專題07數(shù)列通項公式與數(shù)列求和（考點清單14題型解讀）（原卷版）

清單07數(shù)列通項公式與數(shù)列求和【考點題型一】觀察法求數(shù)列的通項由數(shù)列的前幾項求數(shù)列的通項公式（1）各項的符號特征，通過或來調(diào)節(jié)正負(fù)項．（2）考慮對分子、分母各個擊破或?qū)ふ曳肿?、分母之間的關(guān)系．（3）相鄰項(或其絕對值)的變化特征．（4）拆項、添項后的特征．（5）通過通分等方法變化后，觀察是否有規(guī)律．【注意】根據(jù)數(shù)列的前幾項求其通項公式其實是利用了不完全歸納法，蘊含著“從特殊到一般”的數(shù)學(xué)思想，由不完全歸納法得出的結(jié)果不一定是準(zhǔn)確的.【例1】（2324高二下·四川廣元·期中）下列不能作為數(shù)列的通項公式的是（

）A． B．C． D．【變式11】（2324高二下·吉林長春·期中）數(shù)列，3，，9的一個通項公式是（

）A． B．C． D．【變式12】（2324高二下·北京·期中）數(shù)列的前四項依次是4，44，444，4444，則數(shù)列的通項公式可以是（

）A． B． C． D．【變式13】（2324高二下·遼寧大連·月考）數(shù)列的通項公式為（

）A． B．C． D．【考點題型二】由Sn與an的關(guān)系求數(shù)列通項已知求的三個步驟：（1）先利用求出.（2）用替換中的得到一個新的關(guān)系，利用便可求出當(dāng)時的表達(dá)式．（3）對時的結(jié)果進行檢驗，看是否符合時的表達(dá)式，如果符合，則可以把數(shù)列的通項公式合寫；如果不符合，則應(yīng)該分與兩段來寫．【例2】（2324高二下·廣東惠州通·月考）設(shè)數(shù)列的前項和為，若，則（

）A．65 B．127 C．129 D．255【變式21】（2324高二下·河北衡水·月考）已知為等比數(shù)列的前項和，，則（

）A．12 B．24 C．48 D．96【變式22】（2324高二下·遼寧·期中）已知數(shù)列滿足，則（

）A． B． C． D．【變式23】（2324高二下·吉林長春·期中）已知數(shù)列是正項數(shù)列，且，則（

）A．216 B．260 C．290 D．316【考點題型三】累加法求數(shù)列通項若an+1-an=f(n)，則an-兩邊分別相加得：a【例3】（2024·陜西咸陽·三模）在數(shù)列中，，，則（

）A．43 B．46 C．37 D．36【變式31】（2324高二下·寧夏吳忠·月考）已知數(shù)列首項為，且，則（

）A． B． C． D．【變式32】（2324高二下·河南·月考）已知數(shù)列滿足，則（

）A． B． C． D．【變式33】（2324高二下·四川成都·期中）已知數(shù)列滿足，，則等于（

）A． B． C． D．【考點題型四】累乘法求數(shù)列通項若an+1an=fn，則anan-1兩邊分別相乘得：a【例4】（2324高二下·河南南陽·月考）已知數(shù)列滿足，，則（

）A． B． C． D．【變式41】（2324高二上·福建福州·期末）已知首項為1的數(shù)列，且對任意正整數(shù)恒成立，則數(shù)列的前項和為（

）A． B． C． D．【變式42】（2324高三上·河南·期中）在數(shù)列中，，，，則（

）A． B．15 C． D．10【變式43】（2223高二下·廣東佛山·期中）已知是數(shù)列的前項和，，，則的通項公式為（

）A． B．C． D．【考點題型五】待定系數(shù)法求數(shù)列通項1、形如（為常數(shù)，且）的遞推式，可構(gòu)造，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解．也可以與類比式作差，由，構(gòu)造為等比數(shù)列，然后利用疊加法求通項．2、形如，）的遞推式，當(dāng)時，兩邊同除以轉(zhuǎn)化為關(guān)于的等差數(shù)列；當(dāng)時，兩邊人可以同除以得，轉(zhuǎn)化為．3、形如，通過配湊轉(zhuǎn)化為，通過待定系數(shù)法確定的值，轉(zhuǎn)化成以為首項，以為公比的等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列的通項公式求出的通項整理可得【例5】（2324高二上·河北石家莊·期末）設(shè)數(shù)列滿足，則（

）A． B． C． D．【變式51】（2324高二下·廣東佛山·月考）已知數(shù)列滿足，且，若，則（

）A．253 B．506 C．1012 D．2024【變式52】（2324高二下·河南周口·月考）已知數(shù)列為等比數(shù)列，為數(shù)列的前項和，，則的值為（

）A．9 B．21 C．45 D．93【變式53】（2223高二下·江西萍鄉(xiāng)·期末）已知正項數(shù)列中，，則數(shù)列的通項（

）A． B． C． D．【考點題型六】取倒數(shù)法求數(shù)列通項對于，取倒數(shù)得．當(dāng)時，數(shù)列是等差數(shù)列；當(dāng)時，令，則，可用待定系數(shù)法求解．【例6】（2324高二上·湖北黃岡·月考）已知數(shù)列滿足遞推關(guān)系：，，則（

）A． B． C． D．【變式61】（2324高二上·福建龍巖·期中）已知數(shù)列滿足，且，則（

）A． B． C． D．【變式62】（2324高二上·浙江杭州·期末）若數(shù)列滿足遞推關(guān)系式，且，則（

）A． B． C． D．【變式63】（2324高二下·吉林長春·期中）已知數(shù)列中，且，則（

）A． B． C． D．【考點題型七】公式法求和（1）等差數(shù)列的前n項和，推導(dǎo)方法：倒序相加法．（2）等比數(shù)列的前n項和，推導(dǎo)方法：乘公比，錯位相減法．（3）一些常見的數(shù)列的前n項和：①；②；③；=4\*GB3④【例7】（2324高二下·四川成都·期中）等差數(shù)列中，，．（1）求的通項公式；（2）設(shè)，記為數(shù)列前項的和，若，求．【變式71】（2324高二下·北京順義·期中）已知數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，且，，．（1）求數(shù)列和的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和的最值；（3）設(shè)，求數(shù)列的前項和．【變式72】（2324高二下·北京·期中）在等差數(shù)列中，，．（1）求數(shù)列的首項和公差；（2）設(shè)數(shù)列的前n項和為，求的最小值及取最小值時n的值．【變式73】（2324高二下·陜西西安·月考）（1）已知數(shù)列滿足，，求．（2）等比數(shù)列的前項和為，已知、、成等差數(shù)列．（i）求的公比；（ii）若，求．【考點題型八】分組轉(zhuǎn)化法求和（1）適用范圍：某些數(shù)列的求和是將數(shù)列轉(zhuǎn)化為若干個可求和的新數(shù)列的和或差，從而求得原數(shù)列的和，注意在含有字母的數(shù)列中對字母的討論．（2）常見類型：=1\*GB3①若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}為等差或等比數(shù)列；=2\*GB3②通項公式為an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(bn，n為奇數(shù)，,cn，n為偶數(shù)))的數(shù)列，其中數(shù)列{bn}，{cn}是等比數(shù)列或等差數(shù)列.【例8】（2324高二下·四川達(dá)州·期中）已知數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，滿足，且成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.【變式81】（2324高二下·廣東江門·月考）在遞增等比數(shù)列中，，，數(shù)列的前n項和為，．（1）求，的通項公式；（2）求數(shù)列的前n項和．【變式82】（2324高二上·河北衡水·期末）在數(shù)列中，，且.（1）若，證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的前項和．【變式83】（2324高二上·貴州畢節(jié)·期末）已知遞增的等比數(shù)列滿足，且成等差數(shù)列.（1）求的通項公式；（2）設(shè)求數(shù)列的前項和.【考點題型九】并項法求和并項求和法：一個數(shù)列的前n項和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項求和．形如an＝(－1)nf(n)類型，可采用兩項合并求解．例如，．【例9】（2324高二下·陜西西安·月考）在數(shù)列中，已知，則的值為？【變式91】（2324高二下·廣東佛山·期中）設(shè)是等差數(shù)列，是公比大于0的等比數(shù)列，已知，，．（1）求和的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和．【變式92】（2324高二下·廣東佛山·月考）已知數(shù)列滿足.（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和.【變式93】（2324高二上·山東青島·期末）已知等差數(shù)列的前項和為，公差為，且成等比數(shù)列，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前30項的和.【考點題型十】逆序相加法求和倒序相加法：如果一個數(shù)列{an}的前n項中首末兩端等“距離”的兩項的和相等或等于同一個常數(shù)，那么求這個數(shù)列的前n項和即可用倒序相加法，如等差數(shù)列的前n項和公式即是用此法推導(dǎo)的．【例10】（2324高二下·北京·期中）已知，，則數(shù)列的通項公式為（

）A． B． C． D．【變式101】（2324高二下·云南·月考）函數(shù)，則的值為（

）．A．2012 B． C．2013 D．【變式102】（2324高二下·遼寧大連·期中）已知數(shù)列是公比為的正項等比數(shù)列，且，若，則（

）A．4050 B．2025 C．4052 D．2026【變式103】（2324高二下·遼寧沈陽·月考）德國大數(shù)學(xué)家高斯年少成名，被譽為數(shù)學(xué)界的王子．在其年幼時，對的求和運算中，提出了倒序相加法的原理，該原理基于所給數(shù)據(jù)前后對應(yīng)項的和呈現(xiàn)一定的規(guī)律生成．因此，此方法也稱為高斯算法．現(xiàn)有函數(shù)，則的值為.【考點題型十一】裂項相消法求和1、用裂項法求和的裂項原則及規(guī)律（1）裂項原則：一般是前邊裂幾項，后邊就裂幾項，直到發(fā)現(xiàn)被消去項的規(guī)律為止．（2）消項規(guī)律：消項后前邊剩幾項，后邊就剩幾項，前邊剩第幾項，后邊就剩倒數(shù)第幾項．【注意】利用裂項相消法求和時，既要注意檢驗通項公式裂項前后是否等價，又要注意求和時，正負(fù)項相消消去了哪些項，保留了哪些項，切不可漏寫未被消去的項．2、裂項相消法中常見的裂項技巧（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）【例11】（2324高二下·河南·月考）已知正項數(shù)列前項和為，且滿足，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和.【變式111】（2324高二下·廣東佛山·期中）已知數(shù)列的首項，前項和為，且，．（1）證明：數(shù)列為等差數(shù)列，并求的通項公式；（2）設(shè)數(shù)列，求數(shù)列的前項和．【變式112】（2324高二下·河北石家莊·月考）已知等差數(shù)列的前n項的和為成等差數(shù)列，且成等比數(shù)列.（1）求的通項公式；（2）若，數(shù)列的前n項的和為，試比較與的大小，并證明你的結(jié)論.【變式113】（2324高二下·河南·月考）已知數(shù)列滿足.（1）求的通項公式；（2）若，記數(shù)列的前項和為，求證：.【考點題型十二】錯位相減法求和1、解題步驟2、注意解題“3關(guān)鍵”①要善于識別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的情形．②在寫出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時應(yīng)特別注意將兩式“錯項對齊”以便下一步準(zhǔn)確寫出“Sn－qSn”的表達(dá)式．③在應(yīng)用錯位相減法求和時，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應(yīng)分公比q＝1和q≠1兩種情況求解．3、等差乘等比數(shù)列求和，令，可以用錯位相減法．①②得：．整理得：．【例12】（2324高二下·重慶·期中）已知等差數(shù)列的前項和為，且，.（1）求數(shù)列的通項公式以及前項和；（2）若，求數(shù)列的前項和.【變式121】（2324高二下·山東濰坊·期中）在數(shù)列中，（是常數(shù)，），且成公比不為1的等比數(shù)列.（1）求的值;（2）求數(shù)列的通項公式:（3）求數(shù)列的前項和.【變式122】（2324高二下·廣東佛山·月考）已知數(shù)列滿足，，數(shù)列的前項和為，且．（1）求，的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和．【變式123】（2324高二下·江西南昌·期中）已知數(shù)列的通項公式為，在與中插入個數(shù)，使這個數(shù)組成一個公差為的等差數(shù)列，記數(shù)列的前項和為，（1）求的通項公式及；（2）設(shè)，為數(shù)列的前項和，求.【考點題型十三】數(shù)列求和與不等式成立問題數(shù)列與不等式是高考的熱點問題，其綜合的角度主要包括兩個方面：一是不等式恒成立或能成立條件下，求參數(shù)的取值范圍：此類問題常用分離參數(shù)法，轉(zhuǎn)化為研究最值問題來求解；二是不等式的證明：常用方法有比較法、構(gòu)造輔助函數(shù)法、放縮法、數(shù)學(xué)歸納法等。【例13】（2024·遼寧遼陽·一模）已知數(shù)列滿足.（1）求的通項公式；（2）設(shè)，證明：.【變式131】（2324高二下·貴州銅仁·月考）已知數(shù)列的前n項和為，，，.（1）求數(shù)列和的通項公式；（2）記數(shù)列的前n項和為，若對任意都成立，求實數(shù)m的取值范圍.【變式132】（2324高二下·遼寧大連·期中）已知數(shù)列中，，設(shè)為前項和，，已知數(shù)列，設(shè)的前項和．（1）求；（2）若對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【變式133】（2324高二下·江蘇南京·月考）已知數(shù)列的前項和滿足．（1）求的通項公式；（2）設(shè)數(shù)列滿足，記數(shù)列的前項和為，若存在使得成立，求的取值范圍．【考點題型十四】數(shù)列中的探究性問題數(shù)列中的探究性問題實際上就是不定方程解的問題，對于此類問題的求解，通常有以下三種常用的方法：①利用等式兩邊的整數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)的方法來加以判斷是否存在；②利用尋找整數(shù)的因數(shù)的方法來進行求解；③通過求出變量的取值范圍，從而對范圍內(nèi)的整數(shù)值進行試根的方法來加以求解．對于研究不定方程的解的問題，也可以運用反證法，反證法證明命題的基本步驟：①反設(shè)：設(shè)要證明的結(jié)論的反面成立．作反設(shè)時要注意把結(jié)論的所有反面都要寫出來，不要有遺漏．②歸謬：從反設(shè)出發(fā)，通過正確的推理得出與已知條件或公理、定理矛盾的結(jié)論．③存真：否定反設(shè)，從而得出原命題結(jié)論成立．【例14】（2023·廣東·模擬預(yù)測）記為數(shù)列的前項和，已知的等差中項為.（1）求證為等比數(shù)列；（2）數(shù)列的前項和為，是否存在整數(shù)滿足？若存在求，否則說明理由.【變式141】（2324高二下·黑龍江雙鴨山·月考）數(shù)列滿足：是等比數(shù)列，，且．（1）求；（2）求集合中所有元素的和；（3）對數(shù)列，若存在互不相等的正整數(shù)，使得也是數(shù)列中的項，則稱數(shù)列是“和穩(wěn)定