人教版高中數(shù)學(xué)平面向量全部教案

第五章平面向量

第一教時(shí)

教材：向量

目的：要求學(xué)生掌握向量的意義、表示方法以及有關(guān)概念，并能作一個(gè)向量與已

知向量相等，根據(jù)圖形判定向量是否平行、共線、相等。

過(guò)程:

一、開(kāi)場(chǎng)白：課本P93（略）

實(shí)例：老鼠由A向西北逃竄,貓?jiān)贐處向東追去,

問(wèn)：貓能否追到老鼠？（畫圖）

結(jié)論：貓的速度再快也沒(méi)用，因?yàn)榉较蝈e(cuò)了。AB

二、提出課題：平面向量

1.意義：既有大小又有方向的量叫向量。例：力、速度、加速度、沖量

等

注意：1°數(shù)量與向量的區(qū)別：

數(shù)量只有大小，是一個(gè)代數(shù)量，可以進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算、比較大

??；

向量有方向，大小，雙重性，不能比較大小。

2。從19世紀(jì)末到20世紀(jì)初，向量就夕戈為一套優(yōu)良通性的數(shù)學(xué)

體系，用以研究空間性質(zhì)。\/

2.向量的表示方法：勤/"B

1。幾何表示法：點(diǎn)一射線—（終點(diǎn)）

有向線段——具有一定方向的線段A（起點(diǎn)）

有向線段的三要素：起點(diǎn)、方向、長(zhǎng)度/1'

記作（注意起訖）、

2。字母表示法：而可表示為力（印刷時(shí)用黑體字）

P95例用1cm表示5nmail（海里）

3.模的概念：向量而的大小——長(zhǎng)度稱為向量的模。'

記作：I而I模是可以比較大小的

4.兩個(gè)特殊的向量:

1。零向量——長(zhǎng)度（模）為o的向量，記作6。。的方向是任意的。

注意。與0的區(qū)別

2。單位向量——長(zhǎng)度（模）為1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量叫做單位向量。

例：溫度有零上零下之分，“溫度”是否向量？

答：不是。因?yàn)榱闵狭阆乱仓皇谴笮≈帧?/p>

例：而與就是否同一向量？

答：不是同一向量。

例：有幾個(gè)單位向量？單位向量的大小是否相等？單位向量是否都相等？

答：有無(wú)數(shù)個(gè)單位向量，單位向量大小相等，單位向量不一定相等。

三、向量間的關(guān)系：

1.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。

記作：a//b//c

規(guī)定：。與任一向量平行V

2.相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫做相等向量。/

記作：a=b

規(guī)定：6=6

任兩相等的非零向量都可用一有向線段表示，與起點(diǎn)無(wú)關(guān)。

3.共線向量：任一組平行向量都可移到同一條直線上，

所以平行向量也叫共線向量。

COBA

0A=aOB—bOC=c

例（P95）略

變式一：與向量長(zhǎng)度相等的向量有多少個(gè)？（11個(gè)）

變式二：是否存在與向量長(zhǎng)度相等、方向相反的向量？（存在）

變式三：與向量共線的向量有哪些？（在，而，區(qū)）

四、小結(jié)：

五、作業(yè)：P96練習(xí)習(xí)題5.1

第二敬時(shí)

教材：向量的加法

目的：要求學(xué)生掌握向量加法的意義，并能運(yùn)用三角形法則和平行四邊形法則作

幾個(gè)向量的和向量。能表述向量加法的交換律和結(jié)合律，并運(yùn)用它進(jìn)行向

量計(jì)算。

過(guò)程：

六、復(fù)習(xí)：向量的定義以及有關(guān)概念

強(qiáng)調(diào)：1。向量是既有大小又有方向的量。長(zhǎng)度相等、方向相同的向量相等。

2。正因?yàn)槿绱耍覀冄芯康南蛄渴桥c起點(diǎn)無(wú)關(guān)的自由向量，即任何

向量可以在不改變它的方向和大小的前提下，移到任何位置。

七、提出課題：向量是否能進(jìn)行運(yùn)算？

5.某人從A到B,再?gòu)腂按原方向到C,_____________________

ABC

則兩次的位移和：AB+BC=AC

6.若上題改為從A到B,再?gòu)腂按反方向到C,

則兩次的位移和：AB+BC=AC

7.某車從A到B,再?gòu)腂改變方向到C,

則兩次的位移和：AB+BC^AC

8.船速為AB，水速為BC,

則兩速度和：AB+BC=AC

提出課題：向量的加法

叫做向量的余1法。B

三、1.定義：求兩個(gè)向量的和的運(yùn)算,

注意：；兩個(gè)向量的和仍舊是向量（簡(jiǎn)稱和向量）

2.三角形法則：

h

a+b

CAB

1°“向量平移”（自由向量）:使前一個(gè)向量的終點(diǎn)為后一個(gè)向量的起

占

八、、

2?？梢酝茝V到n個(gè)向量連加

3。4+6=6+<7=4

4。不共線向量都可以采用這種法則——三角形法則

3.例一、已知向量a、b,求作向量a+b

作法：在平面內(nèi)取一點(diǎn),

作。4=aAB=b

則麗=3+3

4.加法的交換律和平行四邊形法則

上題中B+3的結(jié)果與5+B是否相同驗(yàn)證結(jié)果相同

從而得到：1。向量加法的平行四邊形法則

2。向量加法的交換律：a+b^b+a

9.向量力口法的結(jié)合律：（a+B）+c=a+（B+c）

證：如圖：使=BC=b,CD=c

B

則(5+%)+1=就+而=而

a+(b+c)=AB+BD=AD

.'.(a+b)+c=a+(b+c)

從而，多個(gè)向量的加法運(yùn)算可以按照任意的次序、任意的組合來(lái)進(jìn)行。

四、例二(P98—99)略

五、小結(jié)：1。向量加法的幾何法則

2。交換律和結(jié)合律

3。注意：++不一定成立，因?yàn)楣簿€向量不然。

六、作業(yè)：P99—100練習(xí)P102習(xí)題5.21—3

第三教時(shí)

教材：向量的減法

目的：要求學(xué)生掌握向量減法的意義與幾何運(yùn)算，并清楚向量減法與加法的關(guān)系。

過(guò)程:

八、復(fù)習(xí)：向量加法的法則：三角形法則與平行四邊形法則

向量加法的運(yùn)算定律：

例：在四邊形中，CB+BA+~BA^CD

解：CB+BA+~BA=CB+BA+M)=CD

九、提出課題：向量的減法

1.用“相反向量”定義向量的減法

1?！跋喾聪蛄俊钡亩x：與a長(zhǎng)度相同、方向相反的向量。記作-a

2。規(guī)定：零向量的相反向量仍是零向量。-(-?)=a

任一向量與它的相反向量的和是零向量。a+(-a)=0

如果a、分互為相反向量，則a=—方，b=-a,a+b=0

3。向量減法的定義：向量。加上的》相反向量，叫做a與〃的差。

即：a-b=a+(-/>)求兩個(gè)向量差的運(yùn)算叫做向量的減法。

2.用加法的逆運(yùn)算定義向量的減法：

向量的減法是向量加法的逆運(yùn)算：

若/>+x=a,則x叫做a與》的差，記作a-》

3.求作差向量：已知向量a、b,求作向量

*.*(a-8)+b=a+(-6)+b=a

作法：在平面內(nèi)取一點(diǎn)。，

作OA=a,AB=b

則BA=a—8

即a可以表示為從向量〃的終點(diǎn)指向向量”的終點(diǎn)的向量。

注意：表示強(qiáng)調(diào)：差向量“箭頭”指向被減數(shù)

2。用“相反向量”定義法作差向量，a-b=a+（-b）

顯然，此法作圖較繁，但最后作圖可統(tǒng)一。

十、例題:

例一'、（P101例三）已知向量a、b、c、d,求作向量c-do

解：在平面上取一點(diǎn)0,作次=凡0B=b,0C=c,0D=d,

例二、平行四邊形中，，用表示向量，

解：由平行四邊形法則得：

A￡=a+b,DB=AB-AD=

變式一：當(dāng)a,5滿足什么條件時(shí)，a+b與a-）垂直？（3=則）

變式二：當(dāng)a,5滿足什么條件時(shí)，=\a-b\2（a,b互相垂直）

變式三：a+A與可能是相當(dāng)向量嗎？（不可能，???仁對(duì)角線方向不同）

十一、小結(jié)：向量減法的定義、作圖法I

十二、作業(yè)：P102練習(xí)

P103習(xí)題5.24—8

第四數(shù)時(shí)

教材：向量、向量的加法、向量的減法綜合練習(xí)《教學(xué)與測(cè)試》64、65、66課

目的：通過(guò)練習(xí)要求學(xué)生明確掌握向量的概念、幾何表示、共線向量的概念，掌

握向量的加法與減法的意義與幾何運(yùn)算。

過(guò)程:

十三、復(fù)習(xí)：

1。向量的概念：定義、表示法、模、零向量、單位向量、平行向量、

相等向量、共線向量

2。向量的加法與減法：定義、三角形法則、平行四邊形法則、運(yùn)算定律

十四、1.處理《教學(xué)與測(cè)試》P135—136第64課（略）

2.處理《教學(xué)與測(cè)試》P137—138第65課

例一、設(shè)。表示“向東走3%〃”，?表示"向北走弘

則a+b表示向東北走3、/^太根

解：OB=OA+ABay\h

5

OB=-2+32=3V2（km）<―—

例二、試用向量方法證明：對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形。

證：由向量加法法則：Dc

AB=AO+OB,~DC=~DO+OC/

由已知：AO=OC,DO=OB

：.AB=DC即AB與CD平行旦相等

：.ABCD為平行四邊形人口

AB

例三、在正六邊形中，若蘇=a,OE=b,試用

向量a、》將無(wú)、0C.而表示出來(lái)。。仁二——

解：設(shè)正六邊形中心為P\VV\//

則麗=麗+麗=（3+而）+3=a+方+a

OC-OP+PC-a+b+a+b

由對(duì)稱性：OD=b+b+a

3.處理《教學(xué)與測(cè)試》P139—140第66課（略）

十五、有時(shí)間可處理“備用題”：

例一、AB+DF+CD+BC+FA

解：~AB+~DF+CD+~BC+~FA=~AB+~BC+CD+~DF+~FA

AC+CD+DF+FA=AD+DF+FA=AF+FA=0

例二、在靜水中劃船的速度是每分鐘40,水流的速度是每分鐘20,如果

船從岸邊出發(fā)，徑直沿垂直與水流的航線到達(dá)對(duì)岸，那么船行進(jìn)

的方向應(yīng)該指向何處？

解：如圖：船航行的方向是

與河岸垂直方向成30。夾角，

即指向河的上游。

十六、作業(yè)：上述三課中的練習(xí)部分

第五教時(shí)

教材：實(shí)數(shù)與向量的積

目的：要求學(xué)生掌握實(shí)數(shù)與向量的積的定義、運(yùn)算律，理解向量共線的充要條件。

過(guò)程：一、復(fù)習(xí)：向量的加法、減法的定義、運(yùn)算法則。

二、1.引入新課：已知非零向量2作出不+萬(wàn)+5和(一萬(wàn))+(-菊+(-2)

o,aaa

---->z：--->---->---->

OABC

--Z7—?―*—?

<—J—a

廣MQP

OC=OA+AB+BC=a+a+a=3a

PN=PQ+QM+MN=(-5)+(-a)+(-a)=-3a

討論：1。32與。方向相同且13滔=31小

2。-3。與。方向相反且I-3洲=31萬(wàn)I

2.從而提出課題：實(shí)數(shù)與向量的積

實(shí)數(shù)人與向量5的積，記作：Xa

定義：實(shí)數(shù)人與向量彳的積是一個(gè)向量，記作：Aa

1°|Xal=|XHal

2。入>0時(shí)入方與萬(wàn)方向相同；入<0時(shí)入方與萬(wàn)方向相反；入=0時(shí)入

3.運(yùn)算定律：結(jié)合律：入也編=(人口)。①

第一分配律：(A+g)a=Xa+[ia②

第二分配律：入(。+5)=入)+入B③

結(jié)合律證明：

如果入=o,|i=o,5=6至少有一個(gè)成立，則①式成立

如果入日N0,有：|人(M)|=|入ga|=|X|g||a|

|(Xg)tz|=|Ap.||a=|Xpa

，I入(M)1=1(%)萬(wàn)I

如果入、N同號(hào)，則①式兩端向量的方向都與方同向；

如果入、N異號(hào)，則①式兩端向量的方向都與。反向。

從而入(四方)=(入|1)五

第一分配律證明：

如果入=0,g=o,萬(wàn)=6至少有一個(gè)成立，則②式顯然成立

如果入M,"6

當(dāng)入、H同號(hào)時(shí)，則人1和N不同向，

|(入+g)a\=\X+g|\a|=(lXI+|pl)IaI

I入a+[ia\=\X5|+|(i5|=|||a|+|g||a|=(|入|+1M.l)I5I

:入、pi同號(hào)二②兩邊向量方向都與方同向

即：(X+p,)a|=|Xa+gal

當(dāng)入、H異號(hào)，當(dāng)人〉pi時(shí)②兩邊向量的方向都與人)同向

當(dāng)入〈口時(shí)②兩邊向量的方向都與U行同向

還可證：|(A+g)a|=|Xa+y.a\

???②式成立

第二分配律證明：

如果。=0,中至少有一個(gè)成立，或入=0,入=1則③式顯然成立

當(dāng)Gw。，必。且入M,“1時(shí)

1。當(dāng)入＞0且入n時(shí)在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O,

作OA=dAB=bOAi=XaA[8]=入

則無(wú)=。+坂OB、=\a+b

由作法知：AB〃4片有NOAB=NOAiBi\AB\=WAyBXI

=入.,.△OAB^AOAiB,

\OA\\AB\

...I^J=入/AOB=NAIOB,

\OB\

因此，O,B,Bi在同一直線上，I兩1=1入為I函與人歷方向也

相同

A(a+b)=X5+Xb

當(dāng)入＜0時(shí)可類似證明：X（5+K）=Xa+\bA\

，③式成立

4.例-（見(jiàn)P104）略

三、向量共線的充要條件（向量共線定理）

1.若有向量2（不如）、b,實(shí)數(shù)入，使3=入萬(wàn)則由實(shí)數(shù)與向量積的定義

知：彳與B為共線向量

若方與B共線（）*6）且區(qū)I：應(yīng)|=山則當(dāng)方與B同向時(shí)方

當(dāng)彳與B反向時(shí)B=—口口

從而得：向量彼與非零向量）共線的充要條件是：有且只有一個(gè)非零實(shí)數(shù)

x

使彼=X.a

2.例二（P104-105略）

三、小結(jié)：

四、作業(yè)：課本P105練習(xí)P107-108習(xí)題5.31、2

第六敖時(shí)

教材：平面向量基本定理

目的：要求學(xué)生掌握平面向量的基本定理，能用兩個(gè)不共線向量表示一個(gè)向量；

或一個(gè)向量分解為兩個(gè)向量。

過(guò)程：一、復(fù)習(xí)：L向量的加法運(yùn)算（平行四邊形法則）。

2.實(shí)數(shù)與向量的積3.向量共線定理

二、由平行四邊形想到：

1.是不是每一個(gè)向量都可以分解成兩個(gè)不共線向量？且分解是唯一？

2.對(duì)于平面上兩個(gè)不共線向量1是不是平面上的所有向量都可以用它們

來(lái)表示？

——提出課題：平面向量基本定理

三、新授：1.（P105-106）］,或是不共線向量，5是平面內(nèi)任一向量

d

OA=etOM=1OC=）=OM+0N=入9+人外

OB=e2ON=A2e2

得平面向量基本定理：如果［,1是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么

對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量不，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)人”入2使。=入?+

入202

注意幾個(gè)問(wèn)題：1。［、［必須不共線，且它是這一平面內(nèi)所有向量的一組

基底

2°這個(gè)定理也叫共面向量定理

3。3，L是被不，■，晟唯一確定的數(shù)量

2.例…（P106例三）已知向量竹，e2求作向量-2.5C］+362。

作法：1。取點(diǎn)O,作方=-2.5［08=3^

-?

至作OACB,女即為所求十

例二、（P106例4）如圖口ABCD的兩條對(duì)角線交于點(diǎn)M,且凝=2,AD=b,

用不，B表示忘，MB,標(biāo)和通

口解：在

~DB=~\B-~\D=a-b

—■I—>111_

MA=——AC=一一(?+/?)=——a——b

2222

—.]—.]]1_——?1—■1]-

MB=-DB=-(a-b)=-a——bMC=-AC=-a+-b

2222222

------1---1一1-

MD=-MB——DB=—G+—Z?

222

例三、已知。ABCD的兩條對(duì)角線AC與BD交于E,0是任意一點(diǎn),

求證：OA+OB+OC+OD=4OE

證：YE是對(duì)角線AC和BD的交點(diǎn)

:.AE=EC=-CE

BE=ED=-DE

在aOAE中OA+AE=OE

同理：+=OC+CE=OEOD+~DE=OE

以上各式相加，得：OA+OB+OC+OD=4OE

例四、(P107例五)如圖，OA,而不共線，1P=tJB(teR)用d，而表示赤

解,/AP=tAB

P

OP=OA+~\P^A\X'AB

=OA+t(OB-OA)

=OA+tOB-tOA

=(l-t)OA+tOB

四、小結(jié)：平面向量基本定理，其實(shí)質(zhì)在于：同一平面內(nèi)任一向量都可以表

示為兩個(gè)不共線向量的線性組合。

五、作業(yè)：課本P107練習(xí)P108習(xí)題5.33-7

第七數(shù)時(shí)

教材：5.3實(shí)數(shù)與向量的積綜合練習(xí)《教學(xué)與測(cè)試》P141-14467.68課

目的：通過(guò)練習(xí)使學(xué)生對(duì)實(shí)數(shù)與積，兩個(gè)向量共線的充要條件，平面向量的基本

定理有更深刻的理解，并能用來(lái)解決一些簡(jiǎn)單的幾何問(wèn)題。

過(guò)程：一、復(fù)習(xí)：1.實(shí)數(shù)與向量的積(強(qiáng)調(diào)：''模”與“方向”兩點(diǎn))

2.三個(gè)運(yùn)算定律(結(jié)合律，第一分配律，

第二分配律)

3.向量共線的充要條件

4.平面向量的基本定理(定理的本身及其實(shí)

質(zhì))

二、處理《教學(xué)與測(cè)試》

1.當(dāng)入eZ時(shí)一，驗(yàn)證：X(a+^)=Xa+Xb

iJB當(dāng)入=0時(shí)，左邊=0?(。+3)=6右邊=0?2+0范=。分配律成立

當(dāng)人為正整數(shù)時(shí)，令入=n,則有：

n(a+h)=(a+b)+(a+b)+"'+(a+h)

=a+a+^*+a-^-b+b+b^-^*+b=na+nb

即人為正整數(shù)時(shí)，分配律成立

當(dāng)為負(fù)整數(shù)時(shí)，令人=-n(n為正整數(shù))，有

-n(a+b)=n[-(a+b)]=n[(-a)+(-b)]=n(-a)+n(-b)=-na+(-nb)=-n

a-nb

分配律仍成立

綜上所述，當(dāng)人為整數(shù)時(shí)，入(W+B)=入方+入3恒成立。

2.如圖，在AABC中，AB=a,BC=bAD為邊BC的中線，G為二

ABC的重心，求向量標(biāo)

.—?,■…I.1—?

解——：VAB-a.BC=b貝=—BC=—。

22

A.._..]—?,_.2，

A??AD=AB+BD=ad—b而AG=一AD

23

—?21-

...AG=-a+-b

JL_____L_J33

B》DC

解二：過(guò)G作BC的平行線，交

AB、AC于E、F

VAAEF^AABC

—2―2

AE=-AB=-a

33

BhDC

―?2―2-

EF=—BC=—h

33

----1---?1-

EG=-EF=-b

23

—,—■—,■21-

，AG=AE+EG=-a+-b

33

?.—?—?.*

3.在7ABCD中，設(shè)對(duì)角線AC=2,8O=b試用心匕表示A6,BC

——■1―?1—.1-

解一：AO=OC=-aBO=-BD=-h

222

AAB=AO+0B=AO-B0=-a--b7ss—二

BC=BO+OC=OC+~BO^-a+-b

22

B

解二：設(shè)布="'BC=y

-*1-

則4B+BC=ACx+y=ax=~(a-b)

AD-=1BDx-y=b

--1_一

y=—(a+h)

2

—?I一—?I一

即：AB=-(a-b)BC=一("b)

22

4.設(shè)r,牡是兩個(gè)不共線向量，已知A8=2e]+ke2,CB=e}+3e2,

而若三點(diǎn)A,B,D共線，求k的值。

解：BD—CD—CB=(26—e?)—(q+3e?)=%-4g

VA,B,D共線JAB，訪共線，存在入使Q=入BD

—?—*—*—*2=A

H|12G+ke?=人(G—4e?)??1??k二—8

12'2[k=-42

5.如圖，已知梯形ABCD中，AB〃CD且AB=2CD,乂,？4分別是口(2,人8

中點(diǎn)，設(shè)通=不，AB=b,試以鼠B為基底表示麗，BC,MN

——?I->1_

解：DC=-AB=-b

22

連ND則DC^ND

,0

A

MB

BC=ND=AD-AN=a——b

2

-----1-----1-

DM=—DC=—b

24

MN=DN—DM=CB-DM=-BC-DM

=(一G+—b)——h=—h-a

244

6.1kg的重物在兩根細(xì)繩的支持下，處于平衡狀態(tài)(如圖)，已知兩細(xì)繩

與水平線分別成30。,60。角，問(wèn)兩細(xì)繩各受到多大的力？

解：將重力在兩根細(xì)繩方向上分解，兩細(xì)繩間夾角為90°

\OP\=\(kg)ZP,OP=60°NP20P=30°

：.\OP\l=IOPIcos600=l-1=0.5(kg)/

3那zA60。

\OPil=IOPIcos30°=l-^=0.87(kg)

即兩根細(xì)繩上承受的拉力分別為0.5kg和0.87kgp,

三、作業(yè)：《教學(xué)與測(cè)試》67、68課練習(xí)

第八赦時(shí)

教材：向量的坐標(biāo)表示與坐標(biāo)運(yùn)算

目的：要求學(xué)生理解平面向量的坐標(biāo)的概念，較熟練地掌握平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算。

過(guò)程：一、復(fù)習(xí)：1.復(fù)習(xí)向量相等的概念yf

自由向量

OA=BC

2.平面向量的基本定理(基底)

其實(shí)質(zhì)：同一平面內(nèi)任一向量都可以表示為兩個(gè)不

共線向量的線性組合。

二、平面向量的坐標(biāo)表示

1.在坐標(biāo)系下，平面上任何一點(diǎn)都可用一對(duì)實(shí)數(shù)(坐標(biāo))來(lái)表示

問(wèn)題：在坐標(biāo)系下，向量是否可以用坐標(biāo)來(lái)表示呢？

取x軸、y軸上兩個(gè)單位向量i,/作基底，則平面內(nèi)作一向量)=xi+yj,

如：a=0A=(2,2)

b=OB=(2,-1)

OC=(1,-5)

J=(0,0)

2.注意：1。每一平面向量的坐標(biāo)表示是唯一的；

2°設(shè)A(xbyi)B(X2,y2)則AB=(x2-xby2-yi)

3。兩個(gè)向量相等的充要條件是兩個(gè)向量坐標(biāo)相等。

3.例一:(P109)略

三、平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

1.問(wèn)題：1。已知2(xi,yDb(x2,y2)求M+5,B的坐標(biāo)

2。已知a(x,y)和實(shí)數(shù)入，求入萬(wàn)的坐標(biāo)

2.解：a+b=(xii+yij)+(x2j+y2j)=(xi+x2)(yi+y2)j

即：a+b=(xi+x2,yi+y2)

同理：a-b=(xi-x2,yi-y2)

3.結(jié)論：兩個(gè)向量和與差的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差。

同理可得：一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段終點(diǎn)的坐標(biāo)減去始點(diǎn)的

坐標(biāo)。

用減法法則：

VAB=OB-OA=(x2,y2)-(x,,y()

=(x2-xi,y2-yi)

4.實(shí)數(shù)與向量積的坐標(biāo)運(yùn)算：已知。=(x,y)實(shí)數(shù)人

則入a=X(xz+yJ)=Xxz+Ayj

X5=(Xx,Ay)

結(jié)論：實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)，等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來(lái)的向量相應(yīng)的坐標(biāo)。

四、例二(P110例二)

例三(P111例三)

例四(P145例一)已知三個(gè)力齊(3,4),及(2,-5),元(x,y)的合力

F[+尸2+后=。

求元的坐標(biāo)。

..3**

解：由題設(shè)4+6+^=0得：(3,4)+(2,-5)+(x,y)=(0,0)

3+2+x=0x=-5

0=]

Fy(—5,1)

4-5+y=0

例五、已知平面上三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(-2,1),B(-1,3),C(3,4),求點(diǎn)D的坐

標(biāo)使這四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形四個(gè)頂點(diǎn)。

解：當(dāng)平行四邊形為ABCD時(shí)，

仿例三得：口=(2,2)

當(dāng)平行四邊形為ACDB時(shí),

仿例三得：D2=(4,6)

當(dāng)平行四邊形為DACB時(shí),

仿上得：D3=(-6,0)

五、小結(jié)：1.向量的坐標(biāo)概念

六、作業(yè)：P112練習(xí)1—3習(xí)題5.41—6

第九赦時(shí)

教材：向量平行的坐標(biāo)表示

目的：復(fù)習(xí)鞏固平面向量坐標(biāo)的概念，掌握平行向量充要條件的坐標(biāo)表示，并且

能用它解決向量平行(共線)的有關(guān)問(wèn)題。

過(guò)程：一、復(fù)習(xí)：1.向量的坐標(biāo)表示(強(qiáng)調(diào)基底不共線，《教學(xué)與測(cè)試》P145

例三)

2.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則

練習(xí)：1.若M(3,-2)N(-5,-l)且MP=±MN,求P點(diǎn)的坐標(biāo)；

2

解：設(shè)P(x,y)貝iJ(x-3,y+2)=，(-8,1)=(-4,

x-3=-4x=-l3

.13?點(diǎn)坐標(biāo)為

y+2=].?PGL-5)

2.若A(0,1),B(l,2),C(3,4)則而-2前=(-3,-3)

3.已知：四點(diǎn)A(5,1),B(3,4),C(l,3),D(5,-3)求證：四邊形ABCD是

梯形。

解：:AB=(-2,3)~DC=(-4,6)/.AB=2DC

：.AB//DC月.IAB閨。Cl二四邊形ABCD是梯形

二、1.提出問(wèn)題：共線向量的充要條件是有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)人使得B=入心那

么這個(gè)充要條件如何用坐標(biāo)來(lái)表示呢？

2.推導(dǎo)：設(shè)G=(xi,yOb=(x2,y?)其中Bwd

由1=入B(xi,yi)=A(X2,ys)=><1尸2消去人：

3=加2

xiy2-x2yi=0

結(jié)論：a//b(〃w。)的充要條件是xiy2-X2yi=0

注意：1。消去人時(shí)不能兩式相除，???力,丫2有可能為0，

x2,y2中至少有一個(gè)不為0

2。充要條件不能寫成、.=五?；x],X2有可能為0

x}x2

3。從而向量共線的充要條件有兩種形式：a//b(BwG)o"蘇

一%一看%=°

三、應(yīng)用舉例

例一(P111例四)例二(P111例五)

例三若向量萬(wàn)=(-l,x)與很=(-x,2)共線且方向相同，求x

解：,.,乙=(-16)與5=(%2)共線.'.(-l)X2-"(-x)=0

.,.x=±V2與行方向相同.,.x=V2

例四已知A(-L,-1)B(l,3)C(l,5)D(2,7)向量4B與CO平行嗎？直線AB

與平行于直線CD嗎？

解：?..麗=(1-(T),3-(-1))=(2,4)CD=(2-1,7-5)=(1,2)

又：72X2-4-1=0，AB//CD

又：AC=(l-(-l),5-(-1))=⑵6)薪=(2,4)

2X4-2X6M忌與麗不平行

:.A,B,C不共線，AB與CD不重合；.AB〃CD

四、練習(xí):1.已知點(diǎn)A(0,1)B(l,0)C(l,2)D(2,1)求證:AB/7CD

2.證明下列各組點(diǎn)共線：1°A(l,2)B(-3,4)C(2,3.5)

2°P(-l,2)Q(0.5,0)R(5,-6)

3.已知向量5=（T,3）B=（x,T）且1〃B求x

五、小結(jié)：向量平行的充要條件（坐標(biāo)表示）

六、作業(yè)：P112練習(xí)4習(xí)題5.47、8、9

《教學(xué)與測(cè)試》P1464、5、6、7、8及思考題

第十敖時(shí)

教材：線段的定比分點(diǎn)

目的：要求學(xué)生理解點(diǎn)P分有向線段質(zhì)所成的比人的含義和有向線段的定比

分點(diǎn)公式，并能應(yīng)用解題。

過(guò)程：一、復(fù)習(xí)：1.向量的加減，實(shí)數(shù)與向量積的運(yùn)算法則

2.向量的坐標(biāo)運(yùn)算

二、提出問(wèn)題：線段的定比分點(diǎn)

1.線段的定比分點(diǎn)及人

Pl,P2是直線/上的兩點(diǎn)，P是/上不同于Pl,P2的任一點(diǎn)，存在實(shí)

數(shù)人，

使PJ>=X~PP2人叫做點(diǎn)P分而所成的比，有三種情況：

入>0（內(nèi)分）（外分）入<0（入<-1）（外分）入

<0（-l<X<0）

2.定比分點(diǎn)公式的獲得：

設(shè)［P=入PP2點(diǎn)

Pi,P,P2坐標(biāo)都以MJx,y)(X2,y2)

由向量的坐標(biāo)運(yùn)算

々P=(x-xi,y-yi)PP2=(X2-X1,y2-yi)

P、P=Xpp2

(x-xi,y-y()=X(x2-xi,y2-y()

.[x-=2(X-x)

?**21+彳定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式

月+儀

y-y]=〃)’2-y)

1+2

3.中點(diǎn)公式：若P是而中點(diǎn)時(shí),

4.注意幾個(gè)問(wèn)題：1°入是關(guān)鍵，入＞0內(nèi)分入＜0夕卜分AH-1

若P與P］重合，X=0

P與P2重合人不存在

2。中點(diǎn)公式是定比分點(diǎn)公式的特例

------1------

3。始點(diǎn)終點(diǎn)很重要，如P分尸產(chǎn)2的定比入=5則P分尸2尸1的定比入=2

4°公式：如Xi,X2,x,A知三求一

三、例題：例一（P114例一）知三求一

例二（P114例二）△重心公式

例三若P分有向線段通的比為之，則A分而所成比為-工（作示意圖）

43

例四過(guò)點(diǎn)P,（2,3）,P2（6,-1）的直線上有一點(diǎn)，使IPiPklPP2I=3,求P點(diǎn)

解：當(dāng)P

當(dāng)入=3得P(5,0)

當(dāng)X=-3得P(8,-3)

例五4ABC頂點(diǎn)A(l,1),B(-2,10),C(3,7)ZBAC平分線交BC邊于

D,

求D點(diǎn)坐標(biāo)

解：：AD平分角NBAC

IACI=722+62=2回

IABI=7（-3）2+92=3V10

；.D分向量在所成比入=2

3

3+—（—2）

設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)（x,y）則x=一——=1

14--

3

...D點(diǎn)坐標(biāo)為：（1,日）

四、小結(jié)：定比分點(diǎn)公式，中點(diǎn)公式

五、作業(yè)：P115-116練習(xí)習(xí)題5.5

--數(shù)時(shí)

教材：平面向量的數(shù)量積及運(yùn)算律

目的：掌握平面向量的數(shù)量積的定義及其幾何意義，掌握平面向量數(shù)量積的性質(zhì)

和它的一些簡(jiǎn)單應(yīng)用。

過(guò)程：

十七、復(fù)習(xí)：前面已經(jīng)學(xué)過(guò)：向量加法、減法、實(shí)數(shù)與向量的乘法。

它們有一個(gè)共同的特點(diǎn)，即運(yùn)算的結(jié)果還是向量。

但這種運(yùn)算與實(shí)數(shù)的運(yùn)算有了很大的區(qū)別。

十八、導(dǎo)入新課：

5.力做的功:W=IFI-lsIcosG

。是尸與s的夾角

6.定義：平面向量數(shù)量積（內(nèi)積）的定義，ab=kzllZ>lcos0,

并規(guī)定0與任何向量的數(shù)量積為0。?

7.

8.注意的幾個(gè)問(wèn)題；——兩個(gè)向量的數(shù)量積與向量同實(shí)數(shù)積有很大區(qū)別

1。兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，不是向量，符號(hào)由cos。的符號(hào)所決

定。

2。兩個(gè)向量的數(shù)量積稱為內(nèi)積，寫成al；今后要學(xué)到兩個(gè)向量的外積

aXb,而她是兩個(gè)數(shù)量的積，書寫時(shí)要嚴(yán)格區(qū)分。

3。在實(shí)數(shù)中，若aM,且。2=0,則6=0；但是在數(shù)量積中,若aM,

且a2=0,不能推出方=0。因?yàn)槠渲衏os。有可能為0。這就得性質(zhì)2。

4°已知實(shí)數(shù)a、b、c(bM),