2023-2024學(xué)年九年級數(shù)學(xué)下冊常見幾何模型全歸納之模型解讀與提分精練（浙教版）專題09 圓中的重要模型之定角定高（探照燈）模型、米勒最大角模型（原卷版）

專題09圓中的重要模型之定角定高（探照燈）模型、米勒最大角模型圓在中考數(shù)學(xué)幾何模塊中占據(jù)著重要地位，也是學(xué)生必須掌握的一塊內(nèi)容，本專題就圓形中的重要模型（米勒最大視角（張角）模型、定角定高（探照燈）模型）進(jìn)行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。近幾年一些中考幾何問題涉及了“最大視角”與“定角定高”模型，問題往往以動點(diǎn)為背景，與最值相結(jié)合，綜合性較強(qiáng)，解析難度較大，學(xué)生難以找到問題的切入點(diǎn)，不能合理構(gòu)造輔助圓來求解。實(shí)際上，這樣的問題中隱含了幾何的“最大視角”與“定角定高”模型，需要對其中的動點(diǎn)軌跡加以剖析，借助圓的特性來探究最值情形。而軌跡問題是近些年中考壓軸題的熱點(diǎn)和難點(diǎn)，既可以與最值結(jié)合考查，也可以與軌跡長結(jié)合考查，綜合性較強(qiáng)、難度較大。模型1.米勒最大張角（視角）模型【模型解讀】已知點(diǎn)A，B是∠MON的邊ON上的兩個定點(diǎn)，點(diǎn)C是邊OM上的動點(diǎn)，則當(dāng)C在何處時，∠ACB最大？對米勒問題在初中最值的考察過程中，也成為最大張角或最大視角問題。米勒定理：已知點(diǎn)AB是∠MON的邊ON上的兩個定點(diǎn)，點(diǎn)C是邊OM上的一動點(diǎn)，則當(dāng)且僅當(dāng)三角形ABC的外圓與邊OM相切于點(diǎn)C時，∠ACB最大?！灸Ｐ妥C明】如圖1，設(shè)C’是邊OM上不同于點(diǎn)C的任意一點(diǎn)，連結(jié)A，B，因?yàn)椤螦C’B是圓外角，∠ACB是圓周角，易證∠AC’B小于∠ACB，故∠ACB最大。在三角形AC’D中， 又【解題關(guān)鍵】常常以解析幾何、平面幾何和實(shí)際應(yīng)用為背景進(jìn)行考查。若能從題設(shè)中挖出隱含其中的米勒問題模型，并能直接運(yùn)用米勒定理解題，這將會突破思維瓶頸、大大減少運(yùn)算量、降低思維難度、縮短解題長度，從而使問題順利解決。否則這類問題將成為考生的一道難題甚至一籌莫展，即使解出也費(fèi)時化力。例1．（2023·浙江金華·統(tǒng)考中考真題）足球射門，不考慮其他因素，僅考慮射點(diǎn)到球門AB的張角大小時，張角越大，射門越好．如圖的正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B，C，D，E均在格點(diǎn)上，球員帶球沿CD方向進(jìn)攻，最好的射點(diǎn)在（

）A．點(diǎn)CB．點(diǎn)D或點(diǎn)EC．線段DE(異于端點(diǎn))上一點(diǎn)D．線段CD(異于端點(diǎn))上一點(diǎn)例2．（2023·廣東廣州·?？级＃┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，y軸的正半軸（坐標(biāo)原點(diǎn)除外）上兩點(diǎn)、，C為x軸的正半軸（坐標(biāo)原點(diǎn)除外）上一動點(diǎn)．當(dāng)取最大值時，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為（

）

A．5 B．2 C．21 D．例3．（2023·廣東·九年級專題練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊CD，BC上的動點(diǎn)，且∠AFE＝90°，（1）證明：△ABF∽△FCE；（2）當(dāng)DE取何值時，∠AED最大．例4．（2022春·浙江金華·九年級?？奸_學(xué)考試）足球射門時，在不考慮其他因素的條件下，射點(diǎn)到球門AB的張角越大，射門越好．當(dāng)張角達(dá)到最大值時，我們稱該射點(diǎn)為最佳射門點(diǎn)．通過研究發(fā)現(xiàn)，如圖1所示，一學(xué)生帶球在直線CD上行進(jìn)時，當(dāng)存在一點(diǎn)Q，使得∠CQA=∠ABQ（此時也有∠DQB=∠QAB）時，恰好能使球門AB的張角∠AQB達(dá)到最大值，故可以稱點(diǎn)Q為直線CD上的最佳射門點(diǎn)．如圖2所示，是一個矩形形狀的足球場，AB為球門一部分，CD⊥AB于點(diǎn)，AB=6米，BD=2米．某球員沿CD向球門AB進(jìn)攻，設(shè)最佳射門點(diǎn)為點(diǎn)Q．（1）tan∠AQB=_____．（2）已知對方守門員伸開雙臂后，成功防守的范圍為米，若此時守門員站在張角∠AQB內(nèi)，雙臂張開MN垂直于AQ進(jìn)行防守，為了確保防守成功，MN中點(diǎn)與AB的距離至少為___米．例5．（2023·山西·九年級期中）如圖，是坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)的拋物線與軸的另一個交點(diǎn)為，與軸交于點(diǎn)，其頂點(diǎn)為.（1）求的值.（2）連結(jié)、，動點(diǎn)的坐標(biāo)為.①當(dāng)四邊形是平行四邊形時，求的值；②連結(jié)、，當(dāng)取最大值時，求出此時點(diǎn)的坐標(biāo).

模型2.定角定高模型（探照燈模型）定角定高模型：如圖，直線BC外一點(diǎn)A，A到直線BC距離為定值（定高），∠BAC為定角，則AD有最小值，即△ABC的面積有最小值。因?yàn)槠湫蜗裉秸諢?，所以也叫探照燈模型。。條件：在△ABC中，∠BAC=（定角），AD是BC邊上的高，且AD=h（定高）。結(jié)論：當(dāng)△ABC是等腰三角形（AB=AC）時，BC的長最??；△ABC的面積最??；△ABC的周長最小。證明思路：如圖，作△ABC的外接圓，連接OA，OB，OC，過點(diǎn)O作OE⊥BC于點(diǎn)E，設(shè)的半徑為r，則∠BOE=∠BAC=；∴BC=2BE=2OBsin=2rsin?！逴A+OE≥AD（當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)A，O，E三點(diǎn)共線時,等號成立），∴r+rcosa≥h，.當(dāng)取等號時r有最小值，此時BC的長最小:2rsin；△ABC的面積最小:ADrsin；△ABC的周長最小:2rsin+ADrsin。例1．（2023·陜西西安·?？家荒＃┤鐖D，已知在四邊形ABCD中，∠ABC＝60°，連接AC、BD交于點(diǎn)E，EC＝2AE＝4，若BE＝2ED，則BD的最大值為．

例2．（2023·陜西西安·?？级＃┤鐖D，在四邊形ABCD中，AB＝AD＝CD＝4，AD∥BC，∠B＝60°，點(diǎn)E、F分別為邊BC、CD上的兩個動點(diǎn)，且∠EAF＝60°，則△AEF的面積的最小值是．例3．（2023·江蘇鹽城·八年級校考期末）（1）問題提出：如圖①，已知線段AB，請以AB為斜邊，在圖中畫出一個直角三角形；（2）如圖②，已知點(diǎn)A是直線l外一點(diǎn)，點(diǎn)B、C均在直線l上，AD⊥l且AD=4，∠BAC=60°，求△ABC面積的最小值；（3）問題解決：如圖③，某園林單位要設(shè)計(jì)把四邊形花園劃分為幾個區(qū)域種植不同花草，在四邊形ABCD中，∠A=45°，∠B=∠D=90°，CB=CD=m，點(diǎn)E、F分別為AB、AD上的點(diǎn)，若保持CE⊥CF，那么四邊形AECF的面積是否存在最大值？若存在，請求出面積的最大值；若不存在，請說明理由．例4．（2023·廣東·?？家荒＃﹩栴}提出：（1）如圖①，已知在邊長為10的等邊△ABC中，點(diǎn)D在邊BC上，BD＝6，連接AD，則△ACD的面積為；問題探究：（2）如圖②，已知在邊長為6的正方形ABCD中，點(diǎn)E在邊BC上，點(diǎn)F在邊CD上，且∠EAF＝45°．若EF＝5，求△AEF的面積；問題解決：（3）如圖③是某座城市延康大道的一部分，因自來水搶修需在AB＝4米，AD＝6米的矩形ABCD區(qū)域內(nèi)開挖一個△AEF的工作面，其中E、F分別在BC、CD邊上（不與B、C、D重合），且∠EAF＝45°，為了減少對該路段的擁堵影響，要求△AEF面積最小，那么是否存在一個面積最小的△AEF？若存在，請求出△AEF面積的最小值；若不存在，請說明理由．例5．（2023·陜西咸陽·統(tǒng)考二模）【問題初探】：（1）如圖①，在中，點(diǎn)、分別在邊、上，連接，∥，．若，則的長為______；【問題深入】：（2）如圖②，在扇形中，點(diǎn)是上一動點(diǎn)，連接，，，，求四邊形的面積的最大值；【拓展應(yīng)用】：（3）為進(jìn)一步促進(jìn)西安市文化和旅游高質(zhì)量發(fā)展，推動全市文明旅游創(chuàng)建工作，結(jié)合年陜西省文明旅游示范單位申報工作，一并開展年西安市文明旅游示范單位評選工作某地為參加評選積極改善環(huán)境，擬建一個四邊形休閑廣場，其大致示意圖如圖③所示，其中∥，米．點(diǎn)處設(shè)立一個自動售貨機(jī)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，，與交于點(diǎn)，連接，沿修建一條石子小路（寬度不計(jì)），將和進(jìn)行綠化．根據(jù)設(shè)計(jì)要求，．為倡導(dǎo)綠色新風(fēng)尚，現(xiàn)要使綠化的面積盡可能的大，請問和的面積之和是否存在最大值？若存在，請求出和面積之和的最大值；若不存在，請說明理由．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023·四川自貢·統(tǒng)考中考真題）如圖，分別經(jīng)過原點(diǎn)和點(diǎn)的動直線，夾角，點(diǎn)是中點(diǎn)，連接，則的最大值是（

）

A． B． C． D．2．（2023·安徽合肥·統(tǒng)考一模）如圖，A、B表示足球門邊框（不考慮球門的高度）的兩個端點(diǎn)，點(diǎn)C表示射門點(diǎn)，連接AC、BC，則∠ACB就是射門角，在不考慮其它因素的情況下，一般射門角越大，射門進(jìn)球的可能性就越大，球員甲帶球線路ED與球門AB垂直，D為垂足，點(diǎn)C在ED上，當(dāng)∠ACB最大時就是帶球線路ED上的最佳射門角，若AB=4，BD=1，則當(dāng)球員甲在此次帶球中獲得最佳射門角時DC的長度為（

）A．2 B．3 C． D．3．（2022上·江蘇南通·九年級統(tǒng)考期中）矩形ABCD的對角線BD=4，DE⊥AC于點(diǎn)E，則當(dāng)∠DBE最大時，BE的長度為（）A． B． C． D．24．（2022上·江蘇南京·九年級?？计谀┢矫嬷苯亲鴺?biāo)系內(nèi)，已知點(diǎn)，，．當(dāng)時，若最大，則t的值為（

）A． B． C． D．5．（2023·江蘇無錫·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在矩形ABCD中，CD是⊙O直徑，E是BC的中點(diǎn)，P是直線AE上任意一點(diǎn)，AB＝4，BC＝6，PM、PN相切于點(diǎn)M、N，當(dāng)∠MPN最大時，PM的長為．6．（2023·重慶·九年級專題練習(xí)）已知點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是（0，1）、（0，3），點(diǎn)C為x軸正半軸上一動點(diǎn)，當(dāng)∠ACB最大時，點(diǎn)C的坐標(biāo)是．7．（2023·河南鶴壁·九年級校考期中）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，點(diǎn)D是線段BC上一動點(diǎn)，連結(jié)AD，以AD為邊作△ADE，使△ADE∽△ABC，則△ADE的最小面積等于．7.（2023浙江·九年級?？计谥校榱擞有履甑牡絹砟呈信e辦了迎新年大型燈光秀表演。其中一個鐳射燈距地面30米，鐳射燈發(fā)出的兩根彩色光線夾角為60°，如圖：若將兩根光線(AB、AC)和光線與地面的兩交點(diǎn)的連接的線段(BC)看作一個三角形，記為△ABC，三角形面積的最小值為_______平方米，其周長最小值為_______米。8.（2023·重慶·九年級校考期中）如圖，正方形ABCD邊長為4，E、F分別是邊BC、CD上的動點(diǎn)，則△AEF面積的最小值為________.9．（2023·陜西西安·?？级＃┤鐖D，已知四邊形ABCD中，∠BCD＝60°，連接AC、BD交于點(diǎn)E，BE＝2ED＝4．若CE＝2AE，求AC的最大值10．（2023上·江蘇泰州·九年級統(tǒng)考期末）【生活問題】2022年卡塔爾世界杯比賽中，某球員P帶球沿直線接近球門，他在哪里射門時射門角度最大？【操作感知】小米和小勒在研究球員P對球門的張角時，在上取一點(diǎn)Q，過A、B、Q三點(diǎn)作圓，發(fā)現(xiàn)直線與該圓相交或相切．如果直線與該圓相交，如圖1，那么球員P由M向N的運(yùn)動過程中，的大小______：（填序號）①逐漸變大；②逐漸變??；③先變大后變??；④先變小后變大【猜想驗(yàn)證】小米和小勒進(jìn)一步探究發(fā)現(xiàn)，如果直線與該圓相切于點(diǎn)Q，那么球員P運(yùn)動到切點(diǎn)Q時最大，如圖2，試證明他們的發(fā)現(xiàn)．【實(shí)際應(yīng)用】如圖3，某球員P沿垂直于方向的路線帶球，請用尺規(guī)作圖在上找出球員P的位置，使最大．（不寫作法，保留作圖痕跡）11．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考二模）課本呈現(xiàn)：如圖1，在射門游戲中，球員射中球門的難易程度與他所處的位置對球門的張角（）有關(guān)．當(dāng)球員在，處射門時，則有張角．某數(shù)學(xué)小組由此得到啟發(fā)，探究當(dāng)球員在球門同側(cè)的直線射門時的最大張角．問題探究：（1）如圖2，小明探究發(fā)現(xiàn)，若過、兩點(diǎn)的動圓與直線相交于點(diǎn)、，當(dāng)球員在處射門時，則有．小明證明過程如下：設(shè)直線交圓于點(diǎn)，連接，則∵_(dá)__________∴___________∴（2）如圖3，小紅繼續(xù)探究發(fā)現(xiàn)，若過、兩點(diǎn)的動圓與直線相切于點(diǎn)，當(dāng)球員在處射門時，則有，你同意嗎？請你說明理由．問題應(yīng)用：如圖4，若，米，是中點(diǎn)，球員在射線上的點(diǎn)射門時的最大張角為，則的長度為___________米．問題遷移：如圖5，在射門游戲中球門，是球場邊線，，是直角，．若球員沿帶球前進(jìn)，記足球所在的位置為點(diǎn)，求的最大度數(shù)．（參考數(shù)據(jù)：，，，，．）12．（2023上·江蘇南通·九年級統(tǒng)考期中）（1）如圖1，在足球比賽場上，甲帶球奔向?qū)Ψ角蜷T，當(dāng)他帶球沖到A點(diǎn)時，同伴乙已沖到B點(diǎn)，甲是自己射門好，還是將球傳給乙，讓乙射門好？對上面這個問題，小明結(jié)合圖1判斷甲的視角小于乙的視角，根據(jù)“僅從射門角度考慮，球員對球門的視角越大，足球越容易被踢進(jìn)”的經(jīng)驗(yàn)，認(rèn)為甲應(yīng)該將球傳給乙．請結(jié)合圖1給出小明得到的理由；（2）德國數(shù)學(xué)家米勒曾提出最大視角問題，并得到這樣的結(jié)論：如圖2，點(diǎn)A，B是平面內(nèi)兩個定點(diǎn)，C是直線l上的一個動點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)耐饨訄A與l相切于點(diǎn)C時，最大．如圖3，，點(diǎn)A，B是邊上兩點(diǎn)，，點(diǎn)C是邊上一動點(diǎn)．①若最大為，請求出當(dāng)時，的長；②若最大不超過，直接寫出的取值范圍．

13．（2022上·湖北襄陽·九年級校聯(lián)考自主招生）（1）如圖1，是圓O的直徑，，過點(diǎn)T任作一條割線，求證：；（2）如圖2，直線，，當(dāng)為多長時，最大？

14．（2023·福建泉州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)E是邊上的動點(diǎn)，將沿折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，連結(jié)，．(1)當(dāng)E點(diǎn)是的中點(diǎn)時，求證：；(2)若，求證：B、F、D三點(diǎn)在同一直線上；(3)當(dāng)?shù)慕嵌茸畲髸r，求線段的長．

15．（2023·四川遂寧·射洪中學(xué)?？家荒＃┮阎獟佄锞€與軸交于，兩點(diǎn)．

(1)求拋物線的函數(shù)解析式；(2)如圖1，M是拋物線頂點(diǎn)，點(diǎn)P在拋物線上，若直線經(jīng)過外接圓的圓心，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；(3)如圖2，點(diǎn)N是第一象限內(nèi)拋物線上的一動點(diǎn)，連接分別交、y軸于D、E兩點(diǎn)，若、的面積分別為，求的最大值；(4)點(diǎn)Q是拋物線對稱軸上一動點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹底畲髸r，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：．（直接填空）16．（2023·山西晉城·校聯(lián)考模擬預(yù)測）最佳視點(diǎn)如圖1，設(shè)墻壁上的展品最高處點(diǎn)P距底面a米，最低處的點(diǎn)Q距底面b米，站在何處觀賞最理想？所謂觀賞理想是指看展品的視角最大，問題轉(zhuǎn)化為在水平視線EF上求使視角最大的點(diǎn)．如圖2，當(dāng)過三點(diǎn)的圓與過點(diǎn)E的水平線相切于點(diǎn)E時，視角最大，站在此處觀賞最理想，小明同學(xué)想這是為什么呢？他在過點(diǎn)E的水平線上任取異于點(diǎn)E的點(diǎn)，連接交于點(diǎn)F，連接，…

任務(wù)一：請按照小明的思路，說明在點(diǎn)E時視角最大；任務(wù)二：若，觀察者的眼睛距地面的距離為米，最大視角為，求觀察者應(yīng)該站在距離多遠(yuǎn)的地方最理想(結(jié)果精確到米，參考數(shù)據(jù))．17．（2023·廣東深圳·深圳市高級中學(xué)校考二模）【定義1】如圖1所示，像這樣頂點(diǎn)在圓外，兩邊和圓相交的角叫圓外角；【定義2】站在某一位置觀察測物體時，視線范圍所成的角度稱為視角，如圖2，在M和N點(diǎn)對矩形觀測，會有不同的視角．(1)【判斷】如圖3，連接，_____．（，，）(2)【問題解決】如圖4，在平面直角坐標(biāo)系中，，，直線，P為直線l上一點(diǎn)，連接，求的最大值．(3)【拓展應(yīng)用】學(xué)校計(jì)劃組織學(xué)生春游，一條北偏東走向的路上經(jīng)過紫色大廈時，小明發(fā)現(xiàn)在觀察紫色大廈時的最大視角為，小明認(rèn)為，可以通過將公路和建筑物放在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，可以計(jì)算出此時公路距離紫色大廈的最近距離的長度．請你協(xié)助小明完成計(jì)算，直接寫出答案．

18．（2023·廣東深圳·?？既＃締栴}發(fā)現(xiàn)】船在航行過程中，船長常常通過測定角度來確定是否會遇到暗礁．如圖1，A，B表示燈塔，暗礁分布在經(jīng)過A，B兩點(diǎn)的一個圓形區(qū)域內(nèi)，優(yōu)弧上任一點(diǎn)C都是有觸礁危險的臨界點(diǎn)，就是“危險角”．當(dāng)船P位于安全區(qū)域時，它與兩個燈塔的夾角與“危險角”有怎樣的大小關(guān)系？

【解決問題】(1)數(shù)學(xué)小組用已學(xué)知識判斷與“危險角”的大小關(guān)系，步驟如下：如圖2，與相交于點(diǎn)D，連接，由同弧或等弧所對的圓周角相等，可知，∵是的外角，∴（填“＞”，“＝”或“＜”），∴（填“＞”，“＝”或“＜”）；【問題探究】(2)如圖3，已知線段與直線l，在直線l上取一點(diǎn)P，過A、B兩點(diǎn)，作使其與直線l相切，切點(diǎn)為P，不妨在直線上另外任取一點(diǎn)Q，連接，請你判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；