生物統(tǒng)計學(xué)與試驗設(shè)計：第六章 方差分析

第六章方差分析

兩因素方差分析

單因素方差分析

方差分析的基本概念第一節(jié)方差分析的基本概念2個平均數(shù)之間差異的顯著性檢驗一般用t-檢驗或u-檢驗來進行分析3個或3個以上平均數(shù)之間差異的顯著性檢驗是否仍然可以采用t-檢驗或u-檢驗來進行分析呢？（I）工作量相當大如果對k個（k≥3）樣本平均數(shù)進行t-檢驗時，需要假設(shè)檢驗的次數(shù)為：對5個平均數(shù)進行t-檢驗時需要進行10次t-檢驗對10個平均數(shù)進行t-檢驗時需要進行45次t-檢驗（II）無統(tǒng)一的試驗誤差對同一個試驗的多個樣本平均數(shù)進行比較時，應(yīng)當有一個統(tǒng)一的試驗誤差但是，如果用t-檢驗對多個樣本平均數(shù)進行兩兩比較時：每進行一次t-檢驗都需要計算一個標準誤：（III）誤差估計的精確性低假設(shè)一個試驗中，有k個（k≥3）樣本，每個樣本的樣本容量均為n■用t-檢驗進行兩兩比較，那么，每次只能利用兩個樣本共2n個觀測值估計試驗誤差，誤差自由度為2（n-1）■利用整個試驗的kn個觀測值估計試驗誤差，誤差自由度為k（n-1）用t-檢驗對3個或3個以上的樣本平均數(shù)進行分析時，由于誤差自由度小，誤差估計的精確性低，使檢驗的靈敏度降低，容易掩蓋差異的顯著性（IV）犯I型錯誤的概率大

用t-檢驗進行多個樣本平均數(shù)間差異的顯著性檢驗，隨著樣本數(shù)量的增大而增大犯I型錯誤的概率用t-檢驗來比較5個樣本平均數(shù)，就會有10個差數(shù)，對這10個差數(shù)都以α=0.05為顯著水平進行假設(shè)檢驗■每一差數(shù)獲得正確結(jié)論的概率是1-α=0.95■10個差數(shù)都獲得正確結(jié)論的概率只有0.9510=0.5987■在10個兩兩比較中，犯I型錯誤的概率就不再是α=0.05，而是α=1-0.5987=0.4013方差是衡量數(shù)據(jù)變異程度的特征值

平方和的平均數(shù)引起變量發(fā)生變異的原因稱為變異因素或變異來源◆方差分析就是發(fā)現(xiàn)各類變異來源相對重要性的一種方法方差分析的基本思路

把整個試驗（設(shè)有k個樣本）資料作為一個整體來考慮，把整個試驗的總變異按照變異的來源分解成不同來源的變異，即把總方差分解成不同來源的方差由于樣本方差等于平方和除以自由度，因此把總方差分解成不同來源的方差，就等于把總方差中的平方和、自由度分解為相應(yīng)的不同變異來源的平方和、自由度，進而獲得不同變異來源方差的估計值，從而發(fā)現(xiàn)不同變異來源方差的相對重要性第二節(jié)單因素方差分析1.組內(nèi)樣本容量相同的單因素資料

單因素資料是指在試驗時僅考慮一個因素，除這一因素外，其余因素均控制在同一水平上當每一組內(nèi)的供試動物個數(shù)相等時，就稱為組內(nèi)樣本容量相等的單因素資料試驗因素（experimentalfactor）試驗中所研究的影響試驗指標的因素

因素水平（level）試驗因素所處的某種特定狀態(tài)或數(shù)量等級1.1數(shù)學(xué)模型和數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)從一個正態(tài)總體N（μ，σ2）中隨機抽取一個樣本容量為n的樣本，則樣本中每一觀測值為：樣本平均數(shù)為：如果對上述總體施加效應(yīng)為a的處理，則樣本中每一個觀測值為：如果將N（μ，σ2）的總體分成k個亞總體，每一個亞總體施加一個效應(yīng)為ai的處理，則每一亞總體的平均數(shù)為：從每一亞總體內(nèi)抽取一個樣本容量為n的樣本，則有k個樣本：

樣本12…i…k觀測值x11…x12x1j…x1nx2nx21xi2xi1xk1x2jxk2xknxkjxinxijx22………………………………………………任何一個觀測值均具有線性模型：

1.2平方和、自由度的剖分全部觀測值的總平方和為：第1個樣本內(nèi)的平方和為：第2個樣本內(nèi)的平方和為：第i個樣本內(nèi)的平方和為：第k個樣本內(nèi)的平方和為：組內(nèi)平方和（誤差平方和）：組間變異就是k個樣本平均數(shù)的變異，其平方和、自由度為：組間均方：

組內(nèi)均方：

獲得3個均方:總均方：

組內(nèi)均方：

組間均方：

三個均方的平方和、自由度之間的關(guān)系

三個均方的自由度之間的關(guān)系

總自由度=組間自由度+組內(nèi)自由度

總自由度可以剖分為兩部分：組間自由度、組內(nèi)自由度

三個均方的平方和之間的關(guān)系

同理，第2個樣本、第i個樣本、第k個樣本都有相似的等式：第一個樣本的每個觀測值與總平均數(shù)的離差平方和：總平方和=組間平方和+組內(nèi)平方和總平方和可以剖分為兩部分：組間平方和、組內(nèi)平方和1.3F-檢驗組間均方：組間平方和除以組間自由度組內(nèi)均方：組內(nèi)平方和除以組內(nèi)自由度如果對各亞總體施加的處理效應(yīng)足夠大，樣本平均數(shù)之間的差距就會足夠大，則組間均方就會顯著大于組內(nèi)均方，F(xiàn)值就會達到顯著水平用F值進行的假設(shè)檢驗稱為F-檢驗，又稱為方差分析F-檢驗的步驟

無效假設(shè)Ｈ0：（1）提出假設(shè)備擇假設(shè)ＨA：至少有兩個均數(shù)不相等（2）計算F值（3）查表，推斷根據(jù)第一自由度dfb、第二自由度dfe由附表5查出顯著水平α=0.05和0.01的兩個臨界值，將計算的F值與之相比較，作出推斷

■方差分析表例1：選用4種不同劑型的配合飼料作太湖豬的配合飼料劑型試驗，每一劑型飼喂5頭太湖豬，得增重數(shù)據(jù)如下，試對不同劑型飼料對太湖豬增重效果的差異進行檢驗。無效假設(shè)Ｈ0：（1）提出假設(shè)備擇假設(shè)ＨA：4個均數(shù)不全相等（2）計算F值解：檢驗步驟如下：計算均方（MS）值、Ｆ值并建立方差分析表：（3）查表，推斷查附表5，F(xiàn)0.05（3，16）=3.24，F(xiàn)0.01（3，16）=5.29F＞F0.01，即P＜0.01，F(xiàn)值極顯著

否定Ｈ0，接受ＨA，即4種劑型的飼料對太湖豬增重的影響有極顯著的差異**課堂練習(xí)：為了研究長白豬、杜洛克、太湖豬、新淮豬等4個不同豬種的生長速度，現(xiàn)從每個品種豬中隨機抽取5頭同日齡的架子豬，在相同的飼養(yǎng)條件下飼養(yǎng)一個月后得到增重量如下，試進行方差分析。1.4多重比較（multiplecomparisons）

多重比較的總體原則都是構(gòu)建平均數(shù)差數(shù)的顯著尺度

多重比較的第一步就是求出尺度值多重比較的第二步是用平均數(shù)差數(shù)值與相應(yīng)的尺度值比較

差數(shù)值大于尺度值，就表示兩平均數(shù)間差異顯著或極顯著

差數(shù)值小于尺度值，就表示兩平均數(shù)間差異不顯著1.4.1LSD法

LSD法即最小顯著差數(shù)法（leastsignificantdifference），是多重比較中一種最簡便的方法LSD法多重比較步驟:■建立平均數(shù)的多重比較表，將各組按其平均數(shù)從大到小自上而下排列■計算最小顯著差數(shù)LSD0.05和LSD0.01

■將平均數(shù)多重比較表中兩兩平均數(shù)的差數(shù)與LSD0.05和LSD0.01比較，作出推斷例1：選用4種不同劑型的配合飼料作太湖豬的配合飼料劑型試驗，每一劑型飼喂5頭太湖豬，得增重數(shù)據(jù)如下，試對不同劑型飼料對太湖豬增重效果的差異進行檢驗。**a.建立平均數(shù)多重比較表組（劑型）A4A3

A1

A2

25.022.820.217.67.45.22.64.82.62.2b.計算最小顯著差數(shù)c.比較，推斷將平均數(shù)差數(shù)與最小顯著差數(shù)比較：

小于LSD0.05者為不顯著

介于LSD0.05與LSD0.01之間者顯著，在差數(shù)的右上方標記*

大于LSD0.01者極顯著，在差數(shù)的右上方標記********A3劑型飼料對太湖豬的增重效果極顯著高于A2

A4劑型飼料對太湖豬的增重效果極顯著高于A2

A3劑型飼料對太湖豬的增重效果極顯著高于A1

1.4.2LSR法

LSR法即最小顯著極差法（Leastsignificantranges）LSR法的特點是把平均數(shù)的差數(shù)看成是平均數(shù)的極差，根據(jù)極距r（平均數(shù)的距離）的不同而采用不同的檢驗尺度■克服了LSD法的不足■檢驗的工作量有所增加（1）q法（qtest）q法為一種比較客觀的方法，其尺度公式為：q法多重比較的步驟：■建立平均數(shù)多重比較表■由自由度dfe、極距r查臨界q值，計算最小顯著極差LSR0.05,r和LSR0.01,r■將平均數(shù)多重比較表中的各極差與相應(yīng)的最小顯著極差LSR0.05,r和LSR0.01,r比較，作出推斷例1：選用4種不同劑型的配合飼料作太湖豬的配合飼料劑型試驗，每一劑型飼喂5頭太湖豬，得增重數(shù)據(jù)如下，試對不同劑型飼料對太湖豬增重效果的差異進行檢驗。**a.建立平均數(shù)多重比較表b.計算最小顯著極差極

距（r）234q0.05q0.013.004.133.654.78

4.055.19LSR0.05LSR0.013.435

4.7294.1785.4714.6355.940查qα值,計算最小顯著極差c.比較，推斷****（2）SSR法SSR法（shortestsignificantranges）又稱為新復(fù)極差法（newmultiplerangemethod）和Duncan法

SSR法的尺度公式為：SSR法與q法的檢驗步驟相同■LSD法、q法和SSR法檢驗尺度的關(guān)系LSD法≤SSR法≤q法

極距r=2時，取等于號

極距r≥3時，取小于號2.組內(nèi)樣本容量不等的單因素資料

2.1平方和、自由度的剖分2.2F檢驗步驟與組內(nèi)樣本容量相等的單因素資料相同

2.3多重比較LSD法LSR法例2：研究不同水平賴氨酸對肉仔雞生長的影響，設(shè)置了5個水平，每一水平飼喂了若干個仔雞，得日增重數(shù)據(jù)如下，試作方差分析。Ｈ0：（1）提出假設(shè)ＨA：5個均數(shù)不全相等（2）計算F值解：檢驗步驟如下：計算MS值、F值，并建立方差分析表：變異來源平方和自由度均方ＦＦ0.05Ｆ0.01組間（賴氨酸）1312.54328.12514.84組內(nèi)（誤差）420.01922.105總變異1732.5232.904.50（3）查表，推斷F值極顯著

**否定H0，接受HA

五種賴氨酸水平對仔雞的生長速度有極顯著的影響（4）多重比較a．建立平均數(shù)多重比較表b.計算最小顯著極差極距2345q0.052.963.593.984.26q0.014.054.675.095.33LSR0.056.377.738.579.17LSR0.018.7210.0510.9611.47***********c.比較，推斷第三節(jié)兩因素方差分析1.組合內(nèi)無重復(fù)觀測值的兩因素資料組合內(nèi)無重復(fù)觀測值的兩因素資料就是每一組合內(nèi)僅有一個供試動物組合內(nèi)無重復(fù)觀測值的兩因素資料觀測值的數(shù)學(xué)模型為：

μ：總體平均數(shù)αi：A因素第i個效應(yīng)βj：B因素第j個效應(yīng)εij：隨機誤差組合內(nèi)無重復(fù)觀測值的兩因素資料的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)為：因

素B1B2…Bj…BbTA1x11x12…x1j…x1bT1.A2x21x22…x2j…x2bT2.┇┇┇…┇…┇┇Aixi1xi2…xij…xibTi.┇┇┇…┇…┇┇Aaxa1xa2…xaj…xabTa.TT.1T.2…T.j…T.bT組合內(nèi)無重復(fù)觀測值的兩因素資料方差分析的檢驗步驟：

A因素：（1）提出假設(shè)H0：

HA：

a個均數(shù)不全相等B因素：H0：

HA：

b個均數(shù)不全相等（2）計算F值（3）查表，推斷FA：FB：（4）多重比較若FA顯著，應(yīng)對A因素各水平的平均數(shù)作多重比較，其平均數(shù)標準誤：若FB顯著，應(yīng)對B因素各水平的平均數(shù)作多重比較，其平均數(shù)標準誤：例3：為了研究4種不同中草藥添加劑飼料（A）對太湖豬的飼喂效果，選擇了5個不同的地區(qū)（B）進行飼養(yǎng)試驗，試驗結(jié)束后得數(shù)據(jù)如下，試作方差分析。解：檢驗步驟如下：

A因素：（1）提出假設(shè)H0：

HA：

4個均數(shù)不全相等B因素：H0：

HA：

5個均數(shù)不全相等（2）計算F值計算均方、F值，并建立方差分析表：變異來源平方和自由度均方ＦＦ0.05Ｆ0.01添加劑間A311.63103.86710.0603.495.95地區(qū)間B65.3416.3251.5813.265.41誤差123.91210.325總變異500.819**（3）查表，推斷（4）多重比較極距234q0.053.083.774.02q0.014.325.045.60LSR0.054.435.426.04LSR0.016.217.248.05*****2.組合內(nèi)有重復(fù)觀測值的兩因素資料設(shè)A因素有a個水平，B因素有b個水平，共有ab個組合，

每一組合內(nèi)有n個觀測值（n≥2），整批資料共有abn個觀測值組合內(nèi)有重復(fù)觀測值的兩因素資料的數(shù)學(xué)模型為:μ：總體平均數(shù)αi：A因素第i個效應(yīng)βj：B因素第j個效應(yīng)εijk：隨機誤差(αβ）ij：Ai和Bj的互作效應(yīng)組合內(nèi)有重復(fù)觀測值的兩因素資料數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)為：組合內(nèi)有重復(fù)觀測值的兩因素資料方差分析的檢驗步驟：

A因素：（1）提出假設(shè)H0：

HA：

a個均數(shù)不全相等B因素：H0：

HA：

b個均數(shù)不全相等（2）計算F值FA顯著，應(yīng)對A因素各水平的平均數(shù)作多重比較，其平均數(shù)標準誤為：FB顯著，應(yīng)對B因素各水平的平均數(shù)作多重比較，其平均數(shù)標準誤為：FAB顯著，應(yīng)對各組合的平均數(shù)作多重比較，其平均數(shù)標準誤為：

例4：用2種不同的飼料喂養(yǎng)3個不同品種的鯉魚，得增重結(jié)果如下，試對資料作方差分析。解：（1）提出假設(shè)A因素：

H0：HA：3個均數(shù)不全相等B因素：

H0：HA：2個均數(shù)不相等（2）計算F值變異來源dfSSMSFF0.05F0.01品種A20.05660.02832.343.556.01飼料B10.18020.180214.894.418.29A×B20.35990.180014.883.556.01誤差180.21800.0121總變異230.8147（3）查表，推斷****（4）多重比較極距23456q0.052.973.614.004.284.49q0.014.074.705.055.385.60LSR0.050.160.200.220.230.2