25屆（新教材QG版）數(shù)學(xué)新考案基礎(chǔ)課46橢圓

基礎(chǔ)課46橢圓考點(diǎn)考向課標(biāo)要求真題印證考頻熱度核心素養(yǎng)橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程掌握2023年北京卷T2023年天津卷T2023年全國(guó)甲卷（理）T2023年全國(guó)甲卷（文）T★★★邏輯推理數(shù)學(xué)運(yùn)算直觀想象橢圓的幾何性質(zhì)理解2023年新高考Ⅰ卷T★★★直觀想象邏輯推理數(shù)學(xué)運(yùn)算命題分析預(yù)測(cè)從近幾年高考的情況來(lái)看，橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)是命題的熱點(diǎn)，解題常借助于平面向量、解三角形中的正、余弦定理及三角形的中位線定理等知識(shí)，預(yù)計(jì)2025年高考會(huì)考查橢圓的方程及幾何性質(zhì)的應(yīng)用，應(yīng)加強(qiáng)對(duì)橢圓幾何性質(zhì)的重視,要注意數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸等解題思想的培養(yǎng)一、橢圓的定義1.平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的①和等于常數(shù)(②大于F12.橢圓定義的數(shù)學(xué)表達(dá)式：P={3.當(dāng)2a>F1F2時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為橢圓；當(dāng)2a=F1F二、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程xy圖形性質(zhì)范圍?a≤?b≤對(duì)稱(chēng)性對(duì)稱(chēng)軸：⑤x軸，y軸；對(duì)稱(chēng)中心：⑥原點(diǎn)頂點(diǎn)A1?a,0，A10,?a，A軸長(zhǎng)軸A1A2的長(zhǎng)為⑦2a；短軸焦距F離心率e【注意】1.橢圓的焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2.橢圓的離心率越接近于1，橢圓越扁；越接近于0，橢圓越圓.1.若點(diǎn)P在橢圓上，F(xiàn)為橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，則1b≤OP2.焦點(diǎn)弦：指過(guò)焦點(diǎn)的弦.其中通徑（垂直于長(zhǎng)軸的焦點(diǎn)弦）最短,弦長(zhǎng)lmin3.焦半徑公式:若Px0,y0是橢圓x2a2+y2題組1走出誤區(qū)1.判一判.（對(duì)的打“√”,錯(cuò)的打“×”）（1）平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1,F2的距離之和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是橢圓.(（2）方程mx2+（3）橢圓上一點(diǎn)P與兩焦點(diǎn)F1,F2構(gòu)成△PF1F2的周長(zhǎng)為2a（4）y2a2+x2.（易錯(cuò)題）若橢圓x24+y23=1的中心和左焦點(diǎn)分別為O,【易錯(cuò)點(diǎn)】解答本題時(shí)容易忽視點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍?2[解析]由橢圓x24+y23=1可得F?1,0,題組2走進(jìn)教材3.（雙空題）（人教A版選修①P109·練習(xí)T3改編）已知橢圓C：x225+y216=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2，過(guò)F2的直線交橢圓C[解析]因?yàn)閍=5,b=4，所以c=a2?b4.（人教A版選修①P115?T8改編）設(shè)點(diǎn)M與點(diǎn)F2,0的距離和它到定直線x=[解析]設(shè)Mx,y，根據(jù)題意得x?22+題組3走向高考5.[2023·新高考Ⅰ卷]設(shè)橢圓C1：x2a2+y2=1a>A.233 B.2 C.3 [解析]由e2=3e1，得e22=3e1考點(diǎn)一橢圓的定義及應(yīng)用［自主練透］1.[2024·上海模擬]已知△ABC的周長(zhǎng)為12，B0,?2,C0A.x212+C.x216+[解析]∵△ABC的周長(zhǎng)為12，頂點(diǎn)B0,?∴BC=4∵8>4，∴∴點(diǎn)A的軌跡是橢圓，∵a=4∴b2=12，∴點(diǎn)故選A.2.（一題多解）設(shè)F1,F2為橢圓C：x25+y2=1A.1 B.2 C.4 D.5[解析]（法一：焦點(diǎn)三角形面積公式法）因?yàn)镻F1?從而S△F1PF（法二：定義法）因?yàn)镻F1?PF2=0，所以∠F平方得PF12+P3.[2024·廣東統(tǒng)考]已知橢圓方程為x24+y23=1,F是其左焦點(diǎn)，A1,1是橢圓內(nèi)一點(diǎn)，PA.43 B.4 C.8 D.[解析]如圖，設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F′1,0，連接PF′，過(guò)點(diǎn)F′作MN⊥則PA+當(dāng)點(diǎn)P在位置M時(shí)，PA?PF′當(dāng)點(diǎn)P在位置N時(shí)，PA?PF′故PA?PF′的取值范圍是[?故PA+PF的最大值Dmax所以Dmax+D橢圓定義應(yīng)用的三種類(lèi)型及解題策略求方程通過(guò)對(duì)題設(shè)條件分析、轉(zhuǎn)化，明確動(dòng)點(diǎn)滿足橢圓的定義，便可直接求解其軌跡方程焦點(diǎn)三角形問(wèn)題利用定義求焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)和面積.解決焦點(diǎn)三角形問(wèn)題常利用橢圓的定義、正弦定理或余弦定理，其中對(duì)PF求最值抓住PF1+PF考點(diǎn)二橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程［師生共研］典例1求分別滿足下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是?4,0，4（2）長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的3倍，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A6（3）經(jīng)過(guò)點(diǎn)(?32,52（4）離心率為32且過(guò)點(diǎn)2[解析]（1）依題意得，c=4，2a=10，所以a=（2）若焦點(diǎn)在x軸上，則a=6,b=若焦點(diǎn)在y軸上，則a=18,b=綜上可得，所求橢圓方程為x236+（3）設(shè)橢圓方程為mx2+ny依題意可得3m+5n=1,（4）若焦點(diǎn)在x軸上，則a=2，因?yàn)殡x心率e=則b=a2若焦點(diǎn)在y軸上，則b=2，因?yàn)殡x心率e=解得a2=16綜上可得，所求橢圓方程為x24+求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種方法定義法根據(jù)橢圓的定義，確定a2,b待定系數(shù)法若焦點(diǎn)的位置明確，則可設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合已知條件求出a,b的值；若焦點(diǎn)的位置不明確，則需要分焦點(diǎn)在x軸上和焦點(diǎn)在y軸上的兩種情況討論，也可設(shè)橢圓方程為A1.已知橢圓C：x2a2+y2b2=1a>b[解析]由橢圓的幾何性質(zhì)可得點(diǎn)P20,1，P3?1,32，2.已知在平面直角坐標(biāo)系中，有兩個(gè)圓C1：x+22+y2=r12和C2：x?[解析]由題意知,圓心C1?2,0,半徑r1,圓心C22,0,半徑r2,當(dāng)r1+r2此時(shí)點(diǎn)P的軌跡是以C1，C2為焦點(diǎn)的橢圓.當(dāng)與圓C2內(nèi)切，與圓C1外切時(shí)，同理，PC1+根據(jù)橢圓定義得a=r1+r所以動(dòng)圓圓心的軌跡方程為x23.（橢圓的第二定義）已知?jiǎng)狱c(diǎn)P到定點(diǎn)Fc,0的距離與動(dòng)點(diǎn)P到直線l:x=a[解析]設(shè)點(diǎn)Pxx?兩邊同時(shí)平方整理得，x2故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程x24.（橢圓的第三定義）已知點(diǎn)A?a,0,Ba,0,直線AP，BP相交于點(diǎn)P[解析]設(shè)點(diǎn)PxkPA?k故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為x2考點(diǎn)三橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)［多維探究］求離心率的值（范圍）典例2（1）（一題多解）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1a>b>0的左頂點(diǎn)為A，點(diǎn)PA.32 B.22 C.12[解析]（法一：設(shè)而不求法）設(shè)Px1,則由kAP?k由x12a所以b2a2所以橢圓C的離心率e=ca（法二：第三定義法）設(shè)右頂點(diǎn)為B（圖略），連接PB，由橢圓的對(duì)稱(chēng)性知kPB=?k由橢圓的第三定義得kPA?k所以橢圓C的離心率e=故選A.（2）設(shè)B是橢圓C：x2a2+y2b2=A.[22,1) B.[1[解析]設(shè)Px0,y0,易知BPB2因?yàn)?b≤y0≤b，所以當(dāng)?b3c2≤?b，即當(dāng)?b3c2>?b，即b2<c求橢圓離心率（或其范圍）的兩種常用方法與橢圓有關(guān)的最值、范圍問(wèn)題典例3（1）（多選題）設(shè)橢圓C:x25+y2=1的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1,A.BF1=3 C.PF1?PF2[解析]由題意知a=5,b=1,c=PF1的最大值為a+PF1+PF2≥2PF1?P設(shè)Px0,y0，滿足x025+y02=1，由題意知（2）已知P為橢圓x225+y224=1上任意一點(diǎn)，[解析]由x225+y224=1，得a2圓N:x?因?yàn)镻E===?4且P為橢圓x225+所以NP∈[a?所以NP2所以?4所以PE?PF的取值范圍為與橢圓有關(guān)的最值或范圍問(wèn)題的求解策略1.[2024·河北聯(lián)考]已知橢圓C：x2a2+y2b2=1a>b>0A.13 B.16 C.33[解析]如圖，由題意得OF1=