2022-2023學年遼寧省沈陽市五校協(xié)作體高二下學期期末聯(lián)考數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE3遼寧省沈陽市五校協(xié)作體2022-2023學年高二下學期期末聯(lián)考數(shù)學試題第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、單選題（本大題共8小題，共40分.在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.已知集合，集合，若“”是“”的充分不必要條件，則實數(shù)的取值范圍（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由得：，，解得：，；由得：；“”是“”的充分不必要條件，，當時，，不滿足；當時，，不滿足；當時，，若，則需；綜上所述：實數(shù)的取值范圍為.故選：A.2.某大學推薦7名男生和5名女生參加某企業(yè)的暑期兼職，該企業(yè)欲在這12人中隨機挑選3人從事產(chǎn)品的銷售工作，記抽到的男生人數(shù)為，則（）A.2 B. C. D.〖答案〗B〖解析〗依題意可得，X的可能取值為0,1,2,3，則，，，，所以．3.若函數(shù)有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗函數(shù)定義域為，由，得，

設，則，由得，此時函數(shù)單調(diào)遞增，

由得，此時函數(shù)單調(diào)遞減，即當時，函數(shù)取得極小值，當時，∴函數(shù)有兩個零點，即方程有兩個不同的根，即函數(shù)和有兩個不同的交點，則，

故選：C.4.設、分別為等差數(shù)列的公差與前項和，若，則下列論斷中正確的有（）A.當時，取最大值 B.當時，C.當時， D.當時，〖答案〗C〖解析〗∵，∴，解得，對選項A，∵無法確定和的正負性，∴無法確定是否有最大值，故A錯誤，對選項B，，故B錯誤，對選項C，，故C正確，對選項D，，，∵，∴、，，故D錯誤，故選：C.5.某實驗室針對某種新型病毒研發(fā)了一種疫苗，并在500名志愿者身上進行了人體注射實驗，發(fā)現(xiàn)注射疫苗的志愿者均產(chǎn)生了穩(wěn)定的免疫應答.若這些志愿者的某免疫反應蛋白的數(shù)值（單位：）近似服從正態(tài)分布，且在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的，則這些志愿者中免疫反應蛋白的數(shù)值不低于20的人數(shù)大約為（）A.30 B.60 C.70 D.140〖答案〗B〖解析〗因為，且在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的，故，所以，所以這些志愿者中免疫反應蛋白的數(shù)值不低于20的人數(shù)大約為.故選：B.6.設，，，則下列說法錯誤的是（）A.ab的最大值為 B.的最小值為C.的最小值為9 D.的最小值為〖答案〗D〖解析〗因為，，，則，當且僅當時取等號，所以選項A正確；因為，故，當且僅當時取等號,即最小值，所以選項B正確；，當且僅當且即，時取等號，所以選項C正確；，故，當且僅當時取等號，即最大值，所以選項D錯誤．故選：D．7.已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，且，對于任意的，均有，．若在數(shù)列中去掉的項，余下的項組成數(shù)列，則（）A.12010 B.12100C.11200 D.11202〖答案〗D〖解析〗因為，所以，又因為，所以，所以數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，所以，即，所以，，所以數(shù)列是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，即，可得，，，，，，，，，不合題意，所以.故選：D.8.已知，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗構(gòu)造函數(shù)，其中，則，當時，；當時，.所以，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為.因為，，，因為，則，則，故.故選：A.二、多選題（本大題共4小題，共20分.在每小題有多項符合題目要求）9.下列說法正確的是（）A.若函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為B.

圖象關于點成中心對稱C.

的最大值為D.冪函數(shù)在上為減函數(shù)，則的值為〖答案〗BD〖解析〗對于A，函數(shù)的定義域為，由得，則函數(shù)的定義域為，A錯誤；對于B，函數(shù)的圖象的對稱中心為，將函數(shù)的圖象先向左平移2個單位，再向上平移1個單位得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)的圖象的對稱中心為，B正確；對于C，函數(shù)在R上單調(diào)遞減，且，則，即當時，函數(shù)取得最小值，無最大值，C錯誤；對于D，因為函數(shù)為冪函數(shù)，所以，解得，D正確.故選：BD.10.有3臺車床加工同一型號的零件，第1，2，3臺加工的次品率分別為，，，加工出來的零件混放在一起．已知第1，2，3臺車床加工的零件數(shù)的比為，現(xiàn)任取一個零件，記事件“零件為第臺車床加工”（，2，3），事件“零件為次品”，則下列結(jié)論中正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗ACD〖解析〗事件“零件為第臺車床加工”（，2，3），事件“零件為次品”，則，，，，，，故A正確，B錯誤；，故C正確；，故D正確．故選：ACD．11.在數(shù)列中，，且對任意不小于2的正整數(shù)n，恒成立，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.C.成等比數(shù)列D.〖答案〗BCD〖解析〗當時，，當時，，則，所以，所以，所以，所以，所以因為不滿足上式，所以，所以A錯誤，對于B，因為，所以，所以B正確，對于C，因為，所以，則，所以成等比數(shù)列，所以C正確，對于D，因為，所以當時，，當時，滿足上式，所以，所以D正確，故選：BCD12.定義在R上的函數(shù)與的導函數(shù)分別為和，若，，且為奇函數(shù)，則下列說法中一定正確的是（）A. B.函數(shù)關于對稱C.函數(shù)是周期函數(shù) D.〖答案〗ACD〖解析〗因為為奇函數(shù)，所以，取可得，A對，因為，所以所以，又，即，，故，所以函數(shù)的圖象關于點對稱，B錯，因為，所以所以，為常數(shù)，因為，所以，所以，取可得，所以，又，即，所以，所以，所以，故函數(shù)為周期為4的函數(shù)，因為，所以，，所以，所以，所以，故的值為0，D正確；因為，即故函數(shù)也為周期為4的函數(shù)，C正確.故選：ACD.第Ⅱ卷（非選擇題共90分）三、填空題（本大題共4小題，共20分）13.函數(shù)f（x）＝－的值域為________．〖答案〗[－，]〖解析〗因為，所以－2≤x≤4，所以函數(shù)f（x）的定義域為[－2，4]．又y1＝，y2＝－在區(qū)間[－2，4]上均為減函數(shù)，所以f（x）＝－在[－2，4]上為減函數(shù)，所以f（4）≤f（x）≤f(－2)．即－≤f（x）≤．故〖答案〗為：[－，].14.已知函數(shù)滿足，且當時，.若，恰有6個解，則t的取值范圍為___________.〖答案〗〖解析〗因為且當時，，即自變量增加兩個單位，函數(shù)值擴大兩倍，由此，可得函數(shù)圖像，如圖所示：當時，；當時，；因為，恰有6個解，即與在恰有6個交點，結(jié)合函數(shù)圖象可得或，即故〖答案〗為：.15.設定義在上的函數(shù)滿足，則函數(shù)在定義域內(nèi)是______（填“增”或“減”）函數(shù)；若，，則的最小值為______．〖答案〗①增②〖解析〗已知，則，令，，則，所以在為增函數(shù)，即函數(shù)在定義域內(nèi)是增函數(shù)；，，又，，可得，由于在為增函數(shù)，所以，解得，即的最小值為，故〖答案〗為：增；16.已知數(shù)列滿足，是數(shù)列的前n項和且，則______．〖答案〗〖解析〗由，得，即，數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，所以，即．當n為偶數(shù)時，，所以，所以，故．故〖答案〗為：四、解答題（本大題共6小題，共72分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.已知數(shù)列滿足，且，數(shù)列是公差為的等差數(shù)列.（1）探究：數(shù)列是等差數(shù)列還是等比數(shù)列，并說明理由；（2）求使得成立的最小正整數(shù)的值.解：（1）依題意，，當時，，即，故，則，故，故，而，故是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列.（2）由（1）可知，，故，記，故，易見是遞增數(shù)列，又，，故滿足的最小正整數(shù)的值為12.18.某校組織數(shù)學知識競賽活動，比賽共4道必答題，答對一題得4分，答錯一題扣2分．學生甲參加了這次活動，假設每道題甲能答對的概率都是，且各題答對與否互不影響．設甲答對的題數(shù)為，甲做完4道題后的總得分為．（1）試建立關于的函數(shù)關系式，并求；（2）求的分布列及．解：（1）由題意，由，得．所以，而，所以．（2）由題意，知．的對應值表為：01234－8－241016于是，；；；；．19.已知函數(shù).（1）求函數(shù)在處的切線方程；（2）若不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.解：（1），，，的圖像在處的切線方程為，即.（2）解法一：由題意得，因為函數(shù)，故有，等價轉(zhuǎn)化為，即在時恒成立，所以，令，則，令，則，所以函數(shù)在時單調(diào)遞增，，，，使得，當時，，即單調(diào)遞減，當時，，即單調(diào)遞增，故，由，得在中，，當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，即與，，，即實數(shù)的取值范圍為.解法二：因為函數(shù)，故有，等價轉(zhuǎn)化為：，構(gòu)造，，所以可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，即成立，令，令，在單調(diào)遞增，又，所以存在，使得，即，可知，當時，可知恒成立，即此時不等式成立；當時，又因，所以，與不等式矛盾；綜上所述，實數(shù)的取值范圍為.20.區(qū)教育局準備組織一次安全知識競賽．某校為了選拔學生參賽，按性別采用分層抽樣的方法抽取200名學生進行安全知識測試，記A＝“性別為男”，B＝“得分超過85分”，且，，．（1）完成下列2×2列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值α＝0.001的獨立性檢驗，能否推斷該校學生了解安全知識的程度與性別有關？性別了解安全知識的程度合計得分不超過85分人數(shù)得分超過85的人數(shù)男女合計（2）學校準備分別選取參與測試的男生和女生前兩名學生代表學校參加區(qū)級別的競賽，已知男生獲獎的概率為，女生獲獎的概率為，記該校獲獎的人數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學期望．下表是獨立性檢驗中幾個常用的小概率值和相應的臨界值．0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828解：（1）由，超過85分的人數(shù)為（人），不超過85分的人數(shù)為（人），因為，，，，所以，即，，，故200人中男性人數(shù)為（人），女性人數(shù)為（人），又，即不超過85分的人中，男性為（人），女性為（人），故在超過85分的人中，男性=（人），女性（人），列聯(lián)表如下：性別了解安全知識的程度合計得分不超過85分的人數(shù)得分超過85的人數(shù)男20100120女305080合計50150200零假設為：該校學生了解安全知識的程度與性別沒有關聯(lián)．經(jīng)計算得到根據(jù)小概率值α＝0.001的獨立性檢驗，可以推斷H0不成立，即認為了解安全知識的程度與性別有關，此推斷犯錯誤的概率不大于0.001；（2）X可能取0，1，2，3，4．；；；；所以X的分布列為X01234P所以．綜上，在犯錯誤的概率不大于0.001的前提下認為了解安全知識的程度與性別有關，數(shù)學期望為.21.已知等差數(shù)列滿足其中為的前項和，遞增的等比數(shù)列滿足：，且，，成等差數(shù)列．（1）求數(shù)列、的通項公式；（2）設的前項和為，求（3）設，的前n項和為，若恒成立，求實數(shù)的最大值．解：（1）設等差數(shù)列的公差為，，，.設等比數(shù)列公比為（其中），因為，由，可得，解得或（舍去）；所以數(shù)列的通項公式為.（2）由（1）得，則①．②由①減去②得，則，所以的前n項和.（3）由(1)可知，，則恒成立，恒成立，單調(diào)遞增，時，，最大值為.22.已知函數(shù).（1）若有兩個不同的極值點，求實數(shù)的取值范圍；（2）在（1）的條件下，求證：.解：（1）由得，有兩個不同的極值點，則有兩個不同的零點，即方程有兩個不同實根，即直線與的圖象有兩個不同的交點，設，則，時，單調(diào)遞增，且的取值范圍是；時，單調(diào)遞減，且的取值范圍是，所以當時，直線與的圖象有兩個不同的交點，有兩個不同的極值點，，故實數(shù)的取值范圍是.（2）由（1）知，設，則，由得，所以要證，只需證，即證，即證，設，即證，即證，設，則，所以在是增函數(shù)，，所以，從而有.遼寧省沈陽市五校協(xié)作體2022-2023學年高二下學期期末聯(lián)考數(shù)學試題第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、單選題（本大題共8小題，共40分.在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.已知集合，集合，若“”是“”的充分不必要條件，則實數(shù)的取值范圍（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由得：，，解得：，；由得：；“”是“”的充分不必要條件，，當時，，不滿足；當時，，不滿足；當時，，若，則需；綜上所述：實數(shù)的取值范圍為.故選：A.2.某大學推薦7名男生和5名女生參加某企業(yè)的暑期兼職，該企業(yè)欲在這12人中隨機挑選3人從事產(chǎn)品的銷售工作，記抽到的男生人數(shù)為，則（）A.2 B. C. D.〖答案〗B〖解析〗依題意可得，X的可能取值為0,1,2,3，則，，，，所以．3.若函數(shù)有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗函數(shù)定義域為，由，得，

設，則，由得，此時函數(shù)單調(diào)遞增，

由得，此時函數(shù)單調(diào)遞減，即當時，函數(shù)取得極小值，當時，∴函數(shù)有兩個零點，即方程有兩個不同的根，即函數(shù)和有兩個不同的交點，則，

故選：C.4.設、分別為等差數(shù)列的公差與前項和，若，則下列論斷中正確的有（）A.當時，取最大值 B.當時，C.當時， D.當時，〖答案〗C〖解析〗∵，∴，解得，對選項A，∵無法確定和的正負性，∴無法確定是否有最大值，故A錯誤，對選項B，，故B錯誤，對選項C，，故C正確，對選項D，，，∵，∴、，，故D錯誤，故選：C.5.某實驗室針對某種新型病毒研發(fā)了一種疫苗，并在500名志愿者身上進行了人體注射實驗，發(fā)現(xiàn)注射疫苗的志愿者均產(chǎn)生了穩(wěn)定的免疫應答.若這些志愿者的某免疫反應蛋白的數(shù)值（單位：）近似服從正態(tài)分布，且在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的，則這些志愿者中免疫反應蛋白的數(shù)值不低于20的人數(shù)大約為（）A.30 B.60 C.70 D.140〖答案〗B〖解析〗因為，且在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的，故，所以，所以這些志愿者中免疫反應蛋白的數(shù)值不低于20的人數(shù)大約為.故選：B.6.設，，，則下列說法錯誤的是（）A.ab的最大值為 B.的最小值為C.的最小值為9 D.的最小值為〖答案〗D〖解析〗因為，，，則，當且僅當時取等號，所以選項A正確；因為，故，當且僅當時取等號,即最小值，所以選項B正確；，當且僅當且即，時取等號，所以選項C正確；，故，當且僅當時取等號，即最大值，所以選項D錯誤．故選：D．7.已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，且，對于任意的，均有，．若在數(shù)列中去掉的項，余下的項組成數(shù)列，則（）A.12010 B.12100C.11200 D.11202〖答案〗D〖解析〗因為，所以，又因為，所以，所以數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，所以，即，所以，，所以數(shù)列是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，即，可得，，，，，，，，，不合題意，所以.故選：D.8.已知，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗構(gòu)造函數(shù)，其中，則，當時，；當時，.所以，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為.因為，，，因為，則，則，故.故選：A.二、多選題（本大題共4小題，共20分.在每小題有多項符合題目要求）9.下列說法正確的是（）A.若函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為B.

圖象關于點成中心對稱C.

的最大值為D.冪函數(shù)在上為減函數(shù)，則的值為〖答案〗BD〖解析〗對于A，函數(shù)的定義域為，由得，則函數(shù)的定義域為，A錯誤；對于B，函數(shù)的圖象的對稱中心為，將函數(shù)的圖象先向左平移2個單位，再向上平移1個單位得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)的圖象的對稱中心為，B正確；對于C，函數(shù)在R上單調(diào)遞減，且，則，即當時，函數(shù)取得最小值，無最大值，C錯誤；對于D，因為函數(shù)為冪函數(shù)，所以，解得，D正確.故選：BD.10.有3臺車床加工同一型號的零件，第1，2，3臺加工的次品率分別為，，，加工出來的零件混放在一起．已知第1，2，3臺車床加工的零件數(shù)的比為，現(xiàn)任取一個零件，記事件“零件為第臺車床加工”（，2，3），事件“零件為次品”，則下列結(jié)論中正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗ACD〖解析〗事件“零件為第臺車床加工”（，2，3），事件“零件為次品”，則，，，，，，故A正確，B錯誤；，故C正確；，故D正確．故選：ACD．11.在數(shù)列中，，且對任意不小于2的正整數(shù)n，恒成立，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.C.成等比數(shù)列D.〖答案〗BCD〖解析〗當時，，當時，，則，所以，所以，所以，所以，所以因為不滿足上式，所以，所以A錯誤，對于B，因為，所以，所以B正確，對于C，因為，所以，則，所以成等比數(shù)列，所以C正確，對于D，因為，所以當時，，當時，滿足上式，所以，所以D正確，故選：BCD12.定義在R上的函數(shù)與的導函數(shù)分別為和，若，，且為奇函數(shù)，則下列說法中一定正確的是（）A. B.函數(shù)關于對稱C.函數(shù)是周期函數(shù) D.〖答案〗ACD〖解析〗因為為奇函數(shù)，所以，取可得，A對，因為，所以所以，又，即，，故，所以函數(shù)的圖象關于點對稱，B錯，因為，所以所以，為常數(shù)，因為，所以，所以，取可得，所以，又，即，所以，所以，所以，故函數(shù)為周期為4的函數(shù)，因為，所以，，所以，所以，所以，故的值為0，D正確；因為，即故函數(shù)也為周期為4的函數(shù)，C正確.故選：ACD.第Ⅱ卷（非選擇題共90分）三、填空題（本大題共4小題，共20分）13.函數(shù)f（x）＝－的值域為________．〖答案〗[－，]〖解析〗因為，所以－2≤x≤4，所以函數(shù)f（x）的定義域為[－2，4]．又y1＝，y2＝－在區(qū)間[－2，4]上均為減函數(shù)，所以f（x）＝－在[－2，4]上為減函數(shù)，所以f（4）≤f（x）≤f(－2)．即－≤f（x）≤．故〖答案〗為：[－，].14.已知函數(shù)滿足，且當時，.若，恰有6個解，則t的取值范圍為___________.〖答案〗〖解析〗因為且當時，，即自變量增加兩個單位，函數(shù)值擴大兩倍，由此，可得函數(shù)圖像，如圖所示：當時，；當時，；因為，恰有6個解，即與在恰有6個交點，結(jié)合函數(shù)圖象可得或，即故〖答案〗為：.15.設定義在上的函數(shù)滿足，則函數(shù)在定義域內(nèi)是______（填“增”或“減”）函數(shù)；若，，則的最小值為______．〖答案〗①增②〖解析〗已知，則，令，，則，所以在為增函數(shù)，即函數(shù)在定義域內(nèi)是增函數(shù)；，，又，，可得，由于在為增函數(shù)，所以，解得，即的最小值為，故〖答案〗為：增；16.已知數(shù)列滿足，是數(shù)列的前n項和且，則______．〖答案〗〖解析〗由，得，即，數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，所以，即．當n為偶數(shù)時，，所以，所以，故．故〖答案〗為：四、解答題（本大題共6小題，共72分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.已知數(shù)列滿足，且，數(shù)列是公差為的等差數(shù)列.（1）探究：數(shù)列是等差數(shù)列還是等比數(shù)列，并說明理由；（2）求使得成立的最小正整數(shù)的值.解：（1）依題意，，當時，，即，故，則，故，故，而，故是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列.（2）由（1）可知，，故，記，故，易見是遞增數(shù)列，又，，故滿足的最小正整數(shù)的值為12.18.某校組織數(shù)學知識競賽活動，比賽共4道必答題，答對一題得4分，答錯一題扣2分．學生甲參加了這次活動，假設每道題甲能答對的概率都是，且各題答對與否互不影響．設甲答對的題數(shù)為，甲做完4道題后的總得分為．（1）試建立關于的函數(shù)關系式，并求；（2）求的分布列及．解：（1）由題意，由，得．所以，而，所以．（2）由題意，知．的對應值表為：01234－8－241016于是，；；；；．19.已知函數(shù).（1）求函數(shù)在處的切線方程；（2）若不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.解：（1），，，的圖像在處的切線方程為，即.（2）解法一：由題意得，因為函數(shù)，故有，等價轉(zhuǎn)化為，即在時恒成立，所以，令，則，令，則，所以函數(shù)在時單調(diào)遞增，，，，使得，當時，，即單調(diào)遞減，當時，，即單調(diào)遞增，故，由，得在中，，當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，即與，，，即實數(shù)的取值范圍為.解法二：因為函數(shù)，故有，等價轉(zhuǎn)化為：，構(gòu)造，，所以可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，即成立，令，令，在單調(diào)遞增，又，所以存在，使得，即，可知，當時，可知恒成立，即此時不等式成立；當時，又因，所以，與不等式矛盾；綜上所述，實數(shù)的取值范圍為.20.區(qū)教育局準備組織一次安全知識競賽．某校為了選拔學生參賽，按性別采用分層抽樣的方法抽取200名學生進行安全知識測試，記A＝“性別為男”，B＝“得分超過85分”，且，，．（1）完成下列2×2列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值α＝0.001的獨立性檢驗，能否推斷該校學生了解安全知識的程度與性別有關？性別了解安全知識的程度合計得分不超過85分人數(shù)得分超過85的人數(shù)男女合計（2）學校準備分別選取參與測試的男生和女生前兩名學生代表學校參加