九年級數(shù)學(xué)核心知識點與常見題型通關(guān)講解練（滬教版）第11講二次函數(shù)y=a +bx+c的圖像與性質(zhì)（7種題型）（解析版）

第11講二次函數(shù)y=a+bx+c的圖像與性質(zhì)（7種題型）【知識梳理】二、二次函數(shù)的圖像二次函數(shù)的圖像稱為拋物線，這個函數(shù)的解析式就是這條拋物線的表達式．任意一個二次函數(shù)（其中a、b、c是常數(shù)，且）都可以運用配方法，把它的解析式化為的形式．對配方得：．由此可知：拋物線（其中a、b、c是常數(shù)，且）的對稱軸是直線，頂點坐標是（，）．當時，拋物線開口向上，頂點是拋物線的最低點，拋物線在對稱軸（即直線）左側(cè)的部分是下降的，在對稱軸右側(cè)的部分是上升的；當時，拋物線開口向下，頂點是拋物線的最高點，拋物線在對稱軸（即直線）左側(cè)的部分是上升的，在對稱軸右側(cè)的部分是下降的．【考點剖析】題型1：二次函數(shù)平移例1.將拋物線（）向下平移3個單位，再向左平移4個單位 得到拋物線，則原拋物線的頂點坐標是____________．【答案】．【解析】將拋物線向上平移3個單位，再向右平移4個 單位得到原拋物線，所以原拋物線頂點坐標為．【總結(jié)】本題考查了拋物線的平移，對于一般式我們一般先化為頂點式，然后再寫平移之后的解析式．題型2：二次函數(shù)一般式轉(zhuǎn)化為頂點式例2.用配方法把下列函數(shù)解析式化為的形式． （1）； （2）．【難度】★【答案】（1）；（2）．【解析】（1）； （2）．【總結(jié)】本題考查了配方法，對配方得：．【變式1】化成的形式為（） A． B． C． D．【答案】C．【解析】．【總結(jié)】本題考查了如何通過配方將二次函數(shù)的解析式化成頂點式．題型3：二次函數(shù)開口方向、頂點坐標、對稱軸及函數(shù)的最值例3．通過配方，確定拋物線的開口方向、對稱軸和頂點坐標，再描點畫圖．【答案】開口向下，對稱軸為直線，頂點坐標為，圖像如圖所示：【解析】， ∴開口向下，對稱軸為直線，頂點坐標為，圖略．【總結(jié)】本題考查了配方法及二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)．【變式1】二次函數(shù)圖像上部分點的坐標滿足下表：x…01…y……則該函數(shù)圖像的頂點坐標為____________．【答案】．【解析】∵、時的函數(shù)值都是，∴函數(shù)圖像的對稱軸為， ∴頂點坐標為．【總結(jié)】本題考查了二次函數(shù)圖像上點的坐標特征，熟記二次函數(shù)的對稱性是做題的關(guān)鍵．【變式2】二次函數(shù)的對稱軸為__________，頂點坐標為__________； 二次函數(shù)的對稱軸為__________，頂點坐標為__________．【答案】直線，頂點；直線，頂點．【解析】拋物線（）的對稱軸是直線， 頂點坐標是（，），把、、分別代入可得對稱軸和頂點坐標．【總結(jié)】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，熟記拋物線（）的對稱軸是直線，頂點坐標是（，）做題的關(guān)鍵．【變式3】二次函數(shù)的圖像的對稱軸為直線（） A．x=1 B．x= C．x=2 D．x=【答案】A．【解析】由題意得，解得， ∴解析式為，對稱軸為直線．【總結(jié)】本題考查了二次函數(shù)的概念和性質(zhì)．【變式4】對于二次函數(shù)：（1）求出圖像的開口方向、對稱軸、頂點坐標，這個函數(shù)有最大值還是最小值？這個值是多少？（2）求出此拋物線與x、y軸的交點坐標；（3）當x取何值時，y隨著x的增大而減?。敬鸢浮浚?）開口向下、對稱軸為直線、頂點坐標為，函數(shù)有最大值，最大值為；（2）、；（3）．【解析】（1），∴函數(shù)圖像開口向下、對稱軸為直線、頂點坐標為，函數(shù)有最大值，最大值為；（2）把代入解析式得，∴與軸交于；把代入解析式得，∴與軸交于；（3）∵圖像開口向下，∴在對稱軸的右側(cè)隨著的增大而減小，即時，隨著的增大而減?。究偨Y(jié)】本題考查了二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)．【變式5】已知拋物線的對稱軸為，且過點（0，4），求m、n的 值．【答案】，．【解析】由題意得，解得，把（0，4）代入得．【總結(jié)】本題考查了二次函數(shù)的對稱軸公式及拋物線上點的坐標特征．【變式6】已知一次函數(shù)與二次函數(shù)的圖像都過點A（1，）， 二次函數(shù)的對稱軸是直線x=，請求出一次函數(shù)和二次函數(shù)的解析式．【答案】一次函數(shù)解析式為，二次函數(shù)的解析式為．【解析】把代入得，∴一次函數(shù)解析式為； 由題意得，解得， ∴二次函數(shù)的解析式為．【總結(jié)】本題考查了待定系數(shù)法確定函數(shù)關(guān)系式．題型4：利用各項系數(shù)符號判斷二次函數(shù)圖象例4.已知二次函數(shù)，若，，，那么它的圖像大致是 （）AA．B．C．D．xyxyxyxy【答案】A．【解析】∵，∴圖像開口向下，又∵，∴對稱軸為直線，在軸左側(cè)，∵，∴拋物線與軸交于正半軸．【總結(jié)】本題考查了二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，當、同號時，對稱軸在軸左側(cè)，當、異號時，對稱軸在軸右側(cè)，即“左同右異”，熟記系數(shù)與圖像之間 的關(guān)系 是做題的關(guān)鍵．【變式】二次函數(shù)中，，，，則其圖像的頂點在第____ 象限．【答案】四．【解析】∵，，∴圖像開口向上，對稱軸在軸右側(cè)，又∵，∴頂點在第四象限．【總結(jié)】本題考查了二次函數(shù)的圖像．題型5：二次函數(shù)與一次函數(shù)綜合例5.在同一直角坐標系中，函數(shù)和（m是常數(shù)，且） 的圖像可能是（）AA．B．C．D．xyxyxyxy【答案】D．【解析】當時，拋物線開口向下，一次函數(shù)經(jīng)過第一、二、三象限；當時，拋物線開口向上，對稱軸在軸左側(cè)，一次函數(shù)經(jīng)過第二、三、四象限．【總結(jié)】本題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖像及性質(zhì)，用假設(shè)法來解決這種數(shù)形結(jié)合是一種很好的方法．題型6：求二次函數(shù)解析式例6.已知一次函數(shù)與二次函數(shù)的圖像都過點A（1，）， 二次函數(shù)的對稱軸是直線x=，請求出一次函數(shù)和二次函數(shù)的解析式．【答案】一次函數(shù)解析式為，二次函數(shù)的解析式為．【解析】把代入得，∴一次函數(shù)解析式為； 由題意得，解得， ∴二次函數(shù)的解析式為．【總結(jié)】本題考查了待定系數(shù)法確定函數(shù)關(guān)系式．題型7：與二次函數(shù)有關(guān)動態(tài)問題例7.將拋物線沿y軸向下平移后，所得拋物線與x軸交于點A、B， 頂點為C．如果是等腰直角三角形，求頂點C的坐標．【答案】．【解析】設(shè)拋物線向下平移個單位，平移后的拋物線為， 則，，， 設(shè)對稱軸與軸交于點，可得，， ∵拋物線頂點為，由拋物線對稱性可知，∴， ∴，即，解得，（舍）， ∴頂點的坐標為．【總結(jié)】本題考查了二次函數(shù)的圖像與幾何變換、等腰直角三角形的性質(zhì)及拋物線與坐標軸的交點問題，根據(jù)題意畫出圖形、作出輔助線是解答此題的關(guān)鍵．【過關(guān)檢測】一、單選題1．（2020·上海市曹楊二中附屬江橋?qū)嶒炛袑W(xué)九年級期中）如果二次函數(shù)的圖像如圖所示，那么（）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先根據(jù)開口方向確定a的符號，再依據(jù)對稱軸和a的符號即可判斷b的符號，然后根據(jù)與y軸的交點即可判斷c的正負，由此得出答案即可．【詳解】解：∵圖象開口方向向上，∴a＞0；∵圖象的對稱軸在y軸的右邊上，∴＞0，∵a＞0，∴b＜0；∵圖象與y軸交點在y軸的負半軸上，∴c＜0；∴a＞0，b＜0，c＜0．故選：C．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，能根據(jù)圖象正確確定各個系數(shù)的符號是解決此題的關(guān)鍵，運用了數(shù)形結(jié)合思想．2．（2020·上海市靜安區(qū)實驗中學(xué)九年級期中）如果將拋物線y＝x2向上平移1個單位，那么所得拋物線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式是（）A．y＝x2+1 B．y＝x2﹣1 C．y＝（x+1）2 D．y＝（x﹣1）2【答案】A【分析】根據(jù)向上平移縱坐標加求出平移后的拋物線的頂點坐標，然后利用頂點式解析式寫出即可．【詳解】解：∵拋物線y＝x2向上平移1個單位后的頂點坐標為（0，1），∴所得拋物線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式是y＝x2+1．故選：A．【點睛】本題考查二次函數(shù)的平移，利用數(shù)形結(jié)合思想解題是本題的解題關(guān)鍵.3．（2021·上海九年級一模）關(guān)于拋物線，下列說法中，正確的是（）A．經(jīng)過坐標原點 B．頂點是坐標原點 C．有最高點 D．對稱軸是直線【答案】A【分析】本題根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)直接判斷即可得出正確結(jié)果．【詳解】解：，二次項前面的系數(shù)大于0，拋物線開口向上，有最低點，當x=0時，y=0，拋物線經(jīng)過坐標原點，，拋物線的對稱軸為直線，頂點坐標為，綜上所述，B、C、D選項均不正確，只有A選項正確．故選：A．【點睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題，熟練掌握二次函數(shù)的基本性質(zhì)，學(xué)會化頂點式判斷是解決本題的關(guān)鍵．4．（2021·上海九年級一模）拋物線不經(jīng)過（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】求出拋物線的圖象和x軸、y軸的交點坐標和頂點坐標，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)判斷即可．【詳解】解：＝，即拋物線的頂點坐標是（2，1），在第一象限；當y＝0時，＝0，解得：x1＝1，x2＝3即拋物線與x軸的交點坐標是（1，0）和（3，0），都在x軸的正半軸上，當x=0時，y=-3∴拋物線與y軸的交點坐標為（0，-3）∵a＝-1＜0，∴拋物線的圖象的開口向下，大致畫出圖象如下：即拋物線的圖象過第一、三、四象限，不過第二象限，故選：B．【點睛】本題考查了求函數(shù)圖象與坐標軸交點坐標和頂點坐標，即求和x軸交點坐標就要令y=0、求與y軸的交點坐標就要令x=0，求頂點坐標需要配成頂點式．5．（2021·上海九年級一模）已知點A(1，2)、B(2，3)、C(2，1)，那么拋物線可以經(jīng)過的點是（）A．點A、B、C B．點A、B C．點A、C D．點B、C【答案】C【分析】先把，代入拋物線的解析式，求解拋物線的解析式為：，再判斷不在拋物線上，從而可得答案．【詳解】解：把，代入拋物線的解析式，即：解得：拋物線為：當時，不在拋物線上，拋物線可以經(jīng)過的點是故選：【點睛】本題考查的是利用待定系數(shù)法求解拋物線的解析式，拋物線上點的坐標特點，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．6．（2021·上海九年級一模）將拋物線平移后與拋物線重合，那么平移的方法可以是（）A．向右平移1個單位，再向上平移3個單位B．向右平移1個單位，再向下平移3個單位C．向左平移1個單位，再向上平移3個單位D．向左平移1個單位，再向下平移3個單位【答案】A【分析】根據(jù)“左加右減，上加下減”的平移原則選出正確選項．【詳解】拋物線要通過平移得到，需要先向右平移1個單位，再向上平移3個單位，即．故選：A．【點睛】本題考查拋物線的平移，解題的關(guān)鍵是掌握拋物線的平移方法．7．（2021·上海九年級一模）如圖所示是二次函數(shù)圖像的一部分，那么下列說法中不正確的是（）．A． B．拋物線的對稱軸為直線C． D．點和在拋物線上，則【答案】B【分析】根據(jù)圖象分別求出a、c的符號，即可判斷A；根據(jù)拋物線與x軸的兩個交點可判斷出該拋物線的對稱軸不是x=1，即可判斷B；把x=-1代入二次函數(shù)的解析式，再根據(jù)圖象即可判斷C；將x=-2與x=2帶入二次函數(shù)，可得出y與y的值，即可判斷D．【詳解】解：∵二次函數(shù)的圖象開口向上，∴a＞0，∵二次函數(shù)的圖象交y軸的負半軸于一點，∴c＜0，∴ac＜0選項A正確；∵由圖像可看出，拋物線與x軸的交點一個為x=-1，另一個在x=2和x=3中間，不關(guān)于x=1對稱，∴拋物線的對稱軸不是x=1選項B錯誤；把x=-1代入y=ax+bx+c得：y=a-b+c，由圖像可知，x=-1時y=0，∴a-b+c=0選項C正確；把x=-2和x=2代入y=ax+bx+c中，由圖像可知，y＞0，y＜0，∴y＞y選項D正確；故選：B．【點睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵時熟練運用拋物線的圖像判斷系數(shù)a、b、c之間的關(guān)系，同時注意特殊點與對稱軸之間的關(guān)系，屬于中等題型．二、填空題8．（2021·上海九年級二模）如果拋物線y＝ax2＋bx＋c在對稱軸左側(cè)呈上升趨勢，那么a的取值范圍是_____．【答案】a＜0【分析】利用二次函數(shù)的性質(zhì)得到拋物線開口向下，即可求解．【詳解】解：∵拋物線y＝ax2＋bx＋c在對稱軸左側(cè)呈上升趨勢，∴拋物線開口向下，∴a＜0，故答案為a＜0.【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的增減性是解題的關(guān)鍵9．（2021·上海九年級一模）函數(shù)的圖象與軸的交點的坐標為_________．【答案】【分析】求與y軸的交點坐標，令x=0可求得y的值，可得出函數(shù)與y軸的交點坐標．【詳解】解：令x=0，代入解得y=5，

∴二次函數(shù)的圖象與y軸交點坐標是(0，5)．故答案為：(0，5)．【點睛】本題主要考查函數(shù)與坐標軸的交點坐標,掌握求函數(shù)與坐標軸交點的求法是解題的關(guān)鍵，即與x軸的交點令y=0求x，與y軸的交點令x=0求y．10．（2021·上海九年級一模）如果二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點，那么的值為_______________________．【答案】【分析】把代入函數(shù)解析式，得出關(guān)于的m方程，解方程即可得到答案．【詳解】解：∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，∴，解得：，故答案為：．【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，理解圖象上點坐標的意義是解答此題的關(guān)鍵.11．（2020·上海民辦華二浦東實驗學(xué)校九年級期中）拋物線的最低點坐標是__________．【答案】【分析】直接用頂點公式求頂點坐標即為最低點坐標．【詳解】∵拋物線中，∴拋物線開口向上，頂點為最低點∵，∴頂點坐標為：∴最低點坐標為：故答案為：【點睛】本題主要考查了拋物線的頂點坐標，對稱軸的方法，是基礎(chǔ)知識要熟練掌握．12．（2021·上海九年級一模）二次函數(shù)圖像的開口方向是____．【答案】向下【分析】根據(jù)a的符號即可做出判斷．【詳解】解：∵-3＜0，∴二次函數(shù)圖像的開口方向向下．故答案為：向下【點睛】本題考查了拋物線的圖象與性質(zhì)，熟知拋物線的圖象與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．當a＞0時，拋物線開口向上，當a＜0時，拋物線開口向下．13．（2021·上海九年級一模）如果拋物線經(jīng)過點和，那么該拋物線的對稱軸是直線________．【答案】【分析】根據(jù)拋物線的對稱性得對稱軸為直線．【詳解】∵拋物線經(jīng)過點和，∴該拋物線的對稱軸是直線，故答案為：．【點睛】此題考查拋物線的對稱性，掌握拋物線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．三、解答題14．（2020·上海）已知拋物線．（1）請用配方法求出頂點的坐標；（2）如果該拋物線沿軸向左平移個單位后經(jīng)過原點，求的值．【答案】（1）（1，﹣8）；（2）．【分析】（1）用配方法把一般式化為頂點式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到答案；（2）直接求出拋物線與軸的交點，進而得出平移規(guī)律．【詳解】解：（1），故該拋物線的頂點坐標為：（1，﹣8）；（2）當時，，解得：，即圖象與軸的交點坐標為：（﹣1，0），（3，0），故該拋物線沿軸向左平移3個單位后經(jīng)過原點，即．故答案為（1）（1，﹣8）；（2）.【點睛】本題考查二次函數(shù)圖象與幾何變換，正確得出頂點坐標是解題關(guān)鍵．15．（2020·上海市曹楊二中附屬江橋?qū)嶒炛袑W(xué)九年級期中）用配方法把二次函數(shù)y=x2–4x+5化為y=a(x+m)2+k的形式，再指出該函數(shù)圖象的開口方向、對稱軸和頂點坐標．【答案】拋物線的開口向上，對稱軸是直線x＝4，頂點坐標是(4，－3)．【分析】用配方法把一般式化為頂點式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解答即可．【詳解】解：∵y＝x2－4x＋5＝(x－4)2－3，∴拋物線的開口向上，對稱軸是直線x＝4，頂點坐標是(4，－3)．【點睛】本題考查的是二次函數(shù)的三種形式，正確利用配方法把一般式化為頂點式是解題的關(guān)鍵．16．（2021·上海九年級一模）將二次函數(shù)的圖像向右平移3個單位，求所得圖像的函數(shù)解析式：請結(jié)合以上兩個函數(shù)圖像，指出當自變量x在什么取值范圍內(nèi)時，上述兩個函數(shù)中恰好其中一個的函數(shù)圖像是上升的，而另一個的函數(shù)圖像是下降的．【答案】，．【分析】由二次函數(shù)的平移規(guī)律：左加右減，可得平移后的解析式，再畫出兩個函數(shù)的圖像，利用圖像可得答案．【詳解】解：把二次函數(shù)的圖像向右平移3個單位可得：，，又函數(shù)圖像的頂點坐標為：而函數(shù)圖像的頂點坐標為：函數(shù)與的圖像如圖示；由圖像可得：當時，函數(shù)的函數(shù)圖像是上升的，而函數(shù)的函數(shù)圖像是下降的．【點睛】本題考查的是二次函數(shù)的圖像的平移，二次函數(shù)的增減性，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．17．（2021·上海九年級一模）已知拋物線的頂點在第二象限，求的取值范圍．【答案】m＞1【分析】先利用配方法得到拋物線的頂點坐標為(-1