2024屆江西省鷹潭市高三第二次模擬考試數(shù)學試卷（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE3江西省鷹潭市2024屆高三第二次模擬考試數(shù)學試卷第Ⅰ卷選擇題一、單項選擇題1.已知全集，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗解不等式，得或，于是，，由，得，解得，則，所以.故選：B2.已知，則的虛部為（）A. B. C. D.2〖答案〗D〖解析〗由，則，的虛部為2.故選：D.3.雙曲線：的左，右頂點分別為，曲線上的一點關于軸的對稱點為，若直線的斜率為，直線的斜率為，則（）A.3 B. C. D.〖答案〗B〖解析〗如圖，不妨設，則，依題意，，因點在雙曲線上，故有，于是，.故選：B.4.我國古代數(shù)學名著《數(shù)書九章》中有“天池盆測雨”題：在下雨時，用一個圓臺形的天池盆接雨水，天池盆盆口直徑為二尺八寸，盆底直徑為一尺二寸，盆深一尺八寸，若盆中積水深九寸，則平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積；②一尺等于十寸）（

）A.6寸 B.4寸 C.3寸 D.2寸〖答案〗C〖解析〗如圖，由題意可知，天池盆上底面半徑為14寸，下底面半徑為6寸，高為18寸，因為積水深9寸，所以水面半徑為寸，則盆中水的體積為立方寸，所以平地降雨量等于寸.故選：C.5.質數(shù)又稱素數(shù)，我們把相差為2的兩個素數(shù)叫做“孿生素數(shù)”，如：3和5，5和7……，在不超過20的正整數(shù)中，隨機選取兩個不同的數(shù)，記事件：這兩個數(shù)都是素數(shù)；事件：這兩個數(shù)不是孿生素數(shù)，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗在不超過20的正整數(shù)中，隨機選取兩個不同的數(shù)有對組合，在不超過20的正整數(shù)中有共個數(shù)，所以，所以任取兩個素數(shù)共有個對組合，其中是“孿生素數(shù)”有，，，共對，所以這兩個數(shù)不是孿生素數(shù)的共有對，所以，所以.故選：A6.在中，角所對應的邊為,，，，是外接圓上一點，則的最大值是（）A.4 B. C.3 D.〖答案〗A〖解析〗如圖，設的外心為，則點是的中點，由，因，故,而，故當且僅當與同向時取等號.故選：A.7.第14屆國際數(shù)學教育大會在上海華東師范大學舉行，如圖是本次大會的會標，會標中“ICME-14”的下方展示的是八卦中的四卦3、7、4、4，這是中國古代八進制計數(shù)符號，換算成現(xiàn)代十進制是，正是會議計劃召開的年份，那么八進制數(shù)換算成十進制數(shù)，則換算后這個數(shù)的末位數(shù)字是（）A.1 B.3 C.5 D.7〖答案〗C〖解析〗由進位制的換算方法可知，八進制換算成十進制得：，因為是10的倍數(shù)，所以，換算后這個數(shù)的末位數(shù)字即為的末尾數(shù)字，由可得，末尾數(shù)字為5.故選：C8.已知函數(shù)，，則下列命題不正確的是（）A.有且只有一個極值點 B.在上單調(diào)遞增C.存在實數(shù)，使得 D.有最小值〖答案〗C〖解析〗由得，令，則函數(shù)可以看作為函數(shù)與函數(shù)的復合函數(shù)，因為為增函數(shù)，所以與單調(diào)性、圖象變換等基本一致，，由得，列表如下：－0＋由表知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在時，取得極小值（最小值），所以在上單調(diào)遞增，即B正確；在時，取得唯一極值（極小值，也是最小值），即A、D都正確，C錯誤.故選：C.二、多項選擇題9.下列說法中，正確是（）A.一組數(shù)據(jù)10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第40百分位數(shù)為12B.兩組樣本數(shù)據(jù)，，，和，，，的方差分別為，，若已知（），則C.已知隨機變量服從正態(tài)分布，若，則D.已知一系列樣本點（）的回歸方程為，若樣本點與的殘差（殘差＝實際值－模型預測值）相等，則〖答案〗BC〖解析〗A選項，，故從小到大從第4個和第5個數(shù)的平均數(shù)作為第40百分位數(shù)，即，A錯誤；B選項，，，因為，（），故，故，，故，B正確；C選項，因為，，關于對稱，所以，C正確；D選項，由題意得，整理得，D錯誤.故選：BC10.已知函數(shù)及其導函數(shù)的定義域均為，記.若函數(shù)與均為偶函數(shù)，則下列結論中正確的是（）A. B.函數(shù)的圖象關于點對稱C. D.〖答案〗ABD〖解析〗對于選項A，因為為偶函數(shù)，可得：，即，∴，即，故選項A正確；對于選項B，因為為偶函數(shù)，所以為奇函數(shù)，且，則的圖象關于點對稱，故選項B正確；對于選項C，為偶函數(shù)，其導函數(shù)為奇函數(shù)，可得：，即，得，所以，即，則，可知的周期為4，故選項C錯誤；對于選項D，因為為奇函數(shù)，將代入，得，得，因為為偶函數(shù)，可得：關于對稱，由且關于對稱，知，又的周期為4，可得（），選項C中有等式，即，則有（）成立，∴，故選項D正確；故選：ABD.11.布達佩斯的伊帕姆維澤蒂博物館收藏的達·芬奇方磚是在正六邊形上畫了具有視覺效果的正方體圖案（如圖1）把三片這樣的達·芬奇方磚拼成圖2的組合，這個組合再轉換成圖3所示的幾何體.若圖3中每個正方體的棱長為1，則（）A.B.若為線段上的一個動點，則的最大值為3C.點到直線的距離是D.直線與平面所成角正弦值的最大值為〖答案〗BD〖解析〗對于A項，因為，所以，故A項錯誤；對于B項，如圖，以為坐標原點，建立空間直角坐標系，則，，，設點，使，，則，故，則，因，則時，即點與點重合時，取得最大值3，故B項正確；對于C項，又，則，，故得：，，則點到直線的距離為：，故C項錯誤；對于D項，設平面的一個法向量為，所以，取，所以由，則，由，又，當且僅當時，取等號知，D項正確.故選：BD第Ⅱ卷非選擇題三、填空題12.已知，且，則______.〖答案〗〖解析〗因為，所以，又，所以，所以.故〖答案〗為：13.設數(shù)列的前項和為，，，，則______.〖答案〗（）〖解析〗因為，當時，，兩式相減可得，即，所以，又，所以，所以，所以，且也符合上式，所以，所以，.故〖答案〗為：（）14.已知拋物線：，定點，為直線上一點，過作拋物線的兩條切線，，，是切點，則面積的最小值為______.〖答案〗〖解析〗設，的斜率分別為，且，過點M的切線方程為，聯(lián)立，解得，所以，即，所以，設切點，由導數(shù)幾何意義知，所以，，所以直線，即：且，所以：，直線恒過定點，其到的距離為1，聯(lián)立，得，∴，，即，∴，故〖答案〗為：.四、解答題15.的內(nèi)角的對邊分別為，，，滿足.（1）求證：；（2）求的最小值.（1）證明：由，可得且，所以，因為為三角形的內(nèi)角，可得，即，得證.（2）解：由（1）知，且，所以所以，當且僅當時，等號成立，所以取最小值16.如圖，三棱柱中，側面為矩形，，，底面為等邊三角形.（1）證明：平面平面；（2）求平面與平面的夾角的余弦值.（1）證明：取，的中點為，，連接，，，由于側面為矩形，所以，∵，∴，由于底面為等邊三角形，所以，，，平面，所以平面，由于，，故四邊形為平行四邊形，故平面，故，又是中點，所以，由于，，所以，，又，所以，由于，，故為的平面角，由于，所以，故平面平面；（2）解：由于，，兩兩垂直，故建立如圖所示的空間直角坐標系，，，，，則，，設平面的法向量為，則，取，則，由于平面的法向量為，故故平面與平面的夾角的余弦值為.17.等高堆積條形圖是一種數(shù)據(jù)可視化方式，能夠清晰呈現(xiàn)多個變量的數(shù)據(jù)并進行比較，這種類型圖表將多個條形圖堆積在一起并用顏色進行區(qū)分，形成一條整體條形圖，每個條形圖的高度表示對應變量的值，不同顏色表示不同變量，能夠更好的理解每個變量在總體中的占比.北方的冬天室外溫度極低，如果輕薄、保暖的石墨烯發(fā)熱膜能用在衣服上，那么可愛的醫(yī)務工作者們在冬季行動會更方便.石墨烯發(fā)熱膜的制作如下：從石墨中分離出石墨烯，制成石墨烯發(fā)熱膜.從石墨中分離石墨烯的一種方法是化學氣相沉積法，使石墨升華后附著在材料上再結晶.現(xiàn)在有材料、材料可供選擇，研究人員對附著在材料、材料上的石墨各做了50次再結晶試驗，得到如下等高堆積條形圖.

材料材料合計試驗成功

試驗失敗

合計

單位：次（1）根據(jù)等高堆積條形圖，填寫列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認為試驗的結果與材料有關；（2）研究人員得到石墨烯后，再制作石墨烯發(fā)熱膜有三個環(huán)節(jié)：①透明基底及UV膠層；②石墨烯層；③表面封裝層.第一、二環(huán)節(jié)生產(chǎn)合格的概率均為，第三環(huán)節(jié)生產(chǎn)合格的概率為，且各生產(chǎn)環(huán)節(jié)相互獨立.已知生產(chǎn)1噸石墨烯發(fā)熱膜的固定成本為1萬元，若生產(chǎn)不合格還需進行修復，第三環(huán)節(jié)的修復費用為4000元，其余環(huán)節(jié)修復費用均為2000元.試問如何定價（單位：萬元），才能實現(xiàn)每生產(chǎn)1噸石墨烯發(fā)熱膜獲利不低于1萬元的目標？（精確到0.001）附：，其中.0.10.050.010.0050.0012.70638416.6357.87910.828解：（1）根據(jù)題中所給等高堆積條形圖，得列聯(lián)表如下：材料材料合計試驗成功453075試驗失敗52025合計5050100計算可得，依據(jù)的獨立性檢驗，有的把握認為試驗的結果與材料有關.（2）設生產(chǎn)1噸石墨烯發(fā)熱膜所需的修復費用為萬元，易知的可能取值為，，，，，，，，，則的分布列為00.20.40.60.8修復費用的期望，所以石墨烯發(fā)熱膜的定價至少為萬元/噸，才能實現(xiàn)預期的利潤目標.18.設橢圓：（）經(jīng)過點，且離心率，直線：垂直軸交軸于，過的直線交橢圓于，兩點，連接，，.（1）求橢圓的方程：（2）設直線，的斜率分別為，.（?。┣蟮闹担唬áⅲ┤鐖D：過作軸的垂線，過作的平行線分別交，于，，求的值.解：（1）由題意知：，即，，所以橢圓的方程為；（2）方法一：（?。┮字?，，，，設直線的方程為，由直線過知，聯(lián)立方程，得，變形得：，即.（ⅱ）設直線，的傾斜角分別為，，則，，，，，在中，所以由知，即，故.方法二：（?。┮字?，，，，設，，直線的方程為，則……（*）聯(lián)立方程，得，∴，……（1）將（1）式代入（*）得：（ⅱ）由（ⅰ）知，：即……（2）：即……（3）聯(lián)立（2），（3）得，即∴即為的中點，故19.“讓式子丟掉次數(shù)”—伯努利不等式（Bernoulli’sInequality），又稱貝努利不等式，是高等數(shù)學分析不等式中最常見的一種不等式，由瑞士數(shù)學家雅各布.伯努利提出，是最早使用“積分”和“極坐標”的數(shù)學家之一.貝努利不等式表述為：對實數(shù)，在時，有不等式成立；在時，有不等式成立.（1）證明：當，時，不等式成立，并指明取等號的條件；（2）已知，…，（）是大于的實數(shù)（全部同號），證明：（3）求證：.（1）解：當時，，則，當時，，當時，我們需證，設，，注意到，，令得，即，令，則，所以在單調(diào)遞增，當時，，當時，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在處取得極小值，即恒成立，.不等式對，成立，得證，不等式取等號的條件是，或.（2）證明：當時，原不等式即，顯然成立，當時，構造數(shù)列，，則，若（），由上式易得，即；若（），則，所以，故，即此時也成立，所以當時，，由于，所以（），故原不等式成立.（3）證明：要證，只需證由（2）知又∴，得證.

江西省鷹潭市2024屆高三第二次模擬考試數(shù)學試卷第Ⅰ卷選擇題一、單項選擇題1.已知全集，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗解不等式，得或，于是，，由，得，解得，則，所以.故選：B2.已知，則的虛部為（）A. B. C. D.2〖答案〗D〖解析〗由，則，的虛部為2.故選：D.3.雙曲線：的左，右頂點分別為，曲線上的一點關于軸的對稱點為，若直線的斜率為，直線的斜率為，則（）A.3 B. C. D.〖答案〗B〖解析〗如圖，不妨設，則，依題意，，因點在雙曲線上，故有，于是，.故選：B.4.我國古代數(shù)學名著《數(shù)書九章》中有“天池盆測雨”題：在下雨時，用一個圓臺形的天池盆接雨水，天池盆盆口直徑為二尺八寸，盆底直徑為一尺二寸，盆深一尺八寸，若盆中積水深九寸，則平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積；②一尺等于十寸）（

）A.6寸 B.4寸 C.3寸 D.2寸〖答案〗C〖解析〗如圖，由題意可知，天池盆上底面半徑為14寸，下底面半徑為6寸，高為18寸，因為積水深9寸，所以水面半徑為寸，則盆中水的體積為立方寸，所以平地降雨量等于寸.故選：C.5.質數(shù)又稱素數(shù)，我們把相差為2的兩個素數(shù)叫做“孿生素數(shù)”，如：3和5，5和7……，在不超過20的正整數(shù)中，隨機選取兩個不同的數(shù)，記事件：這兩個數(shù)都是素數(shù)；事件：這兩個數(shù)不是孿生素數(shù)，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗在不超過20的正整數(shù)中，隨機選取兩個不同的數(shù)有對組合，在不超過20的正整數(shù)中有共個數(shù)，所以，所以任取兩個素數(shù)共有個對組合，其中是“孿生素數(shù)”有，，，共對，所以這兩個數(shù)不是孿生素數(shù)的共有對，所以，所以.故選：A6.在中，角所對應的邊為,，，，是外接圓上一點，則的最大值是（）A.4 B. C.3 D.〖答案〗A〖解析〗如圖，設的外心為，則點是的中點，由，因，故,而，故當且僅當與同向時取等號.故選：A.7.第14屆國際數(shù)學教育大會在上海華東師范大學舉行，如圖是本次大會的會標，會標中“ICME-14”的下方展示的是八卦中的四卦3、7、4、4，這是中國古代八進制計數(shù)符號，換算成現(xiàn)代十進制是，正是會議計劃召開的年份，那么八進制數(shù)換算成十進制數(shù)，則換算后這個數(shù)的末位數(shù)字是（）A.1 B.3 C.5 D.7〖答案〗C〖解析〗由進位制的換算方法可知，八進制換算成十進制得：，因為是10的倍數(shù)，所以，換算后這個數(shù)的末位數(shù)字即為的末尾數(shù)字，由可得，末尾數(shù)字為5.故選：C8.已知函數(shù)，，則下列命題不正確的是（）A.有且只有一個極值點 B.在上單調(diào)遞增C.存在實數(shù)，使得 D.有最小值〖答案〗C〖解析〗由得，令，則函數(shù)可以看作為函數(shù)與函數(shù)的復合函數(shù)，因為為增函數(shù)，所以與單調(diào)性、圖象變換等基本一致，，由得，列表如下：－0＋由表知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在時，取得極小值（最小值），所以在上單調(diào)遞增，即B正確；在時，取得唯一極值（極小值，也是最小值），即A、D都正確，C錯誤.故選：C.二、多項選擇題9.下列說法中，正確是（）A.一組數(shù)據(jù)10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第40百分位數(shù)為12B.兩組樣本數(shù)據(jù)，，，和，，，的方差分別為，，若已知（），則C.已知隨機變量服從正態(tài)分布，若，則D.已知一系列樣本點（）的回歸方程為，若樣本點與的殘差（殘差＝實際值－模型預測值）相等，則〖答案〗BC〖解析〗A選項，，故從小到大從第4個和第5個數(shù)的平均數(shù)作為第40百分位數(shù)，即，A錯誤；B選項，，，因為，（），故，故，，故，B正確；C選項，因為，，關于對稱，所以，C正確；D選項，由題意得，整理得，D錯誤.故選：BC10.已知函數(shù)及其導函數(shù)的定義域均為，記.若函數(shù)與均為偶函數(shù)，則下列結論中正確的是（）A. B.函數(shù)的圖象關于點對稱C. D.〖答案〗ABD〖解析〗對于選項A，因為為偶函數(shù)，可得：，即，∴，即，故選項A正確；對于選項B，因為為偶函數(shù)，所以為奇函數(shù)，且，則的圖象關于點對稱，故選項B正確；對于選項C，為偶函數(shù)，其導函數(shù)為奇函數(shù)，可得：，即，得，所以，即，則，可知的周期為4，故選項C錯誤；對于選項D，因為為奇函數(shù)，將代入，得，得，因為為偶函數(shù)，可得：關于對稱，由且關于對稱，知，又的周期為4，可得（），選項C中有等式，即，則有（）成立，∴，故選項D正確；故選：ABD.11.布達佩斯的伊帕姆維澤蒂博物館收藏的達·芬奇方磚是在正六邊形上畫了具有視覺效果的正方體圖案（如圖1）把三片這樣的達·芬奇方磚拼成圖2的組合，這個組合再轉換成圖3所示的幾何體.若圖3中每個正方體的棱長為1，則（）A.B.若為線段上的一個動點，則的最大值為3C.點到直線的距離是D.直線與平面所成角正弦值的最大值為〖答案〗BD〖解析〗對于A項，因為，所以，故A項錯誤；對于B項，如圖，以為坐標原點，建立空間直角坐標系，則，，，設點，使，，則，故，則，因，則時，即點與點重合時，取得最大值3，故B項正確；對于C項，又，則，，故得：，，則點到直線的距離為：，故C項錯誤；對于D項，設平面的一個法向量為，所以，取，所以由，則，由，又，當且僅當時，取等號知，D項正確.故選：BD第Ⅱ卷非選擇題三、填空題12.已知，且，則______.〖答案〗〖解析〗因為，所以，又，所以，所以.故〖答案〗為：13.設數(shù)列的前項和為，，，，則______.〖答案〗（）〖解析〗因為，當時，，兩式相減可得，即，所以，又，所以，所以，所以，且也符合上式，所以，所以，.故〖答案〗為：（）14.已知拋物線：，定點，為直線上一點，過作拋物線的兩條切線，，，是切點，則面積的最小值為______.〖答案〗〖解析〗設，的斜率分別為，且，過點M的切線方程為，聯(lián)立，解得，所以，即，所以，設切點，由導數(shù)幾何意義知，所以，，所以直線，即：且，所以：，直線恒過定點，其到的距離為1，聯(lián)立，得，∴，，即，∴，故〖答案〗為：.四、解答題15.的內(nèi)角的對邊分別為，，，滿足.（1）求證：；（2）求的最小值.（1）證明：由，可得且，所以，因為為三角形的內(nèi)角，可得，即，得證.（2）解：由（1）知，且，所以所以，當且僅當時，等號成立，所以取最小值16.如圖，三棱柱中，側面為矩形，，，底面為等邊三角形.（1）證明：平面平面；（2）求平面與平面的夾角的余弦值.（1）證明：取，的中點為，，連接，，，由于側面為矩形，所以，∵，∴，由于底面為等邊三角形，所以，，，平面，所以平面，由于，，故四邊形為平行四邊形，故平面，故，又是中點，所以，由于，，所以，，又，所以，由于，，故為的平面角，由于，所以，故平面平面；（2）解：由于，，兩兩垂直，故建立如圖所示的空間直角坐標系，，，，，則，，設平面的法向量為，則，取，則，由于平面的法向量為，故故平面與平面的夾角的余弦值為.17.等高堆積條形圖是一種數(shù)據(jù)可視化方式，能夠清晰呈現(xiàn)多個變量的數(shù)據(jù)并進行比較，這種類型圖表將多個條形圖堆積在一起并用顏色進行區(qū)分，形成一條整體條形圖，每個條形圖的高度表示對應變量的值，不同顏色表示不同變量，能夠更好的理解每個變量在總體中的占比.北方的冬天室外溫度極低，如果輕薄、保暖的石墨烯發(fā)熱膜能用在衣服上，那么可愛的醫(yī)務工作者們在冬季行動會更方便.石墨烯發(fā)熱膜的制作如下：從石墨中分離出石墨烯，制成石墨烯發(fā)熱膜.從石墨中分離石墨烯的一種方法是化學氣相沉積法，使石墨升華后附著在材料上再結晶.現(xiàn)在有材料、材料可供選擇，研究人員對附著在材料、材料上的石墨各做了50次再結晶試驗，得到如下等高堆積條形圖.

材料材料合計試驗成功

試驗失敗

合計

單位：次（1）根據(jù)等高堆積條形圖，填寫列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認為試驗的結果與材料有關；（2）研究人員得到石墨烯后，再制作石墨烯發(fā)熱膜有三個環(huán)節(jié)：①透明基底及UV膠層；②石墨烯層；③表面封裝層.第一、二環(huán)節(jié)生產(chǎn)合格的概率均為，第三環(huán)節(jié)生產(chǎn)合格的概率為，且各生產(chǎn)環(huán)節(jié)相互獨立.已知生產(chǎn)1噸石墨烯發(fā)熱膜的固定成本為1萬元，若生產(chǎn)不合格還需進行修復，第三環(huán)節(jié)的修復費用為4000元，其余環(huán)節(jié)修復費用均為2000元.試問如何定價（單位：萬元），才能實現(xiàn)每生產(chǎn)1噸石墨烯發(fā)熱膜獲利不低于1萬元的目標？（精確到0.001）附：，其中.0.10.050.010.0050.0012.70638416.6357.87910.828解：（1）根據(jù)題中所給等高堆積條形圖，得列聯(lián)表如