2024年七年級數(shù)學寒假提升學與練（滬教版）專題04立方根和開立方、n次方根（2大考點+6種題型）（原卷版）

專題04立方根和開立方、n次方根（2大考點+6種題型）思維導圖核心考點與題型分類聚焦考點一、開立方考點二、開次方題型一：立方根概念理解題型二：求一個數(shù)的立方根題型三：已知一個數(shù)的立方根，求這個數(shù)題型四：立方根的實際應用題型五：算術平方根和立方根的綜合應用題型六：n次方根考點一、開立方1、定義：求一個數(shù)的立方根的運算叫做開立方．2、如果一個數(shù)的立方等于，那么這個數(shù)叫做的立方根，用“”表示，讀作“三次根號”，中的叫做被開方數(shù)，“3”叫做根指數(shù)．★注意：任意一個實數(shù)都有立方根，而且只有一個立方根；負數(shù)有立方根；零的立方根是0；一個數(shù)的立方根是它本身，則這個數(shù)是0，1和-1．考點二、次方根1、求一個數(shù)的次方根的運算叫做開次方．叫做被開方數(shù)，叫做根指數(shù)．如果一個數(shù)的次方（是大于1的整數(shù)）等于，那么這個數(shù)叫做的次方根．當為奇數(shù)時，這個數(shù)為的奇次方根；當為偶數(shù)時，這個數(shù)為的偶次方根．★注意：實數(shù)的奇次方根有且只有一個，用“”表示．其中被開方數(shù)是任意一個數(shù)，根指數(shù)是大于1的奇數(shù)；正數(shù)的偶次方根有兩個，它們互為相反數(shù)，正次方根用“”表示，負次方根用“”表示．其中被開方數(shù)，根指數(shù)是正偶數(shù)（當時，在中省略）；負數(shù)的偶次方根不存在；零的次方根等于零，表示為．題型一：立方根概念理解【例1】．（2024下·全國·七年級假期作業(yè)）給出下列四個說法：①一個數(shù)的平方等于1，那么這個數(shù)就是1；②4是8的算術平方根；③平方根等于它本身的數(shù)只有0；④8的立方根是．其中正確的是（

）A．①④ B．①②③C．②③ D．③【變式1】．（2023下·七年級課時練習）下列說法中，錯誤的是（

）A．8的立方根是±2 B．4的算術平方根是2C．的平方根是±3 D．立方根等于它本身的數(shù)是±1，0【變式2】．（2023上·河北滄州·七年級統(tǒng)考期中）如果一個數(shù)的立方等于它本身，那么這個數(shù)是（

）A．1 B． C．1或 D．1、或0題型二：求一個數(shù)的立方根【例2】．（2023上·浙江溫州·七年級校聯(lián)考期中）的立方根是（

）A． B． C． D．【變式1】．（2021下·上海徐匯·七年級?？计谥校┤绻敲矗咀兪?】．（2023上·浙江杭州·七年級?？计谥校┯嬎悖旱闹档扔冢咀兪?】．（2023下·上海靜安·七年級上海市回民中學校考期中）已知是正的平方根，是的立方根，求的立方根的值．【變式4】．（2023下·上海寶山·七年級?？茧A段練習）解方程：【變式5】．（2023下·上海寶山·七年級統(tǒng)考期末）計算：．題型三：已知一個數(shù)的立方根，求這個數(shù)【例3】．（2021下·上海寶山·七年級?？计谥校崝?shù)a的立方根是，則a＝．【變式1】．（2023下·上?！て吣昙墝ｎ}練習）4的平方根是；算術平方根是；是的立方根．【變式2】．（2023下·七年級單元測試）已知，則【變式3】．（2023下·上海浦東新·七年級?？计谀┤绻?，那么．【變式4】．（2021下·上海松江·七年級?？计谥校┙夥匠蹋?，則．題型四：立方根的實際應用【例4】．（2022下·上?！て吣昙墝ｎ}練習）填寫下表，并回答問題：a…0.0000010.001110001000000………（1）數(shù)a與它的立方根的小數(shù)點的移動有何規(guī)律？（2）根據(jù)這個規(guī)律，若已知，求a的值．【變式1】．（2021下·上海浦東新·七年級?？计谥校┮阎粋€正方體的棱長是，要再做一個正方體，使它的體積是原正方體的體積的倍，求新做的正方體的棱長．【變式2】．（2022下·上海·七年級專題練習）【閱讀材料】數(shù)學家華羅庚在一次出國訪問途中，看到飛機上鄰座的乘客閱讀的雜志上有一道智力題：求59319的立方根．華羅庚脫口而出：“39”．鄰座的乘客十分驚奇，忙間其中計算的奧妙．你知道怎樣迅速準確的計算出結果嗎？請你按下面的步驟試一試：第一步：∵，，，∴．∴能確定59319的立方根是個兩位數(shù)．第二步：∵59319的個位數(shù)是9，∴能確定59319的立方根的個位數(shù)是9．第三步：如果劃去59319后面的三位319得到數(shù)59，而，則，可得，由此能確定59319的立方根的十位數(shù)是3，因此59319的立方根是39．【解答問題】根據(jù)上面材料，解答下面的問題（1）求110592的立方根，寫出步驟．（2）填空：__________．題型五：算術平方根和立方根的綜合應用【例5】．（2021下·上?！て吣昙壭？计谥校┣笾担海咀兪?】．（2023下·七年級單元測試）若的算術平方根是7，則的立方根是．【變式2】．（2022上·上?！て吣昙墝ｎ}練習）已知4a+7的立方根是3，2a+2b+2的算術平方根是4(1)求a，b的值．(2)求6a+3b的平方根．【變式3】．（2022下·上?！て吣昙壠谥校╅喿x下列解題過程，并按要求填空：已知：＝1，＝﹣1，求的值．解：根據(jù)算術平方根的意義，由＝1，得（2x﹣y）2＝1，2x﹣y＝1第一步根據(jù)立方根的意義，由＝﹣1，得x﹣2y＝﹣1…第二步由①、②，得，解得…第三步把x、y的值分別代入分式中，得＝0

…第四步以上解題過程中有兩處錯誤，一處是第步，忽略了；一處是第步，忽略了；正確的結論是（直接寫出答案）．【變式4】．（2022上·上?！て吣昙墝ｎ}練習）觀察下列各式，并用所得出的規(guī)律解決問題：（1），，，……，，，……由此可見，被開方數(shù)的小數(shù)點每向右移動______位，其算術平方根的小數(shù)點向______移動______位．（2）已知，，則_____；______．（3），，，……小數(shù)點的變化規(guī)律是_______________________．（4）已知，，則______．題型六：n次方根【例6】．（2022下·上?！て吣昙墝ｎ}練習）表示的含義是（

）A．a(chǎn)的正的n次方根 B．a(chǎn)的n次方根C．當時，表示a的正的n次方根 D．當時，且n為奇數(shù)時，表示a的n次方根【變式1】．（2022下·上海·七年級專題練習）16的四次方根是（

）A．2 B．-2 C． D．【變式2】．（2022下·上海·七年級專題練習）的6次方根是（

）A．2 B．-2 C． D．【變式3】．（2022下·上?！て吣昙墝ｎ}練習）計算：（

）A．8 B．-8 C．2 D．-2【變式4】．（2023下·上海奉賢·七年級?？计谥校┮阎?，則實數(shù)．【變式5】．（2023下·上海嘉定·七年級?？茧A段練習）已知與是同一個正數(shù)x的兩個不同的平方根．(1)求字母m的值；(2)求x的四次方根．【變式6】．（2022下·上海閔行·七年級上海市七寶中學?？计谥校┮阎?，求的n次方根（n為大于1的整數(shù)）一、單選題1．（2022下·上?！て吣昙墝ｎ}練習）下列運算中，正確的是（

）A．＝a﹣b B．C．﹣＝a﹣b D．＝a+b2．（2022下·上海·七年級專題練習）下列各式正確的是（

）A．=a B．a(chǎn)0=1 C．=-4 D．=-53．（2022下·上?！て吣昙墝ｎ}練習）如果，那么y=（

）A．3 B．-3 C． D．4．（2023上·浙江溫州·七年級?？计谥校┑牧⒎礁牵?/p>

）A． B．3 C． D．5．（2023上·浙江寧波·七年級寧波市第七中學?？计谥校┤鐖D為洪濤同學的小測卷，他的得分應是（

）A．25分 B．50分 C．75分 D．100分6．（2023上·山東濟南·七年級校考階段練習）若，則的值為（

）A． B．0 C．或2 D．或二、填空題7．（2023上·黑龍江綏化·七年級校考期中）若一個數(shù)的算術平方根和立方根都等于它本身，則這個數(shù)一定是．8．（2024下·全國·七年級假期作業(yè)）如果是的算術平方根，是的立方根，那么．9．（2023上·浙江紹興·七年級校聯(lián)考期中）已知一個正方體的體積是1000，現(xiàn)在要在它的8個角上分別截去1個大小相同的小正方體，截去后余下部分的體積488，則截去的每小正方體的棱長是cm．10．（2023上·浙江紹興·七年級新昌縣七星中學校考期中）已知一個正數(shù)的兩個平方根分別是和，則a的立方根是．11．（2023上·浙江溫州·七年級?？计谥校┤?，則．12．（2023上·浙江杭州·七年級統(tǒng)考期中）如果x是9的平方根，y是的立方根，則．13．（2023上·黑龍江哈爾濱·七年級哈爾濱市第四十七中學?？茧A段練習）已知，的立方根.14．（2023上·浙江嘉興·七年級校聯(lián)考階段練習）已知的立方根是3，的算術平方根是4．則，．15．（2023上·山東淄博·七年級淄博市淄川實驗中學?？茧A段練習）的立方根是，的平方根是．16．（2024下·全國·七年級假期作業(yè)）已知的平方根是，且4，則的值為．17．（2023下·七年級課時練習）對于實數(shù)a，b，定義min{a，b}的含義為：當a＜b時，min{a，b}＝a．例如：min{1，－2}＝－2．已知，，且a和b為兩個連續(xù)正整數(shù)，則a－2b的立方根為．18．計算：．三、解答題19．（2023下·七年級課時練習）求下列各式的值：(1)；(2)；(3)．20．（2023下·遼寧營口·七年級統(tǒng)考期中）求x的值：(1)；(2)．21．（2024下·全國·七年級假期作業(yè)）已知與互為相反數(shù)，求的立方根．22．（2023下·七年級課時練習）已知是m＋3的算術平方根，B＝是n－2的立方根，求A，B的值．23．（2023下·七年級課時練習）如果是a－3b的算術平方根，是的立方根，求2a－3b的立方根．24．（2024下·全國·七年級假期作業(yè)）（1）已知的平方根是，的平方根是，求的平方根；（2）已知a，b都是有理數(shù)，且，求的平方根．25．（2023上·黑龍江哈爾濱·七年級校聯(lián)考期中）閱讀與探究本學期我們在《實數(shù)》中，學習了平方根和立方根，下表是平方根和立方根的部分內(nèi)容．平方根立方根定義一般地，如果一個數(shù)的平方等于，那么這個數(shù)叫做的平方根或二次方根．這就是說，如果，那么x叫做的平方根．一般地，如果一個數(shù)的立方等于，那么這個數(shù)叫做的立方根或三次方根這就是說，如果，那么叫做的立方根．運算求一個數(shù)的平方根的運算，叫做開平方．開平方與平方互為逆運算．求一個數(shù)的立方根的運算，叫做開立方．開立方與立方互為逆運算．性質(zhì)正數(shù)有兩個平方根，他們互為相反數(shù)；的平方根是；負數(shù)沒有平方根．正數(shù)的立方根是正數(shù)；的立方根是；負數(shù)的立方根是負數(shù)．表示方法正數(shù)的平方根可以用“”表示，讀作“正負根號”一個數(shù)的立方根可以用“”表示，讀作“三次根號”．今天我們類比平方根和立方根的學習方法學習四次方根．(1)探究定義：類比平方根和立方根的定義，給四次方根下定義：．(2)探究性質(zhì)：①的四次方根是；的四次方根是；（填“有”或“沒有”）四次方根．②類比平方根和立方根的性質(zhì)，歸納四次方根的性質(zhì)：．26．（2024下·全國·七年級假期作業(yè)）七年級數(shù)學興趣小組在學校的“數(shù)學長廊”中展示了他們小組探究發(fā)現(xiàn)的結果，內(nèi)容如