強(qiáng)度計(jì)算.基本概念：應(yīng)力：有限元方法在應(yīng)力分析中的應(yīng)用

強(qiáng)度計(jì)算.基本概念：應(yīng)力：有限元方法在應(yīng)力分析中的應(yīng)用1強(qiáng)度計(jì)算：應(yīng)力與有限元方法1.1緒論1.1.1強(qiáng)度計(jì)算的重要性在工程設(shè)計(jì)中，強(qiáng)度計(jì)算是確保結(jié)構(gòu)安全性和可靠性的關(guān)鍵步驟。無(wú)論是橋梁、飛機(jī)、還是日常使用的電子設(shè)備，其設(shè)計(jì)都離不開(kāi)對(duì)材料在不同載荷下強(qiáng)度的精確計(jì)算。強(qiáng)度不足可能導(dǎo)致結(jié)構(gòu)失效，造成財(cái)產(chǎn)損失甚至人員傷亡，而過(guò)度設(shè)計(jì)則會(huì)增加成本，影響經(jīng)濟(jì)效益。因此，準(zhǔn)確評(píng)估結(jié)構(gòu)強(qiáng)度，平衡安全與經(jīng)濟(jì)，是工程設(shè)計(jì)中的一項(xiàng)重要任務(wù)。1.1.2應(yīng)力的基本概念應(yīng)力是材料內(nèi)部單位面積上所受的力，是強(qiáng)度計(jì)算的核心概念。它描述了材料在受力時(shí)的內(nèi)部反應(yīng)，分為正應(yīng)力（σ）和剪應(yīng)力（τ）。正應(yīng)力與材料的軸向力相關(guān)，而剪應(yīng)力則與橫向力或扭矩有關(guān)。應(yīng)力的單位通常為帕斯卡（Pa），在工程中常用兆帕（MPa）表示。1.1.3有限元方法簡(jiǎn)介有限元方法（FiniteElementMethod,FEM）是一種數(shù)值計(jì)算技術(shù)，用于求解復(fù)雜的工程問(wèn)題，如結(jié)構(gòu)分析、熱傳導(dǎo)、流體動(dòng)力學(xué)等。它將連續(xù)體（如結(jié)構(gòu)）離散為有限數(shù)量的單元，每個(gè)單元用簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型表示，然后通過(guò)求解這些單元的組合來(lái)近似整個(gè)系統(tǒng)的響應(yīng)。FEM能夠處理復(fù)雜的幾何形狀、材料屬性和載荷條件，是現(xiàn)代工程分析中不可或缺的工具。1.2應(yīng)力分析中的有限元方法應(yīng)用1.2.1離散化過(guò)程在使用有限元方法進(jìn)行應(yīng)力分析時(shí)，首先需要將結(jié)構(gòu)離散化，即將其分解為許多小的、形狀規(guī)則的單元，如四邊形、三角形或六面體。每個(gè)單元的節(jié)點(diǎn)位置、形狀和材料屬性都需要定義。例如，對(duì)于一個(gè)簡(jiǎn)單的梁結(jié)構(gòu)，可以將其離散為一系列的矩形單元。#Python示例：使用FEniCS庫(kù)創(chuàng)建一個(gè)簡(jiǎn)單的梁結(jié)構(gòu)的有限元模型

fromfenicsimport*

#創(chuàng)建一個(gè)矩形網(wǎng)格

mesh=RectangleMesh(Point(0,0),Point(1,0.1),10,1)

#定義函數(shù)空間

V=VectorFunctionSpace(mesh,'Lagrange',1)

#定義邊界條件

defboundary(x,on_boundary):

returnon_boundary

bc=DirichletBC(V,Constant((0,0)),boundary)

#定義材料屬性和外力

E=1e3#彈性模量

nu=0.3#泊松比

f=Constant((0,-10))#外力

#定義變分問(wèn)題

u=TrialFunction(V)

v=TestFunction(V)

a=inner(nu*grad(u),grad(v))*dx

L=inner(f,v)*dx

#求解變分問(wèn)題

u=Function(V)

solve(a==L,u,bc)

#輸出應(yīng)力和位移

print("StressanddisplacementcalculatedusingFEM.")1.2.2材料屬性與載荷每個(gè)單元的材料屬性，如彈性模量、泊松比等，以及作用在結(jié)構(gòu)上的載荷，是有限元分析中的重要參數(shù)。這些參數(shù)的準(zhǔn)確設(shè)定直接影響到分析結(jié)果的可靠性。例如，彈性模量E和泊松比ν是描述材料彈性行為的關(guān)鍵參數(shù)。1.2.3求解過(guò)程有限元方法通過(guò)求解每個(gè)單元的局部平衡方程，然后將這些方程組合成一個(gè)全局的線性方程組，最后求解該方程組來(lái)得到整個(gè)結(jié)構(gòu)的響應(yīng)。這一過(guò)程通常涉及矩陣運(yùn)算和迭代求解技術(shù)。#Python示例：定義和求解線性方程組

A=assemble(a)

b=assemble(L)

bc.apply(A,b)

solve(A,u.vector(),b)1.2.4后處理與結(jié)果分析分析完成后，需要對(duì)結(jié)果進(jìn)行后處理，包括可視化應(yīng)力分布、位移、應(yīng)變等。這些結(jié)果幫助工程師理解結(jié)構(gòu)在載荷下的行為，評(píng)估其強(qiáng)度和穩(wěn)定性。#Python示例：使用FEniCS庫(kù)可視化應(yīng)力分布

importmatplotlib.pyplotasplt

#創(chuàng)建一個(gè)繪圖窗口

plt.figure()

plot(u)

#顯示繪圖窗口

plt.show()1.3結(jié)論有限元方法在應(yīng)力分析中的應(yīng)用，為工程師提供了一種強(qiáng)大的工具，能夠精確計(jì)算復(fù)雜結(jié)構(gòu)在各種載荷條件下的應(yīng)力分布，從而確保設(shè)計(jì)的安全性和經(jīng)濟(jì)性。通過(guò)合理設(shè)置材料屬性、載荷條件和邊界條件，結(jié)合高效的求解算法，有限元分析能夠幫助我們深入理解結(jié)構(gòu)的力學(xué)行為，優(yōu)化設(shè)計(jì)，提高性能。2有限元方法基礎(chǔ)2.1節(jié)點(diǎn)與單元的概念在有限元分析中，節(jié)點(diǎn)和單元是構(gòu)建模型的基石。節(jié)點(diǎn)是模型中的離散點(diǎn)，它們是有限元網(wǎng)格的基本組成部分。單元?jiǎng)t是連接這些節(jié)點(diǎn)的幾何體，可以是線、面或體，用于近似實(shí)際結(jié)構(gòu)的幾何形狀和物理行為。2.1.1節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)是結(jié)構(gòu)的幾何位置，它們?cè)谟邢拊Ｐ椭写砹私Y(jié)構(gòu)的離散點(diǎn)。在這些點(diǎn)上，我們定義了位移、速度、加速度等自由度，以及可能的力和約束。節(jié)點(diǎn)之間的連接形成了單元，而單元的性質(zhì)決定了結(jié)構(gòu)的響應(yīng)。2.1.2單元單元是有限元模型中的基本構(gòu)建塊，它們可以是線性的、二次的或更高階的，形狀可以是三角形、四邊形、六面體等。每個(gè)單元由一組節(jié)點(diǎn)組成，通過(guò)這些節(jié)點(diǎn)的位移來(lái)計(jì)算單元內(nèi)部的應(yīng)力和應(yīng)變。2.2網(wǎng)格劃分技術(shù)網(wǎng)格劃分是有限元分析中的關(guān)鍵步驟，它將連續(xù)的結(jié)構(gòu)分解為一系列離散的單元。網(wǎng)格的質(zhì)量直接影響到分析的準(zhǔn)確性和計(jì)算效率。2.2.1自適應(yīng)網(wǎng)格劃分自適應(yīng)網(wǎng)格劃分是一種智能技術(shù)，它根據(jù)模型的局部應(yīng)力或應(yīng)變需求動(dòng)態(tài)調(diào)整網(wǎng)格的密度。在高應(yīng)力區(qū)域，網(wǎng)格會(huì)更細(xì)密，而在低應(yīng)力區(qū)域，網(wǎng)格則可以更粗，這樣可以提高計(jì)算效率同時(shí)保持高精度。2.2.2網(wǎng)格劃分示例使用Python的meshpy庫(kù)進(jìn)行網(wǎng)格劃分是一個(gè)常見(jiàn)的實(shí)踐。下面是一個(gè)簡(jiǎn)單的示例，展示如何使用meshpy生成一個(gè)三角形網(wǎng)格。#導(dǎo)入meshpy庫(kù)

importmeshpy.triangleastriangle

#定義幾何邊界

points=[

(0,0),

(1,0),

(1,1),

(0,1),

]

#創(chuàng)建邊界

boundary=[

(0,1),

(1,2),

(2,3),

(3,0),

]

#設(shè)置網(wǎng)格生成參數(shù)

info=triangle.MeshInfo()

info.set_points(points)

info.set_facets(boundary)

#生成網(wǎng)格

mesh=triangle.build(info,max_volume=0.01)

#輸出網(wǎng)格信息

print(mesh.elements)

print(mesh.points)在這個(gè)例子中，我們定義了一個(gè)正方形的邊界，并設(shè)置了最大單元體積為0.01，以控制網(wǎng)格的細(xì)密度。2.3材料屬性與邊界條件材料屬性和邊界條件是有限元分析中不可或缺的部分，它們定義了結(jié)構(gòu)的物理特性和外部環(huán)境。2.3.1材料屬性材料屬性包括彈性模量、泊松比、密度等，這些屬性決定了材料在受力時(shí)的響應(yīng)。例如，彈性模量越高，材料在相同應(yīng)力下的應(yīng)變?cè)叫　?.3.2邊界條件邊界條件描述了結(jié)構(gòu)與外部環(huán)境的相互作用，包括固定約束、力的施加、溫度變化等。正確設(shè)置邊界條件對(duì)于獲得準(zhǔn)確的分析結(jié)果至關(guān)重要。2.3.3示例：材料屬性與邊界條件的設(shè)置在有限元軟件中，如ANSYS或Abaqus，材料屬性和邊界條件通常在模型建立階段設(shè)置。下面是一個(gè)使用Python的FEniCS庫(kù)設(shè)置材料屬性和邊界條件的示例。#導(dǎo)入FEniCS庫(kù)

fromfenicsimport*

#創(chuàng)建一個(gè)矩形網(wǎng)格

mesh=RectangleMesh(Point(0,0),Point(1,1),10,10)

#定義函數(shù)空間

V=VectorFunctionSpace(mesh,'Lagrange',1)

#定義邊界條件

defboundary(x,on_boundary):

returnon_boundary

bc=DirichletBC(V,Constant((0,0)),boundary)

#定義材料屬性

E=1e3#彈性模量

nu=0.3#泊松比

mu=E/(2*(1+nu))

lmbda=E*nu/((1+nu)*(1-2*nu))

#定義應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系

defsigma(v):

returnlmbda*tr(eps(v))*Identity(2)+2*mu*eps(v)

#定義外力

f=Constant((0,-10))

#定義變分問(wèn)題

u=TrialFunction(V)

v=TestFunction(V)

a=inner(sigma(u),grad(v))*dx

L=inner(f,v)*dx

#求解問(wèn)題

u=Function(V)

solve(a==L,u,bc)

#輸出結(jié)果

plot(u)

interactive()在這個(gè)示例中，我們創(chuàng)建了一個(gè)矩形網(wǎng)格，并定義了邊界條件為所有邊界上的位移為零。我們還設(shè)置了材料的彈性模量和泊松比，并定義了應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系。最后，我們施加了一個(gè)垂直向下的力，并求解了位移場(chǎng)。通過(guò)以上內(nèi)容，我們深入了解了有限元方法的基礎(chǔ)，包括節(jié)點(diǎn)與單元的概念、網(wǎng)格劃分技術(shù)以及材料屬性與邊界條件的設(shè)置。這些知識(shí)是進(jìn)行復(fù)雜結(jié)構(gòu)分析和設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)。3應(yīng)力分析原理3.1應(yīng)力的類型在工程力學(xué)中，應(yīng)力（Stress）是描述材料內(nèi)部受力狀態(tài)的物理量，它表示單位面積上內(nèi)力的大小。應(yīng)力主要分為兩大類：正應(yīng)力（NormalStress）和剪應(yīng)力（ShearStress）。正應(yīng)力：當(dāng)力垂直于材料表面作用時(shí)，產(chǎn)生的應(yīng)力稱為正應(yīng)力。正應(yīng)力可以是拉伸（Tension）或壓縮（Compression）的，取決于力的方向。剪應(yīng)力：當(dāng)力平行于材料表面作用時(shí)，產(chǎn)生的應(yīng)力稱為剪應(yīng)力。剪應(yīng)力會(huì)導(dǎo)致材料內(nèi)部產(chǎn)生相對(duì)滑動(dòng)。3.2應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系應(yīng)力與應(yīng)變（Strain）之間的關(guān)系是材料力學(xué)研究的核心。應(yīng)變是材料在受力作用下變形的程度，通常用無(wú)量綱的比例表示。應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系可以通過(guò)應(yīng)力-應(yīng)變曲線來(lái)描述，不同的材料具有不同的應(yīng)力-應(yīng)變曲線，這反映了材料的彈性、塑性、強(qiáng)度和韌性等特性。3.2.1彈性階段在彈性階段，應(yīng)力與應(yīng)變之間存在線性關(guān)系，即應(yīng)力正比于應(yīng)變。這一階段的材料行為可以用胡克定律來(lái)描述。3.2.2塑性階段超過(guò)彈性極限后，材料進(jìn)入塑性階段，此時(shí)應(yīng)力與應(yīng)變之間的關(guān)系變得非線性，材料開(kāi)始發(fā)生永久變形。3.2.3強(qiáng)化階段在塑性階段之后，材料可能經(jīng)歷一個(gè)強(qiáng)化階段，應(yīng)力繼續(xù)增加，但應(yīng)變的增長(zhǎng)速率減慢。3.2.4斷裂階段最終，當(dāng)應(yīng)力達(dá)到材料的斷裂強(qiáng)度時(shí)，材料將發(fā)生斷裂。3.3胡克定律胡克定律（Hooke’sLaw）是描述彈性材料在彈性階段應(yīng)力與應(yīng)變之間關(guān)系的基本定律。對(duì)于一維情況，胡克定律可以表示為：σ其中：-σ是應(yīng)力（單位：Pa或N/m?2）。-?是應(yīng)變（無(wú)量綱）。-E是材料的彈性模量（Young’sModulus），反映了材料抵抗彈性變形的能力（單位：Pa或N/m?3.3.1示例：計(jì)算正應(yīng)力假設(shè)有一根直徑為10mm的圓柱形鋼桿，長(zhǎng)度為1m，當(dāng)它受到1000N的拉力時(shí)，計(jì)算其正應(yīng)力。#定義材料屬性和受力情況

force=1000#拉力，單位：N

diameter=10e-3#直徑，單位：m

area=3.14159*(diameter/2)**2#截面積，單位：m^2

#計(jì)算正應(yīng)力

stress=force/area

print(f"正應(yīng)力為：{stress:.2f}Pa")3.3.2示例：計(jì)算應(yīng)變繼續(xù)使用上述鋼桿的例子，假設(shè)鋼桿的彈性模量為200GPa，當(dāng)它伸長(zhǎng)了0.001m時(shí)，計(jì)算其應(yīng)變。#定義材料屬性和變形情況

elastic_modulus=200e9#彈性模量，單位：Pa

length=1#原始長(zhǎng)度，單位：m

delta_length=0.001#伸長(zhǎng)量，單位：m

#計(jì)算應(yīng)變

strain=delta_length/length

#計(jì)算應(yīng)力

stress=elastic_modulus*strain

print(f"應(yīng)變?yōu)椋簕strain:.4f}")

print(f"根據(jù)胡克定律計(jì)算的應(yīng)力為：{stress:.2f}Pa")通過(guò)以上示例，我們可以看到如何應(yīng)用胡克定律來(lái)計(jì)算應(yīng)力和應(yīng)變，這對(duì)于理解材料在不同載荷下的行為至關(guān)重要。在實(shí)際工程應(yīng)用中，這些計(jì)算是有限元分析的基礎(chǔ)，幫助工程師預(yù)測(cè)和優(yōu)化結(jié)構(gòu)的性能。4有限元方法在應(yīng)力分析中的應(yīng)用4.1線性應(yīng)力分析4.1.1原理線性應(yīng)力分析是基于線性彈性理論的一種有限元分析方法。它假設(shè)材料的應(yīng)力與應(yīng)變成正比關(guān)系，遵循胡克定律。在分析過(guò)程中，結(jié)構(gòu)被離散成多個(gè)小單元，每個(gè)單元的應(yīng)力和應(yīng)變通過(guò)節(jié)點(diǎn)位移來(lái)計(jì)算。線性應(yīng)力分析適用于小變形和彈性范圍內(nèi)工作的結(jié)構(gòu)，不考慮材料的非線性、大變形或接觸條件。4.1.2內(nèi)容線性應(yīng)力分析主要涉及以下步驟：結(jié)構(gòu)離散化：將結(jié)構(gòu)分解為有限數(shù)量的單元，如梁?jiǎn)卧卧驅(qū)嶓w單元。定義材料屬性：輸入材料的彈性模量和泊松比。施加邊界條件和載荷：確定結(jié)構(gòu)的約束和外力。求解：使用有限元軟件求解結(jié)構(gòu)的位移、應(yīng)變和應(yīng)力。結(jié)果分析：檢查應(yīng)力分布，確保結(jié)構(gòu)在安全范圍內(nèi)工作。4.1.3示例假設(shè)我們有一個(gè)簡(jiǎn)單的梁結(jié)構(gòu)，需要進(jìn)行線性應(yīng)力分析。以下是一個(gè)使用Python和FEniCS庫(kù)的示例代碼：fromfenicsimport*

#創(chuàng)建網(wǎng)格和定義函數(shù)空間

mesh=UnitIntervalMesh(10)

V=FunctionSpace(mesh,'P',1)

#定義邊界條件

defboundary(x,on_boundary):

returnon_boundary

bc=DirichletBC(V,Constant(0),boundary)

#定義材料屬性和外力

E=1e3#彈性模量

nu=0.3#泊松比

rho=1.0#密度

g=Constant((0,-10))#重力加速度

#定義變分問(wèn)題

u=TrialFunction(V)

v=TestFunction(V)

f=Constant(0)

a=rho*dot(grad(u),grad(v))*dx

L=f*v*dx+dot(g,v)*ds

#求解

u=Function(V)

solve(a==L,u,bc)

#輸出結(jié)果

plot(u)

interactive()此代碼創(chuàng)建了一個(gè)單位區(qū)間上的網(wǎng)格，定義了邊界條件、材料屬性和外力，然后求解了梁的位移。最后，它輸出了位移圖，可以進(jìn)一步分析應(yīng)力。4.2非線性應(yīng)力分析4.2.1原理非線性應(yīng)力分析考慮了材料的非線性行為、大變形或幾何非線性。當(dāng)結(jié)構(gòu)的變形導(dǎo)致其幾何形狀顯著變化，或者材料的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系不再是線性時(shí)，需要使用非線性分析。非線性分析通常更復(fù)雜，計(jì)算時(shí)間更長(zhǎng)，但能更準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)結(jié)構(gòu)在極端條件下的行為。4.2.2內(nèi)容非線性應(yīng)力分析包括：材料非線性：考慮材料的塑性、蠕變或超彈性行為。幾何非線性：考慮大變形對(duì)結(jié)構(gòu)剛度的影響。接觸非線性：分析兩個(gè)或多個(gè)物體之間的接觸行為。求解：使用迭代算法求解非線性方程組。4.2.3示例對(duì)于非線性應(yīng)力分析，我們考慮一個(gè)簡(jiǎn)單的超彈性材料的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系。以下是一個(gè)使用Python和FEniCS庫(kù)的示例代碼：fromfenicsimport*

#創(chuàng)建網(wǎng)格和定義函數(shù)空間

mesh=UnitSquareMesh(10,10)

V=VectorFunctionSpace(mesh,'P',1)

#定義邊界條件

defboundary(x,on_boundary):

returnon_boundary

bc=DirichletBC(V,Constant((1,0)),boundary)

#定義材料屬性和外力

E=1e3#彈性模量

nu=0.3#泊松比

mu=E/(2*(1+nu))

lmbda=E*nu/((1+nu)*(1-2*nu))

f=Constant((0,-10))#外力

#定義變分問(wèn)題

u=TrialFunction(V)

v=TestFunction(V)

du=Function(V)

F=(I+grad(u))

J=det(F)

W=mu*inner(dev(sym(F.T*F)),dev(sym(F.T*F)))*dx\

+lmbda*ln(J)*dx\

-inner(f,v)*dx

#求解非線性問(wèn)題

solve(FiniteElementProblem(V,W,bc),du)

u.vector()[:]+=du.vector()[:]

plot(u)

interactive()此代碼定義了一個(gè)超彈性材料的本構(gòu)關(guān)系，并求解了非線性應(yīng)力應(yīng)變問(wèn)題。通過(guò)迭代求解，可以得到結(jié)構(gòu)在非線性條件下的位移和應(yīng)力分布。4.3接觸應(yīng)力分析4.3.1原理接觸應(yīng)力分析用于研究?jī)蓚€(gè)或多個(gè)物體接觸時(shí)的應(yīng)力分布。接觸問(wèn)題通常是非線性的，因?yàn)榻佑|區(qū)域的大小和位置隨著載荷和變形的變化而變化。接觸分析需要考慮摩擦、間隙和接觸壓力等因素。4.3.2內(nèi)容接觸應(yīng)力分析包括：接觸檢測(cè)：確定哪些物體之間存在接觸。接觸力計(jì)算：計(jì)算接觸面上的力。摩擦模型：考慮接觸面之間的摩擦行為。求解：使用非線性求解器來(lái)求解接觸問(wèn)題。4.3.3示例考慮兩個(gè)物體接觸的簡(jiǎn)單場(chǎng)景，以下是一個(gè)使用Python和FEniCS庫(kù)的示例代碼：fromfenicsimport*

#創(chuàng)建網(wǎng)格和定義函數(shù)空間

mesh=UnitSquareMesh(10,10)

V=VectorFunctionSpace(mesh,'P',1)

#定義邊界條件

defboundary(x,on_boundary):

returnon_boundary

bc=DirichletBC(V,Constant((0,0)),boundary)

#定義材料屬性和外力

E=1e3#彈性模量

nu=0.3#泊松比

mu=E/(2*(1+nu))

lmbda=E*nu/((1+nu)*(1-2*nu))

f=Constant((0,-10))#外力

#定義接觸條件

tol=1E-14

defcontact_boundary(x,on_boundary):

returnnear(x[1],0,tol)

#定義接觸力

n=FacetNormal(mesh)

ds=Measure('ds',domain=mesh,subdomain_data=contact_boundary)

contact_force=inner(f,n)*ds

#定義變分問(wèn)題

u=TrialFunction(V)

v=TestFunction(V)

du=Function(V)

F=(I+grad(u))

J=det(F)

W=mu*inner(dev(sym(F.T*F)),dev(sym(F.T*F)))*dx\

+lmbda*ln(J)*dx\

-contact_force*v*dx

#求解非線性問(wèn)題

solve(FiniteElementProblem(V,W,bc),du)

u.vector()[:]+=du.vector()[:]

plot(u)

interactive()此代碼定義了接觸邊界條件，并計(jì)算了接觸面上的力。通過(guò)求解非線性方程組，可以得到結(jié)構(gòu)在接觸條件下的位移和應(yīng)力分布。以上示例代碼展示了如何使用FEniCS庫(kù)進(jìn)行線性、非線性和接觸應(yīng)力分析。這些代碼片段可以作為基礎(chǔ)，根據(jù)具體問(wèn)題進(jìn)行調(diào)整和擴(kuò)展。5案例研究：有限元方法在應(yīng)力分析中的應(yīng)用5.1橋梁結(jié)構(gòu)應(yīng)力分析5.1.1原理與內(nèi)容橋梁結(jié)構(gòu)的應(yīng)力分析是確保橋梁安全性和耐久性的關(guān)鍵步驟。有限元方法（FiniteElementMethod,FEM）通過(guò)將橋梁結(jié)構(gòu)劃分為多個(gè)小的、簡(jiǎn)單的單元，然后對(duì)每個(gè)單元進(jìn)行獨(dú)立的力學(xué)分析，最后將所有單元的結(jié)果綜合起來(lái)，以求解整個(gè)結(jié)構(gòu)的應(yīng)力分布。這種方法能夠處理復(fù)雜的幾何形狀和材料特性，提供精確的應(yīng)力和應(yīng)變預(yù)測(cè)。5.1.2示例假設(shè)我們正在分析一座簡(jiǎn)支梁橋的應(yīng)力分布，橋的長(zhǎng)度為30米，寬度為5米，高度為2米，材料為混凝土，彈性模量為30GPa，泊松比為0.2。橋上承受著均勻分布的荷載，每平方米荷載為10kN。5.1.2.1幾何與材料屬性定義#定義幾何參數(shù)

length=30.0#橋梁長(zhǎng)度

width=5.0#橋梁寬度

height=2.0#橋梁高度

#定義材料屬性

E=30e9#彈性模量

nu=0.2#泊松比

rho=2500#密度，假設(shè)為混凝土的密度5.1.2.2荷載與邊界條件#定義荷載

load_per_square=10e3#每平方米荷載

#定義邊界條件

#假設(shè)簡(jiǎn)支梁橋兩端固定

boundary_conditions={

'left_end':{'displacement':[0,0,0]},

'right_end':{'displacement':[0,0,0]}

}5.1.2.3有限元分析#使用有限元軟件（如FEniCS）進(jìn)行分析

#以下代碼示例展示了如何使用FEniCS進(jìn)行有限元分析

fromfenicsimport*

#創(chuàng)建網(wǎng)格

mesh=BoxMesh(Point(0,0,0),Point(length,width,height),10,5,2)

#定義函數(shù)空間

V=VectorFunctionSpace(mesh,'Lagrange',1)

#定義邊界條件

defleft_end(x,on_boundary):

returnnear(x[0],0.0)

defright_end(x,on_boundary):

returnnear(x[0],length)

bc_left=DirichletBC(V,Constant((0,0,0)),left_end)

bc_right=DirichletBC(V,Constant((0,0,0)),right_end)

bcs=[bc_left,bc_right]

#定義材料屬性

E=30e9

nu=0.2

mu=E/(2*(1+nu))

lmbda=E*nu/((1+nu)*(1-2*nu))

#定義應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系

defsigma(v):

returnlmbda*tr(eps(v))*Identity(3)+2*mu*eps(v)

#定義變分問(wèn)題

u=TrialFunction(V)

v=TestFunction(V)

f=Constant((0,-load_per_square/width,0))#均勻分布荷載

g=Constant((0,0,0))#邊界荷載

#應(yīng)變能

F=inner(sigma(u),eps(v))*dx

#動(dòng)能

T=rho*dot(u,v)*dx

#定義總能量

E=F-dot(f,v)*dx-dot(g,v)*ds

#求解

solve(E==0,u,bcs)

#輸出結(jié)果

file=File("bridge.pvd")

file<<u5.2機(jī)械零件的有限元應(yīng)力分析5.2.1原理與內(nèi)容機(jī)械零件的應(yīng)力分析通常涉及復(fù)雜的載荷和邊界條件，有限元方法能夠精確地模擬這些條件，幫助工程師預(yù)測(cè)零件在不同工況下的應(yīng)力分布，從而優(yōu)化設(shè)計(jì)，避免過(guò)早失效。5.2.2示例考慮一個(gè)承受軸向拉力的圓柱形機(jī)械零件，直徑為10厘米，長(zhǎng)度為20厘米，材料為鋼，彈性模量為200GPa，泊松比為0.3。零件承受的軸向拉力為50kN。5.2.2.1幾何與材料屬性定義#定義幾何參數(shù)

diameter=0.1#直徑

length=0.2#長(zhǎng)度

#定義材料屬性

E=200e9#彈性模量

nu=0.3#泊松比5.2.2.2荷載與邊界條件#定義荷載

axial_load=50e3#軸向拉力

#定義邊界條件

#假設(shè)零件一端固定，另一端承受軸向拉力

boundary_conditions={

'fixed_end':{'displacement':[0,0,0]},

'loaded_end':{'force':[0,0,axial_load]}

}5.2.2.3有限元分析#使用有限元軟件（如FEniCS）進(jìn)行分析

fromfenicsimport*

#創(chuàng)建網(wǎng)格

mesh=CylinderMesh(Point(0,0,0),Point(0,0,length),Point(0,diameter,0),10,5,2)

#定義函數(shù)空間

V=VectorFunctionSpace(mesh,'Lagrange',1)

#定義邊界條件

deffixed_end(x,on_boundary):

returnnear(x[2],0.0)

defloaded_end(x,on_boundary):

returnnear(x[2],length)

bc_fixed=DirichletBC(V,Constant((0,0,0)),fixed_end)

bc_loaded=DirichletBC(V.sub(2),Constant(0),loaded_end)

bcs=[bc_fixed,bc_loaded]

#定義材料屬性

E=200e9

nu=0.3

mu=E/(2*(1+nu))

lmbda=E*nu/((1+nu)*(1-2*nu))

#定義應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系

defsigma(v):

returnlmbda*tr(eps(v))*Identity(3)+2*mu*eps(v)

#定義變分問(wèn)題

u=TrialFunction(V)

v=TestFunction(V)

f=Constant((0,0,-axial_load/(pi*(diameter/2)**2)))#軸向拉力

g=Constant((0,0,0))#邊界荷載

#應(yīng)變能

F=inner(sigma(u),eps(v))*dx

#動(dòng)能

T=rho*dot(u,v)*dx

#定義總能量

E=F-dot(f,v)*dx-dot(g,v)*ds

#求解

solve(E==0,u,bcs)

#輸出結(jié)果

file=File("cylinder.pvd")

file<<u5.3復(fù)合材料的應(yīng)力分析5.3.1原理與內(nèi)容復(fù)合材料因其獨(dú)特的性能而廣泛應(yīng)用于航空航天、汽車和體育用品等領(lǐng)域。有限元方法在復(fù)合材料應(yīng)力分析中的應(yīng)用，能夠考慮材料的各向異性，精確計(jì)算在復(fù)雜載荷下的應(yīng)力分布，這對(duì)于復(fù)合材料結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)和優(yōu)化至關(guān)重要。5.3.2示例假設(shè)我們正在分析一個(gè)由碳纖維增強(qiáng)塑料（CFRP）制成的矩形板的應(yīng)力分布，板的尺寸為1米x0.5米，厚度為0.01米。CFRP的彈性模量分別為Ex=120GPa，Ey=10GPa，Ez=10GPa，泊松比分別為nuxy=0.3，nuyz=0.25，nuxz=0.25。板上承受著均勻分布的垂直荷載，每平方米荷載為5kN。5.3.2.1幾何與材料屬性定義#定義幾何參數(shù)

length=1.0#長(zhǎng)度

width=0.5#寬度

thickness=0.01#厚度

#定義材料屬性

Ex=120e9#彈性模量x方向

Ey=10e9#彈性模量y方向

Ez=10e9#彈性模量z方向

nuxy=0.3#泊松比xy

nuyz=0.25#泊松比yz

nuxz=0.25#泊松比xz5.3.2.2荷載與邊界條件#定義荷載

load_per_square=5e3#每平方米荷載

#定義邊界條件

#假設(shè)矩形板四邊固定

boundary_conditions={

'left_edge':{'displacement':[0,0,0]},

'right_edge':{'displacement':[0,0,0]},

'top_edge':{'displacement':[0,0,0]},

'bottom_edge':{'displacement':[0,0,0]}

}5.3.2.3有限元分析#使用有限元軟件（如FEniCS）進(jìn)行分析

fromfenicsimport*

#創(chuàng)建網(wǎng)格

mesh=BoxMesh(Point(0,0,0),Point(length,width,thickness),10,5,1)

#定義函數(shù)空間

V=VectorFunctionSpace(mesh,'Lagrange',1)

#定義邊界條件

defleft_edge(x,on_boundary):

returnnear(x[0],0.0)

defright_edge(x,on_boundary):

returnnear(x[0],length)

deftop_edge(x,on_boundary):

returnnear(x[1],width)

defbottom_edge(x,on_boundary):

returnnear(x[1],0.0)

bc_left=DirichletBC(V,Constant((0,0,0)),left_edge)

bc_right=DirichletBC(V,Constant((0,0,0)),right_edge)

bc_top=DirichletBC(V,Constant((0,0,0)),top_edge)

bc_bottom=DirichletBC(V,Constant((0,0,0)),bottom_edge)

bcs=[bc_left,bc_right,bc_top,bc_bottom]

#定義材料屬性

Ex=120e9

Ey=10e9

Ez=10e9

nuxy=0.3

nuyz=0.25

nuxz=0.25

mu_x=Ex/(2*(1+nuxy))

mu_y=Ey/(2*(1+nuyz))

mu_z=Ez/(2*(1+nuxz))

lmbda_x=Ex*nuxy/((1+nuxy)*(1-nuxy))

lmbda_y=Ey*nuyz/((1+nuyz)*(1-nuyz))

lmbda_z=Ez*nuxz/((1+nuxz)*(1-nuxz))

#定義應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系

defsigma(v):

returnlmbda_x*tr(eps(v))*Identity(3)+2*mu_x*eps(v)

#定義變分問(wèn)題

u=TrialFunction(V)

v=TestFunction(V)

f=Constant((0,-load_per_square/width,0))#均勻分布荷載

g=Constant((0,0,0))#邊界荷載

#應(yīng)變能

F=inner(sigma(u),eps(v))*dx

#動(dòng)能

T=rho*dot(u