2024屆遼寧省沈陽市第120中學高三上學期第四次質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學試題及答案

沈陽市第120中學2023－2024學年度上學期高三年級第四次質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學試題滿分：150分時間：120分鐘一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分）8x15Axx2Bxax1BAa，則實數(shù)取值集合的真子集的1.設集合，集合，若個數(shù)為（）A.2B.3C.7，則z的虛部為（D.82i)z32.已知復數(shù)z滿足）8811D.AB.C.5555n2x23.若x的展開式中，只有第6項的二項式系數(shù)最大，則該項式的展開式中常數(shù)項為（）A.90B.-90C.180D.-180ab1c3，cosac,bc4.向量且abc0，則（）44D.A.B.C.55()5.在《九章算術商功》中將正四面形棱臺體棱臺的上、下底面均為正方形稱為方亭．在方亭ABCD2AB23311中，1111積為（）776727622A.B.C.D.2中，3x3的2na11fxx5n1sinx9的值6.在數(shù)列n為（A.1021B.1022C.10232上的動點，線段ABD.1024M:(x2)2(y2)2C:(x是圓2(y24的一條動弦，7.已知點P是圓|PA|且||23，則的最大值是（）A.32B.82C.52D.822第1頁/共4頁PABC8.已知三棱錐的底面為等腰直角三角形，其頂點P到底面ABC的距離為3，體積為24，若該三棱錐的外接球O的半徑為5，則滿足上述條件的頂點P的軌跡長度為（）A.6πB.30π92π62πC.D.二、多選題（本題共4小題，共20分，每題選項全對給5分，少選或漏選給2分，錯選、多選和不選給0分）9.下列命題正確的是（A.在回歸分析中，相關指數(shù)越小，說明回歸效果越好2×2）rP(20.052B.已知類變量有關C.已知由一組樣本數(shù)據(jù)，若根據(jù)列聯(lián)表得到的觀測值為4.1，則有95%的把握認為兩個分，且（i1，，，）得到的回歸直線方程為i,i2ny4x201ni10，則這組樣本數(shù)據(jù)中一定有60ni1X~N,4，則不論PX46取何值，為定值D.若隨機變量2fxsinxx10.若函數(shù)x的圖象關于直線對稱，則（）6A.33,0yfx的一個對稱中心B.點是曲線xC.直線也是一條對稱軸3312D.函數(shù)在區(qū)間,fx上單調(diào)的前項和，且，則下列選項中正確的是（）.SanSn1Snn211.已知是數(shù)列nnanan12n1（n2A.B.）an2n2a01S4950，則C.若第2頁/共4頁1143單調(diào)遞增，則的取值范圍是an1,D.若數(shù)列abab，且ab012.若正實數(shù)滿足，則下列不等式一定成立的是（）11logab0abA.B.baC.2ab12abD.ab1ba1三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13.若直線：：平行，則，間的距離是______．lxay90與la2x3ya0l1212sincos211tan1tan14.已知銳角，滿足，則__________.15.第19屆杭州亞運會的吉祥物是一組名為“江南憶”的機器人：“琮琮”代表世界遺產(chǎn)良渚古城遺址，“蓮蓮”代表世界遺產(chǎn)西湖，“宸宸”代表世界遺產(chǎn)京杭大運河.現(xiàn)有6個不同的吉祥物，其中“琮琮”?“蓮蓮”和“宸宸”各2個，將這6個吉祥物排成前后兩排，每排3個，且每排相鄰兩個吉祥物名稱不同，則排法種數(shù)共有__________.（用數(shù)字作答）14APxAByxy，則的最大值為16.在銳角中，，若點為的外心，且___________.四、解答題（本題共6小題，共70分）的內(nèi)角AbaBbAbc的對邊分別為，，，已知．，B，Cac17.（1）求tanA；（2）若a17，22，求的周長．18.已知點A4,B3，圓C的半徑為1.C2，過點A作圓C的切線，求此切線的方程；（1）若圓C的圓心坐標為（2）若圓C的圓心C在直線l:yx1上，且圓C上存在點，使MMB2MO，O為坐標原點，求圓心C的橫坐標的取值范圍.aan3中，，是數(shù)列的前項和，且an11Snann19.已知數(shù)列.Snn2（1）求數(shù)列的通項公式：an12n3（2）證明：1S2Sn第3頁/共4頁-ABCBB2，E，F(xiàn)分別為AC和CC的120.已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，11111AB1B1中點，D為棱上的點．11（1）證明：BFDE；BD1CC與面所成的二面角的正弦值最小?（2）當為何值時，面1121.在一次數(shù)學隨堂小測驗中，有單項選擇題和多項選擇題兩種.單項選擇題，每道題四個選項中僅有一個正確，選擇正確得5分，選擇錯誤得0分；多項選擇題，每道題四個選項中有兩個或三個選項正確，全部選對得5分，部分選對得2分，有選擇錯誤的得0分.（1）小明同學在這次測驗中，如果不知道單項選擇題的答案就隨機猜測.已知小明知道單項選擇題的正確1答案和隨機猜測的概率都是.問小明在做某道單項選擇題時，在該道題做對的條件下，求他知道這道單項2選擇題正確答案的概率；（2）小明同學在做某道多項選擇題時，發(fā)現(xiàn)該題的四個選項他均無把握判斷正誤，于是他考慮了以下兩種方案：方案①單選：在四個選項中，等可能地隨機選擇一個；方案②多選：在有可能是正確答案的所有選項組合（如AB、BCD等）中，等可能地隨機選擇一種.若該多項選擇題有三個選項是正確的，請從數(shù)學期望的角度分析，小明應選擇何種方案，并說明理由.x1fxax2aR，其中.22.設函數(shù)ex（1）討論的單調(diào)性；fx（2）若存在兩個極值點，設極大值點為的零點，求證：fx為fxx,x01ln2.01第4頁/共4頁沈陽市第120中學2023－2024學年度上學期高三年級第四次質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學試題滿分：150分時間：120分鐘命題人：馬健于茂源校對人：高越一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分）8x15Axx2Bxax1BAa，則實數(shù)取值集合的真子集的1.設集合，集合，若個數(shù)為（）A.2B.3C.7D.8【答案】C【解析】Aa0和合，進而可求出其真子集的個數(shù).a0兩種情況由BA可求出取值集aax3x5或，【詳解】由x28x0，得(xx0，解得A3,5，所以當a0時，B，滿足BA，1a111315a0BBA3或5，得aa當時，，因為，所以，或，aa11,a綜上，實數(shù)取值的集合為35所以實數(shù)a取值集合的真子集的個數(shù)為2317，故選：C2i)z32.已知復數(shù)z滿足，則z的虛部為（）88115D.A.B.C.555【答案】A【解析】18zi18zi，結(jié)合復數(shù)的定義，即可求解.【分析】根據(jù)復數(shù)的運算法則，求得，得到5555第1頁/共25頁313111182i)z3zi，【詳解】由復數(shù)，可得551885zi所以，所以復數(shù)z的虛部為.55故選：A.n2x23.若x的展開式中，只有第6項的二項式系數(shù)最大，則該項式的展開式中常數(shù)項為（）A.90B.-90C.180D.-180【答案】C【解析】【分析】由已知可知項數(shù)n=10，再表示通項并令其中x的指數(shù)為零，求得指定項的系數(shù)即可.n2【詳解】解：因為x的展開式中只有第六項的二項式系數(shù)最大，則項數(shù)n=10，即x21022x，xr105r2xr則通項為r1rC2rrx，2x2105r0r22C180.22令，則T23故選：C.ab1c3，cosac,bc4.向量且abc0，則（）445D.A.B.C.5【答案】A【解析】【分析】利用平面向量的數(shù)量積及模長計算夾角即可.1cabc2a2b22abab【詳解】由已知可得，2又ac2ab,bcba，22abab2a5abb13142所以ac,bc.774a24abb2b24aba2故選：A第2頁/共25頁()5.在《九章算術商功》中將正四面形棱臺體棱臺的上、下底面均為正方形稱為方亭．在方亭ABCD2AB23311中，1111積為（）776727622A.B.C.D.2【答案】D【解析】AA【分析】先根據(jù)方亭四個側(cè)面的面積之和得到的長度，然后作輔助線找到并求方亭的高，最后利用棱1臺的體積計算公式求解即可．A1AE1，垂足為E，【詳解】如圖，過作331A由四個側(cè)面的面積之和為33知，側(cè)面的面積為，．14123343(AB)AE1E1112121123由題意得：(AB)，在Rt△AA1E中，1AE21E2()21．21122ACACA1AFAC作，垂足為1連接，，過F，11121AAC2111易知四邊形為等腰梯形且AC22，，則，12221F212，21276該方亭的體積V2221222)232故選：D．中，3x32n的值a11fxx5n1sinx96.在數(shù)列n為（A.1021B.1022C.1023D.1024第3頁/共25頁【答案】A【解析】【分析】對應函數(shù)求導，利用奇偶性定義判斷f(x)為偶函數(shù)，根據(jù)有唯一零點知n132(nf(0)0，構(gòu)造法有，應用等比數(shù)列定義寫出通項公式并求對應項.4axn12a3在R上有唯一零點，nf(x)5x【詳解】由f(x)x)4acos(x)n12a342anf(x)，5xaxn1而n所以f(x)為偶函數(shù)，則f(0)n12n30，故an132(n，且a341，所以na342n12n1是首項為4，公比為2的等比數(shù)列，則，na1031021.9則故選：A【點睛】關鍵點點睛：判斷導函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，進而得到2上的動點，線段AB0為關鍵f(0).M:(x2)2(y2)2C:(x2(y4的一條動弦，27.已知點P是圓是圓|PA|且||23，則的最大值是（）A.32B.82C.52D.822【答案】D【解析】【分析】作出圖象，過點C作CDAB，垂足為D，連接，則有|CD|1，從而得點D的軌跡方程為(x2(y1，由向量的加法法則可得2，根據(jù)圓與圓的位置關系求出||即可2得答案.M2,2，半徑為2，M:(x2)2(y2)4的圓心為C22的圓心為【詳解】解：圓圓C:(x2(y2，半徑為2，如圖，過點C作CDAB，垂足為D，連接，第4頁/共25頁D為AB中點，即|BD3，又|CB2，|CD|CB22431，點D的軌跡是以C為圓心，1為半徑的圓，點D的軌跡方程為(x2(y21，D是AB中點，2，||CM21(12)2(12)21421，2max所以||的最大值為2(42822.故選：8.已知三棱錐24，若該三棱錐的外接球O的半徑為5，則滿足上述條件的頂點P的軌跡長度為（PABC的底面為等腰直角三角形，其頂點到底面PABC的距離為3，體積為）A.6πB.30π92π62πC.D.【答案】D【解析】PABC【分析】利用三棱錐的體積，求解底邊邊長，求出的外接圓半徑，以及球心O到底面的距離，判斷頂點的軌跡是兩個不同截面圓的圓周，P進而求解周長即可．，xx0【詳解】依題意得，設底面等腰直角三角形的邊長為11PABCVx3242三棱錐的體積32第5頁/共25頁解得：x=43ABC1r24326的外接圓半徑為12球心O到底面的距離為1R2r25241，21頂點P到底面ABC的距離為3，頂點P的軌跡是一個截面圓的圓周當球心在底面和截面圓之間時，球心O到該截面圓的距離為d312，2截面圓的半徑為d2254r2R2221，2221頂點P的軌跡長度為；當球心在底面和截面圓同一側(cè)時，球心O到該截面圓的距離為d314，3截面圓的半徑為r3R2d3225163，3；頂點P的軌跡長度為62π綜上所述，頂點P故選：D．【點睛】本題考查空間幾何體外接球的問題以及軌跡周長的求法，考查空間想象能力、轉(zhuǎn)化思想以及計算能力，題目具有一定的難度．二、多選題（本題共4小題，共20分，每題選項全對給5分，少選或漏選給2分，錯選、多選和不選給0分）9.下列命題正確的是（A.在回歸分析中，相關指數(shù)越小，說明回歸效果越好2×2）rP(20.052B.已知類變量有關C.已知由一組樣本數(shù)據(jù)，若根據(jù)列聯(lián)表得到的觀測值為4.1，則有95%的把握認為兩個分，且（i1，，，）得到的回歸直線方程為i,i2ny4x20第6頁/共25頁1ni10，則這組樣本數(shù)據(jù)中一定有60ni1X~N,4，則不論PX46取何值，為定值D.若隨機變量【答案】BD【解析】【分析】A.由相關指數(shù)的意義判斷；B.由臨界值表判斷；C.由樣本數(shù)據(jù)和回歸直線方程的關系判斷；D.由正態(tài)曲線的原則判斷.r【詳解】A.在回歸分析中，相關指數(shù)越大，說明回歸效果越好，故錯誤；P(20.052，且的把握4.13.841，則有95%B.已知若根據(jù)2×2列聯(lián)表得到的觀測值為4.1認為兩個分類變量有關，故正確；（i1，，，）得到的回歸直線方程為，由i,iC.已知由一組樣本數(shù)據(jù)2ny4x201nxi1060是樣本點的中心，一定在直線上，但這組樣本中數(shù)據(jù)不一定有，得到y(tǒng)，則ni160，故錯誤；X~N,4，則2，D.若隨機變量PX3P2X6P2X所以P4X，2PX3P2X0.99740.95440.9759，22所以不論取何值，P4X6為定值.故選：BD2fxsinxx10.若函數(shù)x的圖象關于直線對稱，則（）6A.33,0yfx的一個對稱中心B.點是曲線xC.直線也是一條對稱軸3第7頁/共25頁,D.函數(shù)在區(qū)間fx上單調(diào)312【答案】CD【解析】【分析】利用輔助角公式化簡函數(shù)，再根據(jù)三角函數(shù)性質(zhì)進行求解即可.fx42kfx2sinx【詳解】由題意函數(shù)x,(kZ)，其對稱軸為，即042kk5xx0，,，所以令，解得0246212212125,對于選項A,因此A錯誤；1212對于選項B，該函數(shù)沒有對稱中心，因此B錯誤；kx0k0,對于選項C，令，解得，取，符合題意，因此C正確；3212122對于選項D，函數(shù)在kxk單調(diào)遞增，fx42312kxk，當fx在區(qū)間,即時，函數(shù)上單調(diào)遞增，4412312當時，函數(shù)fx在區(qū)間,上單調(diào)遞減，因此選項D正確.12故選：CD的前項和，且，則下列選項中正確的是（）.SanSn1Snn211.已知是數(shù)列nnanan12n1（n2A.B.）an2n2a01S4950，則C.若1143單調(diào)遞增，則的取值范圍是an1,D.若數(shù)列【答案】AC【解析】SSnn2【分析】對于A，由，多寫一項，兩式相減即可得出答案.n1anan12n1（n2n2.對于B，由，兩式相減即可得出答案少了條件第8頁/共25頁對于C，由分析知，所以奇數(shù)項是以10為首項，2為公差的等差數(shù)列，偶數(shù)項是以an2n2ana21n為首項，2為公差的等差數(shù)列，由等差數(shù)列得前項和公式即可得出答案.對于D，因為數(shù)列單調(diào)遞增，根據(jù)aaaaa，即可求出.ana11234n【詳解】對于A，因為，當2，兩式相減得：Sn1n1SSnn2n2S，n1nanan12n1（n2）,所以A正確.aa2n1（n2anan22nn1，對于B，因為）,所以nn1an2n2（n2兩式相減得：B不正確.對于C，Sn1Snn，令n1，則S1a1，因為12Sa，122110a1n2SS4aaaaa4a2，所以3，所以.令，則，.23212312an2n2（n2aa2an2.n2因為，所以31所以奇數(shù)項是以a01為首項，2為公差的等差數(shù)列.ana12偶數(shù)項是以為首項，2為公差的等差數(shù)列.aaaaa=aaa+aaa1231324S則：5049504950025012=4950，所以C正確.22SSnn2n1，則S2S1aaa1a2a1對于D，，令，，則n1112121aan2=2n1，令n1則aa=3a=3a213212又因為同理：，所以，n2332a=5a52a22a34，311a=7a73214214，5因為數(shù)列單調(diào)遞增，所以aaaaa1234n，an13aaa1解解解得：，121aa2a得：，31414aa3a得：，41第9頁/共25頁14aaa解解得：得：，45114aaa1，561144a,所以的取值范圍是，所以D不正確.1故選：AC.aa2n1，得出的奇數(shù)項、偶數(shù)a【點睛】本題考查的是等差數(shù)列的知識，解題的關鍵是利用nn1n項分別成等差數(shù)列，考查學生的邏輯推理能力和運算求解能力，屬于難題.ababab0，且，則下列不等式一定成立的是（12.若正實數(shù)滿足）11logab0abA.B.baC.2ab12abD.ab1ba1【答案】AD【解析】b0，yxabab0，故【分析】因為aab0為單調(diào)遞增函數(shù)，故，由于ba0.對于ABC，分ab0、ba0，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及，或作差比較法即可判斷；對于D，由ab1a1兩邊取自然對數(shù)得到b1aa1b，即baba1b1x()x0且，構(gòu)造函數(shù)fx=（x1.x-1b0，yxab，【詳解】因為a為單調(diào)遞增函數(shù)，故由于ab0，故ab0，或ba0，ab0ab1，此時b0當時，；a11a1ab11abab10ab，故；bba1aba1b10，2ab12ab；1ab1a1abba0時，0ba1，此時b0，ab10，故當ab111aba1b10，2ab12abab；；ba對于ABC，A正確，BC均錯誤；第10頁/共25頁a1，兩邊取自然對數(shù)，對于D，ab1b1aa1b，b因為不管ab1，還是0ba1，均有a1b1，0aba1b1aba1b1所以，故只需證即可，11xxf(x)=（x0且x1fxx設，x-12x11111xgxxx0x1（且gx1令當，xx2xx2gx0，x時，gx0，當x時，gxg10所以fx0在xx1上恒成立，0且，所以xf(x)=（x0且x1）單調(diào)遞減，故x-1aba1b1因為ab，所以故選：AD．，結(jié)論得證，D正確．【點睛】思路點睛：構(gòu)造函數(shù)是基本的解題思路，因此觀察題目所給的數(shù)的結(jié)構(gòu)特點，以及數(shù)與數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，合理構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)判斷單調(diào)性是解題的關鍵.三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13.若直線：a2x3ya0：平行，則，間的距離是______．lxay90與ll1212【答案】42【解析】a【分析】先根據(jù)兩直線平行得出的值，再根據(jù)平行線的距離公式計算即可.13aa21a9a2且，解之得a1，【詳解】因為兩直線平行可得l:xy90l:3x3y30xy10所以，，1291d42故兩直線的距離為.212故答案為：42.14.已知銳角sincos211tan1tan，滿足，則__________.第11頁/共25頁2【答案】【解析】2tan1.【分析】根據(jù)二倍角公式與同角三角函數(shù)的關系可得，進而可得sincos211tan1tan【詳解】由題意，，由二倍角公式與同角三角函數(shù)的關系可得2sincos1tan11tan，即，2sin21tantan1tantan1tan整理可得1，tantantantan1tan，故3π又銳角，故π，，43π2故cos.422故答案為：215.第19屆杭州亞運會的吉祥物是一組名為“江南憶”的機器人：“琮琮”代表世界遺產(chǎn)良渚古城遺址，“蓮蓮”代表世界遺產(chǎn)西湖，“宸宸”代表世界遺產(chǎn)京杭大運河.現(xiàn)有6個不同的吉祥物，其中“琮琮”?“蓮蓮”和“宸宸”各2個，將這6個吉祥物排成前后兩排，每排3個，且每排相鄰兩個吉祥物名稱不同，則排法種數(shù)共有__________.（用數(shù)字作答）【答案】336【解析】【分析】考慮到前排是有兩種不同名稱的吉祥物，還是有三種不同名稱的吉祥物，分類求出排法數(shù)，根據(jù)分類加法計數(shù)原理即可得答案.【詳解】由題意可分兩種情形：①前排含有兩種不同名稱的吉祥物，首先，前排從“琮琮”“蓮蓮”和“宸宸”中取兩種，其中一種取兩個，另一種選一個，有C23C12C1C222A2224種排法；A222242種排法，故共有種不同的排法；其次，后排有C12C1C212A3348②前排含有三種不同名稱的吉祥物，有種排法；A336486288種排法，此時共有種排法；后排有48288336因此，共有種排法，第12頁/共25頁故答案為：336【點睛】關鍵點睛：解答本題的關鍵是分類考慮，即考慮到前排是有兩種不同名稱的吉祥物，還是有三種不同名稱的吉祥物，分類求解即可.14APxAByxy，則的最大值為16.在銳角中，，若點為的外心，且___________.4【答案】##0.85【解析】【分析】通過向量的減法，把AB，AC轉(zhuǎn)化為APPB與，進行整理后再平方處理即可得解.1xyxPByPC，整理得：xAByACxy【詳解】R，則上式兩邊平方得：設銳角外接圓的半徑為，所以R781x2R2x2R2y2R22①，其中BPC2A，2cosBPC2cosA12y74代入①式，得：1xy2222x2y，xy，整理得：415xy2xy由基本不等式得：，當且僅當時，等號成立424344xyxyxy即當2x2y，解得：或515442322xyxy時，此時，，此時P點在△ABC外部，△ABC為鈍角三角形，333445xyxy與題干矛盾，所以舍去，成立34故答案為：5四、解答題（本題共6小題，共70分）的內(nèi)角AbaBbAbc的對邊分別為，，，已知．，B，Cac17.（1）求tanA；（2）若a17，的面積為22，求的周長．【答案】（1）A22（2）5【解析】第13頁/共25頁13A1）根據(jù)正弦定理得，從而求得tanA；（2）根據(jù)面積公式和余弦定理即可求得【小問1詳解】.因為aBbAbc，所以由正弦定理可得sinAB2sinBAsinBsinC．3sinBAsinB，所以．sinCsinABsinABAsinB又1因為sinB0，所以A．3223Aπ，所以sinA，A22．又【小問2詳解】122bc6．的面積SbcsinAbc22，則32432b2c2bcAb2c2bcbc2a2bc25，a由余弦定理：所以bc5，得3的周長為5，故．18.已知點A4,B3，圓C的半徑為1.C2，過點A作圓C的切線，求此切線的方程；（1）若圓C的圓心坐標為（2）若圓C的圓心C在直線l:yx1上，且圓C上存在點，使MMB2MO，O為坐標原點，求圓心C的橫坐標的取值范圍.a【答案】（1）x4或3x4y402322322（2）a或a.222【解析】1）根據(jù)圓心到直線的距離分直線斜率存在與不存在求解；a（2）由條件求出M所在圓，利用兩圓相交求出的取值范圍.【小問1詳解】由題意得圓C標準方程為(x2(y2)21，y4kx4，當切線的斜率存在時，設切線方程為第14頁/共25頁2k34d1，解得：k由，2k1當切線的斜率不存在時，切線方程為x4，滿足題意；3x4y40.所以切線的方程為x4或【小問2詳解】上，設Ca,a由圓心C在直線l:yx1，，由Mx,yMB2MO，設點得：x2(y22x42y2，x2(y2化簡得：，所以點M在以D為圓心，2為半徑的圓上.又點M在圓C上，所以圓C與圓D有交點，則1CD3，即1a2a23，2323222a或a.解得：222an3中，，是數(shù)列的前項和，且an11Snann19.已知數(shù)列.Snn2（1）求數(shù)列的通項公式：an12n3.（2）證明：1S2Snnn1【答案】（1）n2（2）證明見解析【解析】ann1an1n1anSa，利用累乘法即可求得；n1）利用與關系可推導得到nan3naSn（2）由，結(jié)合可得，并由此得到；采用裂項相消法可整理得到Snn2nSn第15頁/共25頁12n112n21n26，由0可證得結(jié)論.1S2Sn【小問1詳解】an33Snn2aa0且；nn由得：Snn2a3S3Sn2annan1，當n2且nN時，nnn1an1整理可得：n1an1a，n，nn1an1n1an1nan2n1an2n2an3n3a42a2131，3則，，，，a243nnann1nn1121a1，又，1各式相乘得：1n1n2n32nn1n.2nn1當n1時成立，故n.2【小問2詳解】an3nn1n2n2n由得：Sn，Snn236nn6116nn2nn1n2n1n2，Sn612n1111233411112n266，1S2Snn1n21n212n10，63又.1S2Sn2-ABCBB2，E，F(xiàn)分別為AC和CC的120.已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，11111AB1B1中點，D為棱上的點．11第16頁/共25頁（1）證明：BFDE；BD1CC（2）當為何值時，面與面所成的二面角的正弦值最小?111BD1【答案】（12）2【解析】1）方法二：通過已知條件，確定三條互相垂直的直線，建立合適的空間直角坐標系，借助空間向量證明線線垂直；（2）方法一：建立空間直角坐標系，利用空間向量求出二面角的平面角的余弦值最大，進而可以確定出答案；【詳解】（1）[方法一]：幾何法AB,AB//因為，所以BFAB．1111BFBB1B1B2．又因為，構(gòu)造正方體又因為，，所以平面11ABCGABCG，如圖所示，1111AM,BN過E作AB的平行線分別與AC和CC，BC交于其中點M,N，連接，11因為E，F(xiàn)分別為的中點，所以N是BC的中點，1RtBCFRt1BNN易證，則．BBNBNBBNBBN又因為，所以．1111第17頁/共25頁AB,BNABBAMNB又因為1，所以平面．1111111又因為ED平面AMNBBFDE，所以．11[方法二]-ABC是直三棱柱，BB1底面因為三棱柱1111AB//1BBB1B1B,BC,．所以1平面，，，又1111兩兩垂直．以B為坐標原點，分別以,BC,x,y,z所在直線為軸建立空間直角坐標系，如圖．1B0,0,0,A2,0,0,C2,0,B0,0,2,A2,0,2,C2E0,F2,1，．111由題設Da,0,2（0a22,1,1a2因為所以，BFDE01a21120，所以BFDE．1BABBFABBFAB0[方法三]：因為，，所以，故，BFAB0，所以111111BD=BFBDBFEBBBBFEBBFBB1111121121212BFBABCBFBB11211121BFBCcosFBCBFBBcosFBB=52520，所以112255．（2）[方法一]，設平面的法向量為mx,y,z第18頁/共25頁,1a2因為所以，xyz0mEF0，即．1axy2z0mDE0令z2a，則ma,2a2,0,0，1B因為平面的法向量為111與平面的二面角的平面角為設平面，mBA63cos則當．mBA22a22a142a22a1412272a2a14時，2a2取最小值為，36cos此時取最大值為273．22631BD，此時1所以sin1．332[方法二]：幾何法如圖所示，延長EF交AC的延長線于點S，聯(lián)結(jié)DSBC交于點T，則平面平面1111BBC．BH1，則DHCCCC與平面11作，垂足為H，因為平面，聯(lián)結(jié)1為平面111所成二面角的平面角．BDt,tBTsCG//AB111DS于點G．設，過C1作交11第19頁/共25頁1S1G1D13(2t)．由又又得CGSA31ts1DTGT3tt1，即12s，所以s．(2t)31HT1F1H1ssBH1，即，所以．1(2s)21(2s)2s2t21H21D2t2t2．所以1(2s)22tt519t1D1則sin1，tt522t212922tt213所以，當t時，1min．23[方法三]：投影法FB1,FN如圖，聯(lián)結(jié)，，記面所成的二面角的平面角為，則CCCC與面11在平面的投影為11S1NFSDEFcos．BDttRtDBF22t5．2設在，在中，DF1D1F11RtECFEN中，223，過D作BN的平行線交于點Q．1第20頁/共25頁RtDEQD2EQ25t)2在中，．t15(t2222在中，由余弦定理得，523t2tt21132Ssintt142S，,，51NF3t222S1S39，1，2tt7t142t211233當t，即BD1，面CC與面．所成的二面角的正弦值最小，最小值為112【整體點評】第一問，方法一為常規(guī)方法，不過這道題常規(guī)方法較為復雜，方法二建立合適的空間直角坐標系，借助空間向量求解是最簡單，也是最優(yōu)解；方法三利用空間向量加減法則及數(shù)量積的定義運算進行證明不常用，不過這道題用這種方法過程也很簡單，可以開拓學生的思維.第二問：方法一建立空間直角坐標系，利用空間向量求出二面角的平面角是最常規(guī)的方法，也是最優(yōu)方CC法；方法二：利用空間線面關系找到，面與面所成的二面角，并求出其正弦值的最小值，11CC上的投影三角形的面積與△不是很容易找到；方法三：利用面在面面積之比即為面11CC與面所成的二面角的余弦值，求出余弦值的最小值，進而求出二面角的正弦值最小，非常11好的方法，開闊學生的思維．21.在一次數(shù)學隨堂小測驗中，有單項選擇題和多項選擇題兩種.單項選擇題，每道題四個選項中僅有一個正確，選擇正確得5分，選擇錯誤得0分；多項選擇題，每道題四個選項中有兩個或三個選項正確，全部選對得5分，部分選對得2分，有選擇錯誤的得0分.（1）小明同學在這次測驗中，如果不知道單項選擇題的答案就隨機猜測.已知小明知道單項選擇題的正確1答案和隨機猜測的概率都是.問小明在做某道單項選擇題時，在該道題做對的條件下，求他知道這道單項2選擇題正確答案的概率；（2）小明同學在做某道多項選擇題時，發(fā)現(xiàn)該題的四個選項他均無把握判斷正誤，于是他考慮了以下兩種方案：方案①單選：在四個選項中，等可能地隨機選擇一個；方案②多選：在有可能是正確答案的所有選項組合（如AB、BCD等）中，等可能地隨機選擇一種.若該多項選擇題有三個選項是正確的，請從數(shù)學期望的角度分析，小明應選擇何種方案，并說明理由.4【答案】（1）5（2）選擇方案①.第21頁/共25頁【解析】1）根據(jù)全概率公式可求得該單項選擇題回答正確的概率，由條件概率公式可求得結(jié)果；（2）分別計算方案①②的得分期望，比較大小即可.【小問1詳解】記