專題03解直角三角形（1個知識點4種題型1種中考考法）（解析版）-初中數(shù)學(xué)北師大版9年級上冊

專題03解直角三角形（1個知識點4種題型1種中考考法）【目錄】倍速學(xué)習四種方法【方法一】脈絡(luò)梳理法知識點1.解直角三角形（重點、難點）【方法二】實例探索法題型1：已知兩邊解直角三角形題型2.已知一個銳角和斜邊解直角三角形題型3.已知一個銳角和一條直角邊解直角三角形題型4.構(gòu)造直角三角形【方法三】仿真實戰(zhàn)法考法.解直角三角形【方法五】成果評定法【學(xué)習目標】掌握直角三角形的邊角關(guān)系。能夠利用直角三角形的邊角關(guān)系求直角三角形中的其他元素。能夠構(gòu)造直角三角形求線段的長或角的大小。重點：直角三角形的邊角關(guān)系。難點：通過作垂線構(gòu)造直角三角形求線段的長或角的大小?！颈端賹W(xué)習五種方法】【方法一】脈絡(luò)梳理法知識點1.解直角三角形（重點、難點）（1）解直角三角形的定義在直角三角形中，由已知元素求未知元素的過程就是解直角三角形．（2）解直角三角形要用到的關(guān)系①銳角、直角之間的關(guān)系：∠A+∠B＝90°；②三邊之間的關(guān)系：a2+b2＝c2；③邊角之間的關(guān)系：sinA=∠A的對邊斜邊=ac，cosA（a，b，c分別是∠A、∠B、∠C的對邊）【方法二】實例探索法題型1：已知兩邊解直角三角形【例1】中，，AB=4，AC=，BC=______，=______．【答案】，．【解析】解：． 在中，，則， ∴．【總結(jié)】已知直角三角形的兩條邊，利用勾股定理求另一條邊，利用銳角三角比確定銳角的度數(shù)．【變式】在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分別是∠A、∠B、∠C的對邊，a＝1，．解這個直角三角形．【答案與解析】由得∠B＝60°，∴∠A＝90°-60°＝30°．∵，∴．題型1.已知一個銳角和斜邊解直角三角形【例2】在中，已知，，c=8，求這個直角三角形的其他邊和角（，，，）．【答案】，，．【解析】解：； 在中，，則，解得：； 在中，，則，解得：．【總結(jié)】已知斜邊和一銳角度數(shù)時，求直角邊時，用銳角的正弦或余弦．題型2.已知一個銳角和一條直角邊解直角三角形【例3】在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分別是∠A、∠B、∠C的對邊，∠B=60°，a＝4，解這個直角三角形．【答案與解析】∠A＝90°－∠B＝90°－60°＝30°．由知，由知，．題型3.構(gòu)造直角三角形【例4】如圖，在邊長相同的小正方形網(wǎng)格中，點A、B、C、D都在這些小正方形的頂點上，AB與CD相交于點P，則∠APD的余弦值為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】取格點E，連接AE、BE，利用勾股定理的逆定理可證得△ABE是直角三角形，利用三角形外角的性質(zhì)可得∠APD＝∠ABE，在Rt△ABE中可求cos∠ABE，從而結(jié)論可得．【詳解】解：取格點E，連接AE、BE，如圖：設(shè)網(wǎng)格中的小正方形的邊長為1，則BE＝，AE＝，AB=．∵BE2+AE2＝2+8＝10，AB2＝10，∴BE2+AE2＝AB2．∴∠AEB＝90°．由題意：∠EBD＝∠CDB＝45°．∵∠APD＝∠CDB+∠PBD＝45°+∠PBD，∠ABE＝∠DBE+∠PBD＝45°+∠PBD，∴∠APD＝∠ABE．在Rt△ABE中，cos∠ABE＝．∴cos∠APD＝．故選：C．【點睛】本題主要考查了解直角三角形，本題是網(wǎng)格問題，巧妙的構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．【變式1】如圖，四邊形ABCD中，，，，，AB=2a，求BC的長．AABCD【答案】．【解析】解：過作，垂足為． ∵，∴． ∵，∴． 在中，，∴，∴； 在中，，∴，∴． 在中，，∴，∴．【總結(jié)】將題目中的特殊角構(gòu)造到直角三角形中．【變式2】如圖，在中，，AC=2，AB=4，，求．AABCD【答案】．【解析】解：過點作，交BC邊于點E． 在中，， ∵，，∴． ∴，即， ∴，． ∵，，∴． ∴，即，∴． ∴． 在中，．【總結(jié)】當所求銳角三角比的銳角不在直角三角形中時，要構(gòu)造包含該銳角的直角三角形求銳角三角比．【變式3】在中，已知D為AB中點，，ACCD，求sinA的值．AABCD【答案】．【解析】解：過點作，交BC邊于點E．∵，∴． ∵，ACCD， ∴， ∴． ∵D為AB中點， ∴． 設(shè)，則，． 在中，，∴．【總結(jié)】1、本題還有一種輔助線的方法，如圖． 2、添輔助線的原則是： ①將特殊角構(gòu)造到直角三角形中；添加輔助線之后要能包含基本圖形．【變式4】在中，，AC=BC，AD是BC上的中線，求與的值．【答案】，．【解析】解：過點作，交AB于點E． 設(shè)，則，． 在中，， 在中，， 在中，，∴，∴， 在中，，∴，∴， ∴ 在中，，．【總結(jié)】當所求銳角三角比的銳角不在直角三角形中時，要構(gòu)造包含該銳角的直角三角形求銳角三角比．【變式5】在四邊形ABCD中，AB=8，BC=1，，，四邊形ABCD的面積為，求AD的長．AABCD【答案】．【解析】解：延長和相交于點． ∵，，∴． 在中，，∴，∴，； ∵，∴，∴． ∵四邊形ABCD的面積為， ∴， ∴． ∴．【總結(jié)】當看到30°和60°這些特殊角時，要想辦法把它們構(gòu)造到一個直角三角形中．【方法三】仿真實戰(zhàn)法1．（2023?宿遷）如圖，在網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1，每個小正方形的頂點稱為格點．點A、B、C三點都在格點上，則sin∠ABC＝．【分析】連接AC，根據(jù)勾股定理的逆定理得到∠ACB＝90°，根據(jù)正弦的定義計算，得到答案．【解答】解：如圖，連接AC，由勾股定理得：AB2＝22+42＝20，BC2＝12+32＝10，AC2＝12+32＝10，則BC2+AC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，∴sin∠ABC＝＝＝，故答案為：．【點評】本題考查的是解直角三角形、勾股定理的逆定理，根據(jù)勾股定理的逆定理得到∠ACB＝90°是解題的關(guān)鍵．2．（2023?常州）如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，點D在邊AB上，連接CD．若BD＝CD，＝，則tanB＝．【分析】設(shè)AD＝t，根據(jù)已知表示出AC＝2t，AB＝AD+BD＝4t，即可得tanB＝＝＝．【解答】解：設(shè)AD＝t，∵BD＝CD，＝，∴BD＝CD＝3t，∴AC＝＝2t，AB＝AD+BD＝4t，∴tanB＝＝＝，故答案為：．【點評】本題考查解直角三角形，解題的關(guān)鍵是用放t的式子表示相關(guān)線段的長度．3．（2022?常州）如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，DB平分∠ADC．若AD＝1，CD＝3，則sin∠ABD＝．【分析】過點D作DE⊥BC，垂足為E，如圖，由已知∠A＝∠ABC＝90°，可得AD∥BC，由平行線的性質(zhì)可得∠ADB＝∠CBD，根據(jù)角平分線的定義可得∠ADB＝∠CDB，則可得CD＝CB＝3，根據(jù)矩形的性質(zhì)可得AD＝BE，即可得CE＝BC﹣BE，在Rt△CDE中，根據(jù)勾股定理DE＝，在Rt△ADB中，根據(jù)勾股定理可得，根據(jù)正弦三角函數(shù)的定義進行求解即可得出答案．【解答】解：過點D作DE⊥BC，垂足為E，如圖，∵∠A＝∠ABC＝90°，∴AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∵DB平分∠ADC，∴∠ADB＝∠CDB，∴CD＝CB＝3，∵AD＝BE＝1，∴CE＝BC﹣BE＝3﹣1＝2，在Rt△CDE中，DE＝＝＝，∵DE＝AB，在Rt△ADB中，＝＝，∴sin∠ABD＝＝．故答案為：．【點評】本題主要考查了解直角三角形，根據(jù)題意作輔助線構(gòu)造直角三角形應(yīng)用解直角三角形的方法進行求解是解決本題的關(guān)鍵．4．（2022?連云港）如圖，在6×6正方形網(wǎng)格中，△ABC的頂點A、B、C都在網(wǎng)格線上，且都是小正方形邊的中點，則sinA＝．【分析】先構(gòu)造直角三角形，然后即可求出sinA的值．【解答】解：設(shè)每個小正方形的邊長為a，作CD⊥AB于點D，由圖可得：CD＝4a，AD＝3a，∴AC＝＝＝5a，∴sin∠CAB＝＝＝，故答案為：．【點評】本題考查解直角三角形，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，構(gòu)造出合適的直角三角形．【方法五】成果評定法一、單選題1．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考一模）若菱形的對角線，，則菱形的面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】過點作于點，利用求出，進而求菱形面積．【詳解】解：如圖所示，過點作于點．四邊形是菱形，，又，是等邊三角形，．在中，．菱形的面積．故選：C．【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，利用三角函數(shù)解直角三角形，平行四邊形的面積計算公式等，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．2．（2023上·江蘇南通·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，，則的長為（

）

A． B． C．4 D．5【答案】D【分析】作于，根據(jù)，，算出和，再根據(jù)，算出，最后根據(jù)計算即可．【詳解】如下圖，作于，

在中，，，，，在中，，，，，故選：D．【點睛】本題考查了用銳角三角函數(shù)解非直角三角形，作垂直構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．3．（2023·全國·九年級專題練習）在中，，，，則的長為（

）A．6 B． C． D．【答案】D【分析】先在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長，然后利用勾股定理進行計算即可解答．【詳解】解：在中，，，，，，故選：D．【點睛】本題考查了解直角三角形，勾股定理，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．4．（2023·遼寧葫蘆島·統(tǒng)考二模）如圖，中，，，分別以點A，C為圓心，大于長為半徑作弧，兩弧交于點D，E，以C為圓心，長為半徑作弧，與直線交于點F，與交于點G，若，則的長為（

）

A．1 B．2 C． D．【答案】C【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到，，連接AF，由作圖知，DE垂直平分AC，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到，推出，根據(jù)等面積法即可解答．【詳解】解：在中，，，，∴，，連接AF，由作圖知，DE垂直平分AC，

∴，∵，∴，∴為等邊三角形，∴，∴，∵，∴，即，∴，∴，故選：C．【點睛】本題考查了基本作圖思想，線段垂直平分線的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．5．（2023下·江蘇鹽城·九年級?？计谥校┤鐖D，平面直角坐標系中，一次函數(shù)分別交軸、軸于、兩點，若是軸上的動點，則的最小值()

A． B． C． D．【答案】B【分析】，先得到，作點的對稱點，作，所以，可得，可得當、、共線時，最小，進而可求得．【詳解】解：如圖，作點的對稱點，作于點，

一次函數(shù)交軸于點，當時，，當時，，，，，，，，，在的延長線上取，，作于，，，當、、在同一條直線上時，最小，過點作于，在中，，，最小值是，最小值是，故選：B．【點睛】本題考查了“胡不歸”問題，即形式問題，解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)三角函數(shù)構(gòu)造出或．6．（2023·江蘇南京·九年級南京市第十三中學(xué)?？甲灾髡猩┮阎?，，垂直平分，，，求（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)，利用的余弦值求得，證明，利用角的正弦值列式計算即可求解．【詳解】解：設(shè)，∵，∴，∴，∵，∴，∴，所以，解得，∴，故選：C．【點睛】本題考查了利用三角函數(shù)求邊長，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題．7．（2023·江蘇揚州·統(tǒng)考二模）如圖，矩形中，，，垂足分別是E、F，當時，（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)矩形得到，，，即可得到，根據(jù)，得到，，即可得到，，即可得到，，結(jié)合三角函數(shù)即可得到答案；【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴，，，∴，∵，，∴，，∴，又∵，，∴，∴，，∵，∴，設(shè)，即，解得：，（不符合題意舍去），故選C．【點睛】本題考查解直角三角形，全等三角形性質(zhì)與判定，矩形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)正弦列比例得到方程．8．（2023上·江蘇南通·九年級?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標系中，，連結(jié)并延長至C，連結(jié)，若滿足，，則點C的坐標為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】過點C作軸，垂足為D，通過解直角三角形可求得，根據(jù)已知易證，從而可得，，然后在中求出與的長，最后證明，利用相似三角形的性質(zhì)即可解答．【詳解】解：過點C作軸，垂足為D，

∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，在中，，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，即，解得，∴，∴，故選：B．【點睛】此題考查了坐標與圖形、相似三角形的判定和性質(zhì)、解直角三角形、勾股定理等知識，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．（2023·江蘇無錫·統(tǒng)考二模）如圖，中，，點D、E分別是邊上的動點，將繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)，使點E落在邊的點F處，則的最小值是（

）．

A． B． C． D．1【答案】A【分析】如圖：在上取點P，使，先解直角三角形可得、；再證明是等邊三角形，可得；再說明，進而證明可得、；設(shè),則，進一步得到、，然后根據(jù)勾股定理列出的解析式，再運用二次函數(shù)的性質(zhì)求得最小值，進而求得的最小值．【詳解】解：如圖：在上取點P，使，

∵中，∴,∴∵將繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)，使點E落在邊的點F處∴,∴是等邊三角形，∴,∵，∴∵，,∴,∴,設(shè),則∵∴∴，∴，即，即∴∴當時，有最小值，則的最小值為．故答案為A．【點睛】本題主要考查了解直角三角形、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、二次函數(shù)的應(yīng)用等知識點，正確列出的解析式是解答本題的關(guān)鍵．10．（2023·江蘇無錫·統(tǒng)考二模）如圖，在中，，，點D的坐標是，，將旋轉(zhuǎn)到的位置，點C在上，則旋轉(zhuǎn)中心的坐標為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)旋轉(zhuǎn)中心為點P，連接，過點P作軸于點F，過點P作于H，并延長交x軸于G，如圖，根據(jù)題意得：的垂直平分線的交點即為旋轉(zhuǎn)中心點P，再由點在上，可得，并求出的長，解直角三角形求出的長，進而利用勾股定理求出的長，再求出的長即可得到答案．【詳解】解：設(shè)旋轉(zhuǎn)中心為點P，連接，過點P作軸于點F，過點P作于H，并延長交x軸于G，如圖，

根據(jù)題意得：的垂直平分線的交點即為旋轉(zhuǎn)中心點P，∵點在上，∴點P到的距離相等，都是，即，∴，∵∴，∴，，設(shè)，則，由勾股定理得，∴，解得，∴，∴∵，即，∴，∴點P的坐標為故選D．【點睛】本題考查了坐標與圖形變化——旋轉(zhuǎn)，解直角三角形，勾股定理等等，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)確定出旋轉(zhuǎn)中心的位置是解題的關(guān)鍵．二、填空題11．（2023·江蘇鹽城·校考二模）如圖，沿弦折疊扇形紙片，圓心O恰好落在上的點C處，，則四邊形的面積為．【答案】【分析】由折疊可得四邊形是菱形，得出四邊形是菱形，根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系求出，進而得出半徑，由菱形的面積公式可求答案．【詳解】解：如圖，連接交于點D，由折疊可知，，，而，∴，∴四邊形是菱形；∴，，，∵，∴，∴，∴，∴，∴菱形的面積為，故答案為：．【點睛】本題考查圓的基本性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，掌握折疊的性質(zhì)、以及直角三角形的邊角關(guān)系是正確解答的前提．12．（2023上·江蘇泰州·九年級校考階段練習）如圖，在的網(wǎng)格圖中，點A、B、C、D都在小正方形的頂點上，AB、CD相交于點P，則的值是．

【答案】3【分析】連接，先說明，然后利用相似三角形的性質(zhì)得到，然后得到，進而利用勾股定理的逆定理證明出，然后利用直角三角形的邊角間的關(guān)系求解即可．【詳解】連接，

∵∴∴∴，即∵，∴∴∴在中，．故答案為：3．【點睛】此題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理的逆定理，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識點．13．（2023上·江蘇常州·九年級?？计谥校┮桓比前迦鐖D所示放置，中，，等腰中，連接，則的值為

【答案】【分析】本題考查解直角三角形，特殊角的三角函數(shù)值．過點A作于E，設(shè)等腰的邊，則，解，得，再解，得，從而得，即可由求解．【詳解】解：過點A作于E，如圖，

設(shè)等腰的邊，由勾股定理，得，在中，∵，，∴，即，∴，∴等腰，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴．故答案為：．14．（2023·江蘇南京·南師附中新城初中?？级＃┰阡J角中已知，則銳角面積S的取值范圍為．【答案】【分析】由正弦定理可得，,結(jié)合已知可先表示,然后由為銳角三角形及可求的范圍,再把所求的用表示,利用三角公式進行化簡后，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)可求的范圍，即可得到面積的范圍．【詳解】解：由正弦定理可得，，∴∵為銳角三角形,∴,且∠,∴，∴,∴,，，，即，，，∵面積，故答案為：【點睛】本題綜合考查了正弦定理和面積公式及兩角和與差的正弦、余弦公式及輔助角公式的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌基本公式并能靈活應(yīng)用．15．（2023上·江蘇無錫·九年級宜興市實驗中學(xué)?？茧A段練習）如圖，點D在線段上移動（不含B點），，，，若時，則＝．

【答案】或/5或3【分析】設(shè)，因為，所以可設(shè)，則，結(jié)合，得到與之間的關(guān)系，根據(jù)面積列方程即可得到答案．【詳解】解：∵，，∴，∵，∴，，∴，，∴，∴，過點E作于一點F，

設(shè)，，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，解得，∴，故答案為：或．【點睛】本題考查了相似三角形的判定及解直角三角形，解題的關(guān)鍵是找到的條件．16．（2023上·江蘇鹽城·九年級?？茧A段練習）如圖，在中，，，，點、分別是線段、射線上動點，連接、．若，則線段的最小值是．

【答案】【分析】過點作于點，先證，再根據(jù)，，，求出、的長，設(shè)，用表示、、的長，根據(jù)即可求出線段的最小值．【詳解】解：如圖，過點作于點，

，，，，，即，，，，，，,設(shè)，則，，，，在中，，，在中，，即，,在中，由勾股定理得，，在中，由勾股定理得，解得負值舍去，線段的最小值是，故答案為：．【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，勾股定理，熟練掌握是解題的關(guān)鍵．17．（2023上·江蘇淮安·九年級?？计谥校┤鐖D，正方形的邊長為，對角線，交于點O，點E在邊上，連接，F(xiàn)為上一點，若，，則的長為．【答案】【分析】在中，根據(jù)，可得出，又根據(jù)正方形的邊長為6，可得出，即可求得，，再根據(jù)，可得出，從而證得，進而得出，代入數(shù)值進行即可求解．【詳解】解：設(shè)與相交于點H，如圖所示：四邊形為正方形，，，在中，，，，，，根據(jù)勾股定理可得：，，又，，，，，即，，故答案為：．【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形，以及正方形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是能證明三角形的相似從而得出對應(yīng)線段成比例進而解決問題．18．（2023上·江蘇無錫·九年級江蘇省天一中學(xué)?？茧A段練習）已知：在平面直角坐標系中，點，在軸上存在一點，使的值最小，此時的坐標為，的最小值為．【答案】【分析】如圖：在y軸上確定一點，連接，過點P作于點H，過點A作于點J、交于．利用勾股定理求出，證明；再說明，利用正切的定義列方程求得即可確點P的坐標，求出即可確定最小值．【詳解】解：如圖，在y軸上確定一點，連接，過點A作于點J，過點P作于點H．

∴，∴，∴，∴∴，當A、、H共線時，即H與J重合時，有最小值，∵，即，∴,

∴,即，解得：，∴此時的坐標為，∵，∴，∴的最小值為．故答案為：，．【點睛】本題主要考查了坐標與圖形、垂線段最短、解直角三角形等知識點，學(xué)會用轉(zhuǎn)化的思想是解題的關(guān)鍵．三、解答題19．（2023上·江蘇常州·九年級統(tǒng)考期末）（1）在中，，求和的長；（2）在中，，解這個直角三角形．【答案】（1），；（2），，．【分析】（1）利用及其正切值，即可求出和的的長；（2）利用勾股定理求出的長，再利用正弦函數(shù)的定義即可求出直角三角形的另外兩個角的度數(shù)．【詳解】（1）解：∵在中，，即，∴，∴，∴，；（2）解：在中，由勾股定理可知：，∵，∴，．【點睛】本題主要是考查了應(yīng)用銳角三角函數(shù)值解直角三角形，熟練掌握三角函數(shù)對應(yīng)的各邊之比以及特殊角的三角形函數(shù)值，這是解決本題的關(guān)鍵．20．（2023上·江蘇泰州·九年級?？计谥校┤鐖D，是的中線，

求：(1)的長；(2)的正弦值．【答案】(1)6(2)【分析】本題考查解直角三角形的應(yīng)用、銳角三角函數(shù)等知識，解題的關(guān)鍵是：（1）作于．在中，求出，在中，求出即可解決問題；（2）在中，求出，即可解決問題．【詳解】（1）解：如圖，作于．

在中，，，，，在中，，，．（2），，，，在中，．的正弦值為．21．（2023上·江蘇蘇州·九年級校考階段練習）由下列條件解直角三角形：在中，；(1)已知，(2)，．【答案】(1)，(2)，，，【分析】（1）先利用互余計算的度數(shù)，再利用的正弦得到，接著利用可計算出，從而得到，然后根據(jù)勾股定理計算的值；（2）先利用互余計算，的度數(shù)，再利用的正弦求，從而可得到的值；【詳解】（1），（2），，，，，∵，，【點睛】本題考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的過程就是解直角三角形．22．（2023上·江蘇揚州·九年級?？计谥校┤鐖D，中，，，D為邊延長線上一點，，求的值．

【答案】/【分析】本題考查解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：過點作于點．根據(jù)，即可求出，從而由勾股定理可求出．再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可求出，結(jié)合，即可求出，最后根據(jù)正切的定義求解即可．【詳解】解：如圖，過點作于點．

．，，．，，，，，．23．（2023上·江蘇泰州·九年級校考階段練習）如圖，已知在中，，，點D在邊上，，連接AD，．

(1)求邊的長；(2)求的值．【答案】(1)6(2)【分析】（1）設(shè)，根據(jù)，可求出長度，再根據(jù)勾股定理可求出長度，即可得到長，最后由，可解出x的值．即得到長．（2）作于點E，由，可求出長，再由勾股定理可求出，繼而得到長，即可求出．【詳解】（1）設(shè)，根據(jù)題意：，即，∴．∵，∴，∴，，即，解得，經(jīng)檢驗，是該分式方程的解．∴．（2）如圖，作于點E，

∵，即，∴，∵，由（1）知．∴，∴．【點睛】本題考查三角函數(shù)綜合，勾股定理的知識．理解三角函數(shù)的定義和作出輔助線是解題關(guān)鍵．24．（2023上·江蘇揚州·九年級校考階段練習）如圖，兩個全等的等邊三角形如圖放置，邊長為8，與交于點G，點D是的中點，與相交于點K，連接．

(1)求證：；(2)求證：；(3)若，求的面積．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)的面積為【分析】（1）由等邊三角形的性質(zhì)得出，再由三角形的內(nèi)角和定理與平角定義得出，即可證出；（2）由與是兩個全等的等邊三角形得（1）知：，根據(jù)點D是的中點得，由相似三角形的性質(zhì)得出，即可證明，即可得出結(jié)論；（3）由（1）（2）得，進而得出，即，根據(jù)的面積求解即可．【詳解】（1）證明：∵與是兩個全等的等邊三角形，，，，，；（2）證明：，，∵點D是的中點，，，，即，，，；（3）解：，，，，，，，的面積，．【點睛】此題屬于相似形綜合題，涉及的知識有：相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．25．（2023上·江蘇蘇州·九年級統(tǒng)考期中）通過學(xué)習三角函數(shù)，我們知道在直角三角形中，一個銳角