4.3.1　對(duì)數(shù)的概念-高中數(shù)學(xué)教學(xué)資料

4.3.1對(duì)數(shù)的概念第四章§4.3對(duì)數(shù)1.了解對(duì)數(shù)、常用對(duì)數(shù)、自然對(duì)數(shù)的概念.2.會(huì)進(jìn)行對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化.3.會(huì)求簡(jiǎn)單的對(duì)數(shù)值.學(xué)習(xí)目標(biāo)大家閱讀課本128頁的“閱讀與思考”(大約3分鐘)，可以發(fā)現(xiàn)，對(duì)數(shù)的出現(xiàn)是基于當(dāng)時(shí)天文、航海、工程、貿(mào)易以及軍事快速發(fā)展的需要而出現(xiàn)的.經(jīng)過不斷發(fā)展，人們發(fā)現(xiàn)，對(duì)數(shù)與指數(shù)存在互逆的關(guān)系，然而更有意思的是“對(duì)數(shù)源出于指數(shù)”，而對(duì)數(shù)的發(fā)明卻先于指數(shù)，對(duì)數(shù)是用來解決指數(shù)所不能解決的問題，讓我們一起來發(fā)現(xiàn)對(duì)數(shù)與指數(shù)的關(guān)系吧！導(dǎo)語隨堂演練課時(shí)對(duì)點(diǎn)練一、對(duì)數(shù)的概念二、對(duì)數(shù)與指數(shù)的互相轉(zhuǎn)化三、對(duì)數(shù)的計(jì)算內(nèi)容索引四、利用對(duì)數(shù)性質(zhì)求值一、對(duì)數(shù)的概念問題1

我們知道若2x＝4，則x＝2；若3x＝81，則x＝4；若

＝128，則x＝－7等等這些方程，我們可以輕松求出x的值，但對(duì)于2x＝3，1.11x＝2，10x＝5等這樣的指數(shù)方程，你能求出方程的解嗎？提示用指數(shù)方程不能解決上述方程，為了解決這個(gè)問題，早在18世紀(jì)的歐拉為我們提供了解決問題的方案，那就是發(fā)現(xiàn)了指數(shù)與對(duì)數(shù)的互逆關(guān)系，用對(duì)數(shù)來表示指數(shù)方程的解.知識(shí)梳理對(duì)數(shù)的定義：一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么數(shù)x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作

，其中a叫做對(duì)數(shù)的

，N叫做

.注意點(diǎn)：(1)對(duì)數(shù)是由指數(shù)轉(zhuǎn)化而來，則底數(shù)a、指數(shù)或?qū)?shù)x、冪或真數(shù)N的范圍不變，只是位置和名稱發(fā)生了變換；(2)logaN的讀法：以a為底N的對(duì)數(shù).x＝logaN底數(shù)真數(shù)例1

若對(duì)數(shù)式log(t－2)3有意義，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是A.[2，＋∞) B.(2,3)∪(3，＋∞)C.(－∞，2) D.(2，＋∞)解析要使對(duì)數(shù)式log(t－2)3有意義，√解得t>2，且t≠3.所以實(shí)數(shù)t的取值范圍是(2,3)∪(3，＋∞).反思感悟關(guān)于指數(shù)式的范圍跟蹤訓(xùn)練1

在M＝log(x－3)(x＋1)中，要使式子有意義，x的取值范圍為A.(－∞，3] B.(3,4)∪(4，＋∞)C.(4，＋∞) D.(3,4)解得3<x<4或x>4.√二、對(duì)數(shù)與指數(shù)的互相轉(zhuǎn)化問題2

現(xiàn)在你能解指數(shù)方程2x＝3，1.11x＝2，10x＝5了嗎？提示x＝log23；x＝log1.112；x＝log105.知識(shí)梳理兩類特殊對(duì)數(shù)(1)以10為底的對(duì)數(shù)叫做常用對(duì)數(shù)，并把log10N記為lgN；(2)以無理數(shù)e＝2.71828…為底的對(duì)數(shù)稱為自然對(duì)數(shù)，并把logeN記為lnN.例2

將下列指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化：(1)log216＝4；解24＝16.(2)

＝－3；(3)ln100＝4.606；解e4.606＝100.(4)43＝64；解log464＝3.(5)3－2＝

；(6)10－3＝0.001.解lg0.001＝－3.反思感悟指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化的思路(1)指數(shù)式化為對(duì)數(shù)式：將指數(shù)式的冪作為真數(shù)，指數(shù)作為對(duì)數(shù)，底數(shù)不變，寫出對(duì)數(shù)式.(2)對(duì)數(shù)式化為指數(shù)式：將對(duì)數(shù)式的真數(shù)作為冪，對(duì)數(shù)作為指數(shù)，底數(shù)不變，寫出指數(shù)式.跟蹤訓(xùn)練2

下列指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化不正確的一組是√三、對(duì)數(shù)的計(jì)算問題3

你能把20＝1,21＝2，log2x＝log2x化成對(duì)數(shù)式或指數(shù)式嗎？提示log21＝0；log22＝1；

＝x.知識(shí)梳理對(duì)數(shù)的性質(zhì)(1)loga1＝

(a>0，且a≠1).(2)logaa＝

(a>0，且a≠1).(3)零和負(fù)數(shù)

.(4)對(duì)數(shù)恒等式：

＝

；logaax＝

(a>0，且a≠1，N>0).01沒有對(duì)數(shù)Nx例3

(1)求下列各式的值.①log981＝____.2解析設(shè)log981＝x，所以9x＝81＝92，故x＝2，即log981＝2.②log0.41＝____.0解析設(shè)log0.41＝x，所以0.4x＝1＝0.40，故x＝0，即log0.41＝0.③lne2＝_____.2解析設(shè)lne2＝x，所以ex＝e2，故x＝2，即lne2＝2.(2)求下列各式中x的值.②logx16＝－4.解由logx16＝－4，得x－4＝16，反思感悟?qū)?shù)式中求值的基本思想和方法(1)基本思想在一定條件下求對(duì)數(shù)的值，或求對(duì)數(shù)式中參數(shù)字母的值，要注意利用方程思想求解.(2)基本方法①將對(duì)數(shù)式化為指數(shù)式，構(gòu)建方程轉(zhuǎn)化為指數(shù)問題.②利用冪的運(yùn)算性質(zhì)和指數(shù)的性質(zhì)計(jì)算.跟蹤訓(xùn)練3

求下列各式的值：(1)log28；解設(shè)log28＝x，則2x＝8＝23.∴x＝3.∴l(xiāng)og28＝3.(3)lne；解lne＝1.(4)lg1.解lg1＝0.四、利用對(duì)數(shù)性質(zhì)求值例4

求下列各式中x的值：(1)log2(log5x)＝0；解∵log2(log5x)＝0，∴l(xiāng)og5x＝20＝1，∴x＝51＝5.(2)log3(lgx)＝1；解∵log3(lgx)＝1，∴l(xiāng)gx＝31＝3，∴x＝103＝1000.(3)x＝

.延伸探究把本例(1)中的“l(fā)og2(log5x)＝0”改為“l(fā)og2(log5x)＝1”，求x的值.解因?yàn)閘og2(log5x)＝1，所以log5x＝2，則x＝52＝25.反思感悟利用對(duì)數(shù)的性質(zhì)求值的方法(1)求解此類問題時(shí)，應(yīng)根據(jù)對(duì)數(shù)的兩個(gè)結(jié)論loga1＝0和logaa＝1(a>0且a≠1)，進(jìn)行變形求解，若已知對(duì)數(shù)值求真數(shù)，則可將其化為指數(shù)式運(yùn)算.(2)已知多重對(duì)數(shù)式的值，求變量值，應(yīng)從外到內(nèi)求，逐步脫去“l(fā)og”后再求解.跟蹤訓(xùn)練4

求下列各式中x的值.(1)log8[log7(log2x)]＝0；解由log8[log7(log2x)]＝0，得log7(log2x)＝1，即log2x＝7，∴x＝27.(2)log2[log3(log2x)]＝1.解由log2[log3(log2x)]＝1，得log3(log2x)＝2，∴l(xiāng)og2x＝9，∴x＝29.1.知識(shí)清單：(1)對(duì)數(shù)的概念.(2)自然對(duì)數(shù)、常用對(duì)數(shù).(3)指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化.(4)對(duì)數(shù)的性質(zhì).2.方法歸納：轉(zhuǎn)化法.3.常見誤區(qū)：易忽視對(duì)數(shù)式中底數(shù)與真數(shù)的范圍.課堂小結(jié)隨堂演練1234解析要使對(duì)數(shù)log(a＋3)(5－a)有意義，1.對(duì)數(shù)log(a＋3)(5－a)中實(shí)數(shù)a的取值范圍是A.(－∞，5) B.(－3,5)C.(－3，－2)∪(－2,5) D.(－3，＋∞)√1234√解析根據(jù)對(duì)數(shù)的定義知選C.12343.已知

＝c，則有A.a2b＝c

B.a2c＝bC.bc＝2a

D.c2a＝b解析由題意得(a2)c＝b，即a2c＝b.√12344.計(jì)算：3log22＋2log31－3log77＋3ln1＝_____.0解析原式＝3×1＋2×0－3×1＋3×0＝0.課時(shí)對(duì)點(diǎn)練基礎(chǔ)鞏固123456789101112131415161.下列選項(xiàng)中，可以求對(duì)數(shù)的是A.0 B.－5 C.πD.－x2√解析根據(jù)對(duì)數(shù)的定義，得0和負(fù)數(shù)沒有對(duì)數(shù)，∴選項(xiàng)A，B不可以求對(duì)數(shù)，又－x2≤0，∴選項(xiàng)D沒有對(duì)數(shù)，∵π>0，∴選項(xiàng)C可以求對(duì)數(shù).12345678910111213141516√123456789101112131415163.已知logx16＝2，則x等于A.4 B.±4 C.256 D.2解析由logx16＝2，得x2＝16＝(±4)2，又x>0，且x≠1，∴x＝4.√123456789101112131415164.已知

＝x，則x等于A.－8 B.8 C.4 D.－4解析由題意得()x＝81，即

＝34，則x＝8.√123456789101112131415165.對(duì)于a>0且a≠1，下列說法正確的是①若M＝N，則logaM＝logaN；②若logaM＝logaN，則M＝N；③若logaM2＝logaN2，則M＝N；④若M＝N，則logaM2＝logaN2.A.①②

B.②③④ C.②

D.②③√12345678910111213141516解析①中，若M，N小于或等于0時(shí)，logaM＝logaN不成立；②正確；③中，M與N也可能互為相反數(shù)；④中，當(dāng)M＝N＝0時(shí)不正確.123456789101112131415166.(多選)下列等式正確的有A.lg(lg10)＝0B.lg(lne)＝0C.若lgx＝10，則x＝10D.若lnx＝e，則x＝e2√√解析A項(xiàng)，lg(lg10)＝lg1＝0，故A正確；B項(xiàng)，lg(lne)＝lg1＝0，故B正確；C項(xiàng)，若lgx＝10，則x＝1010，故C錯(cuò)誤；D項(xiàng)，若lnx＝e，則x＝ee，故D錯(cuò)誤.123456789101112131415167.若a＝log23，則2a＋2－a＝____.解析∵a＝log23，∴2a＝

＝3，123456789101112131415168.若

＝0，則x＝____.解析由題意得

＝1，∴ ＝3，123456789101112131415169.將下列指數(shù)式、對(duì)數(shù)式互化.(1)35＝243；解log3243＝5.12345678910111213141516(3)

＝－4；(4)log2128＝7.解27＝128.1234567891011121314151610.若

＝m，

＝m＋2，求

的值.解∵

＝m，123456789101112131415綜合運(yùn)用1611.若logx＝z，則x，y，z之間滿足A.y7＝xz

B.y＝x7zC.y＝7xz

D.y＝z7x√∴y＝(xz)7＝x7z.1234567891011121314151612.化簡(jiǎn)

－lg0.01＋lne3等于A.14 B.0 C.1 D.6√1234567891011121314151613.設(shè)f(log2x)＝2x(x>0)，則f(2)的值是A.128 B.16 C.8D.256√解析由log2x＝2可知x＝4，所以f(2)＝24＝16.12