duì)恒成立，求k的取值范圍；(3)求證：對(duì)，不等式恒成立.【解析】（1）因，所以，所以所求切線(xiàn)方程為，即；（2）因?yàn)樵谏虾愠闪ⅲ?，令得所以①?dāng)，即時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，則，滿(mǎn)足題意；②當(dāng)，即時(shí)，設(shè)，則的對(duì)稱(chēng)軸為，所以在上存在唯一零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，故，不合題意.綜上，k的取值范圍為；（3）由（2），當(dāng)時(shí)，在恒成立，即，令，則，故在上單調(diào)遞增，所以，即在上恒成立.綜上可得，對(duì)，不等式恒成立.28．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知，.(1)若恒成立，求m的取值范圍；(2)若不等式在區(qū)間上恒成立，求a的取值范圍．【解析】（1），即，，設(shè)，，，時(shí)，，遞增，時(shí)，，遞減，所以，恒成立，則；（2）不等式即為設(shè)，顯然此函數(shù)在定義域內(nèi)是增函數(shù)，所以在時(shí)恒成立，在時(shí)恒成立，設(shè)（），則，時(shí)，，遞增，時(shí)，，遞減，所以，所以．29．（2023·江蘇泰州·高三江蘇省泰興中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，其中．(1)若對(duì)一切，恒成立，求的值；(2)在函數(shù)的圖像上取定點(diǎn)，記直線(xiàn)的斜率為，證明：存在，使恒成立．【解析