基于一題多解的教育視角研究

【摘

要】通過(guò)多角度多途徑對(duì)2014年廣東卷20題的研究分析，提出了多種解法，拓展出圓錐曲線切線的幾個(gè)結(jié)論?！娟P(guān)鍵詞】切線;消參;圓錐曲線;幾何法2014年的高考早已落下帷幕，全國(guó)各地的高考試卷精彩紛呈，今年有幸看了廣東的數(shù)學(xué)卷，一道解析幾何題目激發(fā)了筆者濃厚的興趣。在筆者學(xué)校組織的月考數(shù)學(xué)試卷中，我們命制了這樣一道題目：過(guò)圓C：（x-2）2+y2=2外一點(diǎn)P作圓的兩條互相垂直的切線，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程。該題目考查圓的切線和圓的定義，比較簡(jiǎn)單。此題與廣東卷20題有類似之處，即把圓換成橢圓，該如何解答？題目1（2014廣東，20）已知橢圓C：+=1（a>b>0）的一個(gè)焦點(diǎn)為（，0），離心率為，（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;（2）若動(dòng)點(diǎn)P（x0，y0）為橢圓C外一點(diǎn)，且點(diǎn)P到橢圓C的兩條切線相互垂直，求點(diǎn)P的軌跡方程。第（1）問易求得橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1.本文只探究第（2）問的解答。一、題目1的條件和待求分析先分析題目的條件和待求。題目中給了三個(gè)條件：①定橢圓C：+=1;②橢圓C外的點(diǎn)P到橢圓C有兩條切線;③點(diǎn)P到橢圓C的兩條切線垂直。待求是：動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程。條件①是整個(gè)試題的背景，也是生成P的一個(gè)依托;條件②和條件③是由依托確定點(diǎn)P的。切線和垂直必然是解題的關(guān)鍵。本題的難點(diǎn)是如何判斷直線和橢圓相切以及如何運(yùn)用兩條切線垂直？想到切線自然想到切線與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，其方程組只有唯一一組解，對(duì)應(yīng)判別式△=0;想到垂直自然想到斜率之積為-1（斜率存在時(shí)）或者是向量數(shù)量積為0。那么，解題的方向就明確了：①設(shè)切線方程（引入?yún)?shù)k——切線斜率），聯(lián)立，判別式△=0，考慮斜率之積為-1，消去參數(shù)k（實(shí)際上是k1，k2）。②看到橢圓的兩個(gè)切點(diǎn)，想到了切點(diǎn)弦方程與點(diǎn)P的坐標(biāo)關(guān)系，切點(diǎn)弦方程怎么用？有什么結(jié)果？切點(diǎn)弦方程中x0，y0是待求的目標(biāo)，x1，x2和y1，y2是參數(shù)，如何消去？③用橢圓的參數(shù)方程，引入兩個(gè)參數(shù)θ1，θ2，如何消去參數(shù)？這些問題都需要通過(guò)垂直溝通和消參來(lái)完成。二、題目1的多角度求解思路1：設(shè)切線方程（含參數(shù)k），用判別式△=0解析1：（1）易求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1。（2）當(dāng)過(guò)點(diǎn)P作橢圓的一條切線的斜率不存在時(shí)，另一條切線必垂直于y軸，易求得P的坐標(biāo)為（±3，±2）。當(dāng)過(guò)點(diǎn)P作橢圓的切線的斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為y-y0=k（x-x0），即y=kx-kx0+y0，與橢圓方程聯(lián)立得y=kx-kx0+y0+=1消去y得（9k2+4）x2-18k（kx0-y0）x+9（kx0-y0）2-36=0，△=[18k（kx0-y0）]2-4×（9k2+4）[9（kx0-y0）2-36]=0，化簡(jiǎn)得（kx0-y0）2-（9k2+4）=0，即（x02-9）k2-2kx0x0+y02-4=0，設(shè)過(guò)P作橢圓的兩條切線的斜率為k1，k2，則k1，k2是上方程的兩個(gè)根，于是k1k2=，又兩條切線垂直，故k1k2=-1，即=-1，整理得x02+y02=13。顯然（±3，±2）也適合方程x02+y02=13，故P點(diǎn)的軌跡方程是x02+y02=13。思路2：設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，運(yùn)用橢圓的切線方程（交軌法）解析2：（1）易求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1。（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）是切點(diǎn)，則PA：+=1，PB：+=1∵PA⊥PB，∴+=0，即16x1x2+81y1y2=0。由+=1，+=1得x=，y=∴x2+y2=，由+=0得y12y22=，代入上式整理得x2+y2=13。注意：x2+y2的運(yùn)算過(guò)程中，運(yùn)用了x12=9-y12，x22=9-y22，減少變量的個(gè)數(shù)，運(yùn)用了16x1x2+81y1y2=0，式子才能簡(jiǎn)潔，才能為下面的消參做好準(zhǔn)備。思路3：運(yùn)用橢圓的參數(shù)方程和橢圓的切點(diǎn)弦方程（交軌法）解析3：（1）易求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1。（2）設(shè)切點(diǎn)A（3cosθ1，2sinθ1），B（3cosθ2，2sinθ2），則PA：+=1，PB：+=1∵PA⊥PB，∴+=0，4cosθ1cosθ2+9sinθ1sinθ2=0，即5cos（θ1+θ2）-13cos（θ1-θ2）=0由+=1+=1得x=，x=∴x2+x2==13，∴P的軌跡方程x2+x2=13。注意：運(yùn)用橢圓的參數(shù)方程，簡(jiǎn)化了消參的過(guò)程，是解析2的簡(jiǎn)化版。思路4：用向量和橢圓的切點(diǎn)弦方程（直譯法）解析4：（1）易求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1。（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）是切點(diǎn)，則由PA⊥PB可得⊥，∴（x0-x1）（x0-x2）+（y0-y1）（y0-y2）=0，即x02-x0（x1+x2）+x1x2+y02-y0（y1+y2）+y1y2=0。（*）由P（x0，y0）可得過(guò)點(diǎn)P的橢圓的切點(diǎn)弦方程為+=1，與橢圓方程聯(lián)立，消去y得到（+）-x0x+1-=0，由韋達(dá)定理得x1+x2=，x1x2=，于是y1+y2=，y1y2=，x1x2+y1y2=，代入（*）式得x02+y02=+-+13即（x02+y02-13）（1-）=0，∵P在橢圓外，∴+≠1，故x02+y02-13=0，即P點(diǎn)的軌跡方程是x02+y02=13。對(duì)比以上四種解法，顯然解析1的運(yùn)算量最小（但要分類討論）。解析1是用待求P點(diǎn)坐標(biāo)表示切線斜率k，再由垂直得出點(diǎn)P的軌跡方程，這種解法應(yīng)是代入法求軌跡方程的變形應(yīng)用;解析2、解析3用的都是交軌法——P是兩條切線的交點(diǎn)，難點(diǎn)是如何消參，很好地體現(xiàn)了減元思想和整體思想;解析4用的直譯法，中間也用到了消參法。后三種方法都避開了討論，但它們的技巧性較強(qiáng)，對(duì)思維的要求較高，對(duì)計(jì)算能力的要求較高。橢圓的特點(diǎn)是兩個(gè)焦點(diǎn)和長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a，能從幾何的角度解決題目1嗎？思路5：橢圓的幾何特征（幾何法）解析5：設(shè)左焦點(diǎn)F1關(guān)于PA、PB的對(duì)稱點(diǎn)分別為F1′，F(xiàn)2′，對(duì)應(yīng)的垂足分別為G、H，所以AF1′=AF1，BF2′=BF2，由橢圓的定義得到F1′F2=F2′F2=2a，因此OG=OH=a，因?yàn)樗倪呅蜳GF1H為矩形，所以O(shè)F12+OP2=OG2+OH2=2a2故OP2=a2+b2=13，即P點(diǎn)的軌跡方程是x02+y02=13，如圖1。注：解析5中運(yùn)用了一個(gè)結(jié)論：平面內(nèi)，任意一點(diǎn)與矩形兩條對(duì)角線端點(diǎn)連線長(zhǎng)度的平方之和相等。三、題目1的拓展從上面的解法中，我們可以得到以下結(jié)論：結(jié)論1：過(guò)P作橢圓+=1（a>0，b>0）的兩條相互垂直的切線PA、PB，則P的軌跡方程x2+y2=a2+b2。這個(gè)圓是蒙日?qǐng)A，因?yàn)榘l(fā)現(xiàn)它的人是法國(guó)數(shù)學(xué)家蒙日（G.Monge，1745-1818）。其逆命題也成立，即：結(jié)論2：設(shè)P為圓x2+y2=a2+b2上任意一點(diǎn)，過(guò)P作橢圓+=1（a>0，b>0）的兩條切線PA、PB，則PA⊥PB。證明仿題目1的解析1即可。遷移到雙曲線上，-=1（a>0，b>0）可以得到：結(jié)論3：過(guò)點(diǎn)P作雙曲線的兩條相互垂直的切線，則點(diǎn)P的軌跡方程是x2+y2=a2-b2。遷移到拋物線上，我們得到：結(jié)論4：過(guò)點(diǎn)P作拋物線y2=2px（p>0）的兩條相互垂直的切線PA、PB，A、B為切點(diǎn)，則P的軌跡方程為x=-。對(duì)題目1的角度（垂直）推廣，我們還得到：結(jié)論5：設(shè)橢圓+=1（a>b>0）的兩條切線交成定角θ（0<θ<π），則交點(diǎn)P的軌跡方程為（x2+y2-a2-b2）2-4a2b2（+-1）cot2θ=0。四、結(jié)束語(yǔ)直線和圓錐曲線的位置關(guān)系歷年來(lái)是各地高考命題的熱點(diǎn)和考查的重點(diǎn)內(nèi)容。一道數(shù)學(xué)高考題，由于其內(nèi)在的規(guī)律，或由于思考的角度的不同，可能會(huì)有許多不同的解法。對(duì)于學(xué)生，研究用多種方法解答同一道數(shù)學(xué)題，不僅能牢固地掌握和運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)，而且通過(guò)一題多解，可以激發(fā)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)新的強(qiáng)烈