備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)(世紀(jì)金榜高中全程復(fù)習(xí)方略數(shù)學(xué)人教A版基礎(chǔ)版)課時作業(yè)五十九　拋物線

PAGE溫馨提示：此套題為Word版，請按住Ctrl,滑動鼠標(biāo)滾軸，調(diào)節(jié)合適的觀看比例，答案解析附后。板塊。五十九拋物線(時間:45分鐘分值:90分)【基礎(chǔ)落實練】1.(5分)(2024·濟(jì)南模擬)已知點(1,4)在拋物線y=ax2上,則拋物線的焦點坐標(biāo)為()A.(1,0) B.(0,1) C.(0,116) D.(1【解析】選C.因為點(1,4)在拋物線y=ax2上,所以4=a×12,則a=4,所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是x2=14y則拋物線的焦點坐標(biāo)為F(0,116)2.(5分)(2024·南昌模擬)已知拋物線C:y2=4x的焦點為F,拋物線C上一點P到點F的距離為3,則點P到原點的距離為()A.2 B.3 C.22 D.23【解析】選D.拋物線C:y2=4x的準(zhǔn)線為x=-1,由題意,設(shè)P(x0,y0),因為|PF|=3=x0-(-1),所以x0=2,P(2,±22),則點P到原點的距離為4+8=23.3.(5分)(2024·長春模擬)已知拋物線C:y2=2px(p>0)的頂點為O,經(jīng)過點A(x0,2),且F為拋物線C的焦點,若|AF|=3|OF|,則p=()A.12 B.1 C.2 D.【解析】選C.因為點A(x0,2)在拋物線上,|AF|=3|OF|,所以x0+p2=3所以x0=p,所以A(p,2),所以4=2p2,解得p=2.【加練備選】拋物線C:x2=8y的焦點為F,過F且傾斜角為π4的直線l與拋物線C交于A,B兩點,點D為拋物線C上的動點,且點D在l的右下方,則△DAB面積的最大值為(A.162 B.122 C.82 D.62【解析】選A.由C:x2=8y知F(0,2),則直線l的方程為y=x+2,設(shè)D(x,x2則D到直線l的距離為d=|x又點D在l的右下方,所以d=|x-x聯(lián)立方程x2=8yy=x設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=8,x1·x2=-16,所以|AB|=1+12·(x1+x2)2-4x1x2=16,所以S=22(-x2+8x+16),故當(dāng)x=4時,S△DAB有最大值1624.(5分)(2024·東城模擬)過拋物線y2=4x的焦點F的直線交拋物線于A,B兩點,若F是線段AB的中點,則|AB|=()A.1 B.2 C.3 D.4【解析】選D.由題可知:線段AB為拋物線的通徑,所以|AB|=4.5.(5分)(多選題)(2024·漳州模擬)上甘嶺戰(zhàn)役是抗美援朝中中國人民志愿軍進(jìn)行的最著名的山地防御戰(zhàn)役.在這場戰(zhàn)役中,我軍使用了反斜面陣地防御戰(zhàn)術(shù).反斜面是山地攻防戰(zhàn)斗中背向敵方、面向我方的一側(cè)山坡.反斜面陣地的構(gòu)建,是為了規(guī)避敵方重火力輸出.某反斜面陣地如圖所示,山腳A,B兩點和敵方陣地D點在同一條直線上,某炮彈的彈道DCE是拋物線Γ的一部分,其中E在直線AB上,拋物線的頂點C到直線AB的距離為100米,DE長為400米,CD=CE,∠CAB=30°,建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系使得拋物線Γ的方程為x2=-2py(p>0),則()A.p=200B.Γ的準(zhǔn)線方程為y=100C.Γ的焦點坐標(biāo)為(0,-50)D.彈道CE上的點到直線AC的距離的最大值為50【解析】選ABD.如圖所示,建立以C為坐標(biāo)原點,x軸平行于AB,y軸垂直于AB的平面直角坐標(biāo)系.此時C(0,0),E(-200,-100),D(200,-100),拋物線Γ的方程為x2=-2py(p>0),即2002=-2p×(-100),解得p=200,故A正確;拋物線Γ的方程為x2=-400y,準(zhǔn)線方程為y=100,焦點坐標(biāo)為(0,-100),故B正確,C錯誤;因為∠CAB=30°,C(0,0),故kAC=tan30°=33所以直線AC的方程為y=33x即x-3y=0,不妨設(shè)CE上一點為Q(x0,y0),x0∈[-200,0],當(dāng)Q點處的切線與直線AC平行時,Q到直線AC的距離最大.由y=-1400x2可得y'=-1200故-1200x0=3解得Q(-2003,-100此時Q點到直線AC的距離為|-200336.(5分)(多選題)(2022·新高考Ⅱ卷)已知O為坐標(biāo)原點,過拋物線C:y2=2px(p>0)焦點F的直線與C交于A,B兩點,其中A在第一象限,點M(p,0),若|AF|=|AM|,則()A.直線AB的斜率為26B.|OB|=|OF|C.|AB|>4|OF|D.∠OAM+∠OBM<180°【解析】選ACD.根據(jù)題意如圖,對于A,易得Fp2,0,由|AF|=|AM|可得點A在FM的垂直平分線上,則點A橫坐標(biāo)為p2+p2=3p4,代入拋物線可得y2=2p·3p4=32對于B,由斜率為26可得直線AB的方程為x=126y+聯(lián)立拋物線方程得y2-16py-p2設(shè)B(x1,y1),則62p+y1=66則y1=-6p3,代入拋物線得-6p32=2p·x1,解得x1則|OB|=p32+-6p3對于C,由拋物線定義知:|AB|=3p4+p3+p=25p12對于D,OA·OB=3p4,6p2·p3,-6p3=3p4·p3+6p2·-6p3=-3p24<0,則∠AOB為鈍角,又MA·MB=又∠AOB+∠AMB+∠OAM+∠OBM=360°,則∠OAM+∠OBM<180°,D正確.7.(5分)(2024·南昌模擬)在水平地面豎直定向爆破時,在爆破點炸開的每塊碎片的運動軌跡均可近似看作是拋物線的一部分.這些碎片能達(dá)到的區(qū)域的邊界和該區(qū)域軸截面的交線是拋物線的一部分(如圖中虛線所示),稱該條拋物線為安全拋物線.若某次定向爆破中碎片達(dá)到的最大高度為40米,碎片距離爆炸中心的最遠(yuǎn)水平距離為80米,則這次爆破中,安全拋物線的焦點到其準(zhǔn)線的距離為________米.

【解析】以拋物線最高點為坐標(biāo)原點,平行于地面的直線為x軸,建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè)拋物線方程為x2=-2py(p>0),由題意得A(80,-40),將其代入拋物線方程得6400=80p,解得p=80,故安全拋物線的焦點到其準(zhǔn)線的距離為80米.答案:808.(5分)直線y=3(x-1)與拋物線y2=4x相交于A,B兩點,且A在第一象限,F是拋物線的焦點,則|AF||【解析】設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),聯(lián)立直線和拋物線的方程得y=消去y可得,3x2-10x+3=0,解得x1=3,x2=13由于直線過拋物線的焦點F,且A在第一象限,p=2,所以|AF||BF答案:39.(10分)(2024·遂寧模擬)直線y=kx-2交拋物線y2=2px(p>0)于A,B兩點,線段AB中點的橫坐標(biāo)為2,拋物線的焦點到y(tǒng)軸的距離為2.(1)求拋物線方程;【解析】(1)拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F(p2,0)因為拋物線的焦點到y(tǒng)軸的距離為2,則p2=2,可得p=4,所以,拋物線的方程為y2=8(2)設(shè)拋物線與x軸交于點D,求△ABD的面積.【解析】(2)若k=0,則直線AB與拋物線y2=8x只有一個交點,不符合題意,則k≠0,設(shè)點A(x1,y1),B(x2,y2),聯(lián)立y=k2x2-(4k+8)x+4=0,Δ=(4k+8)2-16k2=64k+64>0,解得k>-1,因為線段AB中點的橫坐標(biāo)為2,所以4k+8k2=4,整理可得k又因為k>-1,解得k=2,易知拋物線y2=8x交x軸于點D(0,0),則有4x2-16x+4=0,可得x2-4x+1=0,由根與系數(shù)的關(guān)系可得x1+x2=4,x1x2=1,由弦長公式可得|AB|=1+22·|x1-x2|=5·(x1+x2原點D到直線AB:2x-y-2=0的距離為d=222+所以,S△ABD=12|AB|·d=12×215×25【加練備選】(2024·包頭模擬)拋物線y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線被圓x2+y2-2y-3=0截得的弦長為23.(1)求p的值;【解析】(1)圓x2+y2-2y-3=0,即x2+(y-1)2=4,圓心C(0,1),半徑為2,則C到準(zhǔn)線距離為d=22-(3)2=1,所以準(zhǔn)線方程為所以拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=4x.(2)過點M(4,0)的直線交拋物線于點A,B,證明:以AB為直徑的圓過原點O.【解析】(2)設(shè)直線AB方程為x=my+4,A(y124,y1),B(y2聯(lián)立方程x=my+4y2=4x,消去則Δ=16m2+64>0,可得y1·y2=-16,又因為OA=(y124,y1),OB=(y2則OA·OB=(y1y2)216+可得OA⊥OB,即以線段AB為直徑的圓過原點O.【能力提升練】10.(5分)(多選題)(2024·深圳模擬)已知拋物線C:y2=4x的焦點為F,M(x0,y0)是拋物線C上一個動點,點A(0,2),則下列說法正確的是()A.若|MF|=5,則y0=4B.過點A與拋物線C有一個公共點的直線有3條C.連接M,F并延長與拋物線交于點N,若M,N的中點Q(1,1),則|MN|=4D.點M到直線x-y+3=0的最短距離為22【解析】選BC.由拋物線C:y2=4x的方程可得焦點F(1,0),準(zhǔn)線方程x=-1,A中,由拋物線的性質(zhì)|MF|=x0+1=5,則x0=4,代入拋物線的方程可得y0=±4,所以A不正確;B中,將A點的坐標(biāo)代入:22>4×0,可得A點在拋物線的外面,所以過A有兩條直線與拋物線相切,還有一條平行于x軸的直線與拋物線有一個公共點,所以有3條直線與拋物線有一個公共點,B正確;C中,|MN|=x0+xN+p=2xQ+2=4,所以C正確;D中,點M到直線x-y+3=0的距離d=|x0-y0+3|2=|y02411.(5分)(多選題)(2023·新高考Ⅱ卷)設(shè)O為坐標(biāo)原點,直線y=-3(x-1)過拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點,且與C交于M,N兩點,l為C的準(zhǔn)線,則()A.p=2B.|MN|=8C.以MN為直徑的圓與l相切D.△OMN為等腰三角形【解析】選AC.A選項:直線y=-3(x-1)過點(1,0),所以拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F(1,0),所以p2=1,p=2,2p=4,則A選項正確,且拋物線C的方程為y2=4B選項:設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),由y=-3(x-1)y2=4x解得x1=3,x2=13,所以|MN|=x1+x2+p=3+13+2=16C選項:設(shè)MN的中點為A,M,N,A到直線l的距離分別為d1,d2,d,因為d=12(d1+d2)=12(|MF|+|NF|)=12即A到直線l的距離等于MN的一半,所以以MN為直徑的圓與直線l相切,C選項正確.D選項:直線y=-3(x-1),即3x+y-3=0,O到直線3x+y-3=0的距離為d=32所以△OMN的面積為12×163×32由上述分析可知y1=-3(3-1)=-23,y2=-3(13-1)=2所以|OM|=32+(-23)2=21所以△OMN不是等腰三角形,D選項錯誤.12.(5分)(多選題)(2022·新高考Ⅰ卷)已知O為坐標(biāo)原點,點A(1,1)在拋物線C:x2=2py(p>0)上,過點B(0,-1)的直線交C于P,Q兩點,則()A.C的準(zhǔn)線為y=-1B.直線AB與C相切C.|OP|·|OQ|>|OA|2D.|BP|·|BQ|>|BA|2【解析】選BCD.將點A代入拋物線方程得1=2p,所以拋物線方程為x2=y,故準(zhǔn)線方程為y=-14kAB=1-(-所以直線AB的方程為y=2x-1,聯(lián)立y=2x-1x2=y設(shè)過點B的直線為l,若直線l與y軸重合,則直線l與拋物線C只有一個交點,所以,直線l的斜率存在,設(shè)其方程為y=kx-1,P(x1,y1),Q(x2,y2),聯(lián)立y=kx-1x2所以Δ=所以k>2或k<-2,y1y2=(x1x2)2=1,又|OP|=x12+y12=y1所以|OP|·|OQ|=y1y2(1+y1)(1+因為|BP|=1+k2|x1|,|BQ|=1+k2所以|BP|·|BQ|=(1+k2)|x1x2|=1+k2>5,而|BA|2=5,故D正確.13.(5分)經(jīng)過拋物線x2=4y的焦點的直線與拋物線相交于A,B兩點,若|AB|=4,則△OAB(O為坐標(biāo)原點)的面積為________.

【解析】由題意知,拋物線x2=4y的焦點F(0,1),設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),直線AB:y=kx+1,聯(lián)立方程y=消去x可得y2-(2+4k2)y+1=0,Δ=(2+4k2)2-4=16k4+16k2≥0,由根與系數(shù)的關(guān)系得y1+y2=2+4k2,y1y2=1,因為|AB|=|AF|+|FB|=y1+y2+2=2+4k2+2=4,所以k2=0,即k=0,所以直線AB:y=1,所以點O到直線AB的距離為|OF|=1,所以S△OAB=12|OF|·|AB|=12答案:2【加練備選】(2024·運城模擬)已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點F到其準(zhǔn)線的距離為2,圓M:(x-1)2+y2=1,過F的直線l與拋物線C和圓M從上到下依次交于A,P,Q,B四點,則9|AP|+4|BQ|的最小值為______.

【解析】因為拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離為2,所以p=2,所以拋物線方程為y2=4x,如圖,|PF|=|QF|=1,因為9|AP|+4|BQ|=9(|AF|-|PF|)+4(|BF|-|QF|)=9|AF|+4|BF|-13,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),所以|AF|=x1+p2=x1+1,|BF|=x2+p2=x所以9|AP|+4|BQ|=9x1+4x2,因為直線l與x軸平行時顯然不符合題意,故可設(shè)l:x=my+1,因為直線所過定點F(1,0)在拋物線內(nèi)部,則直線l必然與拋物線有兩交點,同樣與圓也有兩交點,聯(lián)立y2=4xx=my+1,x所以x1x2=1,所以9|AP|+4|BQ|=9x1+4x2≥236x1x2=12,當(dāng)且僅當(dāng)9x1=4x2,即x1=23,x2=32答案:1214.(10分)(2023·南京模擬)已知O為坐標(biāo)原點,拋物線E:x2=2py(p>0),過點C(0,2)作直線l交拋物線E于點A,B(其中點A在第一象限),OA·OB=-4且AC=λCB(λ>0).(1)求拋物線E的方程;【解析】(1)直線l的斜率顯然存在,設(shè)直線l的方程為y=kx+2,設(shè)直線l與拋物線的交點坐標(biāo)為A(x1,y1),B(x2,y2)(x1>0),A,B在拋物線上,則y1=x122p,y由y=kx+2,x2=2py,消所以x又OA·OB=-4,則x1x2+y1y2=-4,所以x1x2+x122所以-4p+4=-4,p=2,所以拋物線E的方程為x2=4y;(2)當(dāng)λ=2時,過點A,B的圓與拋物線E在點A處有共同的切線,求該圓的方程.【解析】(2)由y消y并整理得x2-4kx-8=0,所以x當(dāng)λ=2時,由AC=2CB知x1=-2x2,又x1>0,所以x1=4,x2=-2,k=12所以線段AB的中點坐標(biāo)為(1,52),A的坐標(biāo)為(4,4),線段ABy-52=-2(x-1),即y=-2x+9y=14x2求導(dǎo)得y'=12x,拋物線E在點A處的切線斜率為2,過點A且與切線垂直的直線方程為y-4=-12(x-4),即y=-由y=-2x+92及y=-12x+6得圓心坐標(biāo)為(-1,圓的半徑為(-1-4所以所求圓的方程為(x+1)2+(y-132)2=12515.(10分)(2024