2024年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點幫（上海專用）專題13 特殊的四邊形（講義）（原卷版）

專題13特殊的四邊形核心知識點精講1.會識別矩形、菱形、正方形以及梯形；2.掌握矩形、菱形、正方形的概念、判定和性質(zhì)，會用矩形、菱形、正方形的性質(zhì)和判定解決問題．3.掌握梯形的概念以及了解等腰梯形、直角梯形的性質(zhì)和判定，會用性質(zhì)和判定解決實際問題．【知識網(wǎng)絡(luò)】考點一、幾種特殊四邊形性質(zhì)、判定四邊形性質(zhì)判定邊角對角線矩形對邊平行且相等四個角是直角相等且互相平分1、有一個角是直角的平行四邊形是矩形；2、有三個角是直角的四邊形是矩形；3、對角線相等的平行四邊形是矩形中心、軸對稱圖形菱形四條邊相等對角相等，鄰角互補垂直且互相平分，每一條對角線平分一組對角1、有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；2、四條邊都相等的四邊形是菱形；3、對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.中心、軸對稱圖形正方形四條邊相等四個角是直角相等、垂直、平分，并且每一條對角線平分一組對角1、鄰邊相等的矩形是正方形2、對角線垂直的矩形是正方形3、有一個角是直角的菱形是正方形4、對角線相等的菱形是正方形中心、軸對稱圖形等腰梯形兩底平行，兩腰相等同一底上的兩個角相等相等1、兩腰相等的梯形是等腰梯形；2、在同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形；3、對角線相等的梯形是等腰梯形.軸對稱圖形【要點詮釋】矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四邊形，它們具有平行四邊形的一切性質(zhì).考點二、梯形1．解決梯形問題常用的方法：（1）“平移腰”：把梯形分成一個平行四邊形和一個三角形（圖1）；（2）“作高”：使兩腰在兩個直角三角形中（圖2）；（3）“平移對角線”：使兩條對角線在同一個三角形中（圖3）；（4）“延腰”：構(gòu)造具有公共角的兩個三角形（圖4）；（5）“等積變形”，連結(jié)梯形上底一端點和另一腰中點，并延長與下底延長線交于一點，構(gòu)成三角形（圖5）．

圖1圖2圖3圖4圖5

【要點詮釋】解決梯形問題的基本思想和方法就是通過添加適當(dāng)?shù)妮o助線，把梯形問題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)熟悉的平行四邊形和三角形問題來解決．在學(xué)習(xí)時注意它們的作用，掌握這些輔助線的使用對于學(xué)好梯形內(nèi)容很有幫助．2.特殊的梯形1）等腰梯形：兩腰相等的梯形叫做等腰梯形．性質(zhì)：（1）等腰梯形的同一底邊上的兩個角相等；等腰梯形的兩條對角線相等．（2）同一底邊上的兩個角相等的梯形是等腰梯形．（3）等腰梯形是軸對稱圖形，它的對稱軸是經(jīng)過兩底中點的一條直線．2）直角梯形：有一個角是直角的梯形叫做直角梯形．考點三、中點四邊形相關(guān)問題中點四邊形的概念：把依次連接任意一個四邊形各邊中點所得的四邊形叫做中點四邊形．若中點四邊形為矩形，則原四邊形滿足條件對角線互相垂直；若中點四邊形為菱形，則原四邊形滿足條件對角線相等；若中點四邊形為正方形，則原四邊形滿足條件對角線互相垂直且相等．【要點詮釋】中點四邊形的形狀由原四邊形的對角線的位置和數(shù)量關(guān)系決定．【題型1：矩形的應(yīng)用】【典例1】如圖，把一長方形紙片ABCD的一角沿AE折疊，點D的對應(yīng)點落在內(nèi)部．若，且，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．1．如圖，矩形紙片中，，．現(xiàn)將其沿對折，使得點在邊上的點處，折痕與邊交于點，則的長為（

）A． B． C． D．2．如圖，現(xiàn)有一張矩形紙片，其中，點E是的中點．將紙片沿直線折疊，使點B落在點，則，C兩點之間的距離是（

）A． B． C． D．3．如圖，在中，，，連接，相交于點，為的中點，若，則四邊形的面積為（

）A． B． C． D．4．如圖，在菱形中，，的垂直平分線交對角線于點F，E為垂足，連接，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【題型2：菱形的應(yīng)用】【典例2】已知如圖，菱形中，對角線與相交于點O，于E，交于點F，若，則一定等于（

）A． B． C． D．1．如圖，菱形中，，，，，垂足分別為E、F．則的周長是（

）

A． B． C． D．2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形的邊在軸上，固定點，把菱形沿箭頭方向推，使點落在軸正半軸上點處，若，，則點的坐標(biāo)為（

）

A． B． C． D．3．如圖，四邊形是菱形，連接交于點O，過點A作，交于點E，若，則的長度是（

）A． B． C． D．4．如圖，菱形的對角線、相交于點O，過點D作于點E，連接，若，，則的長為（

）A． B．2 C． D．【題型3：正方形的應(yīng)用】【典例3】如圖，在邊長為8的正方形紙片中，E是邊上的一點，，連接，將正方形紙片折疊，使點D落在線段上的點G處，折痕為，則的長為（

）A．2 B．3 C．4 D．51．如圖，在正方形中，，點E，F(xiàn)分別在邊，上，，若將四邊形沿折疊，點恰好落在邊上，則的長度為（

）A．3 B．6 C． D．2．如圖，正方形中，，將沿對折至，延長交于點，剛好是邊的中點，則的長是（

）A．2 B．3 C．4 D．53．如圖，將一張邊長為6分米的正方形紙片對折，使與重合，折痕為，展開鋪平后在上找一點G，將該紙片沿著折疊，使點C恰好落在上，記為點，則的長為（）

A．5.5分米 B．分米C．分米 D．分米4．如圖，在正方形中，，點在邊上，且，將沿折疊至，延長交于點，連接，，則的面積為（

）A．2 B． C． D．【題型4：梯形的應(yīng)用】【典例4】如圖，等腰梯形ABCD內(nèi)接于半圓D，且AB＝1，BC＝2，則OA＝（）A． B． C． D．1．如圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=，BC=，∠B=45°．直角三角板含45度角的頂點E在邊BC上移動，一直角邊始終經(jīng)過點A，斜邊與CD交于點F．若△ABE為等腰三角形，則CF的長等于．2．如圖，梯形中，ABCD，，，于，且，那么梯形的周長為，面積為．3．如圖，在中，于點，分別為的中點．，則的周長是．1．如圖，在菱形中，，對角線，相交于點，以，為邊作矩形，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．2．河南省博物院鎮(zhèn)館之寶之一的云紋銅禁是由禁體和12條龍形附獸、12條龍形座獸組成．禁體從上面看為一個矩形（如圖2所示）．這個矩形的對角線與交于點O，則下列說法一定正確的是（

）A． B．矩形既是軸對稱圖形也是中心對稱圖形C． D．3．如圖，長方形中，，，點是邊上的動點，現(xiàn)將沿直線折疊，使點落在點處，則點到點的最短距離為（

）A．5 B．4 C．3 D．24．如圖，矩形的對角線與相交于點O，，，則等于（

）

A．4 B．5 C．10 D．81．如圖，已知點D，E，F(xiàn)分別是的中點，的周長為，則的周長是（

）A．6 B．7 C．8 D．2．在如圖所示的中，點D，E在邊AB上，的平分線于F，的平分線于H，若，，則的周長為（

）A．10 B．12 C．18 D．203．在中，已知點D、E、F分別是的中點，且，則（）．A． B． C． D．4．如圖，在中，平分，于點D，且，則的面積為（）A．4 B．5 C．6 D．85．如圖，是的中位線，點F是的中點，的延長線交于點G，若的面積為2，則的面積為（

）

A．18 B．16 C．14 D．12二、填空題6．如圖直角梯形中，，，，，，，則的面積為．

7．如圖，矩形紙片中，，，點、分別在、上，將、分別沿、翻折，翻折后點與點重合，點與點重合當(dāng)、、、四點在同一直線上時，線段長為．8．如圖，在一張矩形紙片中，點分別在上，將紙片沿直線折疊，點落在上的點處，點落在點處，連接，．若，則．9．如圖，為長方形紙片的邊上一點，將，分別沿，向上折疊，點落在點處，點恰好落在邊上的處，．下列說法：；；若平分，則；若，則．其中一定正確的結(jié)論有（填序號即可）．10．將一張長方形紙片按如圖所示方式折疊，、為折痕，點B、D折疊后的對應(yīng)點分別為、，若，則的度數(shù)為．11．如圖，矩形紙片的對角線，相交于點，，將矩形紙片翻折，使點恰好落在點處，折痕為，點在邊上，則的長為．

12．如圖，將一張矩形紙片折疊，折痕為，折疊后，的對應(yīng)邊經(jīng)過點A，的對應(yīng)邊交的延長線于點P．若，則的長為．13．如圖菱形的邊長為4，，將菱形沿折疊，頂點C恰好落在邊的中點G處，則．14．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形的邊在x軸的正半軸上，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過對角線的中點D和頂點C，則k的值為8，菱形OABC的面積為．15．如圖，在菱形中，對角線和的長分別是和，以為斜邊向菱形外作等腰直角三角形，連接，則的長是．16．如圖，矩形中，，，過對角線的中點的直線分別交，邊于點，.當(dāng)四邊形是菱形時，則的長為.17．如圖，在菱形中，，則菱形的高．

18．如圖，點A在雙曲線（，）上，點B在直線l：上，A與B關(guān)于x軸對稱，直線l與y軸交于點C，當(dāng)四邊形是菱形時，則k的值為．

19．如圖，在菱形中，點分別在邊上，，則的長為．20．已知，如圖，菱形的邊長為2，，將菱形繞頂點在平面內(nèi)順時針旋轉(zhuǎn)得到菱形，則旋轉(zhuǎn)后的圖形與原圖形重疊部分的面積為.

21．如圖，菱形的邊長為，，分別以點，為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于，兩點，直線交于點，連接，則的長為．

22．如圖，在矩形紙片中，，將矩形紙片折疊，使點與點重合，求折痕．

23．小賢家有一個中國結(jié)掛飾，他利用所學(xué)知識抽象出如圖所示的菱形，測得，．若過點O的直線交邊，于點E，F(xiàn)，則的長為cm．

三、解答題24．如圖1，已知為等邊三角形，點D和E分別是直線和邊上的動點，連接和相交于點F．(1)如圖1，點E為中點，點D為三等分點且，若，求；(2)如圖2，已知，點H為中點，連接交于點Q，連接并延長交于點M，若，探究之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由；25．如圖1所示：在中，點D、E分別是AB，AC的中點，(1)直接寫出DE與BC之間的關(guān)系：________________．理由：____________________________．(2)如圖2，點D、E、F分別是三邊中點，圖中有______個平行四邊形，求證：；(3)如圖3，點P、Q、R、S分別是四邊形ABCD的中點，問題1，圖中是否有平行四邊形，有請指出并證明你所指出的四邊形是平行四邊形．問題2、猜想四邊形ABCD和四邊形PQRS之間的面積關(guān)系．并證明你的猜想．1．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）如圖，菱形中，連接，若，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．2．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，．點F是中點，連接，把線段沿射線方向平移到，點D在上．則線段在平移過程中掃過區(qū)域形成的四邊形的周長和面積分別是(

)

A．16，6 B．18，18 C．16.12 D．12，163．（2023·甘肅蘭州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形中，點E為延長線上一點，F(xiàn)為的中點，以B為圓心，長為半徑的圓弧過與的交點G，連接．若，，則（

）

A．2 B．2.5 C．3 D．3.54．（2023·河北·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，點M是斜邊的中點，以為邊作正方形，若，則（

）

A． B． C．12 D．165．（2023·湖南常德·統(tǒng)考中考真題）如圖1，在正方形中，對角線相交于點O，E，F(xiàn)分別為，上的一點，且，連接．若，則的度數(shù)為(

)

A． B． C． D．6