第3章 概率的進一步認識（4個知識點6種題型2種中考考法與檢測卷）（解析版）-初中數(shù)學北師大版9年級上冊

第3章概率的進一步認識（4個知識點6種題型2種中考考法與檢測卷）【目錄】倍速學習四種方法【方法一】脈絡梳理法知識點1.利用樹狀圖或表格求概率（重點）（難點）知識點2判斷游戲的公平性（重點）知識點3用頻率估計概率（重點）知識點4模擬試驗【方法二】實例探索法題型1.卡片中的概率問題題型2.運用概率知識分析游戲問題題型3.與概率有關的綜合型問題題型4.用頻率估計概率題型5.設計模擬試驗解決問題題型6.用計算器模擬試驗估計概率【方法三】仿真實戰(zhàn)法考法1.求某一事件發(fā)生的概率考法2.利用頻率估計概率【檢測卷】【學習目標】1.會運用畫樹狀圖和列表的方法計算簡單事件發(fā)生的概率，體會概率是反映現(xiàn)實生活中事件發(fā)生可能性大小的模型。2.掌握判斷游戲的公平性的方法。3.能利用概率解決一些簡單的實際問題。4.能用試驗頻率估計一些隨機事件發(fā)生的概率，進一步體會概率的意義。5.了解模擬試驗，能用模擬試驗的方法估計一些隨機事件發(fā)生的概率。【知識導圖】【倍速學習五種方法】【方法一】脈絡梳理法知識點1.利用樹狀圖或表格求概率（重點）（難點）1.樹狀圖：當一次試驗要涉及3個或更多個因素時，為了不重不漏地列出所有可能的結果，通常采用樹狀圖.樹狀圖是用樹狀圖形的形式反映事件發(fā)生的各種情況出現(xiàn)的次數(shù)和方式，以及某一事件發(fā)生的可能的次數(shù)和方式，并求出概率的方法.要點詮釋：(1)樹形圖法同樣適用于各種情況出現(xiàn)的總次數(shù)不是很大時，求概率的問題；（2）在用列表法或樹形圖法求可能事件的概率時，應注意各種情況出現(xiàn)的可能性務必相同.2.表格法：當一次試驗要涉及兩個因素，并且可能出現(xiàn)的結果數(shù)目較多時，為不重不漏地列出所有可能的結果，通常采用表格法.表格法是用表格的形式反映事件發(fā)生的各種情況出現(xiàn)的次數(shù)和方式，以及某一事件發(fā)生的可能的次數(shù)和方式，并求出概率的方法.要點詮釋：（1）表格法適用于各種情況出現(xiàn)的總次數(shù)不是很大時，求概率的問題；（2）表格法適用于涉及兩步試驗的隨機事件發(fā)生的概率.【例1】把一副撲克牌中的張黑桃牌（它們的正面牌面數(shù)字分別是、、）洗勻后正面朝下放在桌面上．（1）如果從中隨機抽取一張牌，那么牌面數(shù)字是的概率是多少？（2）小王和小李玩摸牌游戲，游戲規(guī)則如下：先由小王隨機抽出一張牌，記下牌面數(shù)字后放回，洗勻后正面朝下，再由小李隨機抽出一張牌，記下牌面數(shù)字．當張牌面數(shù)字相同時，小王贏；當張牌面數(shù)字不相同時，小李贏．現(xiàn)請你利用樹狀圖或列表法分析游戲規(guī)則對雙方是否公平？并說明理由.【答案與解析】（1）P（抽到牌面數(shù)字４）=;（2）游戲規(guī)則對雙方不公平．

理由如下：3453（3，3）（3，4）（3，5）4（4，3）（4，4）（4，5）5（5，3）（5，4）（5，5）P（牌面數(shù)字相同）=；P（牌面數(shù)字不相同）=.【變式】不透明的口袋里裝有白、黃、藍三種顏色的乒乓球（除顏色外其余都相同），其中白球有2個，黃球有1個，現(xiàn)從中任意摸出一個是白球的概率為.（1）試求袋中藍球的個數(shù).（2）第一次任意摸一個球（不放回），第二次再摸一個球，請用畫樹狀圖法，求兩次摸到的都是白球的概率.【答案】（1）1個；（2）P（兩次摸到白球）=.知識點2判斷游戲的公平性（重點）【例2】（2023春·廣東云浮·九年級?？计谀┘住⒁覂砂噙M行籃球比賽，裁判員采用同時拋擲兩枚完全相同硬幣的方法選擇比賽場地：若兩枚硬幣朝上的面相同，則甲班先選擇場地；否則乙班先選擇場地．為了判斷這種方法的公平性，明明畫出樹狀圖如圖所示，根據(jù)樹狀圖，這種選擇場地的方法對兩個班級．（填“公平”或“不公平”）

【答案】公平【分析】要判斷這種方法是否公平，只要看所選取的方法，使這兩個隊優(yōu)先選擇比賽場地的可能性是否相等即可．【詳解】解：根據(jù)題意畫樹狀圖如下：

由上圖可知，甲班優(yōu)先選擇場地的概率，乙班優(yōu)先選擇場地的概率，故這兩個隊優(yōu)先選擇比賽場地的可能性相等，∴這種選擇場地的方法對兩個班級公平．故答案為：公平．【點睛】本題主要考查了游戲規(guī)則公平性的判斷，會畫樹狀圖求等概率事件的概率是做出本題的關鍵．【變式】（2022秋·河南鄭州·九年級?？茧A段練習）小亮和小芳都想?yún)⒓訉W校社團組織的暑假實踐活動，但只有一個名額，小亮提議用如下的辦法決定誰去參加活動；將一個材質均勻的轉盤9等分，分別標上1至9九個號碼，隨意轉動轉盤，若轉到4的倍數(shù)，小亮去參加活動；轉到3的倍數(shù)，小芳去參加活動；轉到其它號碼則重新轉動轉盤．(1)轉盤轉到4的倍數(shù)的概率是多少？(2)你認為這個游戲公平嗎？請說明理由．【答案】(1)(2)不公平，理由見解析【分析】（1）直接根據(jù)概率公式計算可得；（2）利用概率公式計算出兩人獲勝的概率即可判斷．【詳解】（1）解：∵共有1，2，3，4，5，6，7，8，9這9種等可能的結果，其中4的倍數(shù)有2個，∴轉盤轉到4的倍數(shù)的概率為；（2）游戲不公平，∴小亮去參加活動的概率為，小芳去參加活動的概率為：，∵，∴游戲不公平．【點睛】本題主要考查游戲的公平性，判斷游戲公平性需要先計算每個事件的概率，然后比較概率的大小，概率相等就公平，否則就不公平．知識點3用頻率估計概率（重點）當試驗的可能結果不是有限個，或各種結果發(fā)生的可能性不相等時，一般用統(tǒng)計頻率的方法來估計概率.要點詮釋：用試驗去估計隨機事件發(fā)生的概率應盡可能多地增加試驗次數(shù)，當試驗次數(shù)很大時，結果將較為精確.【例3】某商場設立了一個可以自由轉動的轉盤(如圖)，并規(guī)定：顧客購物10元以上能獲得一次轉動轉盤的機會，當轉盤停止時，指針落在哪一區(qū)域就可以獲得相應的獎品，下表是活動進行中的一組統(tǒng)計數(shù)據(jù)：(1)計算并完成表格：轉動轉盤的次數(shù)n1001502005008001000落在“鉛筆”的次數(shù)m68111136345546701落在“鉛筆”的頻率(2)請估計，當很大時，頻率將會接近多少？

(3)轉動該轉盤一次，獲得鉛筆的概率約是多少？(4)在該轉盤中，標有“鉛筆”區(qū)域的扇形的圓心角大約是多少？(精確到1°)

【答案與解析】(1)0.68、0.74、0.68、0.69、0.6825、0.701；(2)0.69；(3)由（1）的頻率值可以得出P（獲得鉛筆）=0.69；(4)0.69×360°≈248°.【總結升華】(1)試驗的次數(shù)越多，所得的頻率越能反映概率的大?。?2)頻數(shù)分布表、扇形圖、條形圖、直方圖都能較好地反映頻數(shù)、頻率的分布情況，我們可以利用它們所提供的信息估計概率．【變式】（2023·河南洛陽·校聯(lián)考一模）如圖是小明的健康綠碼示意圖，用黑白打印機打印于邊長為的正方形區(qū)域內(nèi)，為了估計圖中黑色部分的總面積，經(jīng)過大量重復試驗，發(fā)現(xiàn)點落入黑色部分的頻率穩(wěn)定在0.6左右，則黑色部分的面積為．【答案】2.4【分析】經(jīng)過大量重復試驗，發(fā)現(xiàn)點落入黑色部分的頻率穩(wěn)定在0.6左右，可得點落入黑色部分的概率為0.6，根據(jù)邊長為的正方形的面積為，進而可以估計黑色部分的總面積．【詳解】解：∵經(jīng)過大量重復試驗，發(fā)現(xiàn)點落入黑色部分的頻率穩(wěn)定在0.6左右，∴點落入黑色部分的概率為0.6，∵邊長為的正方形的面積為，設黑色部分的面積為S，則，解得．∴估計黑色部分的總面積約為．故答案為：2.4．【點睛】本題考查了利用頻率估計概率，解決本題的關鍵是掌握概率公式，知道點落入黑色部分的概率為0.6．知識點4模擬試驗【例4】（2023·河南周口·統(tǒng)考一模）某人在做擲硬幣試驗，投擲次，正面朝上有次，若正面朝上的頻率，隨著次數(shù)的增加，的值接近．【答案】【分析】頻率在一定程度上反映了事件發(fā)生的可能性大小，盡管每進行一連串（n次）實驗，所得的頻率可以各不相同，但只要n相當大，頻率與概率是會非常接近的．【詳解】解：隨著次數(shù)的增加，的值接近．故答案為：．【點睛】本題考查了模擬實驗，熟練掌握模擬實驗的頻率與概率的關系是解題關鍵．【變式1】為了估計池塘里有多少條魚，從池塘里捕撈了1000條魚做上標記，然后放回池塘里，經(jīng)過一段時間，等有標記的魚完全混合于魚群中以后，再捕撈200條，若其中有標記的魚有10條，則估計池塘里有魚______________條．

【答案】條.【變式2】一個密封不透明的盒子里有若干個白球,在不允許將球倒出來的情況下,為估計白球的個數(shù),小剛向其中放入8個黑球,搖勻后從中隨機摸出一個球記下顏色,再把它放回盒中,不斷重復,共摸球400次,其中88次摸到黑球.估計盒中大約有白球().

A.28個B.30個C.36個D.42個

【答案】A.【解析】先求出盒子里所有的球數(shù)為,

再求盒子里的白球數(shù)為36-8=28個.故選A.【總結升華】通過實例讓學生體會由頻率估計概率的必要性和科學性.強調(diào)“同樣條件，大量試驗”.【方法二】實例探索法題型1.卡片中的概率問題1．（2023春·重慶沙坪壩·九年級重慶一中校考期中）在一個不透明的袋子中裝有4張形狀大小質地完全相同的卡片.它們上面分別標有數(shù)字：、、0、2，隨機抽取一張卡片，記下數(shù)字為，放回后再隨機抽取一張卡片，記下數(shù)字為，則落在第三象限的概率是.【答案】【分析】列表得出所有等可能結果，從中找到符合條件的結果數(shù)，再根據(jù)概率公式求解即可．【詳解】解：列表如下：0202由表知，共有16種等可能結果，其中落在第三象限的有4種結果，所以落在第三象限的概率為，故答案為：．【點睛】此題考查的是樹狀圖法求概率以及隨機事件和不可能事件的概念．樹狀圖法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，適合兩步或兩步以上完成的事件；解題時要注意此題是放回試驗還是不放回試驗．用到的知識點為：概率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．2．（2023秋·陜西西安·九年級校考開學考試）西安有“碳水之都”的美譽，現(xiàn)有4張卡片正面分別寫著“碳”“水”“之”“都”，卡片除漢字不同其他別無二致，將卡片正面朝下洗勻，然后同時隨機抽取2張，剛好抽到“碳”“水”二字的概率是．【答案】【分析】先列出表格得到所有等可能性的結果數(shù)，再找到抽到“碳”“水”二字的結果數(shù)，最后依據(jù)概率計算公式進行求解即可．【詳解】解：設用A、B、C、D分別表示“碳”“水”“之”“都”這四個字，列表如下：ABCDA（B，A）（C，A）（D，A）B（A，B）（C，B）（D，B）C（A，C）（B，C）（D，C）D（A，D）（B，D）（C，D）由表格可知，一共有12種等可能性的結果數(shù)，其中抽到“碳”“水”二字（即抽到A和B）的結果數(shù)有2種，∴抽到“碳”“水”二字的概率為，故答案為：．【點睛】本題主要考查了樹狀圖法或列表法求解概率，正確列出對應的表格或畫出樹狀圖是解題的關鍵．3．（2022春·湖南長沙·九年級統(tǒng)考期末）張相同的卡片上分別寫有數(shù)字，將卡片的背面朝上，洗勻后從中任意抽取張，將卡片上的數(shù)字記錄下來；再從余下的張卡片中任意抽取張，將卡片上的數(shù)字記錄下來．(1)求第一次抽取的卡片上數(shù)字是正數(shù)的概率；(2)明明設計了如下游戲規(guī)則：當?shù)谝淮斡涗浵聛淼臄?shù)字減去第二次記錄下來的數(shù)字所得結果為非負數(shù)時，甲獲勝；否則，乙獲勝．明明設計的游戲規(guī)則公平嗎？為什么？（請用樹狀圖或列表等方法說明理由）．【答案】(1)(2)公平，理由見解析【分析】（1）列舉出所有可能，再利用概率公式即可求出概率；（2）利用列表法列舉所有可能的結果，再利用概率公式求出甲、乙的獲勝概率即可得出答案．【詳解】（1）解：第一次抽取卡片共有4種等可能的結果，其中卡片上數(shù)字是正數(shù)的結果有2種，第一次抽取的卡片上數(shù)字是正數(shù)的概率是．（2）解：列表如下：?1023?11340?1222?3?213?4?3?1由表可知，共有種等可能結果，其中結果為非負數(shù)的有種結果，結果為負數(shù)的有種結果，所以甲獲勝的概率乙獲勝的概率，此游戲公平．【點睛】本題考查了概率及利用列表法求概率判斷游戲的公平性，判斷游戲公平性就要計算每個參與者取勝的概率，概率相等就公平，否則就不公平．掌握概率的求法是解題關鍵，即如果在一次試驗中，有種可能的結果，并且它們發(fā)生的可能性都相等，事件包含其中種結果，那么事件發(fā)生的概率是．4．（2022秋·吉林白城·九年級?？茧A段練習）在一個不透明的盒子中裝有三張卡片，分別標有數(shù)字、、，這些卡片除數(shù)字不同外其余均相同，現(xiàn)從盒子中隨機抽取一張卡片記下數(shù)字后放回，洗勻后再隨機抽取一張卡片．用畫樹狀圖或列表的方法，求兩次抽取的卡片上的數(shù)字之和為偶數(shù)的概率．【答案】【分析】利用列表法或樹狀法，即可求出概率．【詳解】解法一：根據(jù)題意，畫樹狀圖如下：

由樹狀圖可以看出，所有等可能的結果共有9種，其中兩次抽取的卡片上的數(shù)字之和為偶數(shù)的有5種，所以（兩次抽取的卡片上的數(shù)字之和為偶數(shù)）．解法二：根據(jù)題意，列表如下：第一張和第二張由表可以看出，所有等可能的結果共有9種，其中兩次抽取的卡片上的數(shù)字之和為偶數(shù)的有5種，所以（兩次抽取的卡片上的數(shù)字之和為偶數(shù)）．【點睛】本題考查了利用列表法或樹狀法求概率，根據(jù)題意選擇適合的方法求概率是解題關鍵．當事件的發(fā)生只經(jīng)過兩個步驟時，一般用列表法就能將所有的可能結果列舉出來，當經(jīng)過多個步驟時，表格就不夠清晰了，而畫樹狀圖法的適用面更廣，特別是多個步驟時，層次清楚，一目了然．5．（2023·江蘇·統(tǒng)考中考真題）在張相同的小紙條上，分別寫有：①；②；③；④乘法；⑤加法．將這張小紙條做成支簽，①、②、③放在不透明的盒子中攪勻，④、⑤放在不透明的盒子中攪勻．(1)從盒子中任意抽出支簽，抽到無理數(shù)的概率是______；(2)先從盒子中任意抽出支簽，再從盒子中任意抽出支簽，求抽到的個實數(shù)進行相應的運算后結果是無理數(shù)的概率．【答案】(1)(2)【分析】（1）先判斷盒子中無理數(shù)的個數(shù)，再根據(jù)概率公式進行計算即可；（2）根據(jù)題意畫出所有的組合情況，再計算出對應的運算結果，得到運算結果是無理數(shù)的個數(shù)，再根據(jù)概率公式進行計算即可．【詳解】（1）解：∵，故和均為無理數(shù)，故盒子中任意抽出支簽，抽到無理數(shù)的概率是．故答案為：．（2）解：樹狀圖畫出所有情況為：即抽簽的組合有種，分別為：組合情況運算結果運算結果是否是無理數(shù)第一種組合，，乘法否第二種組合，，加法是第三種組合，，乘法是第四種組合，，加法是第五種組合，，乘法否第六種組合，，加法是第七種組合，，乘法是第八種組合，，加法是第九種組合，，乘法是第十種組合，，加法是第十一種組合，，乘法；是第十二種組合，，加法是對應的組合運算結果共個，其中運算結果為無理數(shù)的有個，故抽到的個實數(shù)進行相應的運算后結果是無理數(shù)的概率為．【點睛】本題考查了概率公式求概率，畫樹狀圖求概率，無理數(shù)的定義等，解題的關鍵是求所有情況下運算的結果，判斷結果是無理數(shù)的個數(shù)．6．（2023·陜西西安·校考模擬預測）將分別標有數(shù)字，，，的四張卡片洗勻后，背面朝上放在桌面上．(1)隨機地抽取一張，則抽到奇數(shù)的概率是______；(2)隨機抽取兩張，請利用列表或畫樹狀圖的方法，求這兩個數(shù)字之和能被整除的概率是多少？【答案】(1)；(2)．【分析】（）先求出這組數(shù)中奇數(shù)的個數(shù)，再利用概率公式解答即可；（）首先根據(jù)題意可直接列出所有可能出現(xiàn)的結果，再算出這個兩位數(shù)能被3整除的概率．【詳解】（1）隨機抽取張，抽到卡片數(shù)字是奇數(shù)的概率為；（2）樹狀圖如下：

，一共有種等可能結果，兩個數(shù)字之和能被整除的有種，∴，答：能被整除的概率是．【點睛】此題考查了用列表法或畫樹狀圖法求概率，列表法或畫樹狀圖法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，適合于兩步完成的事件，熟記概率公式是解決本題的關鍵．7．（2023·江蘇鹽城·校考二模）有4張撲克牌，牌面數(shù)字分別為2、3、4、4，其余都相同．小明隨機從中摸出一張牌，記錄牌面數(shù)字后放回；洗勻后再從中摸出一張牌，記錄牌面數(shù)字后又放回．小明摸了100次，結果統(tǒng)計如下：牌面數(shù)字2344次數(shù)26243020(1)上述試驗中，小明摸出牌面數(shù)字為3的頻率是；小明摸一張牌，摸到牌面數(shù)字為3的概率是；(2)若小明一次摸出兩張牌，求小明摸出的兩張牌的牌面數(shù)字之和為6的概率．【答案】(1)，(2)【分析】（1）直接由頻率定義和概率公式分別求解即可；（2）畫樹狀圖，共有12種等可能的結果，其中小明摸出的兩張牌的牌面數(shù)字之和為6的結果有4種，再由概率公式求解即可．【詳解】（1）上述試驗中，小明摸出牌面數(shù)字為3的頻率是；小明摸一張牌，摸到牌面數(shù)字為3的概率是；故答案為：，；（2）畫樹狀圖如下：

共有12種等可能的結果，其中小明摸出的兩張牌的牌面數(shù)字之和為6的結果有4種，∴小明摸出的兩張牌的牌面數(shù)字之和為6的概率為．【點睛】本題考查的是用樹狀圖法求概率．樹狀圖法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，適合兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．題型2.運用概率知識分析游戲問題8.（2023春·山東日照·九年級?？计谥校┫聢D是兩個可以自由轉動的轉盤，甲轉盤被等分成3個扇形，乙轉盤被等分成4個扇形，每一個扇形上都標有相應的數(shù)字．小亮和小穎利用它們做游戲，游戲規(guī)則：同時轉動兩個轉盤，當轉盤停止后，若指針所指區(qū)域內(nèi)的數(shù)字之和小于10，則小穎獲勝；若指針所指區(qū)域內(nèi)的數(shù)字之和等于10，則為平局；若指針所指區(qū)域內(nèi)的數(shù)字之和大于10，則小亮獲勝．如果指針恰好指在分割線上，那么重轉一次，直到指針指向一個數(shù)字為止．(1)請你通過畫樹狀圖或列表的方法求小穎獲勝的概率．(2)該游戲規(guī)則是否公平？若公平，請說明理由；若不公平，請你設計出一種公平的游戲規(guī)則．【答案】(1)(2)不公平，公平的游戲規(guī)則見詳解【分析】（1）依據(jù)題意先用列表法或畫樹狀圖法分析所有等可能的出現(xiàn)結果，然后根據(jù)概率公式求出小穎獲勝的概率即可；（2）判斷游戲的公平性，首先要計算出游戲雙方贏的概率，概率相等則公平，否則不公平；然后設計出公平的游戲規(guī)則（答案不唯一）．【詳解】（1）解：根據(jù)題意，畫樹狀圖如下所示：由樹狀圖可知，共有12種等可能的結果，其中指針所指區(qū)域內(nèi)的兩數(shù)字之和小于10的有6種，∴小穎獲勝的概率為；（2）該游戲規(guī)則不公平．由（1）可知，共有12種等可能的情況，其和大于10的情況有3種，∴小亮獲勝的概率為，而小穎獲勝的概率為，故該游戲規(guī)則不公平．游戲規(guī)則可修改為以下兩種：①當兩個轉盤指針所指區(qū)域內(nèi)的數(shù)字之和大于或等于10時，小亮獲勝；當兩個轉盤指針所指區(qū)域內(nèi)的數(shù)字之和小于10時，小穎獲勝；②當兩個轉盤指針所指區(qū)域內(nèi)的數(shù)字之和為奇數(shù)時，小亮獲勝；當兩個轉盤指針所指區(qū)域內(nèi)的數(shù)字之和為偶數(shù)時，小穎獲勝．（答案不唯一）【點睛】本題主要考查了列舉法求概率以及概率的應用，理解題意，正確作出樹狀圖或列表是解題關鍵．9.（2023·陜西咸陽·?？家荒＃榱藗鞒兄腥A優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，增強文化自信，某班準備從甲、乙兩名熱愛詩詞的同學中選出一名參加學校組織的“弘揚民族文化，品味詩詞精華”活動，他們想通過做游戲的方式來決定誰去參加活動，于是讓班長設計了一個游戲，規(guī)則如下：現(xiàn)有兩個不透明的盒子，其中一個裝入分別標有字母A、B、C的三個小球，另一個裝入分別標有字母B、C、D的三個小球，這些小球除字母不同外，其余完全相同，從兩個盒子中分別摸出一個小球，若所摸出的兩個小球上的字母相同，則甲去參加活動，否則就是乙去．(1)用列表或畫樹狀圖的方法求出乙去的概率；(2)甲說：“這個規(guī)則不公平”，你認同他的說法嗎？請說明理由．【答案】(1)(2)同意甲的說法，見解析【分析】（1）畫樹狀圖，共有9種等可能的情況，其中字母不同的有7種情況，再由概率公式求解即可；（2）由（1）可知，，，即可得出結論．【詳解】（1）畫樹狀圖如下：

由圖可知共有9種情況，其中字母不同的有7種情況，．（2）同意甲的說法．理由：，，，這個規(guī)則不公平．【點睛】本題考查的是游戲公平性的判斷以及樹狀圖法求概率．判斷游戲公平性就要計算每個事件的概率，概率相等就公平，否則就不公平．用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．10．（2022春·九年級單元測試）甲、乙、丙三人玩捉迷藏游戲，一人為蒙眼人，捉另外兩人，捉到一人，記為捉一次；被捉到的人成為新的蒙眼人，接著捉……一直這樣玩（每次捉到一人）．請用樹狀圖解決下列問題，(1)若甲為開始蒙眼人，捉兩次，求第二次捉到丙的概率；(2)若捉三次，要使第三次捉到甲的概率最小，應該誰為開始蒙眼人？【答案】(1)(2)甲【分析】（1）用樹狀圖法列舉出甲為開始蒙眼人，捉兩次所有可能出現(xiàn)的情況，進而求出捉2次，捉到丙的概率；（2）用樹狀圖法列舉出甲為開始蒙眼人，捉三次所有可能出現(xiàn)的情況，通過甲、乙、丙被捉到的次數(shù)得出結論．【詳解】（1）解：如圖1，甲為開始蒙眼人，捉兩次，所有可能出現(xiàn)的結果如下：共有4種可能出現(xiàn)的結果，其中第2次捉到丙的只有1種，所以甲為開始蒙眼人，捉兩次，第二次捉到丙的概率為．（2）如圖2，若甲為開始蒙眼人，捉三次，所有可能出現(xiàn)的結果情況如下：共有8種可能出現(xiàn)的結果，其中第3次提到甲的有2種，捉到乙的有3種，捉到丙的有3種，根據(jù)所有結果出現(xiàn)的可能性都是相等的，所以要使第三次捉到甲的概率最小，應該甲為開始蒙眼人．【點睛】本題考查用樹狀圖法求隨機事件發(fā)生的概率．列舉出所有可能出現(xiàn)的結果是正確解答的關鍵．題型3.與概率有關的綜合型問題11．（2022·江蘇·九年級專題練習）一批電子產(chǎn)品的抽樣合格率為75%，當購買該電子產(chǎn)品足夠多時，平均來說，購買個這樣的電子產(chǎn)品，可能會出現(xiàn)1個次品．【答案】4【分析】根據(jù)“合格率”，“不合格率”的意義，結合“頻數(shù)與頻率”的意義進行判斷即可．【詳解】解：∵產(chǎn)品的抽樣合格率為，∴產(chǎn)品的抽樣不合格率為∴當購買該電子產(chǎn)品足夠多時，平均來說，每購4個這樣的電子產(chǎn)品，就可能會出現(xiàn)1個次品故答案為：4．【點睛】本題考查頻數(shù)與頻率，理解“頻率”“合格率”“不合格率”的意義是正確判斷的前提．12．（2023秋·河南平頂山·九年級統(tǒng)考期末）某商場，為了吸引顧客，在“元旦”當天舉辦了商品有獎酬賓活動，凡購物滿200元者，有兩種獎勵方案供選擇：方案一：是直接獲得20元的禮金卷；方案二：是得到一次播獎的機會．規(guī)則如下：已知如圖是由轉盤和箭頭組成的兩個轉盤A、B，這兩個轉盤除了顏色不同外，其它構造完全相同，搖獎者同時轉動兩個轉盤，指針分別指向一個區(qū)域（指針落在分割線上時重新轉動轉盤），根據(jù)指針指向的區(qū)域顏色（如表）決定送禮金券的多少．指針指向兩紅一紅一藍兩藍禮金券（元）27927(1)請你用列表法（或畫樹狀圖法）求兩款轉盤指針分別指向一紅區(qū)和一藍區(qū)的概率．(2)如果一名顧客當天在本店購物滿200元，若只考慮獲得最多的禮品券，請你幫助分析選擇哪種方案較為實惠．【答案】(1)(2)方案一比較實惠【分析】（1）根據(jù)題意列出表格，然后根據(jù)概率公式求出結果即可；（2）先分別算出指針指在兩個紅色區(qū)域，兩個藍色區(qū)域的概率，算出按方案二獲得禮金券的平均值，最后進行比較即可得出答案．【詳解】（1）解：列表格如下：藍藍紅藍（藍，藍）（藍，藍）（藍，紅）紅（紅，藍）（紅，藍）（紅，紅）紅（紅，藍）（紅，藍）（紅，紅）∵由表格可知，共有9種等可能結果，其中轉盤指針分別指向一紅區(qū)和一藍區(qū)的情況數(shù)有5種，∴兩款轉盤指針分別指向一紅區(qū)和一藍區(qū)的概率．（2）解：∵，∴如果選擇方案二，獲得禮金券的平均值為：（元），∵，∴選擇方案一比較實惠．【點睛】本題主要考查了列表法或畫樹狀圖法求概率，解題的關鍵是根據(jù)題意列出表格或畫出樹狀圖，熟練掌握概率的基本公式．13．（2022秋·陜西西安·九年級校考期中）九（1）班在義賣活動中設立了一個可以自由轉動的轉盤，規(guī)定：顧客購物元以上就能獲得一次轉動轉盤的機會，當轉盤停止時，指針落在哪一區(qū)域就可以獲得相應的獎品，下表是此次活動中的一組統(tǒng)計數(shù)據(jù)：轉動轉盤的次數(shù)落在“手工”區(qū)域的次數(shù)落在“手工”區(qū)域的頻率(1)求出的值；(2)請估計當很大時，頻率將會接近______；假如你去轉動該轉盤一次，你獲得“手工”獎品的概率約是______．（精確到）【答案】(1)，(2)，【分析】(1)根據(jù)頻率頻數(shù)總數(shù)求解即可；(2)根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)可以估計頻率是多少以及轉動該轉盤一次，獲得“手工”的概率．【詳解】（1）解：∵轉動轉盤的次數(shù)為，落在“手工”區(qū)域的頻率為，∴，∵轉動轉盤的次數(shù)為，落在“手工”區(qū)域的頻率為，∴，（2）解：∵根據(jù)表格信息可知：落在“手工”區(qū)域的頻率的平均數(shù)大約為：,∴當n很大時，頻率將會接近，∴假如你去轉動該轉盤一次，你獲得“手工”獎品的概率約是．故答案為：，．【點睛】本題考查了利用頻率估計概率，明確題意，利用數(shù)形結合的思想是解題的關鍵．14．（2023·安徽·模擬預測）綜合與實踐【問題再現(xiàn)】(1)課本中有這樣一道概率題：如圖1，這是一個可以自由轉動的轉盤，轉動轉盤，當轉盤停止時，指針落在藍色區(qū)域和橙色區(qū)域的概率分別是多少？請你解答．【類比設計】(2)在元旦晚會上班長想設計一個搖獎轉盤．請你在圖2中設計一個轉盤，自由轉動這個轉盤，當它停止轉動時，三等獎：指針落在紅色區(qū)域的概率為，二等獎：指針落在白色區(qū)域的概率為，一等獎：指針落在黃色區(qū)域的概率為．【拓展運用】(3)在一次促銷活動中，某商場為了吸引顧客，設立轉盤，轉盤被平均分為10份，顧客每消費200元轉動1次，對準紅1份，黃2份、綠3份區(qū)域，分別得獎金100元、50元、30元購物券，求轉動1次所獲購物券的平均數(shù)．【答案】(1)P（藍色區(qū)域），P（橙色區(qū)域）(2)見解析(3)29元【分析】（1）根據(jù)概率公式進行計算即可；（2）將轉盤均分成份，根據(jù)概率求出各種顏色所占份數(shù)，即可得解；（3）利用對準紅、黃、綠的概率乘以各自對應的錢數(shù)，即可得解．【詳解】（1）解：根據(jù)幾何概率的意義可知，P（藍色區(qū)域），P（橙色區(qū)域）．（2）解：根據(jù)題意，將轉盤均分成份，則：紅色占：份；白色占：份；黃色占：份；如圖所示：（答案不唯一）；（3）解：由題意，得：轉動1次的平均數(shù)為（元）；答：轉動1次所獲購物券的平均數(shù)是29元．【點睛】本題考查概率的應用，以及計算加權平均數(shù)．熟練掌握概率公式，以及加權平均數(shù)的計算方法，是解題的關鍵．15．（2023·河北·模擬預測）為迎接建黨100周年，甲、乙兩位學生參加了知識競賽培訓，現(xiàn)分別從他們在培訓期間參加的若干次預賽成績中隨機抽取8次，記錄這8次成績（單位：分），并按成績從低到高整理成如下表所示，由于表格被污損，甲的第5個數(shù)據(jù)看不清，但知道甲的中位數(shù)比乙的眾數(shù)大3．甲78798182x889395乙7580808385909295（1）求x的值；

（2）現(xiàn)要從中選派一人參加競賽，從統(tǒng)計或概率的角度考慮，你認為選派哪位學生參加合適？請說明理由．【答案】（1）x=84；（2）從統(tǒng)計的角度考慮，派甲參賽比較合適，理由見解析；從概率的角度考慮，派乙參賽比較合適，理由見解析．【分析】（1）根據(jù)眾數(shù)、中位數(shù)的計算方法分別計算即可；（2）解法1：從平均數(shù)、方差以及數(shù)據(jù)的變化趨勢分析．解法2：從概率的角度以及數(shù)據(jù)的變化趨勢分析．【詳解】解：（1）依題意，可知甲的中位數(shù)為，乙的眾數(shù)為80，∴，解得x=84．（2）解法一：派甲參賽比較合適．理由如下：，，，，因為，，所以甲的成績較穩(wěn)定，派甲參賽比較合適．解法二：派乙參賽比較合適．理由如下：從概率的角度看，甲獲得85以上（含85分）的概率，乙獲得85分以上（含85分）的概率，因為P1＜P2，所以派乙參賽比較合適．【點睛】考查平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)的意義，方差，概率等知識點，熟悉相關性質是解題的關鍵．16．（2023·河北·模擬預測）一個智力挑戰(zhàn)賽需要全部答對兩道單項選擇題，才能順利通過第一關.第一道題有個選項，第二道題有個選項，這兩道題小新都不會，不過小新還有一個“求助卡”沒有用，使用“求助卡”可以讓主持人去掉其中一題的一個錯誤選項．（1）如果小新在第--題使用“求助卡”，請用樹狀圖或者列表來分析小新順利通過第一關的概率；（2）從概率的角度分析，你建議小新在第幾題使用“求助卡”．為什么．【答案】（1）；（2）建議小新在第二題使用“求助卡”，理由見解析【分析】（1）畫樹狀圖展示所有9種等可能的結果數(shù)，找出小新都選對的結果數(shù)，然后根據(jù)概率公式計算；（2）如果小新在第二題使用“求助卡”，畫樹狀圖展示所有8種等可能的結果數(shù)，找出小新都選對的結果數(shù)，利用概率公式計算出小新順利通過第一關的概率，然后比較兩個概率的大小可判斷小新在第幾題使用“求助卡“．【詳解】解:（1）列樹狀圖如下:共有種等可能的結果，其中兩道題都正確的結果有個，所以小新順利通過第一關的概率為（2）建議小明在第二題使用“求助卡”，若第二題使用“求助卡”，可列樹狀圖如下:此時小新順利通過第一關的概率為因為，所以建議小新在第二題使用“求助卡”【點睛】本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結果n，再從中選出符合事件A或B的結果數(shù)目m，然后利用概率公式計算事件A或事件B的概率．17．（2023·安徽·模擬預測）某中學開展黃梅戲演唱比賽，組委會將本次比賽的成績（單位：分）進行整理，并繪制成如下頻數(shù)分布表和頻數(shù)分布直方圖（不完整）．成績頻數(shù)頻率20.040.16200.40160.324合計501請你根據(jù)圖表提供的信息，解答下列問題：（1）求出,的值并補全頻數(shù)分布直方圖．（2）將此次比賽成績分為三組：；；若按照這樣的分組方式繪制扇形統(tǒng)計圖，則其中組所在扇形的圓心角的度數(shù)是多少？（3）學校準備從不低于90分的參賽選手中任選2人參加市級黃梅戲演唱比賽，求都取得了95分的小欣和小怡同時被選上的概率．【答案】（1）a=8，b=0.08；補圖見解析；（2）144°；（3）．【分析】（1）根據(jù)題中可得總人數(shù)為50人，則中人數(shù)所占頻率即可求出a的值，則中出現(xiàn)的頻數(shù)即可求得b的值；（2）根據(jù)圓心角的度數(shù)為所占百分比乘以360°即可求解；（3）根據(jù)概率初步中樹狀圖的作圖方法作圖求解即可．【詳解】（1），．補全頻數(shù)分布直方圖如下：（2）．故C組所在扇形的圓心角的度數(shù)為．（3）由題意知，不低于90分的學生共有4人，設這四名學生分別為，,,，其中小欣和小怡分別用,表示，根據(jù)題意，畫樹狀圖如下．由樹狀圖可知，共有12種等可能的結果，其中小欣和小怡同時被選上的結果有2種，故小欣和小怡同時被選上的概率是．【點睛】本題以實際生活為背景考查統(tǒng)計與概率，解題的關鍵是掌握圓心角度數(shù)的求法以及概率中樹狀圖的作法．18．（2023·全國·九年級專題練習）有四個完全相同的小球，分別標注，，1，3這四個數(shù)字．把標注后的小球放入不透明的口袋中，從中隨機拿出兩個小球，所標數(shù)字和的絕對值為k的概率記作（如：是任取兩個數(shù)，其和的絕對值為3的概率）(1)用列表法求；(2)張亮認為：的所有取值的眾數(shù)大于它們的平均數(shù)，你認為張亮的想法正確嗎？請通過計算說明；(3)能否找到概率，，（），使．若能找到，請舉例說明；若不能找到，請說明理由．【答案】(1)(2)張亮的想法是錯的，見解析(3)【分析】（1）用列表法列舉出所有等可能出現(xiàn)的結果，再根據(jù)概率的定義進行計算即可；（2）求出的所有取值的眾數(shù)和平均數(shù)，比較得出答案；（3）根據(jù)的所有取值，是否存在三個值的和為即可．【詳解】（1）由題得，列表為：第1個第2個1331130211043124所以，共有12種等可能結果，其中和的絕對值為1的有4種，；（2）由（1）得：，，，，，∴的所有取值的眾數(shù)為，而的所有取值的平均數(shù)為：，∵，所以張亮的想法是錯的．（3）∵，∴（答案不唯一）【點睛】本題考查列表法或樹狀圖法，眾數(shù)、平均數(shù)，列舉出所有等可能出現(xiàn)的結果是計算概率的前提，掌握眾數(shù)、平均數(shù)的計算方法是解決問題的關鍵．題型4.用頻率估計概率19．（2023春·福建福州·九年級?？计谥校┎煌该鞔又醒b有15個紅球和若干個綠球，這些球除了顏色外無其他差別．經(jīng)過大量重復試驗后發(fā)現(xiàn)摸到紅球的頻率穩(wěn)定在，則綠球的個數(shù)約是．【答案】35【分析】在同樣條件下，大量反復試驗時，隨機事件發(fā)生的頻率逐漸穩(wěn)定在概率附近，可以從摸到紅球的頻率穩(wěn)定在，列出方程求解即可．【詳解】解：設綠球的個數(shù)有x個，根據(jù)題意，得：，解得：，經(jīng)檢驗：是分式方程的解，∴綠球的個數(shù)約有35個．故答案為：35．【點睛】本題利用了用大量試驗得到的頻率可以估計事件的概率．關鍵是根據(jù)紅球的頻率得到相應的等量關系．20．（2023秋·山西忻州·九年級?？计谀h的二十大報告中的“深入實施種業(yè)振興行動”將為“中國種”的選育和發(fā)展打下一針強心劑．山西農(nóng)業(yè)大學（省農(nóng)科院）玉米研究所育種的“晉糯20號”已在全國26個省市推廣種植，大獲豐收．下面是科研小組在相同的實驗條件下，對該糧食種子發(fā)芽率進行研究時所得到的部分數(shù)據(jù)：種子數(shù)307513021048085612502300發(fā)芽287212520045781411872185依據(jù)上面的數(shù)據(jù)，估計這種糧食種子在該實驗條件下發(fā)芽的概率是．（結果精確到0.01）【答案】【分析】利用頻率估計概率求解即可．【詳解】解：由題意知，估計這種糧食種子在該實驗條件下發(fā)芽的概率是，故答案為：．【點睛】本題主要考查利用頻率估計概率，大量重復實驗時，事件發(fā)生的頻率在某個固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據(jù)這個頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率．21．（2023·湖北宜昌·統(tǒng)考模擬預測）如圖，平整的地面上有一個不規(guī)則圖案圖的陰影部分，小明想了解該圖案的面積是多少，他采取了如下方法：用一個面積為的長方形，將不規(guī)則圖案圍起來，然后在適當位置隨機地朝長方形區(qū)域扔小球，并記錄小球落在不規(guī)則圖案上的次數(shù)球扔在界線上或長方形區(qū)域外不計試驗結果，他將若干次有效試驗的結果繪制成了圖所示的折線統(tǒng)計圖，由此他估計不規(guī)則圖案的面積大約為．

【答案】7【分析】首先假設不規(guī)則圖案面積為，根據(jù)幾何概率知識求解不規(guī)則圖案占長方形的面積大小，進而根據(jù)折線圖用頻率估計概率，綜合以上列方程求解．【詳解】解：假設不規(guī)則圖案面積為，根據(jù)幾何概率公式小球落在不規(guī)則圖案的概率為：.由折線圖可知，小球落在不規(guī)則圖案的概率大約為，綜上有：，解得．故答案為：．【點睛】本題主要考查了概率的計算，用頻率估計概率，并在此基礎上進行了題目創(chuàng)新，解題關鍵在于清晰理解題意，能從復雜的題目背景當中找到考點化繁為簡，創(chuàng)新題目對基礎知識要求極高．22．（2023·全國·九年級專題練習）某批足球的質量檢測結果如下：抽取足球數(shù)1002004006008001000合格的數(shù)量93192384564759950合格的頻率0.930.960.960.94

(1)填寫表中的空格（結果保留0.01）．(2)畫出合格的頻率的折線統(tǒng)計圖．(3)從這批足球中任意抽取一個足球是合格品的概率估計值是多少？并說明理由．(4)若某工廠計劃生產(chǎn)10000個足球，試估計生產(chǎn)出的足球中合格的數(shù)量有________個．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)0.95；理由見解析(4)9500【分析】（1）根據(jù)頻率頻數(shù)總數(shù)計算可得；（2）由表格中數(shù)據(jù)在坐標系內(nèi)用點描出來，再用線段依次相連即可得；（3）根據(jù)頻率估計概率，頻率都在0.95左右波動，所以任意抽取的一只足球是合格品的概率估計值是0.95；（4）根據(jù)概率進行估算即可．【詳解】（1）解：，，完成表格如下：抽取足球數(shù)n1002004006008001000合格的頻數(shù)m93192384564759950合格的頻率0.930.960.960.940.950.95（2）解：如圖所示：

（3）解：從這批足球任意抽取的一只足球是合格品的概率估計值0.95，因為從折線統(tǒng)計圖中可知，隨著實驗次數(shù)的增大，頻率逐漸穩(wěn)定到常數(shù)0.95附近，所以從這批足球任意抽取的一只足球是合格品的概率估計值0.95．（4）解：（個），答：估計生產(chǎn)出的足球中合格的數(shù)量有9500個．故答案為：9500．【點睛】本題考查了利用頻率估計概率：大量重復實驗時，事件發(fā)生的頻率在某個固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據(jù)這個頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率．用頻率估計概率得到的是近似值，隨實驗次數(shù)的增多，值越來越精確．也考查了頻率分布折線圖．23．（2023秋·河北邢臺·九年級校聯(lián)考期末）某玩具公司承接了第19廟杭州亞運會吉祥物公仔的生產(chǎn)任務，現(xiàn)對一批公仔進行抽檢，其結果統(tǒng)計如下，請根據(jù)表中數(shù)據(jù)，回答問題：抽取的公仔數(shù)n10100100020003000優(yōu)等品的頻數(shù)m99696219202880優(yōu)等品的頻率0.90.96a0.96b(1)________；________．(2)估計從這批公仔中任意抽取1只公仔是優(yōu)等品的概率是________．（精確到0.01）(3)若該公司這一批次生產(chǎn)了10000只公仔，估計這批公仔中優(yōu)等品大約有多少只？【答案】(1)0.962；0.96(2)0.96(3)9600只【分析】（1）用頻數(shù)除以總數(shù)即可；（2）由表中數(shù)據(jù)可判斷頻率在0.96左右擺動，利用頻率估計概率可判斷任意抽取1只公仔是優(yōu)等品的概率為0.96．（3）用總數(shù)量乘以優(yōu)等品的概率即可【詳解】（1）解：，，故答案為：0.962，0.96；（2）從這批公仔中，任意抽取1只公仔是優(yōu)等品的概率的估計值是0.96．（3）這批公仔中優(yōu)等品大約有只【點睛】本題考查了頻數(shù)與頻率，利用頻率估計概率：大量重復試驗時，事件發(fā)生的頻率在某個固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據(jù)這個頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率．用頻率估計概率得到的是近似值，隨試驗次數(shù)的增多，值越來越精確．24．（2022春·湖南長沙·九年級統(tǒng)考期末）從一副張（沒有大王、小王）的撲克牌中，每次抽出張，然后放回洗勻再抽，在試驗中得到下表中部分數(shù)據(jù)：試驗次數(shù)出現(xiàn)方塊的次數(shù)出現(xiàn)方塊的頻率(1)上表中，；(2)從上表中可以估計出現(xiàn)方塊的概率是．（精確到）．【答案】(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)頻率的計算公式即可求解；（2）根據(jù)頻率與概率的關系即可求解．【詳解】（1）解：根據(jù)題意得，，解得，，，故答案為：，．（2）解：根據(jù)題意，當試驗次數(shù)無限增大時，事件發(fā)生的頻率會逐漸穩(wěn)定于概率附件，∴出現(xiàn)方塊的概率是，故答案為：．【點睛】本題主要考查頻率的計算方法，頻率與概率的關系，掌握以上知識是解題的關鍵．25．（2022秋·山東濟南·九年級統(tǒng)考期中）在一個不透明的袋子里裝有只有顏色不同的黑、白兩種顏色的球共50個，某學習小組做摸球實驗，將球攪勻后從中隨機摸出一個球記下顏色，再把它放回袋中，不斷重復，下表是活動進行中的一組統(tǒng)計數(shù)據(jù)：摸球的次數(shù)n1002003005008001000摸到黑球的次數(shù)m摸到黑球的頻率(1)填空：______；當n很大時，摸到黑球的頻率將會趨近______(精確到)；(2)某小組成員從袋中拿出1個黑球，3個白球放入一個新的不透明袋子中，隨機摸出兩個球，請你用列表或樹狀圖的方法求出隨機摸出的兩個球顏色不同的概率．【答案】(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)頻率的概念及表中頻率穩(wěn)定的數(shù)值求解即可；（2）根據(jù)列表法，得出所有等可能結果，從中找到符合條件的結果數(shù)，再根據(jù)概率公式求解即可．【詳解】（1），當很大時，摸到黑球的頻率將會趨近，故答案為：；（2）列表如下：黑白白白黑（白，黑）（白，黑）（白，黑）白（黑，白）（白，白）（白，白）白（黑，白）（白，白）（白，白）白（黑，白）（白，白）（白，白）由表知，共有12種等可能結果，其中隨機摸出的兩個球顏色不同的有6種結果，所以隨機摸出的兩個球顏色不同的概率為【點睛】本題考查了頻率估計概率，列表法求概率，掌握以上知識是解題的關鍵．大量重復實驗時，事件發(fā)生的頻率在某個固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據(jù)這個頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率．26．（2023春·山東煙臺·九年級統(tǒng)考期中）如圖，均勻的正四面體的各面依次標有1，2，3，4四個數(shù)字．小明做了60次投擲試驗，結果統(tǒng)計如下：

朝下數(shù)字1234出現(xiàn)的次數(shù)13172010(1)計算上述試驗中“3朝下”的頻率是_________;(2)根據(jù)試驗結果，“投擲一次正四面體，出現(xiàn)4朝下的概率是．”的說法正確嗎？為什么？(3)隨機投擲正四面體兩次，請用列表法，求兩次朝下的數(shù)字之和不小于4的概率．【答案】(1)(2)不正確，理由見解析(3)【分析】（1）由頻率頻數(shù)試驗次數(shù)算出頻率；（2）只有當試驗的總次數(shù)很大時，事件發(fā)生的頻率才會穩(wěn)定在相應的事件發(fā)生的概率附近．據(jù)此進行解答即可；（3）列表列舉出所有的可能的結果，然后利用概率公式解答即可．【詳解】（1）“3朝下”的頻率：．故答案為：；（2）這種說法不正確．在60次試驗中，“4朝下”的頻率為，并不能說明“4朝下”這一事件發(fā)生的概率為．只有當試驗的總次數(shù)很大時，事件發(fā)生的頻率才會穩(wěn)定在相應的事件發(fā)生的概率附近．（3）隨機投擲正四面體兩次，所有可能出現(xiàn)的結果如下：12341234總共有16種結果，每種結果出現(xiàn)的可能性相同，而兩次朝下數(shù)字之和不小于4的結果有種．∴．即兩次朝下的數(shù)字之和不小于4的概率為．【點睛】本題考查了列表法求概率、頻率、頻率與概率的關系等知識，解題的關鍵是正確列出表格，然后用符合條件的情況數(shù)m除以所有等可能發(fā)生的情況數(shù)n即可，即．題型5.設計模擬試驗解決問題27．（2022秋·河南鄭州·九年級?？茧A段練習）某小組做“用頻率估計概率”的實驗時，統(tǒng)計了某一結果出現(xiàn)的頻率，繪制了如圖所示的折線統(tǒng)計圖，則符合這一結果的實驗最有可能的是（

）

A．暗箱中有1個紅球和2個黃球，它們只有顏色上的區(qū)別，從中任取一球是黃球B．一副去掉大小王的普通撲克牌洗勻后，從中任抽一張牌的花色是紅桃C．擲一個質地均勻的正六面體骰子，向上的面點數(shù)是4D．在“石頭、剪刀、布”的游戲中，小明隨機出的是“剪刀”【答案】C【分析】根據(jù)統(tǒng)計圖可知，試驗結果在附近波動，即其概率，計算四個選項的概率，約為者即為正確答案．【詳解】解：A、暗箱中有1個紅球和2個黃球，它們只有顏色上的區(qū)別，從中任取一球是黃球的概率為，故A選項不符合題意；B、一副去掉大小王的普通撲克牌洗勻后，從中任抽一張牌的花色是紅桃的概率是；故B選項不符合題意．C、擲一個質地均勻的正六面體骰子，向上的面點數(shù)是4的概率為，故C選項符合題意；D、在“石頭、剪刀、布”的游戲中，小明隨機出的是“剪刀“的概率為，故D選項不符合題意；故選：C．【點睛】此題考查了利用頻率估計概率，大量反復試驗下頻率穩(wěn)定值即概率．用到的知識點為：頻率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．同時此題在解答中要用到概率公式．28．（2023秋·廣東惠州·九年級?？奸_學考試）在一個不透明的盒子中裝有個黑、白兩種顏色的球，小明又放入了個紅球，這些球大小都相同．若每次將球充分攪勻后，任意摸出個球記下顏色再放回盒子，通過大量重復試驗后，發(fā)現(xiàn)摸到紅球的頻率穩(wěn)定在左右，則的值大約為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意可得摸到紅球的概率為，據(jù)此利用概率計算公式列出方程求解即可．【詳解】解：∵通過大量重復試驗后，發(fā)現(xiàn)摸到紅球的頻率穩(wěn)定在左右，∴摸到紅球的概率為，∴，解得，檢驗，當時，，故選A．【點睛】本題主要考查了用頻率估計概率，已知概率求數(shù)量，熟知大量反復試驗下頻率的穩(wěn)定值即為概率值是解題的關鍵．題型6.用計算器模擬試驗估計概率29．（2023·重慶·九年級統(tǒng)考學業(yè)考試）為了解我區(qū)某條斑馬線上機動車駕駛員“禮讓行人”的情況，下表是某志愿者小組6周累計調(diào)查的數(shù)據(jù)，由此數(shù)據(jù)可估計機動車駕駛員“禮讓行人”的概率（精確到）為（

）抽查車輛數(shù)200400800150024004000禮讓行人的駕駛員人數(shù)169332689127220473404禮讓行人的頻率0.8450.8300.8610.8480.8530.851A．0.83 B．0.84 C．0.85 D．0.86【答案】C【分析】由表格數(shù)據(jù)知，隨著抽查車輛數(shù)的增加，“禮讓行人”的頻率逐漸穩(wěn)定在0.85附近，從而得出答案．【詳解】由表格數(shù)據(jù)知，隨著抽查車輛數(shù)的增加，“禮讓行人”的頻率逐漸穩(wěn)定在0.85附近，所以由此數(shù)據(jù)可估計機動車駕駛員“禮讓行人”的概率為0.85，故選：C．【點睛】本題主要考查利用頻率估計概率，大量重復實驗時，事件發(fā)生的頻率在某個固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據(jù)這個頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率．【方法三】仿真實戰(zhàn)法考法1.求某一事件發(fā)生的概率30．（2023?鎮(zhèn)江）如圖，桌面上有3張卡片，1張正面朝上．任意將其中1張卡片正反面對調(diào)一次后，這3張卡片中出現(xiàn)2張正面朝上的概率是（）A．1 B． C． D．【分析】用列舉法列舉出所有等可能的結果，從中找出2張正面朝上的結果數(shù)，利用概率公式求出即可．【解答】解：∵任意將其中1張卡片正反面對調(diào)一次，有3種對調(diào)方式，其中只有對調(diào)反面朝上的2張卡片才能使3張卡片中出現(xiàn)2張正面朝上，∴P＝，故選：B．【點評】本題考查列舉法求等可能事件的概率，掌握等可能事件的概率公式是解題的關鍵．31．（2023?鎮(zhèn)江）一只不透明的袋子中裝有2個紅球和1個白球，這些球除顏色外都相同．將球攪勻，從中任意摸出1個球后，不放回，將袋中剩余的球攪勻，再從中任意摸出1個球．用畫樹狀圖或列表的方法，求2次都摸到紅球的概率．【分析】用列表法或畫樹狀圖法列舉出所有等可能的結果，從中找出2次都摸到紅球的可能結果，再利用等可能事件的概率公式求出即可．【解答】解：畫樹狀圖如下：一共有6種等可能的結果，其中2次都摸到紅球有2種可能的結果，∴P（2次都摸到紅球）＝．【點評】本題考查列表法和畫樹狀圖法求等可能事件的概率，掌握列表法和畫樹狀圖法求等可能事件的概率的方法是解題的關鍵．32．（2023?常州）在5張相同的小紙條上，分別寫有：①；②；③1；④乘法；⑤加法．將這5張小紙條做成5支簽，①、②、③放在不透明的盒子A中攪勻，④、⑤放在不透明的盒子B中攪勻．（1）從盒子A中任意抽出1支簽，抽到無理數(shù)的概率是；（2）先從盒子A中任意抽出2支簽，再從盒子B中任意抽出1支簽．求抽到的2個實數(shù)進行相應的運算后結果是無理數(shù)的概率．【分析】（1）由概率公式可得答案；（2）用畫樹狀圖法求出所有情況數(shù)，再用概率公式列式計算．【解答】解：（1）在①；②；③1中，無理數(shù)有兩個，∴從盒子A中任意抽出1支簽，抽到無理數(shù)的概率是；故答案為：；（2）畫樹狀圖如下：共有12種等可能的結果，其中抽到的2個實數(shù)進行相應的運算后結果是無理數(shù)的有：①②⑤，①③④，①③⑤，②①⑤，②③④，②③⑤，③①④，③①⑤，③②④，③②⑤共10種，∴抽到的2個實數(shù)進行相應的運算后結果是無理數(shù)的概率為＝．【點評】本題考查列表法與樹狀圖法求概念，解題的關鍵是能用列表法與樹狀圖法求出所有的可能情況數(shù)．33．（2023?南通）有同型號的A，B兩把鎖和同型號的a，b，c三把鑰匙，其中a鑰匙只能打開A鎖，b鑰匙只能打開B鎖，c鑰匙不能打開這兩把鎖．（1）從三把鑰匙中隨機取出一把鑰匙，取出c鑰匙的概率等于；（2）從兩把鎖中隨機取出一把鎖，從三把鑰匙中隨機取出一把鑰匙，求取出的鑰匙恰好能打開取出的鎖的概率．【分析】（1）直接由概率公式求解即可；（2）畫樹狀圖，共有6種等可能的結果，其中取出的鑰匙恰好能打開取出的鎖的結果有2種，再由概率公式求解即可．【解答】解：（1）∵有同型號的a，b，c三把鑰匙，∴從三把鑰匙中隨機取出一把鑰匙，取出c鑰匙的概率等于，故答案為：；（2）畫樹狀圖如下：共有6種等可能的結果，其中取出的鑰匙恰好能打開取出的鎖的結果有2種，即Aa、Bb，∴取出的鑰匙恰好能打開取出的鎖的概率為＝．【點評】此題考查的是用樹狀圖法求概率．樹狀圖法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，適合兩步或兩步以上完成的事件；注意此題是放回試驗還是不放回試驗；用到的知識點為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．34．（2023?宿遷）某校計劃舉行校園歌手大賽．九（1）班準備從A、B、C三名男生和D、E兩名女生中隨機選出參賽選手．（1）若只選1名選手參加比賽，則女生D入選的概率是；（2）若選2名選手參加比賽，求恰有1名男生和1名女生的概率（用畫樹狀圖或列表法求解）．【分析】（1）共有5名學生，隨機選取1名，每個人被選中的可能性是均等的，根據(jù)概率的定義即可求出答案；（2）用樹狀圖法列舉出等可能出現(xiàn)的結果，再根據(jù)概率的定義進行計算即可．【解答】解：（1）共有5名學生，隨機選取1名，每個人被選中的可能性是均等的，所以女生D被選中的概率為，故答案為：；（2）用樹狀圖法列舉出等可能出現(xiàn)的結果如下：共有20種等可能出現(xiàn)的結果，其中選擇的兩人1男1女有12種，所以選2名選手恰有1名男生和1名女生的概率為＝．【點評】本題考查列表法或樹狀圖法，列舉出所有等可能出現(xiàn)的結果是正確解答的前提，理解概率的定義是正確解答的關鍵．35．（2023?泰州）某校組織學生去敬老院表演節(jié)目，表演形式有舞蹈、情景劇和唱歌3種類型．小明、小麗2人積極報名參加，從3種類型中隨機挑選一種類型．求小明、小麗選擇不同類型的概率．【分析】用樹狀圖列舉出所有等可能出現(xiàn)的結果，再根據(jù)概率的定義進行計算即可．【解答】解：用樹狀圖法表示所有等可能出現(xiàn)的結果如下：共有9種等可能出現(xiàn)的結果，其中小明、小麗選擇不同類型的有6種，所以小明、小麗選擇不同類型的概率為．【點評】本題考查列表法或樹狀圖法，列舉出所有等可能出現(xiàn)的結果是正確解答的關鍵．36．（2023?無錫）為了深入推動大眾旅游，滿足人民群眾美好生活需要，我市舉辦中國旅游日惠民周活動，活動主辦方在活動現(xiàn)場提供免費門票抽獎箱，里面放有4張相同的卡片，分別寫有景區(qū)：A．宜興竹海，B．宜興善卷洞，C．闔閭城遺址博物館，D．錫惠公園．抽獎規(guī)則如下：攪勻后從抽獎箱中任意抽取一張卡片，記錄后放回，根據(jù)抽獎的結果獲得相應的景區(qū)免費門票．（1）小明獲得一次抽獎機會，他恰好抽到景區(qū)A門票的概率是．（2）小亮獲得兩次抽獎機會，求他恰好抽到景區(qū)A和景區(qū)B門票的概率．【分析】（1）根據(jù)概率公式求解即可；（2）畫出樹狀圖，得出總的結果數(shù)，和恰好抽到景區(qū)A和景區(qū)B門票的情況即可，再由概率公式計算．【解答】解：（1）一共有4種情況，恰好抽到景區(qū)A門票的概率是，故答案為：；（2）畫樹狀圖如下：∴一共有16種等可能得情況，恰好抽到景區(qū)A和景區(qū)B門票的情況有2種，∴他恰好抽到景區(qū)A和景區(qū)B門票的概率為＝．【點評】此題考查的是用樹狀圖法求概率．樹狀圖法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，適合兩步或兩步以上完成的事件；解題時要注意此題是放回試驗還是不放回試驗．用到的知識點為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．37．（2023?徐州）甲，乙、丙三人到淮海戰(zhàn)役烈士紀念塔園林游覽，若每人分別從紀念塔、紀念館這兩個景點中選擇一個參觀，且選擇每個景點的機會相等，則三人選擇相同景點的概率為多少？【分析】畫樹狀圖，共有8種等可能的結果，其中甲，乙、丙三人選擇相同景點的結果有2種，再由概率公式求解即可．【解答】解：把紀念塔、紀念館這兩個景點分別記為A、B，畫樹狀圖如下：共有8種等可能的結果，其中甲，乙、丙三人選擇相同景點的結果有2種，∴甲，乙、丙三人選擇相同景點的概率為＝．【點評】本題考查的是用樹狀圖法求概率．樹狀圖法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，適合于兩步或兩步以上完成的事件；用到的知識點為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．38．（2023?揚州）揚州是個好地方，有著豐富的旅游資源．某天甲、乙兩人來揚州旅游，兩人分別從A、B、C三個景點中隨機選擇一個景點游覽．（1）甲選擇A景點的概率為；（2）請用畫樹狀圖或列表的方法，求甲、乙兩人中至少有一人選擇C景點的概率．【分析】（1）由概率公式直接可得答案；（2）先畫出樹狀圖，共有9種等可能的情況，再根據(jù)概率公式，計算即可得出結果．【解答】解：（1）甲選擇A景點的概率為，故答案為：；（2）根據(jù)題意畫樹狀圖如下：∵共有9種等可能的情況，其中甲、乙兩人中至少有一人選擇C景點的情況有5種，∴甲、乙兩人中至少有一人選擇C景點的概率是．【點評】本題考查了用樹狀圖求概率，解本題的關鍵在根據(jù)樹狀圖找出所有等可能的情況數(shù)．概率等于所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．39．（2023?蘇州）一只不透明的袋子中裝有4個小球，分別標有編號1，2，3，4，這些小球除編號外都相同．（1）攪勻后從中任意摸出1個球，這個球的編號是2的概率為；（2）攪勻后從中任意摸出1個球，記錄球的編號后放回、攪勻，再從中任意摸出1個球．求第2次摸到的小球編號比第1次摸到的小球編號大1的概率是多少？（用畫樹狀圖或列表的方法說明）【分析】（1）直接利用概率公式求出即可；（2）用列表法或樹狀圖法列舉出所有等可能的結果，從中找出第2次摸到的小球編號比第1次摸到的小球編號大1的結果，然后利用等可能事件的概率公式求出即可．【解答】解：（1）∵一共有4個編號的小球，編號為2的有一個，∴P（任意摸出1個球，這個球的編號是2）＝；（2）畫樹狀圖如下：一共有在16個等可能的結果，其中第2次摸到的小球編號比第1次摸到的小球編號大1出現(xiàn)了3次，∴P（第2次摸到的小球編號比第1次摸到的小球編號大1）＝．【點評】本題考查概率公式，列表法和樹狀圖法求等可能事件的概率，掌握列表法和樹狀圖法求等可能事件的概率的方法是解題的關鍵．40．（2023?連云港）如圖，有4張分別印有Q版西游圖案的卡片：A唐僧、B孫悟空、C豬八戒、D沙悟凈．現(xiàn)將這4張卡片（卡片的形狀、大小、質地都相同）放在不透明的盒子中，攪勻后從中任意取出1張卡片，記錄后放回、攪勻，再從中任意取出1張卡片．求下列事件發(fā)生的概率：（1）第一次取出的卡片圖案為“B孫悟空”的概率為；（2）用畫樹狀圖或列表的方法，求兩次取出的2張卡片中至少有1張圖案為“A唐僧”的概率．【分析】（1）直接根據(jù)概率公式計算；（2）畫樹狀圖展示所有16種等可能的結果，再找出兩次取出的2張卡片中至少有1張圖案為“A唐僧”的結果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解．【解答】解：（1）第一次取出的卡片圖案為“B孫悟空”的概率為；故答案為：；（2）畫樹狀圖為：共有16種等可能的結果，其中兩次取出的2張卡片中至少有1張圖案為“A唐僧”的結果數(shù)為7，所以兩次取出的2張卡片中至少有1張圖案為“A唐僧”的概率＝．【點評】本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖展示所有可能的結果求出n，再從中選出符合事件A或B的結果數(shù)目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率．考法2.利用頻率估計概率41．（2023?揚州）某種綠豆在相同條件下發(fā)芽試驗的結果如下：每批粒數(shù)n2510501005001000150020003000發(fā)芽的頻數(shù)m2494492463928139618662794發(fā)芽的頻率（精確到0.001）1.0000.8000.9000.8800.9200.9260.9280.9310.9330.931這種綠豆發(fā)芽的概率的估計值為（精確到0.01）．【分析】當試驗次數(shù)足夠大時，發(fā)芽的頻率逐漸穩(wěn)定并趨于某一個值，這個值作為概率的估計值．【解答】解：根據(jù)表中的發(fā)芽的頻率，當實驗次數(shù)的增多，發(fā)芽的頻率越來越穩(wěn)定在0.93左右，所以可估計這種綠豆發(fā)芽的機會大約是0.93．故答案為：0.93．【點評】本題考查了利用頻率估計概率：大量重復試驗時，事件發(fā)生的頻率在某個固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據(jù)這個頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率；用頻率估計概率得到的是近似值，隨試驗次數(shù)的增多，值越來越精確．【檢測卷】一、單選題1．（2023秋·黑龍江大慶·九年級校考開學考試）工廠從三名男工人和兩名女工人中，選出兩人參加技能大賽，則這兩名工人恰好都是男工人的概率為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】畫樹狀圖，共有20種等可能的結果，這兩名工人恰好都是男工人的結果有6種，再由概率公式求解即可．【詳解】解：畫樹狀圖如圖：共有20種等可能的結果，這兩名工人恰好都是男工人的結果有6種，∴這兩名工人恰好都是男工人的概率為，故選：C．【點睛】本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率．列表法或畫樹狀圖法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，列表法適合于兩步完成的事件，樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件．注意概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．2．（2023秋·陜西西安·九年級?？奸_學考試）向上拋擲兩枚相同的硬幣，落地后出現(xiàn)一正面、一反面的概率是（

）A． B． C． D．1【答案】C【分析】根據(jù)題意列出表格表示出所有等可能的情況，再找出符合出現(xiàn)一正面、一反面的情況，最后根據(jù)概率公式計算即可．【詳解】解：根據(jù)題意可列表如下，第二次

第一次正反正正，正反，正反正，反反，反由表格可知共有4種等可能得情況，其中出現(xiàn)一正面、一反面的情況有2種，∴落地后出現(xiàn)一正面、一反面的概率是．故選：C．【點睛】本題考查列表法或畫樹狀圖法求概率．正確的列出表格或畫出樹狀圖表示出所有等可能的情況是解題關鍵．3．（2023春·山東泰安·九年級?？计谥校┯?、3、4三個數(shù)字排成一個三位數(shù)，則排出的數(shù)是偶數(shù)的概率為（

）.A． B． C． D．【答案】A【分析】利用列舉法得到所有的三位數(shù)，再找出是偶數(shù)的三位數(shù)，然后利用概率公式求解即可．【詳解】解：用2、3、4三個數(shù)字排成一個三位數(shù)有、、、、、，共6種等可能的結果，其中排出的數(shù)是偶數(shù)有4種，故排出的數(shù)是偶數(shù)的概率為，故選：A．【點睛】本題考查列舉法求概率，正確列出所有的三位數(shù)是解答的關鍵．4．（2023春·河南新鄉(xiāng)·九年級校聯(lián)考開學考試）某校初三8班準備舉行班干部競選活動，張林和王亮準備從“紀律委員”“學習委員”“衛(wèi)生委員”三個職務中隨機競選一個，則兩人恰好選擇同一個職務的概率是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結果，再利用概率公式求解即可求得答案．【詳解】解：把“紀律委員”“學習委員”“衛(wèi)生委員”分別記為A、B、C，畫樹狀圖如下：

共有9種等可能的結果，張林和王亮恰好選擇同一個職務有3種結果，則張林和王亮恰好選擇同一個職務的概率為：．故選：B．【點睛】本題主要考查了用樹狀圖或列表法求等可能事件的概率，方法是用樹狀圖或列表法列舉出所有可能出現(xiàn)的結果總數(shù)，找出符合條件的結果數(shù)，用分數(shù)表示即可，注意每種情況發(fā)生的可能性相等．5．（2023春·河南信陽·九年級?？茧A段練習）紅旗渠是紀念碑，它記載了林縣人不認命、不服輸、敢于戰(zhàn)天斗地的英雄氣概．紅旗渠精神主要是指自力更生、艱苦創(chuàng)業(yè)、團結協(xié)作、無私奉獻．某學校為了弘揚紅旗渠精神，決定開展教育宣講活動．準備從甲、乙、丙、丁四名同學中隨機選取兩名進行宣講，則恰好選中甲和乙的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意畫樹狀圖表示出所有等可能的情況，再找到符合題意的情況，最后利用概率公式計算即可．【詳解】解：畫樹狀圖如下：共有12種等可能的結果，其中恰好選中甲、乙兩名同學的結果有2種，恰好選中甲、乙兩名同學的概率為，故選：A．【點睛】本題考查列表法或樹狀圖法求概率，正確的列出表格或畫出樹狀圖是解題關鍵．6．（2023·安徽六安·統(tǒng)考模擬預測）甲、乙、丙三個同學并排走在一起，則甲乙恰好相鄰的概率是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】用樹狀圖表示出所有情況，再根據(jù)概率公式求解可得．【詳解】解：用樹狀圖分析如下：

一共有種情況，甲、乙兩人恰好相鄰有種情況，甲、乙兩人相鄰的概率是．故選：D．【點睛】此題考查了樹狀圖法與列表法求概率．解題的關鍵是根據(jù)題意列表或畫樹狀圖，注意列表法與樹狀圖法可以不重不漏的表示出所有等可能的結果．用到的知識點為：概率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．7．（2023·江蘇鹽城·?？级＃┤鐖D，點C、D在線段上，且．以點A為圓心，分別以線段為半徑畫同心圓，記以為半徑的圓為區(qū)域Ⅰ，所在的圓環(huán)為區(qū)域Ⅱ，所在的圓環(huán)為區(qū)域Ⅲ．現(xiàn)在此圖形中隨機撒一把豆子，統(tǒng)計落在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三個區(qū)域內(nèi)的豆子數(shù)．若大量重復此實驗，則（

）

A．豆子落在區(qū)域Ⅰ的概率最小 B．豆子落在區(qū)域Ⅱ的概率最小C．豆子落在區(qū)域Ⅲ的概率最小 D．豆子落在區(qū)域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率相同【答案】A【分析】計算出三個區(qū)域的面積，面積最小的概率最小，進而即可得到答案．【詳解】解：，設，則，，，，Ⅰ區(qū)域的面積為：，Ⅱ區(qū)域的面積為：，Ⅲ區(qū)域的面積為：，Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三個區(qū)域的面積比為：，豆子落在區(qū)域Ⅰ的概率最小．故選A．【點睛】本題考查幾何概率，解題的關鍵是掌握概率公式，理解面積比等于概率比．8．（2023·湖北宜昌·統(tǒng)考模擬預測）將分別標有“最”、“美”、“宜”、“昌”四個漢字的小球裝在一個不透明的口袋中，這些小球除漢字以外其它完全相同，每次摸球前先攪勻，隨機摸出一球，不放回，再隨機摸出一球，兩次摸出的球上的漢字組成“宜昌”的概率是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】畫樹狀圖，共有種等可能的結果，其中兩次摸出的球上的漢字組成“宜昌”的結果有種，再由概率公式求解即可．【詳解】解：畫樹狀圖如下：

共有種等可能的結果，其中兩次摸出的球上的漢字組成“宜昌”的結果有種，兩次摸出的球上的漢字組成“宜昌”的概率為，故選：A．【點睛】本題考查了樹狀圖法求概率，樹狀圖法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，適用于兩步或兩步以上完成的事件．解題時還要注意是放回試驗還是不放回試驗．用到的知識點為：概率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．9．（2022秋·云南楚雄·九年級?？茧A段練習）小明和小芳做一個“配色”的游戲，下圖是兩個可以自由轉動的轉盤，每個轉盤被分成面積相等的幾個扇形，并涂上圖中所示的顏色．同時轉動兩個轉盤，如果轉盤A轉出了紅色，轉盤B轉出了藍色，或者轉盤A轉出了藍色，轉盤B轉出了紅色，則紅色和藍色在一起配成紫色，這種情況下小芳獲勝；同樣，藍色和黃色在一起配成綠色，這種情況下小明獲勝；在其它情況下，則小明、小芳不分勝負，那么小明獲勝的概率為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】利用列表法，求出概率即可．【詳解】解：列表如下：紅黃藍紅紅，紅紅，黃紅，藍黃黃，紅黃，黃黃，藍紅紅，紅紅，黃紅，藍藍藍，紅藍，黃藍，藍共有12種等可能的情況，其中出現(xiàn)藍色和黃色的情況共有2種，∴．故選D．【點睛】本題考查列表法求概率．正確的列出表格，熟練掌握概率公式，是解題的關鍵．10．（2023·安徽合肥·統(tǒng)考模擬預測）四張背面完全相同的卡片上分別寫有1、2、3、4四個數(shù)字，把卡片背面朝上洗勻后，王明從這四張卡片中隨機選兩張，則王明選中的卡片中有偶數(shù)的概率是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】畫樹狀圖得出所有等可能的結果數(shù)，再從中找到符合條件的結果數(shù)，然后再用概率公式求解即可．【詳解】解：樹狀圖如圖所示，一共有12種等可能性，其中王明選中的卡片中有偶數(shù)的可能性有10種可能性，故王明選中的卡片中有偶數(shù)的概率為：，故選：A．【點睛】本題主要考查的是用列表法或樹狀圖法求概率，列表法可以重復不遺漏的列出所有可能的結果，適合于兩步完成的事件，樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件，用到的知識點為：概率等于所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．二、填空題11．（2023·山西運城·校聯(lián)考模擬預測）年月日起至年月日止，“印象長治詩畫太行”主題攝影展進行征稿，作品內(nèi)容包括“產(chǎn)業(yè)發(fā)展”“城市建設”“自然人文”“民生福祉”四部分，展覽按照四部分分類展出，現(xiàn)小文和小樂兩人各隨機從中選擇一類展覽先進行觀看，則兩人選擇先觀看的展覽作品內(nèi)容恰好是同一類別的概率為．【答案】/0.25【分析】用、、、分別表示“產(chǎn)業(yè)發(fā)展”“城市建設”“自然人文”“民生福祉”四部分，畫樹狀圖展示所有種等可能的結果，再找出兩人選擇先觀看的展覽作品內(nèi)容恰好是同一類別的結果數(shù)，然后根據(jù)概率公式計算．【詳解】解：用、、、分別表示“產(chǎn)業(yè)發(fā)展”“城市建設”“自然人文”“民生福祉”四部分．畫樹狀圖為：共有種等可能的結果，其中兩人選擇先觀看的展覽作品內(nèi)容恰好是同一類別的結果數(shù)為，所以兩人選擇先觀看的展覽作品內(nèi)容恰好是同一類別的概率．故答案為：．【點睛】本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖展示所有可能的結果求出，再從中選出符合事件或的結果數(shù)目，然后利用概率公式求出事件或的概率．12．（2022秋·江西吉安·九年級?？计谥校?、、0三個數(shù)中任取兩個不同的數(shù)作為點的坐標，則該點在坐標軸上的概率．【答案】【分析】根據(jù)題意列表得出所有等可能的情況數(shù)，找出剛好在坐標軸上的點個數(shù)，即可求出所求的概率．【詳解】解：列表得：0__________0____所有等可能的情