專題03解直角三角形（1個知識點4種題型1種中考考法）（解析版）-初中數(shù)學北師大版9年級上冊

專題03解直角三角形（1個知識點4種題型1種中考考法）【目錄】倍速學習四種方法【方法一】脈絡梳理法知識點1.解直角三角形（重點、難點）【方法二】實例探索法題型1：已知兩邊解直角三角形題型2.已知一個銳角和斜邊解直角三角形題型3.已知一個銳角和一條直角邊解直角三角形題型4.構造直角三角形【方法三】仿真實戰(zhàn)法考法.解直角三角形【方法五】成果評定法【學習目標】掌握直角三角形的邊角關系。能夠利用直角三角形的邊角關系求直角三角形中的其他元素。能夠構造直角三角形求線段的長或角的大小。重點：直角三角形的邊角關系。難點：通過作垂線構造直角三角形求線段的長或角的大小?！颈端賹W習五種方法】【方法一】脈絡梳理法知識點1.解直角三角形（重點、難點）（1）解直角三角形的定義在直角三角形中，由已知元素求未知元素的過程就是解直角三角形．（2）解直角三角形要用到的關系①銳角、直角之間的關系：∠A+∠B＝90°；②三邊之間的關系：a2+b2＝c2；③邊角之間的關系：sinA=∠A的對邊斜邊=ac，cosA（a，b，c分別是∠A、∠B、∠C的對邊）【方法二】實例探索法題型1：已知兩邊解直角三角形【例1】中，，AB=4，AC=，BC=______，=______．【答案】，．【解析】解：． 在中，，則， ∴．【總結】已知直角三角形的兩條邊，利用勾股定理求另一條邊，利用銳角三角比確定銳角的度數(shù)．【變式】在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分別是∠A、∠B、∠C的對邊，a＝1，．解這個直角三角形．【答案與解析】由得∠B＝60°，∴∠A＝90°-60°＝30°．∵，∴．題型1.已知一個銳角和斜邊解直角三角形【例2】在中，已知，，c=8，求這個直角三角形的其他邊和角（，，，）．【答案】，，．【解析】解：； 在中，，則，解得：； 在中，，則，解得：．【總結】已知斜邊和一銳角度數(shù)時，求直角邊時，用銳角的正弦或余弦．題型2.已知一個銳角和一條直角邊解直角三角形【例3】在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分別是∠A、∠B、∠C的對邊，∠B=60°，a＝4，解這個直角三角形．【答案與解析】∠A＝90°－∠B＝90°－60°＝30°．由知，由知，．題型3.構造直角三角形【例4】如圖，在邊長相同的小正方形網(wǎng)格中，點A、B、C、D都在這些小正方形的頂點上，AB與CD相交于點P，則∠APD的余弦值為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】取格點E，連接AE、BE，利用勾股定理的逆定理可證得△ABE是直角三角形，利用三角形外角的性質可得∠APD＝∠ABE，在Rt△ABE中可求cos∠ABE，從而結論可得．【詳解】解：取格點E，連接AE、BE，如圖：設網(wǎng)格中的小正方形的邊長為1，則BE＝，AE＝，AB=．∵BE2+AE2＝2+8＝10，AB2＝10，∴BE2+AE2＝AB2．∴∠AEB＝90°．由題意：∠EBD＝∠CDB＝45°．∵∠APD＝∠CDB+∠PBD＝45°+∠PBD，∠ABE＝∠DBE+∠PBD＝45°+∠PBD，∴∠APD＝∠ABE．在Rt△ABE中，cos∠ABE＝．∴cos∠APD＝．故選：C．【點睛】本題主要考查了解直角三角形，本題是網(wǎng)格問題，巧妙的構造直角三角形是解題的關鍵．【變式1】如圖，四邊形ABCD中，，，，，AB=2a，求BC的長．AABCD【答案】．【解析】解：過作，垂足為． ∵，∴． ∵，∴． 在中，，∴，∴； 在中，，∴，∴． 在中，，∴，∴．【總結】將題目中的特殊角構造到直角三角形中．【變式2】如圖，在中，，AC=2，AB=4，，求．AABCD【答案】．【解析】解：過點作，交BC邊于點E． 在中，， ∵，，∴． ∴，即， ∴，． ∵，，∴． ∴，即，∴． ∴． 在中，．【總結】當所求銳角三角比的銳角不在直角三角形中時，要構造包含該銳角的直角三角形求銳角三角比．【變式3】在中，已知D為AB中點，，ACCD，求sinA的值．AABCD【答案】．【解析】解：過點作，交BC邊于點E．∵，∴． ∵，ACCD， ∴， ∴． ∵D為AB中點， ∴． 設，則，． 在中，，∴．【總結】1、本題還有一種輔助線的方法，如圖． 2、添輔助線的原則是： ①將特殊角構造到直角三角形中；添加輔助線之后要能包含基本圖形．【變式4】在中，，AC=BC，AD是BC上的中線，求與的值．【答案】，．【解析】解：過點作，交AB于點E． 設，則，． 在中，， 在中，， 在中，，∴，∴， 在中，，∴，∴， ∴ 在中，，．【總結】當所求銳角三角比的銳角不在直角三角形中時，要構造包含該銳角的直角三角形求銳角三角比．【變式5】在四邊形ABCD中，AB=8，BC=1，，，四邊形ABCD的面積為，求AD的長．AABCD【答案】．【解析】解：延長和相交于點． ∵，，∴． 在中，，∴，∴，； ∵，∴，∴． ∵四邊形ABCD的面積為， ∴， ∴． ∴．【總結】當看到30°和60°這些特殊角時，要想辦法把它們構造到一個直角三角形中．【方法三】仿真實戰(zhàn)法1．（2023?宿遷）如圖，在網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1，每個小正方形的頂點稱為格點．點A、B、C三點都在格點上，則sin∠ABC＝．【分析】連接AC，根據(jù)勾股定理的逆定理得到∠ACB＝90°，根據(jù)正弦的定義計算，得到答案．【解答】解：如圖，連接AC，由勾股定理得：AB2＝22+42＝20，BC2＝12+32＝10，AC2＝12+32＝10，則BC2+AC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，∴sin∠ABC＝＝＝，故答案為：．【點評】本題考查的是解直角三角形、勾股定理的逆定理，根據(jù)勾股定理的逆定理得到∠ACB＝90°是解題的關鍵．2．（2023?常州）如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，點D在邊AB上，連接CD．若BD＝CD，＝，則tanB＝．【分析】設AD＝t，根據(jù)已知表示出AC＝2t，AB＝AD+BD＝4t，即可得tanB＝＝＝．【解答】解：設AD＝t，∵BD＝CD，＝，∴BD＝CD＝3t，∴AC＝＝2t，AB＝AD+BD＝4t，∴tanB＝＝＝，故答案為：．【點評】本題考查解直角三角形，解題的關鍵是用放t的式子表示相關線段的長度．3．（2022?常州）如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，DB平分∠ADC．若AD＝1，CD＝3，則sin∠ABD＝．【分析】過點D作DE⊥BC，垂足為E，如圖，由已知∠A＝∠ABC＝90°，可得AD∥BC，由平行線的性質可得∠ADB＝∠CBD，根據(jù)角平分線的定義可得∠ADB＝∠CDB，則可得CD＝CB＝3，根據(jù)矩形的性質可得AD＝BE，即可得CE＝BC﹣BE，在Rt△CDE中，根據(jù)勾股定理DE＝，在Rt△ADB中，根據(jù)勾股定理可得，根據(jù)正弦三角函數(shù)的定義進行求解即可得出答案．【解答】解：過點D作DE⊥BC，垂足為E，如圖，∵∠A＝∠ABC＝90°，∴AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∵DB平分∠ADC，∴∠ADB＝∠CDB，∴CD＝CB＝3，∵AD＝BE＝1，∴CE＝BC﹣BE＝3﹣1＝2，在Rt△CDE中，DE＝＝＝，∵DE＝AB，在Rt△ADB中，＝＝，∴sin∠ABD＝＝．故答案為：．【點評】本題主要考查了解直角三角形，根據(jù)題意作輔助線構造直角三角形應用解直角三角形的方法進行求解是解決本題的關鍵．4．（2022?連云港）如圖，在6×6正方形網(wǎng)格中，△ABC的頂點A、B、C都在網(wǎng)格線上，且都是小正方形邊的中點，則sinA＝．【分析】先構造直角三角形，然后即可求出sinA的值．【解答】解：設每個小正方形的邊長為a，作CD⊥AB于點D，由圖可得：CD＝4a，AD＝3a，∴AC＝＝＝5a，∴sin∠CAB＝＝＝，故答案為：．【點評】本題考查解直角三角形，解答本題的關鍵是明確題意，構造出合適的直角三角形．【方法五】成果評定法一、單選題1．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考一模）若菱形的對角線，，則菱形的面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】過點作于點，利用求出，進而求菱形面積．【詳解】解：如圖所示，過點作于點．四邊形是菱形，，又，是等邊三角形，．在中，．菱形的面積．故選：C．【點睛】本題考查了菱形的性質，等邊三角形的性質與判定，利用三角函數(shù)解直角三角形，平行四邊形的面積計算公式等，熟練掌握相關性質定理是解題的關鍵．2．（2023上·江蘇南通·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，，則的長為（

）

A． B． C．4 D．5【答案】D【分析】作于，根據(jù)，，算出和，再根據(jù)，算出，最后根據(jù)計算即可．【詳解】如下圖，作于，

在中，，，，，在中，，，，，故選：D．【點睛】本題考查了用銳角三角函數(shù)解非直角三角形，作垂直構造直角三角形是解題的關鍵．3．（2023·全國·九年級專題練習）在中，，，，則的長為（

）A．6 B． C． D．【答案】D【分析】先在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長，然后利用勾股定理進行計算即可解答．【詳解】解：在中，，，，，，故選：D．【點睛】本題考查了解直角三角形，勾股定理，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關鍵．4．（2023·遼寧葫蘆島·統(tǒng)考二模）如圖，中，，，分別以點A，C為圓心，大于長為半徑作弧，兩弧交于點D，E，以C為圓心，長為半徑作弧，與直線交于點F，與交于點G，若，則的長為（

）

A．1 B．2 C． D．【答案】C【分析】根據(jù)直角三角形的性質得到，，連接AF，由作圖知，DE垂直平分AC，根據(jù)線段垂直平分線的性質得到，根據(jù)等邊三角形的性質得到，推出，根據(jù)等面積法即可解答．【詳解】解：在中，，，，∴，，連接AF，由作圖知，DE垂直平分AC，

∴，∵，∴，∴為等邊三角形，∴，∴，∵，∴，即，∴，∴，故選：C．【點睛】本題考查了基本作圖思想，線段垂直平分線的性質，等邊三角形的判定和性質，正確作出輔助線是解題的關鍵．5．（2023下·江蘇鹽城·九年級?？计谥校┤鐖D，平面直角坐標系中，一次函數(shù)分別交軸、軸于、兩點，若是軸上的動點，則的最小值()

A． B． C． D．【答案】B【分析】，先得到，作點的對稱點，作，所以，可得，可得當、、共線時，最小，進而可求得．【詳解】解：如圖，作點的對稱點，作于點，

一次函數(shù)交軸于點，當時，，當時，，，，，，，，，在的延長線上取，，作于，，，當、、在同一條直線上時，最小，過點作于，在中，，，最小值是，最小值是，故選：B．【點睛】本題考查了“胡不歸”問題，即形式問題，解決問題的關鍵是根據(jù)三角函數(shù)構造出或．6．（2023·江蘇南京·九年級南京市第十三中學?？甲灾髡猩┮阎?，垂直平分，，，求（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】設，利用的余弦值求得，證明，利用角的正弦值列式計算即可求解．【詳解】解：設，∵，∴，∴，∵，∴，∴，所以，解得，∴，故選：C．【點睛】本題考查了利用三角函數(shù)求邊長，解題的關鍵是學會利用參數(shù)構建方程解決問題．7．（2023·江蘇揚州·統(tǒng)考二模）如圖，矩形中，，，垂足分別是E、F，當時，（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)矩形得到，，，即可得到，根據(jù)，得到，，即可得到，，即可得到，，結合三角函數(shù)即可得到答案；【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴，，，∴，∵，，∴，，∴，又∵，，∴，∴，，∵，∴，設，即，解得：，（不符合題意舍去），故選C．【點睛】本題考查解直角三角形，全等三角形性質與判定，矩形的性質，解題的關鍵是根據(jù)正弦列比例得到方程．8．（2023上·江蘇南通·九年級校考期中）如圖，在平面直角坐標系中，，連結并延長至C，連結，若滿足，，則點C的坐標為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】過點C作軸，垂足為D，通過解直角三角形可求得，根據(jù)已知易證，從而可得，，然后在中求出與的長，最后證明，利用相似三角形的性質即可解答．【詳解】解：過點C作軸，垂足為D，

∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，在中，，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，即，解得，∴，∴，故選：B．【點睛】此題考查了坐標與圖形、相似三角形的判定和性質、解直角三角形、勾股定理等知識，熟練掌握相似三角形的判定與性質是解題的關鍵．9．（2023·江蘇無錫·統(tǒng)考二模）如圖，中，，點D、E分別是邊上的動點，將繞點D逆時針旋轉，使點E落在邊的點F處，則的最小值是（

）．

A． B． C． D．1【答案】A【分析】如圖：在上取點P，使，先解直角三角形可得、；再證明是等邊三角形，可得；再說明，進而證明可得、；設,則，進一步得到、，然后根據(jù)勾股定理列出的解析式，再運用二次函數(shù)的性質求得最小值，進而求得的最小值．【詳解】解：如圖：在上取點P，使，

∵中，∴,∴∵將繞點D逆時針旋轉，使點E落在邊的點F處∴,∴是等邊三角形，∴,∵，∴∵，,∴,∴,設,則∵∴∴，∴，即，即∴∴當時，有最小值，則的最小值為．故答案為A．【點睛】本題主要考查了解直角三角形、旋轉的性質、等邊三角形的判定與性質、二次函數(shù)的應用等知識點，正確列出的解析式是解答本題的關鍵．10．（2023·江蘇無錫·統(tǒng)考二模）如圖，在中，，，點D的坐標是，，將旋轉到的位置，點C在上，則旋轉中心的坐標為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】設旋轉中心為點P，連接，過點P作軸于點F，過點P作于H，并延長交x軸于G，如圖，根據(jù)題意得：的垂直平分線的交點即為旋轉中心點P，再由點在上，可得，并求出的長，解直角三角形求出的長，進而利用勾股定理求出的長，再求出的長即可得到答案．【詳解】解：設旋轉中心為點P，連接，過點P作軸于點F，過點P作于H，并延長交x軸于G，如圖，

根據(jù)題意得：的垂直平分線的交點即為旋轉中心點P，∵點在上，∴點P到的距離相等，都是，即，∴，∵∴，∴，，設，則，由勾股定理得，∴，解得，∴，∴∵，即，∴，∴點P的坐標為故選D．【點睛】本題考查了坐標與圖形變化——旋轉，解直角三角形，勾股定理等等，熟練掌握旋轉的性質確定出旋轉中心的位置是解題的關鍵．二、填空題11．（2023·江蘇鹽城·?？级＃┤鐖D，沿弦折疊扇形紙片，圓心O恰好落在上的點C處，，則四邊形的面積為．【答案】【分析】由折疊可得四邊形是菱形，得出四邊形是菱形，根據(jù)直角三角形的邊角關系求出，進而得出半徑，由菱形的面積公式可求答案．【詳解】解：如圖，連接交于點D，由折疊可知，，，而，∴，∴四邊形是菱形；∴，，，∵，∴，∴，∴，∴，∴菱形的面積為，故答案為：．【點睛】本題考查圓的基本性質，折疊的性質，銳角三角函數(shù)的應用，掌握折疊的性質、以及直角三角形的邊角關系是正確解答的前提．12．（2023上·江蘇泰州·九年級校考階段練習）如圖，在的網(wǎng)格圖中，點A、B、C、D都在小正方形的頂點上，AB、CD相交于點P，則的值是．

【答案】3【分析】連接，先說明，然后利用相似三角形的性質得到，然后得到，進而利用勾股定理的逆定理證明出，然后利用直角三角形的邊角間的關系求解即可．【詳解】連接，

∵∴∴∴，即∵，∴∴∴在中，．故答案為：3．【點睛】此題考查了相似三角形的性質和判定，勾股定理的逆定理，解直角三角形等知識，解題的關鍵是熟練掌握以上知識點．13．（2023上·江蘇常州·九年級?？计谥校┮桓比前迦鐖D所示放置，中，，等腰中，連接，則的值為

【答案】【分析】本題考查解直角三角形，特殊角的三角函數(shù)值．過點A作于E，設等腰的邊，則，解，得，再解，得，從而得，即可由求解．【詳解】解：過點A作于E，如圖，

設等腰的邊，由勾股定理，得，在中，∵，，∴，即，∴，∴等腰，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴．故答案為：．14．（2023·江蘇南京·南師附中新城初中?？级＃┰阡J角中已知，則銳角面積S的取值范圍為．【答案】【分析】由正弦定理可得，,結合已知可先表示,然后由為銳角三角形及可求的范圍,再把所求的用表示,利用三角公式進行化簡后，結合正弦函數(shù)的性質可求的范圍，即可得到面積的范圍．【詳解】解：由正弦定理可得，，∴∵為銳角三角形,∴,且∠,∴，∴,∴,，，，即，，，∵面積，故答案為：【點睛】本題綜合考查了正弦定理和面積公式及兩角和與差的正弦、余弦公式及輔助角公式的綜合應用，解題的關鍵是熟練掌基本公式并能靈活應用．15．（2023上·江蘇無錫·九年級宜興市實驗中學?？茧A段練習）如圖，點D在線段上移動（不含B點），，，，若時，則＝．

【答案】或/5或3【分析】設，因為，所以可設，則，結合，得到與之間的關系，根據(jù)面積列方程即可得到答案．【詳解】解：∵，，∴，∵，∴，，∴，，∴，∴，過點E作于一點F，

設，，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，解得，∴，故答案為：或．【點睛】本題考查了相似三角形的判定及解直角三角形，解題的關鍵是找到的條件．16．（2023上·江蘇鹽城·九年級?？茧A段練習）如圖，在中，，，，點、分別是線段、射線上動點，連接、．若，則線段的最小值是．

【答案】【分析】過點作于點，先證，再根據(jù)，，，求出、的長，設，用表示、、的長，根據(jù)即可求出線段的最小值．【詳解】解：如圖，過點作于點，

，，，，，即，，，，，，,設，則，，，，在中，，，在中，，即，,在中，由勾股定理得，，在中，由勾股定理得，解得負值舍去，線段的最小值是，故答案為：．【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，勾股定理，熟練掌握是解題的關鍵．17．（2023上·江蘇淮安·九年級?？计谥校┤鐖D，正方形的邊長為，對角線，交于點O，點E在邊上，連接，F(xiàn)為上一點，若，，則的長為．【答案】【分析】在中，根據(jù)，可得出，又根據(jù)正方形的邊長為6，可得出，即可求得，，再根據(jù)，可得出，從而證得，進而得出，代入數(shù)值進行即可求解．【詳解】解：設與相交于點H，如圖所示：四邊形為正方形，，，在中，，，，，，根據(jù)勾股定理可得：，，又，，，，，即，，故答案為：．【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質，勾股定理，解直角三角形，以及正方形的性質，解題的關鍵是能證明三角形的相似從而得出對應線段成比例進而解決問題．18．（2023上·江蘇無錫·九年級江蘇省天一中學?？茧A段練習）已知：在平面直角坐標系中，點，在軸上存在一點，使的值最小，此時的坐標為，的最小值為．【答案】【分析】如圖：在y軸上確定一點，連接，過點P作于點H，過點A作于點J、交于．利用勾股定理求出，證明；再說明，利用正切的定義列方程求得即可確點P的坐標，求出即可確定最小值．【詳解】解：如圖，在y軸上確定一點，連接，過點A作于點J，過點P作于點H．

∴，∴，∴，∴∴，當A、、H共線時，即H與J重合時，有最小值，∵，即，∴,

∴,即，解得：，∴此時的坐標為，∵，∴，∴的最小值為．故答案為：，．【點睛】本題主要考查了坐標與圖形、垂線段最短、解直角三角形等知識點，學會用轉化的思想是解題的關鍵．三、解答題19．（2023上·江蘇常州·九年級統(tǒng)考期末）（1）在中，，求和的長；（2）在中，，解這個直角三角形．【答案】（1），；（2），，．【分析】（1）利用及其正切值，即可求出和的的長；（2）利用勾股定理求出的長，再利用正弦函數(shù)的定義即可求出直角三角形的另外兩個角的度數(shù)．【詳解】（1）解：∵在中，，即，∴，∴，∴，；（2）解：在中，由勾股定理可知：，∵，∴，．【點睛】本題主要是考查了應用銳角三角函數(shù)值解直角三角形，熟練掌握三角函數(shù)對應的各邊之比以及特殊角的三角形函數(shù)值，這是解決本題的關鍵．20．（2023上·江蘇泰州·九年級?？计谥校┤鐖D，是的中線，

求：(1)的長；(2)的正弦值．【答案】(1)6(2)【分析】本題考查解直角三角形的應用、銳角三角函數(shù)等知識，解題的關鍵是：（1）作于．在中，求出，在中，求出即可解決問題；（2）在中，求出，即可解決問題．【詳解】（1）解：如圖，作于．

在中，，，，，在中，，，．（2），，，，在中，．的正弦值為．21．（2023上·江蘇蘇州·九年級?？茧A段練習）由下列條件解直角三角形：在中，；(1)已知，(2)，．【答案】(1)，(2)，，，【分析】（1）先利用互余計算的度數(shù)，再利用的正弦得到，接著利用可計算出，從而得到，然后根據(jù)勾股定理計算的值；（2）先利用互余計算，的度數(shù)，再利用的正弦求，從而可得到的值；【詳解】（1），（2），，，，，∵，，【點睛】本題考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的過程就是解直角三角形．22．（2023上·江蘇揚州·九年級?？计谥校┤鐖D，中，，，D為邊延長線上一點，，求的值．

【答案】/【分析】本題考查解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性質，解題的關鍵是：過點作于點．根據(jù)，即可求出，從而由勾股定理可求出．再根據(jù)等腰三角形的性質可求出，結合，即可求出，最后根據(jù)正切的定義求解即可．【詳解】解：如圖，過點作于點．

．，，．，，，，，．23．（2023上·江蘇泰州·九年級?？茧A段練習）如圖，已知在中，，，點D在邊上，，連接AD，．

(1)求邊的長；(2)求的值．【答案】(1)6(2)【分析】（1）設，根據(jù)，可求出長度，再根據(jù)勾股定理可求出長度，即可得到長，最后由，可解出x的值．即得到長．（2）作于點E，由，可求出長，再由勾股定理可求出，繼而得到長，即可求出．【詳解】（1）設，根據(jù)題意：，即，∴．∵，∴，∴，，即，解得，經(jīng)檢驗，是該分式方程的解．∴．（2）如圖，作于點E，

∵，即，∴，∵，由（1）知．∴，∴．【點睛】本題考查三角函數(shù)綜合，勾股定理的知識．理解三角函數(shù)的定義和作出輔助線是解題關鍵．24．（2023上·江蘇揚州·九年級?？茧A段練習）如圖，兩個全等的等邊三角形如圖放置，邊長為8，與交于點G，點D是的中點，與相交于點K，連接．

(1)求證：；(2)求證：；(3)若，求的面積．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)的面積為【分析】（1）由等邊三角形的性質得出，再由三角形的內角和定理與平角定義得出，即可證出；（2）由與是兩個全等的等邊三角形得（1）知：，根據(jù)點D是的中點得，由相似三角形的性質得出，即可證明，即可得出結論；（3）由（1）（2）得，進而得出，即，根據(jù)的面積求解即可．【詳解】（1）證明：∵與是兩個全等的等邊三角形，，，，，；（2）證明：，，∵點D是的中點，，，，即，，，；（3）解：，，，，，，，的面積，．【點睛】此題屬于相似形綜合題，涉及的知識有：相似三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，等腰直角三角形的性質，熟練掌握相似三角形的判定與性質是解本題的關鍵．25．（2023上·江蘇蘇州·九年級統(tǒng)考期中）通過學習三角函數(shù)，我們知道在直角三角形中，一個銳角