第七章正態(tài)分布和標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布

第七章正態(tài)分布和標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布第一節(jié)正態(tài)分布及其特征第三章已討論到,統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)經(jīng)過(guò)整理后,其次數(shù)分布就會(huì)出現(xiàn)若干種分布的圖形,其中有對(duì)稱、非對(duì)稱、偏態(tài)、U形、J形等等。但在社會(huì)經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域內(nèi),都服從一類確定的分布規(guī)律,這類分布規(guī)律叫正態(tài)分布。正態(tài)分布最早是由德莫弗提出的。以后德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯在研究誤差理論于1809年及法國(guó)天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家拉普拉斯在1812年分別重新提出。所以人們又稱正態(tài)分布為高斯分布或高斯拉普拉斯分布。正態(tài)分布在統(tǒng)計(jì)學(xué)中占有極其重要的地位。

1在實(shí)際問(wèn)題研究應(yīng)用中,標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布使服從正態(tài)分布的現(xiàn)象在應(yīng)用計(jì)算時(shí),更具有廣泛的應(yīng)用價(jià)值。這里,我們?nèi)匀煌ㄟ^(guò)實(shí)例來(lái)闡述正態(tài)分布的理論思想和研究方法,這對(duì)后面有關(guān)章節(jié)的學(xué)習(xí)是有用的。2一、正態(tài)分布曲線的形成正態(tài)分布曲線或正態(tài)分布密度曲線Φ(X)實(shí)際上就是頻率分布直方圖的極限分布或理論分布。例如P102，表7-1為某單位96人的月收入資料整理后的分布情況，根據(jù)表中數(shù)據(jù),按第三章的方法,繪制頻率分布直方圖。正態(tài)分布曲線實(shí)際上就是頻率直方圖的極限分布或理論分布。

3二、正態(tài)分布曲線的概率密度及特征根據(jù)實(shí)際的經(jīng)驗(yàn)和理論分布,正態(tài)分布的概率密度曲線的數(shù)學(xué)表達(dá)式為:

（7-1）這條分布密度曲線φ(x)具有對(duì)稱起伏的形狀,形成“鐘形”曲線。4分布密度曲線φ(x)具有如下幾個(gè)特征:(1)一個(gè)高峰。曲線是單峰,有一個(gè)最高點(diǎn),即φ(x)在x=μ處有最大值;當(dāng)x向左,向右遠(yuǎn)離時(shí),曲線不斷地降低。形成“中間高,兩邊低”的古鐘。(2)一個(gè)對(duì)稱軸。曲線在高峰處有一個(gè)對(duì)稱軸,對(duì)稱軸是直線x=μ。在軸的左右兩邊是對(duì)稱的。(3)一個(gè)漸近線。曲線無(wú)論向左向右延伸,都愈來(lái)愈接近橫軸,但不會(huì)和橫軸相交,以橫軸為漸近線。(4)曲線在x=μ±σ處有拐點(diǎn)(轉(zhuǎn)彎點(diǎn)),拐點(diǎn)離對(duì)稱軸有同樣的距離,曲線在拐點(diǎn)處改變自己下降的方向。(5)兩個(gè)參數(shù)μ和σ決定著曲線的形狀。5正態(tài)分布曲線的位置,是由μ決定的。而正態(tài)分布曲線的形狀“高、矮、胖、瘦”的特點(diǎn),則是由σ所決定?？梢钥闯?當(dāng)μ和σ確定后,正態(tài)分布曲線的圖形也就唯一地被確定了。所以μ和σ稱作正態(tài)分布曲線的兩個(gè)重要的參數(shù)。

μ決定正態(tài)分布曲線左右移動(dòng)的位置6σ決定正態(tài)分布曲線的“高、矮、胖、瘦”可以發(fā)現(xiàn),μ就是正態(tài)分布曲線的數(shù)學(xué)期望或總體均值,σ就是正態(tài)分布曲線的標(biāo)準(zhǔn)差7根據(jù)正態(tài)分布概率密度的表達(dá)式,

經(jīng)過(guò)計(jì)算,正態(tài)分布有以下幾個(gè)典型區(qū)間的概率值值得我們予以關(guān)注。8①變量取值在區(qū)間［μ-σ,μ+σ］之間的概率表明,變量取值在范圍［μ-σ,μ+σ］之間的概率為0.6827,其中：μ代表總體的均值;σ代表總體的標(biāo)準(zhǔn)差。9②變量取值在區(qū)間［μ-σ,μ+σ］之間的概率

表明,變量取值在［μ-2σ,μ+2σ］之間的概率為0.9545。

10③變量取值在區(qū)間［μ-3σ,μ+3σ］之間的概率

表明,變量取值在［μ-3σ,μ+3σ］之間的概率為0.9973

11④變量取值在區(qū)間［-∞,+∞］之間的概率為1.⑤以上圖形如果以σ為組距,那么圍繞著μ,各σ所代表的概率即正態(tài)分布曲線的面積如圖：以μ為中心各σ代表的概率12第二節(jié)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布一、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布概率密度上節(jié)談到知道了正態(tài)分布中的兩個(gè)參數(shù),任意兩點(diǎn)間的概率,可以通過(guò)(7-1)式積分得出。但積分計(jì)算畢竟太麻煩,更何況還可能有人對(duì)積分運(yùn)算并不熟悉。為此要計(jì)算出現(xiàn)成的表供使用者查找。但由于正態(tài)分布隨參數(shù)μ和σ的不同而變化。為此,要先將變量值進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化變換，其中z值稱作x的標(biāo)準(zhǔn)值。（7-2）13根據(jù)z值所得的分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。它的概率密度為:

（7-3）比較(72)和(73)式,可以發(fā)現(xiàn),如果用μ=0,σ=1代入(7-1)式可得（7-4）14可見(jiàn)它與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度(7-4)式相比除了x和z在變量名稱上不同外,實(shí)質(zhì)是一樣的。所以標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布φ(z)可看作一般正態(tài)分布的一個(gè)特例。

15二、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)曲線下的面積1.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線下的面積根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布概率密度的表達(dá)式(7-3)式,經(jīng)過(guò)計(jì)算,標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布也有幾個(gè)典型區(qū)間的概率值值得我們予以關(guān)注。P(-1≤z≤1)=

=0.6827

P(-2≤z≤2)==0.9455

P(-3≤z≤3)=

=0.9973

162.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布變量z與正態(tài)分布變量x的關(guān)系根據(jù)(7-2)式,則有當(dāng)x=μ+σ時(shí),z=（x-μ）÷σ=（μ+σ-μ）÷σ=1當(dāng)x=μ-σ時(shí),z=（x-μ）÷σ=（μ-σ-μ）÷σ=-1當(dāng)x=μ+2σ時(shí),z=（x-μ）÷σ=（μ+2σ-μ）÷σ=2當(dāng)x=μ-2σ時(shí),z=（x-μ）÷σ=(μ-2σ-μ)÷σ=-2其余以此類推。

17比較正態(tài)分布曲線下的面積(見(jiàn)圖7-9)和標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線下的面積(見(jiàn)圖7-11),可以看出:(1)圖7-9是以X=μ為對(duì)稱,而圖7-11是以z=0為對(duì)稱。(2)圖7-9中組距［μ-σ,μ+σ］的面積與圖7-11中組距［-1,1］的面積相同;圖7-9中組距［μ-2σ,μ+2σ］的面積與圖7-11中組距［-2,2］的面積相同;圖7-9中組距［μ-3σ,μ+3σ］的面積與圖7-11中組距［-3,3］的面積相同,其余以此類推。18(3)圖7-9中組距［μ,μ+σ］的面積與圖7-11中的組距［0,1］的面積相同;圖7-9中組距［μ+σ,μ+2σ］與圖7-11中組距［1,2］面積相同,其余以此類推。(4)由于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)的圖形是唯一的,因此,使用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布無(wú)須讀者進(jìn)行計(jì)算,只要會(huì)查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布概率表就可以了(見(jiàn)附表1)。附表1中的z值為標(biāo)準(zhǔn)化的Z值,F(z)為對(duì)應(yīng)于z值的區(qū)間［-z,z］的概率值,這樣設(shè)計(jì)概率表是為了方便抽樣推斷的需要。19三、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線的應(yīng)用(一)可以簡(jiǎn)便地查出隨機(jī)變量在某一區(qū)間的概率［例7-1］［例7-2］

P

110(二)根據(jù)某一區(qū)間的概率求隨機(jī)變量x的值［例7-3］P111(三)測(cè)定學(xué)生考試成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)分及百分位次1.標(biāo)準(zhǔn)分標(biāo)準(zhǔn)分是將原始成績(jī)經(jīng)過(guò)標(biāo)準(zhǔn)變換的成績(jī)。標(biāo)準(zhǔn)分不僅能對(duì)不同分布的原始成績(jī)進(jìn)行比較,而且還能表明各個(gè)學(xué)生的成績(jī)?cè)谡麄€(gè)分布中的地位?，F(xiàn)以學(xué)生考試成績(jī)?yōu)槔f(shuō)明標(biāo)準(zhǔn)分應(yīng)用的意義。表7-2

P112

2.百分位次根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)分,可以計(jì)算學(xué)生某一門課程的成績(jī)?cè)谌繉W(xué)生的百分位次。

20思考與練習(xí)1.