空間中點、直線和平面的向量表示 高二上學期數(shù)學人教A版（2019）選擇性必修第一冊_第1頁
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文檔簡介

1.4.1.1

空間中點、線、面的向量表示1.能用向量語言描述點、直線和平面；2.理解直線的方向向量和平面的法向量.學習目標1.教學重點：理解直線的方向向量和平面的法向量.2.教學難點：建立立體圖形與空間向量之間的聯(lián)系，把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為空間向量問題.重難點幾何中點線面向量中？？？探究新知

我們知道，點、直線和平面是空間的基本圖形，點、線段和平面圖形等是組成空間幾何體的基本元素.因此，為了用空間向量解決立體幾何問題，首先要用向量表示空間中的點、直線和平面．如何用向量表示空間中的一個點？思考1定點OPp向量的坐標起點的坐標終點的坐標坐標探究新知

如圖，在空間中，取一定點O作為基點，那么空間中任意一點P可以用向量

來表示，我們把向量

稱為點P的位置向量.點→點+位置向量

根據(jù)空間兩點的距離公式建立方程求解

P幾何中向量中點方向向量aAB點P在直線l上充要條件一個點一個方向+如何用向量表示空間中的直線？思考2探究新知l

如圖，a是直線l的方向向量，在直線l上取

=a，設P是直線l上的任意一點，由向量共線的條件可知：存在實數(shù)t，使得

，即線→點+方向向量

PaAB進一步地，如圖，取定空間中的任意一點O，O

①②式稱為空間直線l的向量表示.由此可知，空間任意直線由直線上一點及直線的方向向量唯一確定.

D

AC

（1）不共線的三點確定一個平面（2）直線和直線外一點確定一個平面（3）兩條相交直線確定一個平面（4）兩條平行直線確定一個平面（5）一個定點和兩個定方向確定一個平面？探究新知如何用向量表示空間中的平面？思考3OPab

這樣點O與向量a,b不僅可以確定平面α,還可以具體表示出α內(nèi)的任意一點.這種表示在解決幾何問題時有重要作用.abBCPAO探究新知

我們把③式稱為空間平面ABC的向量表示式．由此可知，空間中任意平面由空間一點及兩個不共線向量唯一確定．

l如何用向量表示空間中的平面？思考（5）一個定點和兩個定方向確定一個平面？（6）一個定點和一個定方向確定一個平面？AP

a

平面的法向量yxzDABCD1A1B1C1M課本例題已知長方體ABCD--A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2，M為AB中點.以D為原點，DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示空間直角坐標系.（1）求平面BCC1B1的一個法向量；（2）求平面MCA1的一個法向量．解:(1)因為y軸垂直于平面BCC1B1，所以n1=(0,1,0)是平面BCC1B1的一個法向量.z是自由變量最好法向量不要出現(xiàn)分數(shù)，方便運算求平面法向量的步驟

1、空間中點、直線和平面的向量表示點→點+位置向量

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