2024屆廣東省廣州市普通高中畢業(yè)班沖刺訓練題（三）數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE3廣東省廣州市2024屆普通高中畢業(yè)班沖刺訓練題（三）數(shù)學試題一、選擇題1設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因為，，所以.故選：D2.在復平面內(nèi)，復數(shù)對應(yīng)的點位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限〖答案〗B〖解析〗因為復數(shù)，所以對應(yīng)的點為，位于第二象限．故選:B．3.已知等差數(shù)列的前項和為，若，則（）A.1 B.2 C.4 D.6〖答案〗B〖解析〗因為為等差數(shù)列，可得，所以，又由等差數(shù)列的性質(zhì)，可得.故選：B.4.設(shè)，是兩個不同平面，，是兩條不同直線，則的一個充分條件是（）A.，， B.，，C.，， D.，，與相交〖答案〗C〖解析〗對于選項A，當滿足，，時，可能相交，如圖：用四邊形代表平面，用四邊形代表平面，故A錯誤；對于選項B，當滿足，，時，可能相交，如圖：用四邊形代表平面，用四邊形代表平面，故B錯誤；對于選項C，因為，，又，所以，故，，是一個充分條件，故C正確；對于選項D，當滿足，，與相交時，可能相交，如圖：用四邊形代表平面，用四邊形代表平面，故D錯誤；故選：C.5.已知雙曲線（，）的左、右焦點分別為，，且與拋物線（）的焦點重合，雙曲線的一條漸近線與拋物線的準線交于點，若，則雙曲線的離心率為（）A B.3 C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意知，拋物線的準線方程為，又因為，則點，又因為點在雙曲線的漸近線上，所以，所以雙曲線的離心率，故選：D.6.設(shè)，，且，則（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由，得，于是，即，由，，得，則或，即或（不符合題意，舍去），所以.故選：D7.已知半徑為的球的球心到正四面體的四個面的距離都相等，若正四面體的棱與球的球面有公共點，則正四面體的棱長的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗設(shè)正四面體的棱長為，則其高為．當正四面體內(nèi)接于球時，最小，此時，得．當球與正四面體的每條棱都相切時，最大，因為球球心到正四面體的四個面的距離都相等，所以當球與正四面體的每條棱都相切時，借助正四面體和球的結(jié)構(gòu)特征可知切點均為棱的中點，且球心到正四面體的頂點的距離為，利用勾股定理可得，得．故正四面體的棱長的取值范圍為．故選：C.8.在中，角、、的對邊分別為、、，若，，的平分線的長為，則邊上的中線的長等于（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意知，設(shè)，則，如圖所示，由可得，整理得，即，又因為，所以，所以，所以，在中，由余弦定理得，所以，由是邊上的中線，得.所以，中線長.故選：A二、選擇題9.已知變量和變量的一組成對樣本數(shù)據(jù)（）的散點落在一條直線附近，，，相關(guān)系數(shù)為，線性回歸方程為，則（）參考公式：，.A.當越大時，成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強B.當時，C.當，時，成對樣本數(shù)據(jù)（）的相關(guān)系數(shù)滿足D.當，時，成對樣本數(shù)據(jù)（）的線性回歸方程滿足〖答案〗BCD〖解析〗對于A，當越接近1時，成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強，故A錯誤；對于B，當時，成對樣本數(shù)據(jù)正相關(guān)，相關(guān)系數(shù)與符號相同，則，故B正確；對于C，當，時，將這組數(shù)據(jù)添加后，不變，故相關(guān)系數(shù)的表達式中的分子和分母均不變，故C正確；對于D，當，時，將這組數(shù)據(jù)添加后，不變，故線性回歸方程中的斜率的表達式中的分子和分母均不變，所以，故D正確；綜上所述，正確的有B、C、D.故選：BCD.10.設(shè)函數(shù)，則（）A.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為B.函數(shù)有極小值且極小值為C.若方程有兩個不等實根，則實數(shù)的取值范圍為D.經(jīng)過坐標原點的曲線的切線方程為〖答案〗ACD〖解析〗對A：由題意可知的定義域為，，令，解得，當時，，當時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故A正確；對B：當時，取得極大值為，故B錯誤；對C：由上分析可作出的圖象，要使方程有兩個不等實根，只需要與有兩個交點，由圖可知，，所以實數(shù)的取值范圍為，故C正確.對D：設(shè)曲線在處的切線經(jīng)過坐標原點，則切線斜率，得，解得，所以切線斜率，所以切線方程為，故D正確.故選：ACD11.已知拋物線：的焦點為，準線為，點，在上（在第一象限），點在上，以為直徑的圓過焦點，（），則（）A.若，則 B.若，則C.的面積最小值為 D.的面積大于〖答案〗ABD〖解析〗對于A，設(shè)點在準線上的投影為，準線與軸交于點，因為兩點在拋物線上，根據(jù)拋物線的定義，，又，則，所以，故A正確；對于B，設(shè)點在準線上的投影為點，因為以為直徑的圓過焦點，所以，且，所以，又因為，所以，即，，由焦半徑公式，故B正確；對于C，分兩種情況：當點都在第一象限，設(shè)，，由焦半徑公式可得，，所以，令，設(shè)，且，所以，當且僅當時取得最小值，當點在第二象限時，設(shè)，，則，，所以，同理令，且，所以，所以，當且僅當時取得最小值，綜上，面積的最小值為，故C錯誤：對于D，當點都在第一象限，，，，則，所以，即，所以當點在第二象限時，同理可得，即，所以，綜上，的面積大于，故D正確.故選：ABD.三、填空題12.若，則______.〖答案〗20〖解析〗由，令可得，，∴.在中，令，可得，∴.故〖答案〗為：2013.選手甲和乙進行乒乓球比賽，如果每局比賽甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，采用五局三勝制，則在甲最終獲勝的情況下，比賽進行了三局的概率為______.〖答案〗〖解析〗根據(jù)題意，設(shè)甲獲勝為事件，比賽進行三局為事件，，，故.故〖答案〗為：.14.已知，若關(guān)于的不等式有整數(shù)解，則的取值范圍為______.〖答案〗〖解析〗不等式，即，設(shè)，，設(shè)，，所以單調(diào)遞增，且，，所以存在，使，即，當時，，在上單調(diào)遞減，當時，，在上單調(diào)遞增，所以，因為，所以，當時，，當時，，不等式有整數(shù)解，即有整數(shù)解，若時，即，因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以時，，所以無整數(shù)解，不符合題意，當時，因為，顯然0，1是的兩個整數(shù)解，符合題意，綜上可知，.四、解答題15.已知數(shù)列的前項和為，數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若存在，使得成立，求實數(shù)的取值范圍.解：（1）由題意知：數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，又，所以，整理得：，又當時，，因為滿足上式，所以，故數(shù)列的通項公式為.（2）由（1）知，可得，故；解法1：由，可得，即，則，又由，當且僅當即時取等號，故實數(shù)的取值范圍為.解法2：由，可得，當，即時，，則，故實數(shù)的取值范圍為.16.在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，三棱錐的體積為，平面與平面的交線為.（1）求四棱錐的體積，并在答卷上畫出交線（注意保留作圖痕跡）；（2）若，，且平面平面，在上是否存在點，使平面與平面所成角的余弦值為？若存在，求的長度；若不存在，請說明理由.解：（1），，∵，∴，∴，延長，，設(shè)的延長線和的延長線交點為，連接，則平面和平面的交線為直線.（2）取的中點，連接，∵，是的中點，∴，∵平面平面，平面平面，平面，，∴平面，，，解得.以點為坐標原點，以直線，分別為，軸，以過點作平面的垂線為軸，建立空間直角坐標系，如圖所示.則，，，，∴，，，設(shè)，則，設(shè)平面的法向量為，則，即令，得，設(shè)平面的法向量為，則，即令，可得，平面與平面夾角的余弦值為∴，整理得，解得：或，即在直線上存在點，平面與平面的夾角的余弦值為，此時或，則或.17.在第二十五屆中國國際高新技術(shù)成果交易會上，中國科學院的科研團隊帶來了可以在零下70攝氏度到零上80攝氏度范圍內(nèi)正常使用的寬溫域鋰電池，為新能源汽車在冬季等極端溫度下的使用提供了技術(shù)支撐．中國新能源汽車也在科研團隊的努力下，在世界舞臺上扮演著越來越重要的角色．已知某鋰電池生產(chǎn)商對一批鋰電池最低正常使用零下溫度進行了檢測，得到如下頻率分布直方圖．（1）求最低正常使用零下溫度的第60百分位數(shù)；（2）若以抽樣檢測的頻率作為實際情況的概率．①若隨機抽取3塊電池，設(shè)抽到鋰電池最低正常使用零下溫度在的數(shù)量為，求的分布列；②若鋰電池最低正常使用零下溫度在之間，則為類鋰電池．若以抽樣檢測的頻率作為實際情況的概率，從這批鋰電池中隨機抽取10塊，抽到塊為“類鋰電池”的可能性最大，試求的值．解：（1）設(shè)最低正常使用零下溫度的第60百分位數(shù)為，由直方圖可知最低正常使用零下溫度在的頻率為0.4，在的頻率為0.65，因此最低正常使用零下溫度的第60百分位數(shù)一定在內(nèi)，則有，解得，所以最低正常使用零下溫度的第60百分位數(shù)為28℃．（2）①由題意可知的可能值是0,1,2,3，，；；；，所以的分布列為01230.0640.2880.4320.216②由題意可知，設(shè)抽到類鋰電池的數(shù)量為，則，若抽到塊的可能性最大，則，，即即解得，由于，故．18.將上各點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼谋叮M坐標不變），所得曲線為.記，過點的直線與交于不同的兩點，直線，與分別交于點.（1）求的方程；（2）設(shè)直線，的傾斜角分別為，（，），求的值.解：（1）設(shè)所求軌跡上的任意點為，與對應(yīng)的點為，根據(jù)題意，可得，即代入方程，可得，整理得，所以曲線的軌跡方程為.（2）設(shè)，，，，由題知，所以直線的斜率不可能為0，設(shè)直線的方程為聯(lián)立方程組，整理得，，由韋達定理得，，，又因為，點在橢圓上，所以,，，同理可得，又因為三點共線，可得，即，所以，所以.19.已知函數(shù)．（1）若對于任意恒成立，求a的取值范圍；（2）若函數(shù)的零點按照從大到小的順序構(gòu)成數(shù)列，，證明：；（3）對于任意正實數(shù)，證明：．（1）解；根據(jù)題意可知，不等式在上恒成立，設(shè)，則，，設(shè)，則，，則，若，存在區(qū)間，使在區(qū)間上單調(diào)遞減；則，則在區(qū)間上單調(diào)遞減，則，不滿足題意，故，即.下證明：當時，不等式成立，因為，，設(shè)，則，設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增，則，則成立，故在上單調(diào)遞增，則，所以恒成立，得證，綜上知，.（2）證明：當時，，設(shè)，則，則函數(shù)單調(diào)遞增，，單調(diào)遞增，，，在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，又，，，，，.由于，，，，由于在上單調(diào)遞增，，.累加得.（3）證明：要證即證.即證.，設(shè)，時，在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增，設(shè)，，由于在上單調(diào)遞增，，，在單調(diào)遞增.又，時因此恒成立，原不等式恒成立，得證.廣東省廣州市2024屆普通高中畢業(yè)班沖刺訓練題（三）數(shù)學試題一、選擇題1設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因為，，所以.故選：D2.在復平面內(nèi)，復數(shù)對應(yīng)的點位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限〖答案〗B〖解析〗因為復數(shù)，所以對應(yīng)的點為，位于第二象限．故選:B．3.已知等差數(shù)列的前項和為，若，則（）A.1 B.2 C.4 D.6〖答案〗B〖解析〗因為為等差數(shù)列，可得，所以，又由等差數(shù)列的性質(zhì)，可得.故選：B.4.設(shè)，是兩個不同平面，，是兩條不同直線，則的一個充分條件是（）A.，， B.，，C.，， D.，，與相交〖答案〗C〖解析〗對于選項A，當滿足，，時，可能相交，如圖：用四邊形代表平面，用四邊形代表平面，故A錯誤；對于選項B，當滿足，，時，可能相交，如圖：用四邊形代表平面，用四邊形代表平面，故B錯誤；對于選項C，因為，，又，所以，故，，是一個充分條件，故C正確；對于選項D，當滿足，，與相交時，可能相交，如圖：用四邊形代表平面，用四邊形代表平面，故D錯誤；故選：C.5.已知雙曲線（，）的左、右焦點分別為，，且與拋物線（）的焦點重合，雙曲線的一條漸近線與拋物線的準線交于點，若，則雙曲線的離心率為（）A B.3 C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意知，拋物線的準線方程為，又因為，則點，又因為點在雙曲線的漸近線上，所以，所以雙曲線的離心率，故選：D.6.設(shè)，，且，則（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由，得，于是，即，由，，得，則或，即或（不符合題意，舍去），所以.故選：D7.已知半徑為的球的球心到正四面體的四個面的距離都相等，若正四面體的棱與球的球面有公共點，則正四面體的棱長的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗設(shè)正四面體的棱長為，則其高為．當正四面體內(nèi)接于球時，最小，此時，得．當球與正四面體的每條棱都相切時，最大，因為球球心到正四面體的四個面的距離都相等，所以當球與正四面體的每條棱都相切時，借助正四面體和球的結(jié)構(gòu)特征可知切點均為棱的中點，且球心到正四面體的頂點的距離為，利用勾股定理可得，得．故正四面體的棱長的取值范圍為．故選：C.8.在中，角、、的對邊分別為、、，若，，的平分線的長為，則邊上的中線的長等于（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意知，設(shè)，則，如圖所示，由可得，整理得，即，又因為，所以，所以，所以，在中，由余弦定理得，所以，由是邊上的中線，得.所以，中線長.故選：A二、選擇題9.已知變量和變量的一組成對樣本數(shù)據(jù)（）的散點落在一條直線附近，，，相關(guān)系數(shù)為，線性回歸方程為，則（）參考公式：，.A.當越大時，成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強B.當時，C.當，時，成對樣本數(shù)據(jù)（）的相關(guān)系數(shù)滿足D.當，時，成對樣本數(shù)據(jù)（）的線性回歸方程滿足〖答案〗BCD〖解析〗對于A，當越接近1時，成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強，故A錯誤；對于B，當時，成對樣本數(shù)據(jù)正相關(guān)，相關(guān)系數(shù)與符號相同，則，故B正確；對于C，當，時，將這組數(shù)據(jù)添加后，不變，故相關(guān)系數(shù)的表達式中的分子和分母均不變，故C正確；對于D，當，時，將這組數(shù)據(jù)添加后，不變，故線性回歸方程中的斜率的表達式中的分子和分母均不變，所以，故D正確；綜上所述，正確的有B、C、D.故選：BCD.10.設(shè)函數(shù)，則（）A.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為B.函數(shù)有極小值且極小值為C.若方程有兩個不等實根，則實數(shù)的取值范圍為D.經(jīng)過坐標原點的曲線的切線方程為〖答案〗ACD〖解析〗對A：由題意可知的定義域為，，令，解得，當時，，當時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故A正確；對B：當時，取得極大值為，故B錯誤；對C：由上分析可作出的圖象，要使方程有兩個不等實根，只需要與有兩個交點，由圖可知，，所以實數(shù)的取值范圍為，故C正確.對D：設(shè)曲線在處的切線經(jīng)過坐標原點，則切線斜率，得，解得，所以切線斜率，所以切線方程為，故D正確.故選：ACD11.已知拋物線：的焦點為，準線為，點，在上（在第一象限），點在上，以為直徑的圓過焦點，（），則（）A.若，則 B.若，則C.的面積最小值為 D.的面積大于〖答案〗ABD〖解析〗對于A，設(shè)點在準線上的投影為，準線與軸交于點，因為兩點在拋物線上，根據(jù)拋物線的定義，，又，則，所以，故A正確；對于B，設(shè)點在準線上的投影為點，因為以為直徑的圓過焦點，所以，且，所以，又因為，所以，即，，由焦半徑公式，故B正確；對于C，分兩種情況：當點都在第一象限，設(shè)，，由焦半徑公式可得，，所以，令，設(shè)，且，所以，當且僅當時取得最小值，當點在第二象限時，設(shè)，，則，，所以，同理令，且，所以，所以，當且僅當時取得最小值，綜上，面積的最小值為，故C錯誤：對于D，當點都在第一象限，，，，則，所以，即，所以當點在第二象限時，同理可得，即，所以，綜上，的面積大于，故D正確.故選：ABD.三、填空題12.若，則______.〖答案〗20〖解析〗由，令可得，，∴.在中，令，可得，∴.故〖答案〗為：2013.選手甲和乙進行乒乓球比賽，如果每局比賽甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，采用五局三勝制，則在甲最終獲勝的情況下，比賽進行了三局的概率為______.〖答案〗〖解析〗根據(jù)題意，設(shè)甲獲勝為事件，比賽進行三局為事件，，，故.故〖答案〗為：.14.已知，若關(guān)于的不等式有整數(shù)解，則的取值范圍為______.〖答案〗〖解析〗不等式，即，設(shè)，，設(shè)，，所以單調(diào)遞增，且，，所以存在，使，即，當時，，在上單調(diào)遞減，當時，，在上單調(diào)遞增，所以，因為，所以，當時，，當時，，不等式有整數(shù)解，即有整數(shù)解，若時，即，因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以時，，所以無整數(shù)解，不符合題意，當時，因為，顯然0，1是的兩個整數(shù)解，符合題意，綜上可知，.四、解答題15.已知數(shù)列的前項和為，數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若存在，使得成立，求實數(shù)的取值范圍.解：（1）由題意知：數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，又，所以，整理得：，又當時，，因為滿足上式，所以，故數(shù)列的通項公式為.（2）由（1）知，可得，故；解法1：由，可得，即，則，又由，當且僅當即時取等號，故實數(shù)的取值范圍為.解法2：由，可得，當，即時，，則，故實數(shù)的取值范圍為.16.在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，三棱錐的體積為，平面與平面的交線為.（1）求四棱錐的體積，并在答卷上畫出交線（注意保留作圖痕跡）；（2）若，，且平面平面，在上是否存在點，使平面與平面所成角的余弦值為？若存在，求的長度；若不存在，請說明理由.解：（1），，∵，∴，∴，延長，，設(shè)的延長線和的延長線交點為，連接，則平面和平面的交線為直線.（2）取的中點，連接，∵，是的中點，∴，∵平面平面，平面平面，平面，，∴平面，，，解得.以點為坐標原點，以直線，分別為，軸，以過點作平面的垂線為軸，建立空間直角坐標系，如圖所示.則，，，，∴，，，設(shè)，則，設(shè)平面的法向量為，則，即令，得，設(shè)平面的法向量為，則，即令，可得，平面與平面夾角的余弦值為∴，整理得，解得：或，即在直線上存在點，平面與平面的夾角的余弦值為，此時或，則或.17.在第二十五屆中國國際高新技術(shù)成果交易會上，中國科學院的科研團隊帶來了可以在零下70攝氏度到零上80攝氏度范圍內(nèi)正常使用的寬溫域鋰電池，為新能源汽車在冬季等極端溫度下的使用提供了技術(shù)支撐．中國新能源汽車也在科研團隊的努力下，在世界舞臺上扮演著越來越重要的角色．已知某鋰電池生產(chǎn)商對一批鋰電池最低正常使用零下溫度進行了檢測，得到如下頻率分布直方圖．（1）求最低正常使用零下溫度的第60百分位數(shù)；（2）若以抽樣檢測的頻率作為實際情況的概率．①若隨機抽取3塊電池，設(shè)抽到鋰電池最低正常使用零下溫度在的數(shù)量為，求的分布列；②若鋰電池最低正常使用零下溫度在之間，則為類鋰電池．若以抽樣檢測的頻率作為實際情況的概