生活中的概率統(tǒng)計（知識拓廣）-人教版

生活中的概率統(tǒng)計

古典概型的定義

如果隨機試驗滿足兩個條件：（1）有限性：樣本空間所包含的基本事件僅

有〃個；（2）等可能性：每個基本事件發(fā)生的可能性相同.稱這樣的數(shù)學模型

稱為古典概型.

在古典概型中，設隨機事件A含有機個樣本點，那么事件A發(fā)生的概率定

義為

m

尸（A）=一.

n

古典概型的基本模型——摸球模型

一.無放回地摸球模型

設袋中有4只白球和2只黑球，現(xiàn)從中無放回地依次摸出2只球，求這2

只球都是白球的概率。

解：設人=｛摸得2只都是白球｝

解法一：分析：把球看成是彼此可以分辨的。則P（A）=^=竺?=4。

6x55

解法二：分析：若把球看成是不可分辨的。則P（A）=與=2。

C15

解法三：分析：用事件的“分解”及概率的運算法。

設一=｛第i次摸到白球Mi=1,2）,則

432

P（A）=P（8出2）=口用）尸（星回）=/xw=g。（乘法公式）

二.有放回地摸球模型

袋中有4個紅球，6個黑球。從中有放回地摸球3次，求前兩次摸到黑球、

第三次摸到紅球的概率。

解法一：用古典概率方法求解。

P（A）="==0.144。

103

解法二：令A,=｛第z?次摸到黑球｝（i=l,2,3）。

—獨立性—664

P（A）=P（AA2A3）=P（4）P（42）P（A3）=5x正義元=0.144。

摸球模型的應用：

抽獎問題1某班級只有一張晚會入場券，而有10位同學都要參加，教師采用

抽簽的方式來確定這張入場券給誰。這跟抽簽的順序有關嗎？

分析：設給10個同樣大小的球編號，抽到I號球得晚會入場券。

設4：第i個人抽到1號球（i=l,2,…，10）。

則P（A）=?

P（4）=P（A）P（4H）+P（T）P（4同=0+.[=:（全概率公式）

p（A）=P（4?工…即4）=P（QP（布）P（麗?私??P（AJ4…4

9810-z+l

（乘法公式）

109lO-i+210-z+l10

由上式可知：當一個人抽簽時，若他前面的人抽的結果都不公開時，那么

每個人抽到的概率都相等。

抽獎問題2若某班級有a+b個人，其中有。個人可以抽到晚會入場券，那么

他們抽到入場券的概率與抽的次序有關嗎？對抽獎人有何約定？

分析：設4：第i個人抽到入場券（z=L2,a+b）□

p（a）=P（A1A2）+P（AlA2）=尸⑷尸52%）+P（羽尸⑷4）

---------------------------1-------------------------二-----------

a+ba4-Z?a^-b-la+b

P（4）=?

電話號碼問題在七位數(shù)的電話號碼中，求數(shù)字0恰好出現(xiàn)了三次的概率。

分析：把0看作紅球，1?9都看作黑球，本例相當于袋中有1只紅球，9只黑球

采用有放回摸取方式，從中摸球7次，求其中恰有3次摸到紅球，但第一次不

能摸到幻球的概率。

骰子問題擲3顆均勻骰子，求點數(shù)之和為4的概率。

分析：同時擲3顆骰子和先后擲1顆骰子3次效果是一樣的。擲一次骰子出現(xiàn)3

點，可看成從裝有編號為1?6的6個球的袋子中，有放回地取一次球，取出的

是3號球。所以本問題的概率等于從裝有編號1?6的6個球的袋子中，有放回

地取球3次，求3個球的編號之和為4的概率。

投球問題把4個球放到3個杯子中去，求第1、2個杯子中各有2個球的概

率，其中假設每個杯子可放任意多個球。

解：先求4個球放入3個杯子的基本事件總數(shù)。因為每個球都可以放入3個杯

子中的任意一個，有3種不同的放法。又因為一個杯子中放入的球數(shù)無限制，

所以4個球放入3個杯子的基本事件總數(shù)為3、第1、2個杯子中各有2個球所

包含的基本事件數(shù)為從4個球中任取2個球放入第1個杯子，再將剩余的2個

球放入第2個杯子，即共有

分房問題設有n個人，每個人都等可能地被分配到N個房間中的任意一間去

?。ā╓N）,求下列事件的概率：

（1）指定的n個房間各有一個人??；

（2）恰好有n個房間，其中各住一個人。

分析：因為每一個人有N個房間可供選擇所以n個人住的方式共有N",它們是

等可能的。

（1）指定的n個房間各有一個人住，其可能總數(shù)為n個人的全排列〃!，于是

n\

Pi=--°

N"

(2)恰好有n個房間，其中各住一個人：這n個房間可以在N個房間中任意選

取，其總數(shù)有C￡，對選定的n個房間，按題(1)的討論，所以

%=，卡。

生日問題某班有50個學生，求至少有兩人在同一天生日的概率。

分析：把學生看成“球”，一年365天看成是杯子。此問題可轉化為把50個球

放入365個杯子中去，求至少有一個杯子中至少有兩個球的概率。用對立事件

求之。P(A)=1-P(用

「50

565

P(A)=1—?0.97

36550

問：其中0.97如何解釋?

思考題：某班有20個學生都是同一年出生的，求有10個學生生日是1月1

日、另外10個學生生日是12月31日的概率。

分析：把學生看作“球”，一年365天看成365個“杯子”，此問題即歸屬于

將20個球放入365個杯子中去的概率模型，原問題轉化為求第1和第365只杯

子中各有10個球的概率。

「10「10

P(A)=^^。

36520

生日問題求500人中至少有1人的生日是10月1日的概率。

解：設人=｛500人中至少有1人的生日是10月1日｝。

紇=｛500人中恰有i個人生日在10月1日｝,一互不相容(i=l,2,…,500)

5005005005P91\//^500-rorj500-/\

解法一：P(A)=P(|JB,)=Y)=X--~?

1=1f=i/=]303

其中把P(B,)年成500個球放到365個杯子中去，10月1日這個杯子恰

有i個球的概率。

解法二：用逆事件處理。

364500

P(A)=1—P(6°)=1—

365500

解法三：用事件的獨立性。設。尸｛第i個人生日在10月1日｝0=1,2,…,500)。

顯著G相互獨立，故

500_500—

&A)=1-尸(8。)==1-p(nG)=1-nP(G)

i=l/=!

,364364364,364500

365365365365500

解法四：用貝努利概型。把對每個人的生日是否在10月1日進行觀察看成是一

次試驗，此進相當于進行了500次獨立試驗，每次試驗結果只有2個：“是”

或“不是”，且每個試驗結果為“是”的概率都是-匚。令J表示500重貝努

利試驗中“是”發(fā)生的次數(shù)，則

P(A)=PC21)=1—P?=0)=1—C；。。(2)。(1一-i-)500

365365

=1_(空產(chǎn)。

365

知識點：

貝努利概型

如果試驗E只有兩個可能的結果：4與3,并且P(4)=p(0<〃<1),把

E獨立地重復進行〃次的試驗構成了一個試驗，這個試驗稱作〃重貝努利試驗

或貝努利概型.

在n重貝努利試驗中事件A出現(xiàn)k次的概率為

P(4)=C,：p，l—p尸k=0,l,2,-,n

她笨拙嗎？

有5個女孩，她們?nèi)ハ床途撸诖蚱频?個餐具中有3個是最小的女孩打

破的，因此人家說她笨拙。你能否運用概率統(tǒng)計原理為她申辯，說這完全可能

是碰巧？

分析：假設每個女孩打破餐具的概率相等，那么打破4個餐具中同一人打破3

14

個的概率為p(A)=C\(1)3x￡=0.0256o

根據(jù)小概率原理，這概率很小，可以認為在一次試驗中是不可能發(fā)生的。

這意味著每個女孩打破餐具的概率不相等，也就是說，最小的女孩打破餐具的

概率要大些。

小概率原理概率很小的事件在一次試驗中認為是不會發(fā)生的。

碰運氣能否通過英語四級考試

大學英語四級考試是為全面檢驗大學生英語水平而設置的一種考試，具有

一定的難度。這種考試包括聽力、語法結構、閱讀理解、綜合填空、寫作等。

除英文寫作占15分外，其余85道多種答案選擇每題1分，即每一道題附有

A,B,C,D四個選擇答案，要求考生從中選擇最佳答案。這種考試方式使有

的學生產(chǎn)生想碰運氣的僥幸心理，那么靠碰運氣能通過英語四級考試嗎？

分析：假定不考慮英文寫作所占的15分，那么按及格成績60分計算，85道選

擇題必須答對51道題以上。如果單靠碰運氣、瞎猜測的話，則每道題答對的概

率為1答錯的概率是3:。顯然，各道題的解答互不影響，因此，可以將解答

44

85道選擇題看成85重貝努利試驗。

設隨機變量J表示答對的題數(shù)，則自服從參數(shù)"=85,p=0.25的二項分

布，其分布律為

P(4=k)=C：pR-p)…k=0,l,2,-,n

若要及格，必須JN51,其概率為

85

尸(維51)=X。,：0.25*(1-0.25尸B8.74x10-12。

女=51

這個概率非常小，因此可以認為，想靠碰運氣通過四級考試幾乎是一個不

可能發(fā)生的事件，它相當于在一千億個想碰運氣的考生中，僅有0.874人能通

過四級考試。

幾何概型

在獎品的誘惑面前要冷靜

在一所小學的門口有人設一游戲(如圖)吸引許多小學生參加。小學生每

轉動指針一次交5角錢，若指針與陰影重合，獎5角錢；若連續(xù)重合2次獎文

具盒一個；若連續(xù)重合3次，獎書包一個；若連續(xù)重合4次，獎電子游戲機一

臺。不少學生被高額獎品所誘惑，紛紛參與此游戲，卻很少有人得到獎品，這

是為什么呢？

利用兒何概率可以解釋這個問題。由于指針位于圓周

上陰影部分才能得獎，設圓周周長為100cm,陰影部分位

于圓周上的每一弧長為2cm,由兒何概型及指針的對稱性

知，指針落于陰影上的概率為

2CD2x2

尸(A)==0.08

圓周長/250

即參加一次游戲不用花錢的概率為0.08o由于每次轉動可看成相互獨立的隨機

事件，設A產(chǎn){指針與陰影連續(xù)重合i次},則

44)=0.08,P(4)=0.082=0.0064,

尸(4)=0083=0.000512,p(4)=0.084=0.00004096o

可見，參加游戲者得獎的概率很小，得到一個文具盒的可能性僅有0.0064,那

么要想得到游戲機，則幾乎是天方夜譚。由小概率原理可知，只參加一次游

戲，幾乎不可能中獎。所以，這是一個騙人的把戲。

知識點：

幾何概型的定義

設隨機試驗的樣本空間是某一個區(qū)域G,G的測度(或長度，或面積，或

體積)為。，并設隨機點等可能地落入G中的任意點。即點落入S中的任意

一個小區(qū)域4的可能性僅與4的測度成正比，與A在G中的位置及形狀無關.記

“點落入小區(qū)域A”這個隨機事件記為P(A),貝U

DZ..區(qū)域4的測度

區(qū)域G的測度

這一類概率通常稱為幾何概率.

概率為零的事件不一定是不可能事件

不可能事件的概率一定為零，即若4=0,則P(A)=0。但反之不然，概

率為零的事件卻不一定是不可能事件，即若尸(A)=0,則不一定有A=0。

例如，在兒何概率中，設0={(%/)：/+>2<4},

A={(x,y):x2+y2=1}o。為圓域，而A為其中一圓周。則

D,..A的面積0.

。的面積4萬

顯然，A是可能發(fā)生的，即若向Q內(nèi)隨機投點，點落在圓周/+y2=l上的情

況是可能發(fā)生的。

又如，對于連續(xù)型隨機變量有尸4=。)=0,但q="}是可能發(fā)生的,

即4可以取到值

僅在樣本點有限(比如古典概型)或樣本點可數(shù)這種特殊的情況下，若

P(A)=O,則A=0。

“犯人”的機智

有一個古老的傳說，一個紳士因看不慣王爺?shù)乃魉鶠槎米锪怂?，并?/p>

關進了監(jiān)獄，眾人替他求情，王爺就給他出了個難題：給他兩個碗，一個碗里

裝50個小黑球，另一個碗里裝50個小白球。規(guī)則是把他的眼睛蒙住，要他先

選擇一個碗，并從這個碗里拿出一個球。如果他拿的是黑球，就要繼續(xù)關在監(jiān)

獄；如果他拿的是白球，就將獲得自由。但在蒙住眼睛之前，允許他用他希望

的任何方式把球進行混合。這個紳士兩眼直盯著兩個碗，因為關系到他今后的

人生和眾人的情意，他不得不慎重考慮。王爺說：“這就要看你的造化了，你

挑一個碗并從里面拿出一個白球的兒率是50%?！?/p>

紳士緊皺眉頭，“天無絕人之路”，靈機一動，只見他把所有的球都混合

在一個碗里，然后再拿出一個白球放在另一個碗里，對王爺說：“現(xiàn)在我獲得

自由的兒率為75%?！?/p>

的確如此，這時他選中裝一個白球的碗的概率為,，如果他選了另一個

2

碗，他還能以竺(接近L)的概率從碗里拿出一個白球，這樣他獲得自由的機

992

會提高到'+'x竺。2。

22994

但他并不因此而滿足，因為他仍有’的幾率選到黑球。怎樣才能把獲釋的

4

機會再擴大一點呢？耍小聰明的時候到了，思維猶如奔馳的野馬，“允許我用

'任何’方式把球混合”，急中生智，突然，他大叫一聲：“這一下，我有救

了?！敝灰娝寻浊蚋采w在黑球上，并拿一個白球放在另一個碗里，這樣他獲

釋的機會為100%了。王爺大叫一聲：“好，君無戲言，立刻放人。”

這個故事的前半段用了概率知識，至于后半部分把白球覆蓋在黑球上，那

是運用智謀。

全概率公式：設用…是一列互不相容的事件，且有0鳥=。，

(=1

P(6J>0,則對任一事件A,有尸(A)=fp(8,)P(A?)。

可見，概率正是生命的指引。概率論是“生活真正的領路人，如果沒有對

概率的某種估計，那么我們就寸步難行，無所作為”。

賭注押在哪？

17世紀末，法國的ChevaliesDeMere注意到在賭博中一對骰子拋25次，

把賭注押到“至少出現(xiàn)一次雙六”比把賭注押到“完全不出現(xiàn)雙六”有利。但

他本人找不出原因，后來請當時著名的法國數(shù)學家Pascal才解決了這一問題。

這問題應如何解決呢？

解：題中一對骰子拋25次，是指2顆同樣的骰子同時拋擲，共拋25次?！爸?/p>

少出現(xiàn)一次雙六”是指拋25次中至少出現(xiàn)一次數(shù)對(6,6)(記為事件B),“完

全不出現(xiàn)雙六”是指拋25次出現(xiàn)的數(shù)對完全沒有(6,6),它是B的對立事件

Bo因此，題中把賭注押到“至少出現(xiàn)一次雙六”比押到“完全不出現(xiàn)雙六”

,——1

有利的意思，即為P(3)>P(B)。因為P(8)+P(B)=1,故只要證明P(B)>5。

一對骰子拋1次有36種情況，其中只有1種是(6,6)。因此一對骰子拋1次

出現(xiàn)雙6的概率為上。

36

設-={第i次拋擲時出現(xiàn)對(6,6)}(i=1,2,…6),則有

1——35

P(A，)=去，

JoJo

一對骰子拋1次，可視為1次隨機試驗，一對骰子拋25次可視為25重獨

立貝努利試驗。

25

B=UA.

f=l

25____________________

p（B）=p（ua）=i-P（A&…%）=i-p（a）p（A?）…p（A25）

1=1

351

=1-(—)25=0.5045>-

362o

注：進一步討論投擲次數(shù)對結論的影響也是很有趣的，值得考慮一下的是為什

么正好擲25次呢？擲的次數(shù)少了或多了會怎樣呢？這只要在上面的不等式中把

25換成n,看會出現(xiàn)什么結果，要決定n,使

?1

P(B)=P(UA)>-

/=12

P(B)=P(0A,)=1—尸(］不…不)=1—P(T)尸(無)…尸(工)

即

362

解之得n>24.67

故要使尸(⑷〉尸(B),拋擲25次是起碼的要求，少于25次不行。當然拋擲的次

數(shù)超過25次越多，對事件“至少出現(xiàn)一次雙六”的發(fā)生越有利，且

..f,,35、

問1-（—）n=1

獎金如何分配才算公平

問題在一次乒乓球比賽中設立獎金1000元。比賽規(guī)定：誰先勝3盤，誰獲得

全部獎金。設甲、乙二人的球技相當，現(xiàn)已打了3盤，甲2勝1負，由于某特

殊原因必須中止比賽。問這1000元應如何分配才算公平？

分析：方案一：平均分，這對甲欠公平。方案二：全部歸甲，這對乙不公平。

方案三：按已勝盤數(shù)的比例對甲、乙進行分配。方案三看似合理，雙方可以接

受的方法，即甲拿4,乙拿上。仔細分析，發(fā)現(xiàn)這也并不合理。理由如下：設

33

想繼續(xù)比賽，要使甲、乙有一個勝3盤，只要再比2盤即可，結果無非是以下

四種情況之一：甲甲，甲乙，乙甲，乙乙

其中“甲乙”表示第4盤甲勝、第5盤乙勝，其余類推。把乙比賽過的3盤與

上述四種結果結合，即甲乙打完5盤，可以看出前3個結果都是甲先勝3盤，

因而甲可得1000元，只有最后一個結果才由乙得1000元。在球技相當?shù)臈l件

下，上述四個結果應有等可能性。因此，方案四是因為甲乙最終獲勝可能性的

大小這比為3：1,所以全部獎金應按制勝率的比例分，即甲分750元，乙分

250元，才算公平合理。

用全概率公式計算：若再比一盤，甲乙勝的概率各為工。若甲勝，由甲得全部

2

獎金；若乙勝，則甲乙各勝2盤，獎金平分。所以有

甲得獎金='x1000+,X500=750（元）。

22

這個問題實際上是利用了加權平均數(shù)的方法，即求均值的思想方法，在決

策分析中經(jīng)常用到。

數(shù)學期望（均值）：

若離散型隨機變量自可能取值為4（i=1,2,…），其分布列為

.

Pj（i=l,2,…），則當?山＜+8時，稱自存在數(shù)學期望，并且數(shù)學期望為

?=]

8

E&=o

/=1

如果之同P,=+8,則稱g的數(shù)學期望不存在。

數(shù)學期望應用舉例

承包工程問題某工程隊承包一項工程。若三天完成可獲利10000元，四天完

成可獲利2500元，五天完成要罰款7000元。由以往經(jīng)驗知：獲利金額4的分

布列為

4100002500-7000

P152

888

問承包這種工程平均可獲利多少元？

分析：假設承包這種工程N項，其中有小項獲利10000元，有的項獲利2500

元，有出項獲利-7000元。貝汁%+勺+的=1*

則承包這N項工程平均每項獲利=10°°°%+250°生+-7000%

NNN

=10000X0+2500X”+（-7000盧

NN、JN

[52-

=10000X-+2500X-+（-7000）x-=1062.5（元）

88'78

其中我們注意到:生是對應隨機變量取相應值的概率。

N

商店進貨問題：

已知顧客對商店中某種食品每天的需求量J（單位：袋）的分布如下：

"012345678、

0.050.100.100.250.200.150.050.050.05

每出售一袋食品商店可獲利4元，但若當天賣不完，每袋食品將損失3元，商

店希望利潤達到極大，那么每天對這種食品應進貨多少袋？

由于對該食品的需求量是隨機的，因此事先無法確定利潤，也無法使某天

的利潤達到極大，但由于商店天天營業(yè)，可以通過控制進貨使該食品的平均利

潤達到極大。

解:這種食品平均每天的需求量

=0X0.05+1X0.1+2X0.1+3X0.25+4X0.2+5X0.15+6X0.05+7X0.05+8X0.05

=3.65(袋)

開門次數(shù)問題：

某人的一串鑰匙有n把，其中只有一把能打開自己家的門.當他隨意地試用這

串鑰匙時,求打開門時乙試用過的鑰匙數(shù)的數(shù)學期望.假定

(1)他把每次用過的鑰匙分開；(2)他每次用過的再混雜在這串鑰匙中。

解：先求分布列，再求數(shù)學期望.

(1)產(chǎn)化=0=壯.匕…^=1k=l,2,……,n

nn-1n-k+2n-k+\n

〃11+〃

造2腔廠F

(2)前.k-l次都沒有打開，第k次才打開.所以

…8

*n-l

令—=t

n-I1、A一1n13

=（o<t<i）

〃7〃k=\

12

—n=n

n

這個題目也給出了兒何分布數(shù)學期望的?種求法.

預測錄取分數(shù)線和考生考試名次

當今社會，考試作為一種選拔人才的有效途徑，正被廣泛采用.每次考試

過后，考生最關心的兩個問題是：自己能否達到最低錄取分數(shù)線？自己的考試

名次如何？

招工問題某公司在某次招工考試中，準備招工300名(其中280名正式工，

20名臨時工)，而報考的人數(shù)是1657名，考試滿分為400分.考試后不久，通

過當?shù)匦侣劽浇榈玫饺缦滦畔ⅲ嚎荚嚳傇u成績是166分，360分以上的高分考

生31名.某考生A的成績是256分，問他能否被錄??？如被錄取能否是正式

工？

解先來預測一下最低錄取分數(shù)線，記該最低分數(shù)線為X。。

設考生考試成績?yōu)閯tJ是隨機變量，對于一次成功的考試來說，J應服

從正態(tài)分布。本題中，&?N(166Q2),則〃=:—166?N(O,I)

(J

因為考試成績高于360分的頻率是一匕，所以

1657

“八、?360-166、31

P(4>360)=P(r)>--------------)-

（T

于是P(0<^<360)=P(0<77<360-166)?1---=0.981

a1657

查正態(tài)分布表知，360~166-?2.08,即(7x93。

(7

所以^~W(166,932)o

因為最低錄取分數(shù)線X。有確定應使高于此線的考生的頻率等于能,即

產(chǎn)300

(J>x0)=P(7>入\66)x

1657

所以P(0WJ</)=P(0W〃W\；6)x1_=0.819

查正態(tài)分布表，得演)一166圣091,求得%=251。

93

即最低錄取分數(shù)線是251。

下面預測考生A的考試名次。他的考分x=256,查正態(tài)分布表知,

P化>256)=P(〃>256^166)=1-①(0.968)a1-0.834=0.166

這說明，考試成績高于256分的頻率是0.166,也就是說成績高于考生A的人數(shù)

大約占總人數(shù)的16.6%。所以，考試名次排在A之前的人大約有

1657x16.6%=282

即考生A大約排在第283名。

從以上分析得出：最低錄取分數(shù)線251分低于考生A的分數(shù)，所以，考生A

能被錄取。但因其考試名次大約是283名，排在280名之后，所以，被錄取為

正式工的可能性不大。

正態(tài)分布(又稱Gauss分布)：

(x-〃)2

1------

設r.vj的概率密度函數(shù)為p(x)一22b2—00<x<+00

其中〃、O?為參數(shù)，CT>0o

則稱r.vj服從參數(shù)為/J,a2的正態(tài)分布，記為r.vJ~N(

正態(tài)分布密度函數(shù)p(x)的性質：

(1)在直角坐標系內(nèi)，p(x)的圖形呈鐘形；

(2)在x=〃處取得最大值p(〃)=；

J2乃CT

(3)關于直線x=〃對稱，〃為J的平均值；

(4)在x=4+0■處有拐點；

(5)當x->±oo時，曲線以x軸為漸近線；

(6)當。固定，改變〃的值，則圖形沿著X軸平行移動，而不改變其形態(tài)，故

〃稱為形狀參數(shù)；而當〃固定，當。的值變大時，最大值p(〃)變小，曲線變得

平緩；當。的值變小時，最大值p(〃)變大，曲線變得陡峭，故稱b為形狀參

數(shù)。

當〃=0,<7=1時，4?N(0,l),稱為標準正態(tài)分布。標準正態(tài)分布的密度

函數(shù)記為°(x),分布函數(shù)記為①(x)。

①(x)+①(—x)=1；0(0)=1/20

若r.vj?NT,，)，則標準化r.v~~甚?N(0,l)。由此，要計算正態(tài)隨機

變量的概率，可以利用標準正態(tài)分布表進行計算：

Pg“<冷)=①(^^)-0(^^-)o

(ja

慎之又慎的可靠性理論

可靠性，顧名思義，就是一個產(chǎn)品在規(guī)定的時間內(nèi)，在規(guī)定的條件下，完

成規(guī)定任務的可能性。許多設備，特別是軍工設備，必須保證其有效性。以防

空導彈為例，雷達發(fā)現(xiàn)敵機入侵到敵機臨空時間是“規(guī)定的”，只有若干分

鐘。防空導彈的發(fā)射由設備本身的性能所決定，也需要人力和物力的各種配

合，這也是“規(guī)定的”。至于規(guī)定的任務當然是導彈設備不發(fā)生故障，能將敵

機攔截成功。因此，把防空導彈在執(zhí)行任務中不發(fā)生故障的可能性，用一個數(shù)

字(概率)來加以表示，就是這一“防空設備”的可靠性。

導彈是一個復雜系統(tǒng)，它由許多零部件組成。復雜系統(tǒng)的可靠性需要零部

件的可靠性來保障。一個小小零件的不起眼的故障導致整個系統(tǒng)失敗的例子數(shù)

不勝數(shù)。1962年美國發(fā)射火星探測衛(wèi)星失敗，就因為軟件的一個字母出錯。

一個有1000個零件組成的系統(tǒng)是常見的。假如每個零件的可靠性是

0.999,即只有千分之一次品率，而且各零件之間的故障出現(xiàn)相互獨立，那么

任何一個零件的失效，將導致整個系統(tǒng)的失效。此時，全系統(tǒng)的可靠性為

O.9991000*0.368。

這就是說，如果零件廠的產(chǎn)品的正品率達到0.999,1000個零件組成的系

統(tǒng)的可靠性還不到三成七，這是何等的可怕。

第二次世界大戰(zhàn)中，美軍對日本作戰(zhàn)時使用的電子設備暴露了很多問題。

海軍用的電子設備70%發(fā)生故障。轟炸機電子設備的使用平均不到20小時就

出故障。1943年，美軍設立了真空管設備的可靠性研究機構。對可靠性研究起

真正推動作用的是美國在朝鮮戰(zhàn)爭中的失敗經(jīng)驗。那時，美國國防部每年為維

持電子設備所花費用竟超過了采購這些設備費用的10倍。這種反?，F(xiàn)象使美國

軍方真正認識到可靠性的重要。1952年，美國國防部成立了“電子設備可靠性

顧問委員會”(AdvisoryGroupOfReliabilityofElectronicEquipment,簡稱

AGREE),以軍用電子設備為中心開展了9個方面的研究，包括如何建立電子

設備的可靠性指標，如何通過試驗證明達到預定的可靠性指標，一直到研究包

裝運輸?shù)目煽啃?，并制定了相應的檢定標準。這些標準都先后成為現(xiàn)在通用的

國際標準。直到今天，AGREE標準仍有相當大的參考價值。可靠性導致生產(chǎn)的

“軍用標準”。符合美國軍用標準成為可靠性的代名詞。很多美國和歐洲、日

本的生產(chǎn)廠家都以能按美國軍用標準提供產(chǎn)品為榮。

1962年，美國和蘇聯(lián)在加勒比海進行導彈對峙。美國進一步認識到導彈的

可靠性建立在集成電路的可靠性之上。在I960年，美國的集成電路可靠性提高

了一到兩個數(shù)量級。民兵II型導彈的可靠性較民兵I型導彈的可靠性提高了許

多倍。據(jù)報道，民兵H型導彈的可靠性改進的費用高達60.5億美元，比民兵I

型導彈的研制費用51億美元還要多?？梢?，提高可靠性需要大投資，要舍得下

本錢。

我國的可靠性研究也是和國防需要密切相關的。“兩彈一星”的成功凝聚

著許多工程技術人員的心血，也包括無數(shù)工人的精心制作。我國的火箭發(fā)射有

很高的成功率，這要歸功于黨和國家各級領導對可靠性的高度重視和精心組

織，同時也是可靠性研究的結果。

可靠性研究不僅適用于軍用產(chǎn)品，也適合民用產(chǎn)品。是否重視可靠性研

究，是一個國家、產(chǎn)業(yè)、工廠所有領導都必須重視的問題。作為領導來說，極

為重要的是要有決心和勇氣發(fā)現(xiàn)自己產(chǎn)品的薄弱環(huán)節(jié)。有一個實際的例子。兩

家工廠生產(chǎn)同一種設備，國家要求壽命為2000小時。甲廠的樣機達到2000小

時之后，再繼續(xù)進行長壽命實驗，發(fā)現(xiàn)在3000小時左右出故障的情況，并加以

改進。以后又發(fā)現(xiàn)在5000小時壽命會出現(xiàn)的故障，再加以改進。這樣，在批量

生產(chǎn)時，保證產(chǎn)品的2000小時壽命就綽綽有余。另外的乙廠，生產(chǎn)的樣機也達

到了2000小時壽命，因急欲完成任務，就立即投入批量生產(chǎn)。由于質量不可能

和樣機完全一樣，結果一部分產(chǎn)品壽命達不到2000小時，與別的設備配套時，

把別的設備也損壞了。結果用戶退貨索賠，乙廠損失嚴重。

進入21世紀的中國，科技含量、質量水平更加嚴峻地擺在人們的面前?？?/p>

靠性研究的普及將是一項迫切的任務。

一般電子產(chǎn)品的可靠性函數(shù)為：

R(f)=e"是正數(shù)，表示故障率。

當t=0時，R(t)=e^=l,當t變化時，可靠性隨時間指數(shù)式地快速下

降。故障率4越大，可靠性下降就越快。

例設飛機的壽命T具有指數(shù)分布，即可靠性函數(shù)如上。如果每次飛行任務

為10小時，要求“萬無一失”。問：飛機的故障率4要求為多少？

“萬無一失”指在1萬次任務執(zhí)行中，出故障不到1次，亦即可靠性在

0.9999以上，所以要求一次飛行10小時的可靠性超過0.9999o因此

P(T>10)=7?(10)=e-uo>0.9999。

解得4<10)

即飛機的故障率要小于IO,。也就是說，飛機的壽命(正常工作時間)應

為10萬小時。

作為一臺整機，需要將整機的可靠性指標分配給各個零部件。要整機壽命

t,必須每個部件的壽命都超過t。即

P(T>t)=P(Ti>t)P(T2>t)-P(Tn>0

R(t)=P(T>r)=e"=e^'e^'???*""=/如冬…曾

于是我們有

4=4+丸2+??,+41?

這樣，我們就能把整機的故障率要求分解為每個零部件的故障率要求。

例某規(guī)格型號的電視機使用的電子元件的數(shù)量和故障率要求見下表。求此

種電視機的故障率和平均使用壽命。

故障率入

所用電子元器件名稱序號:用量m,(單位桃丸

10Y/小時)

真空管11534510

二極管224.59.0

整流器324.59.0

固定電阻4850.043.4

可變電阻571284

云母電容器661.59.0

陶瓷電容器7310.515.5

電解電容器8154.466

紙電容器9221.434

變壓器1044.016

線圈1194.036

開關1237.021

其他（燈泡，接插件……）.

13總共20

總和2=813X10-6/小時

因為乃是第i個部件的個數(shù)，所以叫4是第i個部件引起的故障率?？偣?/p>

障率是各部件故障率的總和。所以有

4=8.13x10-4

f=l

平均壽命為8=工=1230（小時）。

A

1980年的黑白電視機大體上就是這樣的可靠性水平，每1萬小時約有8次

故障。當然，經(jīng)過努力，我國目前的電視機故障率已經(jīng)大大下降了。達到萬分

之一或更低。

可靠性研究是一門豐富多彩的學科。除了描述系統(tǒng)可靠性的數(shù)量指標需要

仔細確定之外，如何提高可靠性的努力則更為重要。故障樹分析法（FTA）將

系統(tǒng)畫成邏輯框圖，顯示各種故障之間的關聯(lián)，找出發(fā)生故障的最基本原因，

然后逐一加以解決。例如研究鍋爐爆炸事件T。造成爆炸的第一層原因A,B,

C…他們彼此間的關系是只要一種原因便可引起爆炸，這樣的邏輯關系是

“或”，可用加號“+”表示，如果A的發(fā)生是由4*2,A3三種原因同時發(fā)生

才能發(fā)生，那么這三者和A原因的關系是“與”，用乘號“?”來表示。這樣

一步一步分拆下去，就會形成一個倒立的樹形圖。最下面一層（用圓圈表示）

的是基本原因，整個可靠性工作即從此開始。

這種起源于20世紀60年代的技術，已廣泛用于宇宙航行、核電站運行等

領域。它直觀，便于操作。但是編制這樣的圖形相當復雜。一個系統(tǒng)可能發(fā)生

的故障可能性成千上萬，彼此關系錯綜復雜。許多情形下，人力往往無法完

成，得由計算機程序幫助執(zhí)行。

找到原因之后，最直接的工作是“替換修理”。零部件到時一律更換，以

保證可靠性。至于如何換法，就是技術層面的東西了。

指數(shù)分布：

設r.vj的概率密度函數(shù)為

2T及x>0

Mx)=?

0其它

其中人為大于0的常數(shù)。

則稱r.vj服從參數(shù)為X的指數(shù)分布，記為r.v^-E(2)o

幾點注記：

(I)指數(shù)分布的實際背景：

前面我們用泊松分布P(/l)來描述在單位時間內(nèi)來到電話局的電話呼喚次

數(shù)、公共汽車站乘客人數(shù)、母雞下蛋的個數(shù)、排隊等待服務的人數(shù)等等。其中

參數(shù)人為單位時間內(nèi)來到的次數(shù)(呼喚次數(shù)、乘客人數(shù)、下蛋個數(shù)、等待服務

的人數(shù))的平均值。如果要考慮［0,t］時間內(nèi)的情況，那么這個平均值與時間長

度成正比，應該是力。即在［0,t］時間內(nèi)來到的(呼喚次數(shù)、乘客人數(shù)、下蛋個

數(shù)、顧客人數(shù))次數(shù)應服從2(4=%)=皿"為伏=0,1,2,…)。在排隊論中稱它們

kI

是泊松流。對Poisson流主要研究“等待時間”的統(tǒng)計規(guī)律。為此以下推導這一

規(guī)律。

設在一服務系統(tǒng)中，在任意的的時間間隔內(nèi)來到的顧客個數(shù)服

從參數(shù)為力的泊松分布：

PC=k)="二產(chǎn)/=0,1,2,…)

那么相鄰兩個顧客來到的間隔時間7服從指數(shù)分布。

證：不妨設前一個顧客來到的時刻為0,則〃>0

...two時,F(t)=P(7<0=0

當t>0時，?.?等待時間內(nèi)顧客沒有來到，.??{〃>，}=低=0}

...尸(〃>f)=P(當=0)=e",即尸①<f)=1—e~^o

現(xiàn)要求尸(7<f)

81

{7<0=U^-r一一}

?=1?

由集函數(shù)的下連續(xù)性，得：

001CO1

P(7<f)=P(U仍<——})=lim尸(U仞Wf-一

?=1〃…”=]n

=lim[l-e"]=1-

Z7->00

...77的分布函數(shù)F(x)=P(〃<f)=<；<

(II)指數(shù)分布的性質：

(a)無記憶性或永遠年輕性：

r.v^~￡(2),WOVs>0,t>0,有

P(J=s+楣〉s)=P(?

P(4>S+f,g>s)P(^>s+t)

證:VP(J>s+tIJ>s)=

PC>s)

l-P^<s+t)<s+t)_1-F(s+1)

\~P^<5)1一<s)1-F(5)

l-(l-e-(i+,))7.

=-----------------=e=P(f>f)

1-(1-ev)

假如把r.vJ解釋為壽命，則上式表明，如果已知壽命長于s年，則再活t

年的概率與年齡s無關——永遠年輕。

(b)指數(shù)分布是唯一具有“無記憶性”的連續(xù)型分布。

引理：若/*)是連續(xù)函數(shù)(或單調(diào)函數(shù))，且Wx,yER,都有：

/(x+y)=/(x)/(y),

則ma20,3f(x)=ax

VVx>0,f(x)=/(1+1)==[/(1)]2>0

/(x)非負。

VVneNVxGR,有/(〃X)="(X)]"

上式中當取x=i/n,有/⑴="d)r

n

記a=/(l)NO,則/(1)=a"

n

即VxGQ,有=

再利用連續(xù)性或單調(diào)性，可證得：對Vxe/?-Q,結論也成立。因此引

理成立。

下面證明：具有無記憶性的連續(xù)分布為指數(shù)分布。

證：設自是非負的隨機變量，其分布函數(shù)為F(x),令G(x)=PC>x),則對

Vs,t>0,有

P(g〉s+fg>s)=P(J>f)。

故尸4>s+f)=P化>s)P(J>t),即G(s+t)=G(s)G(f).

x

又G(x)關于x單調(diào)，由引理得：G(x)=a(x>0)o

因為G(x)是概率，且0<。<1,令。=6々(其中入>0)。

因為F(x)是連續(xù)型分布，并且F(x)=1-G(x)=l-e~^(x>0)o

所以r.v1?E(2)o

“去掉最高分和最低分”的啟示

近幾年來，電視屏幕上不斷出現(xiàn)各種競賽的實況。當一個演員表演完畢

后，先由10個(或若干個)評委亮分，裁判長用這10個數(shù)據(jù)判分時，總要去

掉最高分和最低分，再用其余的8個數(shù)據(jù)的平均值作為該演員的最后得分?，F(xiàn)

在這已是人們的常識了。

這一常識背后的數(shù)學，就是數(shù)據(jù)處理中的代表數(shù)問題。

算術平均數(shù)是最常用的數(shù)字特征，在我國也是最普及的數(shù)學知識之一。任

何一個干部和工人，至少都懂得平均數(shù)和百分數(shù)這兩個概念?！拔覐S工人平均

工資是多少，這次有百分之幾的人可以加工資”這類話人人都能懂。學生的成

績用總分來衡量，也會用總平均來衡量。比較兩班學生的某科成績，也用各班

該科得分數(shù)的平均數(shù)作為衡量標準。至此，人們將平均值奉為至寶，似乎是金

科玉律、無可更改的科學定則。

實際上不盡然，用算術平均數(shù)來作為代表數(shù)，有兩個缺點：一是容易受異

常值的影響；二是計算比較復雜，不能一眼看出。前面所說的去掉最高分和最

低分就是為了避免異常值的影響。讓我們看一個極端的例子。如果一個班級有

30個學生，其中兩學生逃學曠課，數(shù)學考試只得2分和10分。此外，有5個學

生得90分，22個得80分，1個得78分。此時該班數(shù)學成績的平均分是：

-1

x=—（2+10+90x5+80x22+78）?76.67（分）。

確實，如以76.67分作為該班的平均分，太受那個得2分和10分的同學牽

連了。結果不能反映大多數(shù)人的真實情況。從直觀上看，應在80分或80分以

上才對。于是我們就去掉一個最低分，總平均約是79.2分，如果去掉兩個最低

分，總平均則是81.7分。這似乎比較符合實際了。

但是這種去掉最高分或最低分的方法，在計算全班總成績時未免有“弄虛

作假”之嫌。明明是本班的學生為何不計入總分呢？所以在用去掉最高分和去

掉最低分方法時，要先檢驗是否存在異常值。

上述的以平均數(shù)作為代表數(shù)，由于異常值的影響往往不能反映中等水平，

一般認為平均數(shù)就是中等水平，乃是誤解。上述30個學生的數(shù)學成績中，總平

均約是76.67分。某同學得78分，超過平均數(shù)似乎該是“中上”水平了，其實

他是倒數(shù)第三名！那么我們用什么辦法來刻畫“中等水平”呢？這還可以用數(shù)

據(jù)的中位數(shù)。

中位數(shù)：設有n個數(shù)據(jù)占/2,將片按從小到大的次序排列，得

x(l)4X(2)-',,-x(n)°

xIn:奇

（-2）

中位數(shù)M（或/）：M=\1

-（x+x）n:偶

[2（2）（丁2

中位數(shù)是描述數(shù)據(jù)中心位置的數(shù)字特征。大體上比中位數(shù)大或小的數(shù)據(jù)個

數(shù)為整個數(shù)據(jù)個數(shù)的一半。對于對稱分布的數(shù)據(jù)，均值與中位數(shù)較接近；對于

偏態(tài)分布的數(shù)據(jù)，均值與中位數(shù)不同。中位數(shù)的又一顯著特點是不受異常值

（特大或特?。┑挠绊懀哂蟹€(wěn)健性，因此它是數(shù)據(jù)分析中相當重要的統(tǒng)計

量。

例1.在體操比賽中，規(guī)定有四個裁判給一個運動員打分。如

9.309.359.459.90

其中中位數(shù)是當中兩項的平均值，9.35+9.45））=9.40（分）。

這相當于去掉最低分9.30和最高分9.90而得出的平均分。體操比賽規(guī)定這

樣給分，就避免了過高分數(shù)9.90的影響，同時9.40分處于四個裁判分的中間位

數(shù)，不偏不倚，十分公正。

例2.若一個生產(chǎn)小組有15個工人，每人每天生產(chǎn)某零件數(shù)目是

6,7,7,8,8,8,8,9,10,10,11,12,12,17,18。

如以平均數(shù)作為標準日產(chǎn)量，則近似為10.07件。若取中位數(shù)則是第8個

數(shù)字9件。比9大的有7個人，比9小的也有7個人。以9為標準日產(chǎn)量，則

有半數(shù)人可超產(chǎn)。管理者若希望多數(shù)人超產(chǎn)，則奕定得較中位數(shù)為低；若希望

少數(shù)人超產(chǎn)，則應定得比中位數(shù)大一些。這些都是中位數(shù)提供的信息。

眾數(shù)也是常常使用的代表數(shù)，即數(shù)據(jù)中重復次數(shù)最多的那個數(shù)據(jù)。例如，

全班30人所穿鞋尺寸為33號的5人，34號的6人，35號的15人，36號3人

和37號1人。如取平