預習07直線的交點坐標與距離公式（八大考點）（原卷版）

預習07直線的交點坐標與距離公式一、兩條直線的交點坐標1．兩條直線的交點坐標已知兩條直線相交，設這兩條直線的交點為，則點既在直線上，也在直線上．所以點的坐標既滿足直線的方程，也滿足直線的方程，即點的坐標是方程組的解，解這個方程組就可以得到這兩條直線的交點坐標．2．方程組解的組數(shù)與兩條直線的位置關系方程組的解一組無數(shù)組無解直線與的位置關系相交重合平行二、兩點間的距離公式如圖，由點，由此得到兩點間的距離公式，特別地，原點與任一點間的距離三、點到直線的距離公式點到直線的距離，可以驗證，當A=0，或B=0時，上述公式仍然成立．注意：點到幾種特殊直線的距離①點到與x軸平行的直線的距離，特別地，點到x軸的距離d=|y0|；②點到與y軸平行的直線的距離，特別地，點到y(tǒng)軸的距離.四、兩條平行直線間的距離1．兩條平行直線間的距離兩條平行直線間的距離是指夾在這兩條平行直線間的公垂線段的長．2．兩條平行直線間的距離公式一般地，兩條平行直線間的距離注意：當兩直線都與軸(或軸)垂直時，可利用數(shù)形結合來解決：①兩直線都與軸垂直時，則；②兩直線都與軸垂直時則.考點01 直線的交點問題【方法點撥】若求交點坐標，則聯(lián)立兩條直線方程；若已知交點坐標求參數(shù)，則將坐標代入直線方程【例1】若直線與直線的交點在第一象限，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【例2】（多選）下列選項中，正確的有（

）A．直線和的交點坐標為B．直線和的交點坐標為C．直線和交點坐標為D．直線和，兩兩相交【變式11】（多選）已知集合，集合，且，則（

）A． B． C． D．【變式12】（多選）若三條不同的直線能圍成一個三角形，則m的取值不可能為（

）A． B． C． D．1【變式13】兩直線和的交點為．考點02 三線圍成三角形問題【例3】（多選）已知三條直線，，能構成三角形，則實數(shù)m的取值可能為（

）A．2 B． C． D．【例4】已知兩點，，直線為線段AB的垂直平分線：直線：，求(1)直線的方程(2)直線與的交點坐標(3)直線，與坐標軸所圍成的三角形的面積【變式21】若三條直線與能圍成一個直角三角形，則．【變式22】直線l：y＝x＋1與y軸交于點A，將l繞點A旋轉15°得到直線l′，求l，l′與x軸圍成三角形的面積.【變式23】若，直線和直線與兩坐標軸圍成一個四邊形，則使這個四邊形面積最小的k值中．考點03 直線交點系方程及應用【方法點撥】先設出過兩直線交點的直線系方程，再結合條件利用待定系數(shù)法求出參數(shù)，最后確定直線方程．【例5】已知直線的方程是，則對任意的實數(shù)，直線一定經(jīng)過（

）.A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【例6】已知為任意實數(shù)，當變化時，方程表示什么圖形？圖形有何特點？【變式31】平面直角坐標系中，過直線與的交點，且在軸上截距為1的直線的方程為．（寫成一般式）【變式32】經(jīng)過點和兩直線；交點的直線方程為.【變式33】求經(jīng)過直線與的交點，且過點的直線方程.考點04 兩點間距離公式的應用【方法點撥】判斷三角形形狀：利用兩點間的距離公式求三邊長時，應從邊長間的關系入手．如果邊長相等，則可能是等腰或等邊三角形；如果滿足勾股定理，則是直角三角形．【例7】已知，，則兩點間的距離為.【例8】已知點，在y軸上求一點P，使，并求的值.【變式41】已知點，判斷的類型.【變式42】已知點，且，則直線AB的方程為（

）A．和 B．和C．和 D．和【變式43】已知三角形的頂點為，，.(1)求直線的方程；(2)若直線l過點B且與直線交于點E，，求直線l的方程.考點05 點到直線的距離公式應用【方法點撥】（1）應用點到直線的距離公式時，直線方程需是一般式．（2）對于與坐標軸平行(或重合)的直線或，求點到它們的距離時，可以直接利用或求解．【例9】點到直線的距離為（

）A．1 B．2 C． D．【例10】平面直角坐標系中，已知三個頂點的坐標分別為．(1)求邊上的高所在的直線方程；(2)求的面積．【變式51】點到直線的距離最大值是．【變式52】已知直線的傾斜角為，，且這條直線經(jīng)過點.(1)求直線的方程.(2)直線恒過定點，求點到直線的距離.【變式53】如圖，已知平行四邊形ABCD的三個頂點的坐標分別為，，.(1)求直線CD的方程；(2)求平行四邊形ABCD的面積.考點06 已知點到直線的距離求參數(shù)【方法點撥】已知點到直線的距離求參數(shù)或直線方程時，只需根據(jù)點到直線的距離公式列方程求解參數(shù)即可．【例11】點為y軸上一點，且點到直線的距離等于1，則點P的坐標為（

）A． B．C．或 D．或.【例12】已知，兩點到直線的距離相等，求a的值（

）A． B． C．或 D．或【變式61】若點到直線的距離為4，則（

）A．2 B．3 C．5 D．7【變式62】已知過點的直線，且點與點到直線l的距離相等，則直線的方程為（）A． B．C．或 D．或【變式63】到直線的距離不超過，則實數(shù)的取值范圍是.考點07 求兩條平行線間的距離【方法點撥】求兩條平行直線間的距離的兩種思路：（1）利用“化歸”思想將兩條平行直線間的距離轉化為求其中一條直線上任意一點到另一條直線的距離．由于這種求法與點的選擇無關，因此，選點時常選取一個特殊點，如直線與坐標軸的交點等，以便于運算；（2）利用兩條平行直線間的距離公式求解．【例13】兩平行直線和之間的距離為（

）A． B．2 C． D．3【例14】已知直線與直線互相平行，則它們之間的距離是.【變式71】直線與之間的距離相等，則直線的方程是.【變式72】若直線與直線平行，則直線與的距離為.【變式73】（多選）到直線的距離等于的直線方程可能為（）A． B．C． D．考點08 對稱問題【方法點撥】若點關于直線l的對稱點為，則．【例15】已知直線，點．求：(1)點關于直線的對稱點的坐標；(2)直線關于直線的對稱直線的方程；(3)直線關于點對稱的直線的方程．【例16】唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，詩中隱含著一個有趣的數(shù)學問題——“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標系中，設軍營所在的位置為，若將軍從山腳下的點處出發(fā)，河岸線所在直線方程為，則“將軍飲馬”的最短總路程為（

）A． B．3 C． D．5【變式81】已知直線與直線關于點對稱，則實數(shù)的值為（

）A．2 B．6 C． D．【變式82】已知點與點關于直線對稱，則的值為．【變式83】已知點在直線上，點，則當?shù)闹荛L取得最小值時，點的坐標為.一、單選題1．已知點，則的面積為（）A． B． C． D．2．已知點及直線上一點，則的值不可能是（

）A．1 B．2 C．3 D．43．經(jīng)過兩條直線和的交點，且垂直于直線的直線方程為（

）A． B．C． D．4．點到直線的距離最大時，直線的方程為（）A． B．C． D．5．設直線：，一束光線從原點出發(fā)沿射線向直線射出，經(jīng)反射后與軸交于點，再次經(jīng)軸反射后與軸交于點．若，則的值為（

）A． B． C． D．2二、多選題6．點、，過、的直線為，下列說法正確的有（

）A．若，則直線的方程為B．若，則直線的傾斜角為C．任意實數(shù)，都有D．存在兩個不同的實數(shù)，能使直線在、軸上的截距互為相反數(shù)7．已知平行四邊形的三條邊所在直線的方程分別是，的交點為的交點為，且平行四邊形的面積為5，則（

）A．的坐標為B．的坐標為C．平行四邊形第四條邊所在直線的方程可能為D．平行四邊形第四條邊所在直線的方程可能為三、填空題8．若直線過直線和的交點，且在軸的截距是軸截距的2倍，則直線的方程是.9．平面直角坐標系上有兩點，直線的方程為，直線上有一點P，最短，則P點的坐標為.四、解答題10．已知的三個頂點分別為，，.(1)求邊所在直線的