專(zhuān)題04 立體幾何-【中職專(zhuān)用】中職高二數(shù)學(xué)題型精析通關(guān)練（高教版2023·拓展模塊一上冊(cè)）（解析版）

專(zhuān)題04立體幾何題型一平面的基本性質(zhì)【頻次0.4，難度0.3】例1下列命題不正確的是（

）A．若，且，則B．若，且，則C．若直線直線，則直線與直線確定一個(gè)平面D．三點(diǎn)確定一個(gè)平面.【答案】D【分析】A.由公理3：如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的直線.可判斷A正確；B.由公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線也在此平面內(nèi).可判斷B正確；C.由兩條相交直線確定一個(gè)平面可知，C正確.D.三點(diǎn)共線時(shí)不能確定一個(gè)平面，所以D錯(cuò)誤.【詳解】解：對(duì)于A：由公理3：如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的直線.A中，平面與平面有一個(gè)交點(diǎn)，則有一條交線，且在交線上.所以A正確.對(duì)于B：由公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線也在此平面內(nèi).所以B真確.對(duì)于C：由兩條相交直線確定一個(gè)平面可知，C正確.對(duì)于D：由公理2：不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面可知，三點(diǎn)共線時(shí)不能確定一個(gè)平面，所以D錯(cuò)誤.故選：D變式1下列說(shuō)法中正確的是A．空間不同的三點(diǎn)確定一個(gè)平面B．空間兩兩相交的三條直線確定一個(gè)平面C．空間有三個(gè)角為直角的四邊形一定是平面圖形D．和同一條直線相交的三條平行直線一定在同一平面內(nèi)【答案】D【詳解】因?yàn)锳.空間不同的三點(diǎn)確定一個(gè)平面，錯(cuò)誤．B.空間兩兩相交的三條直線確定一個(gè)平面，可以構(gòu)成棱錐，錯(cuò)誤C.空間有三個(gè)角為直角的四邊形一定是平面圖形，可以使三棱錐錯(cuò)誤D.和同一條直線相交的三條平行直線一定在同一平面內(nèi)，成立，故選D例2以下命題正確的是A．兩個(gè)平面可以只有一個(gè)交點(diǎn)B．一條直線與一個(gè)平面最多有一個(gè)公共點(diǎn)C．兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，它們可能相交D．兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn)，它們一定重合【答案】C【詳解】試題分析：兩個(gè)平面只要有一個(gè)公共點(diǎn)，就有一條通過(guò)該點(diǎn)的公共直線，故A錯(cuò)一條直線若在平面內(nèi)，其上的所有點(diǎn)都在平面內(nèi)，故B錯(cuò)兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，它們可能相交也可能是同一個(gè)平面，故C對(duì)，選C．變式2下列命題中，正確的是（

）A．3點(diǎn)確定一個(gè)平面B．一條直線和一個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面C．兩個(gè)平面相交，可以只有一個(gè)公共點(diǎn)D．三角形是平面圖形【答案】D【解析】根據(jù)基本事實(shí)1、2和3及基本事實(shí)1的推論逐一判斷．【詳解】解：不共線的3點(diǎn)確定一個(gè)平面，故A錯(cuò)；一條直線和直線外一點(diǎn)確定一個(gè)平面，故B錯(cuò)；兩個(gè)平面相交，有一條公共直線，有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)，故C錯(cuò)；三角形的兩條邊一定相交，根據(jù)基本事實(shí)1的推論2“過(guò)兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面”，三角形的兩條邊確定一個(gè)平面，而第三邊的兩個(gè)端點(diǎn)在該平面內(nèi)，根據(jù)基本事實(shí)2“如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)”確定第三邊在該平面內(nèi)，故三角形是一個(gè)平面圖形，D對(duì)；故選：D．題型二直線和直線的位置關(guān)系【頻次0.5，難度0.5】例3如圖，四面體中，，，E，F(xiàn)分別是的中點(diǎn)，若，則與所成的角的大小是（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)已知，結(jié)合圖形，利用中位線，把異面直線所成角的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形的夾角，根據(jù)等角定理以及三角形的性質(zhì)求解.【詳解】

如圖，取中點(diǎn)，連接、，因?yàn)镋，F(xiàn)分別是的中點(diǎn)，所以，，又，，所以，，因?yàn)椋?，所以在中，，所以，因?yàn)?，根?jù)等角定理可知，與所成的角的大小是，故B，C，D錯(cuò)誤.故選：A.變式3如圖，正方體中，直線和所成角的大小為（）A． B．C． D．【答案】C【分析】連結(jié)，，則，是異面直線與所成角（或所成角的補(bǔ)角），由此能求出異面直線與所成角的大小．【詳解】解：連結(jié)，，在正方體中，且，所以四邊形為平行四邊形，，是異面直線與所成角（或所成角的補(bǔ)角），，，異面直線與所成角的大小是．故選：C．例4已知直線l和平面，若直線l在空間中任意放置，則在平面內(nèi)總有直線和（

）A．垂直 B．平行 C．異面 D．相交【答案】A【分析】本題可以從直線與平面的位置關(guān)系入手：直線與平面的位置關(guān)系可以分為三種：直線在平面內(nèi)、直線與平面相交、直線與平面平行，在這三種情況下再討論平面中的直線與已知直線的關(guān)系，通過(guò)比較可知：每種情況都有可能垂直．【詳解】當(dāng)直線l與平面相交時(shí)，平面內(nèi)的任意一條直線與直線l的關(guān)系只有兩種：異面、相交，此時(shí)就不可能平行了，故B錯(cuò)．當(dāng)直線l與平面平行時(shí)，平面內(nèi)的任意一條直線與直線l的關(guān)系只有兩種：異面、平行，此時(shí)就不可能相交了，故D錯(cuò)．當(dāng)直線a在平面內(nèi)時(shí)，平面內(nèi)的任意一條直線與直線l的關(guān)系只有兩種：平行、相交，此時(shí)就不可能異面了，故C錯(cuò)．不管直線l與平面的位置關(guān)系相交、平行，還是在平面內(nèi)，都可以在平面內(nèi)找到一條直線與直線垂直，因?yàn)橹本€在異面與相交時(shí)都包括垂直的情況，故A正確．故選:A．變式4如圖所示，長(zhǎng)方體中，給出以下判斷，其中正確的是（

）A．直線與相交B．直線與是異面直線C．直線與有公共點(diǎn)D．【答案】D【分析】利用異面直線的定義可以判斷出A、C，利用平行四邊形的性質(zhì)可判斷出B、D.【詳解】對(duì)于A，面，面，且B不在AC上，根據(jù)異面直線的定義得，直線與是異面直線，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B，，，四邊形為平行四邊形，，即直線與平行直線，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C，面，面，，根據(jù)異面直線的定義得，直線與是異面直線，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D，，，四邊形為平行四邊形，，故D選項(xiàng)正確；故選：D.例5如圖，在正方體中，E為線段的中點(diǎn)，則異面直線DE與所成角的大小為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】連接，則可得為異面直線DE與所成角的平面角或其補(bǔ)角，然后由題意可得DE，從而在中求解即可【詳解】解：連接，則，故為異面直線DE與所成角的平面角或其補(bǔ)角，連接，則，因?yàn)镋為的中點(diǎn)，故DE，在中，因?yàn)椋?，所以在中，，故，故選：C．變式5如圖，在長(zhǎng)方體中，下列結(jié)論正確的是（

）．A． B．與異面C． D．與相交【答案】A【分析】依據(jù)長(zhǎng)方體中各棱的空間位置關(guān)系，逐個(gè)驗(yàn)證得出答案即可.【詳解】根據(jù)長(zhǎng)方體中各直線的位置關(guān)系可知：，AA1和BC為異面直線所以選項(xiàng)B，C，D錯(cuò)誤，選項(xiàng)A正確.故選：A題型三直線和平面的位置關(guān)系【頻次0.8，難度0.6】例6如圖在正四面體中，直線OA與平面OBC所成的角為，則=（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】作出輔助線，得到，設(shè)，求出各邊長(zhǎng)，求出答案.【詳解】設(shè)為底面三角形的中心，取中點(diǎn)，連接，則⊥平面，且，，設(shè)，則，故，故，由勾股定理得，故.故選：A變式6直線與平面不平行，則（）A．與相交 B．C．與相交或l?α D．以上結(jié)論都不對(duì)【答案】C【分析】根據(jù)直線與平面的位置關(guān)系的概念，結(jié)合題意，即可得到答案.【詳解】由直線與平面的位置關(guān)系概念，可得直線在平面內(nèi)、直線與平面平行、直線與平面相交三種位置關(guān)系，因?yàn)橹本€與平面不平行，所以與相交或.故選：C.例7設(shè)，為兩條不重合的直線，，為兩個(gè)不重合的平面，，既不在內(nèi)，也不在內(nèi)，則下列結(jié)論正確的是A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則【答案】B【詳解】分析：利用線線平行、線線垂直、面面垂直的判定定理，用排除法．詳解：若，，可能相交，故A錯(cuò)；若，，則平行，故C錯(cuò)若，，則，故D錯(cuò)．所以選B．變式7已知m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，則下列命題中正確的是A．若α∥β,mα,nβ，則m∥n B．若α⊥β，mα,則m⊥βC．若α⊥β,mα,nβ,則m⊥n D．若α∥β，mα，則m∥β【答案】D【分析】在中，與平行或異面；在中，與相交、平行或；在中，與相交、平行或異面；在中，由線面平行的性質(zhì)定理得．【詳解】由，是兩條不同的直線，，是兩個(gè)不同的平面，知：在中，若，，，則與平行或異面，故錯(cuò)誤；在中，若，，則與相交、平行或，故錯(cuò)誤；在中，若，，，則與相交、平行或異面，故錯(cuò)誤；在中，若，，則由線面平行的性質(zhì)定理得，故正確．故選．例8下列命題中正確的是（

）A．若直線l上有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)不在平面內(nèi)，則B．如果兩條平行直線中的一條與一個(gè)平面平行，那么另一條也與這個(gè)平面平行C．若兩條直線都與第三條直線垂直，則這兩條直線互相平行D．垂直于同一個(gè)平面的兩條直線互相平行【答案】D【分析】利用空間中直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系進(jìn)行判斷.【詳解】解:選項(xiàng)A:若直線l上有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)不在平面內(nèi)，則或相交,故A錯(cuò)誤;選項(xiàng)B:如果兩條平行直線中的一條與一個(gè)平面平行，那么另一條可能與這個(gè)平面平行,也可包含于這個(gè)平面,故B錯(cuò)誤;選項(xiàng)C:若兩條直線都與第三條直線垂直，則這兩條直線相交、平行或異面,故C錯(cuò)誤;選項(xiàng)D:垂直于同一個(gè)平面的兩條直線互相平行,故D正確,故選:D變式8已知直線m,n和平面,，，則“”是“”的（

）條件A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要【答案】A【分析】根據(jù)線面平行的判定定理與性質(zhì)定理判斷即可.【詳解】根據(jù)線面平行的判定定理知,若,則,故充分性成立；若,則直線m,n有可能平行或者異面,故必要性不成立.所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A.例9如圖，四棱錐中，，四邊形PACQ為直角梯形，，，且，.(1)求證：直線平面PAB；(2)若直線CA與平面PAB所成線面角為，求三棱錐的體積.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）由勾股定理逆定理得到，再由可證明線面垂直；（2）在第一問(wèn)的基礎(chǔ)上找到，用等體積法求解三棱錐的體積.【詳解】（1）證明：，，即，∴，又∵，∴平面ABC，∵平面ABC，∴∵，∴平面.（2）過(guò)點(diǎn)B作，垂足為H，連接PC，∵平面ABC，BH平面ABC，∴，∵，∴平面PACQ，∵由（1）得：直線平面PAB∴直線CA與平面PAB所成線面角為∠CAB，∴，∴，其中，∴變式9如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形所在平面與平面垂直，與的交點(diǎn)為，，且，（1）求證：平面；（2）求直線AD與平面所成線面角．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【分析】（1）由面面垂直的性質(zhì)可得平面，再由線面垂直的性質(zhì)及判定即可證平面；（2）過(guò)C作于F，由面面垂直的性質(zhì)有面，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)及判定可得面，即C到面ABE的距離為，又面，D到面的距離為，進(jìn)而可求直線AD與平面所成線面角．【詳解】（1）證明：由是正方形，則，面面，面面，，面，平面，又平面，，而，平面．（2）過(guò)C作于F，而是正方形，即，面面，面面，面，面，面，則，又，面，即C到面ABE的距離為，又，易知面，D到面的距離，設(shè)直線AD與平面所成線面角，故，直線AD與平面所成線面角為．題型四平面和平面的位置關(guān)系【頻次0.8，難度0.6】例10已知是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，若，則是的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】借助正方體模型，通過(guò)空間想象即可判斷.【詳解】若，則，又，則.反之，如圖，在正方體中，記平面為，平面為，分別為直線，則滿(mǎn)足，，但不平行，所以是的充分不必要條件.故選：A.變式10已知m，n為兩條不同直線，，為兩個(gè)不同平面，那么使成立的一個(gè)充分條件是（

）A．， B．，C．，， D．m上有不同的兩個(gè)點(diǎn)到的距離相等【答案】C【分析】根據(jù)直線與平面，平面與平面的關(guān)系可得.【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，，則可能，故A不正確；對(duì)于B項(xiàng)，，則可能，故B不正確；對(duì)于C項(xiàng)，，，，則，故C正確；對(duì)于D項(xiàng)，m上有不同的兩個(gè)點(diǎn)到的距離相等，則可能與相交故選：C例11已知m，n是兩條不同的直線，α，β，γ是三個(gè)不同的平面，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若m∥α，n∥α，則m∥nB．若α⊥γ，β⊥γ，則α∥βC．若m∥α，n∥β，m∥n，則α∥βD．若m⊥α，n⊥α，則m∥n【答案】D【分析】根據(jù)線線、線面、面面位置關(guān)系可得選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A：若m∥α，n∥α，則m∥n或m與n相交或m與n異面，故A不正確；對(duì)于B：若α⊥γ，β⊥γ，則α∥β或α與β相交，故B不正確；對(duì)于C：若m∥α，n∥β，m∥n，則α∥β或α與β相交，故C不正確；對(duì)于D：若m⊥α，n⊥α，則m∥n，故D正確，故選：D.變式11有兩條不同的直線，，以及兩個(gè)不同的平面，，下列說(shuō)法正確的是（

）．A．若，，則 B．若，，，則C．若，，則 D．若，，，則【答案】C【分析】由線面、面面的位置關(guān)系，結(jié)合平面的基本性質(zhì)及線線、線面、面面相關(guān)判定，判斷各選項(xiàng)的正誤.【詳解】A：若，，則或，錯(cuò)誤；B：若，，，僅當(dāng)時(shí)，錯(cuò)誤；C：若，，必有，正確；D：若，，，則可能平行、相交或異面，錯(cuò)誤；故選：C.例12若三個(gè)不同的平面滿(mǎn)足則之間的位置關(guān)系是（

）A． B．C．或 D．或與相交【答案】D【分析】利用正方體中的面面關(guān)系即可求解.【詳解】由可得或與相交，比如在正方體中，平面平面，平面平面，則平面平面，又平面平面，平面平面，但是平面與平面相交，故選：D變式12下列命題中，正確的命題是（

）A．存在兩條異面直線同時(shí)平行于同一個(gè)平面B．若一個(gè)平面內(nèi)兩條直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行C．底面是矩形的四棱柱是長(zhǎng)方體D．棱臺(tái)的側(cè)面都是等腰梯形【答案】A【分析】根據(jù)異面直線、面面平行、長(zhǎng)方體、棱臺(tái)的知識(shí)確定正確答案.【詳解】A選項(xiàng)，如下圖所示，且是異面直線，所以A選項(xiàng)正確.B選項(xiàng)，一個(gè)平面內(nèi)兩條直線與另一個(gè)平面平行，這兩個(gè)平面可能相交，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.C選項(xiàng)，底面是矩形的四棱柱可能是斜棱柱，不是長(zhǎng)方體，C選項(xiàng)錯(cuò)誤.D選項(xiàng)，棱臺(tái)的側(cè)面是梯形，但不一定是等腰梯形，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：A例13如圖，在四棱錐中，底面為正方形，，，且底面，，，