2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義 考點(diǎn)歸納與方法總結(jié) 第11練 對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)（精練：基礎(chǔ)+重難點(diǎn)）（含解析）

2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義及高頻考點(diǎn)歸納與方法總結(jié)（新高考通用）第11練對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)（精練）1.理解對(duì)數(shù)的概念和運(yùn)算性質(zhì)，知道用換底公式能將一般對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對(duì)數(shù)或常用對(duì)數(shù).2.通過(guò)實(shí)例，了解對(duì)數(shù)函數(shù)的概念.能用描點(diǎn)法或借助計(jì)算工具畫(huà)出具體對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象，理解對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn).3.了解指數(shù)函數(shù)y＝ax與對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logaxa>0，且a≠1互為反函數(shù).一、單選題1．（2023·北京·高考真題）下列函數(shù)中，在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用基本初等函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷ABC，舉反例排除D即可.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)?，，顯然在上不單調(diào)，D錯(cuò)誤.故選：C.2．（2022·天津·高考真題）化簡(jiǎn)的值為（

）A．1 B．2 C．4 D．6【答案】B【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的性質(zhì)可求代數(shù)式的值.【詳解】原式，故選：B3．（2022·浙江·高考真題）已知，則（

）A．25 B．5 C． D．【答案】C【分析】根據(jù)指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化，冪的運(yùn)算性質(zhì)以及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可解出．【詳解】因?yàn)?，，即，所以．故選：C.4．（2022·北京·高考真題）在北京冬奧會(huì)上，國(guó)家速滑館“冰絲帶”使用高效環(huán)保的二氧化碳跨臨界直冷制冰技術(shù)，為實(shí)現(xiàn)綠色冬奧作出了貢獻(xiàn)．如圖描述了一定條件下二氧化碳所處的狀態(tài)與T和的關(guān)系，其中T表示溫度，單位是K；P表示壓強(qiáng)，單位是．下列結(jié)論中正確的是（

）A．當(dāng)，時(shí)，二氧化碳處于液態(tài)B．當(dāng)，時(shí)，二氧化碳處于氣態(tài)C．當(dāng)，時(shí)，二氧化碳處于超臨界狀態(tài)D．當(dāng)，時(shí)，二氧化碳處于超臨界狀態(tài)【答案】D【分析】根據(jù)與的關(guān)系圖可得正確的選項(xiàng).【詳解】當(dāng)，時(shí)，，此時(shí)二氧化碳處于固態(tài)，故A錯(cuò)誤.當(dāng)，時(shí)，，此時(shí)二氧化碳處于液態(tài)，故B錯(cuò)誤.當(dāng)，時(shí)，與4非常接近，故此時(shí)二氧化碳處于固態(tài)，對(duì)應(yīng)的是非超臨界狀態(tài)，故C錯(cuò)誤.當(dāng)，時(shí)，因,故此時(shí)二氧化碳處于超臨界狀態(tài)，故D正確.故選：D二、多選題5．（2023·全國(guó)·高考真題）噪聲污染問(wèn)題越來(lái)越受到重視．用聲壓級(jí)來(lái)度量聲音的強(qiáng)弱，定義聲壓級(jí)，其中常數(shù)是聽(tīng)覺(jué)下限閾值，是實(shí)際聲壓．下表為不同聲源的聲壓級(jí)：聲源與聲源的距離聲壓級(jí)燃油汽車(chē)10混合動(dòng)力汽車(chē)10電動(dòng)汽車(chē)1040已知在距離燃油汽車(chē)、混合動(dòng)力汽車(chē)、電動(dòng)汽車(chē)處測(cè)得實(shí)際聲壓分別為，則（

）．A． B．C． D．【答案】ACD【分析】根據(jù)題意可知，結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算逐項(xiàng)分析判斷.【詳解】由題意可知：，對(duì)于選項(xiàng)A：可得，因?yàn)?，則，即，所以且，可得，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：可得，因?yàn)?，則，即，所以且，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)?，即，可得，即，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：由選項(xiàng)A可知：，且，則，即，可得，且，所以，故D正確；故選：ACD.三、填空題6．（2023·北京·高考真題）已知函數(shù)，則．【答案】1【分析】根據(jù)給定條件，把代入，利用指數(shù)、對(duì)數(shù)運(yùn)算計(jì)算作答.【詳解】函數(shù)，所以.故答案為：17．（2022·全國(guó)·高考真題）若是奇函數(shù)，則，．【答案】；．【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義即可求出．【詳解】[方法一]：奇函數(shù)定義域的對(duì)稱(chēng)性若，則的定義域?yàn)?，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)若奇函數(shù)的有意義，則且且，函數(shù)為奇函數(shù)，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，，解得，由得，，，故答案為：；．[方法二]：函數(shù)的奇偶性求參函數(shù)為奇函數(shù)[方法三]：因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)．由可得，，所以，解得：，即函數(shù)的定義域?yàn)椋儆煽傻?，．即，在定義域內(nèi)滿(mǎn)足，符合題意．故答案為：；．【A級(jí)

基礎(chǔ)鞏固練】一、單選題1．（23-24高三下·青海西寧·階段練習(xí)）設(shè)集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】解對(duì)數(shù)不等式求出集合，再根據(jù)并集的定義計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，由，即，解得，所以，所?故選：A2．（2024·河南鄭州·三模）已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出集合和即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所?故選：D.3．（2024·廣東廣州·三模）已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)指數(shù)以及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，即可得.【詳解】由于，，，所以，故選：C4．（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)分段函數(shù)的形式，結(jié)合對(duì)數(shù)和指數(shù)運(yùn)算公式，即可求解.【詳解】，故選：5．（2024·四川涼山·三模）工廠廢氣排放前要過(guò)濾廢氣中的污染物再進(jìn)行排放，廢氣中污染物含量（單位：mg/L）與過(guò)濾時(shí)間小時(shí)的關(guān)系為（，均為正的常數(shù)）．已知前5小時(shí)過(guò)濾掉了10%污染物，那么當(dāng)污染物過(guò)濾掉50%還需要經(jīng)過(guò)（

）（最終結(jié)果精確到1h，參考數(shù)據(jù)：，）A．43h B．38h C．33h D．28h【答案】D【分析】先確定廢氣中初始污染物含量，由題意求出常數(shù)，即可解出．【詳解】∵廢氣中污染物含量與過(guò)濾時(shí)間小時(shí)的關(guān)系為，令，得廢氣中初始污染物含量為，又∵前5小時(shí)過(guò)濾掉了10%污染物，∴，則，∴當(dāng)污染物過(guò)濾掉50%時(shí)，，則，∴當(dāng)污染物過(guò)濾掉50%還需要經(jīng)過(guò).故選：D.6．（2024·黑龍江·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)圖象恒過(guò)的定點(diǎn)在雙曲線的一條漸近線上，雙曲線離心率為e，則等于（

）．A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】先利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，求得函數(shù)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)，代入雙曲線的漸近線方程，求得，結(jié)合離心率的定義，即可求解.【詳解】由函數(shù)，令，可得，且，所以函數(shù)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)，又由雙曲線的一條漸近線方程為，將點(diǎn)代入漸近線方程，可得，解得，所以雙曲線的離心率為，所以.故選：C.7．（23-24高三下·陜西西安·階段練習(xí)）函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性得到內(nèi)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，進(jìn)而求出a的范圍.【詳解】函數(shù)是上的減函數(shù)，欲使函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，應(yīng)有在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，于是應(yīng)有，即，解得.故選：D.二、多選題8．（23-24高一上·四川宜賓·階段練習(xí)）下列運(yùn)算正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】ACD利用對(duì)數(shù)運(yùn)算法則和換底公式可判斷；B選項(xiàng)，利用指數(shù)冪的運(yùn)算法則可判斷.【詳解】A選項(xiàng)，，A正確；B選項(xiàng)，，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，由換底公式可得，D正確.故選：AD9．（河南省部分重點(diǎn)高中2023-2024學(xué)年高三下學(xué)期5月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（新高考））已知函數(shù)，則（

）A．的定義域?yàn)锽．的值域?yàn)镃．D．的單調(diào)遞增區(qū)間為【答案】ABC【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式，求出函數(shù)的定義域值域即可判斷A、B，求出利用對(duì)數(shù)運(yùn)算法則即可求解C，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性即可判斷D.【詳解】對(duì)AB，由，得，則的定義域?yàn)?，值域?yàn)?，A，B均正確；對(duì)C，，C正確；對(duì)D，因?yàn)?，所以，外層函?shù)為增函數(shù)，，令，所以函數(shù)定義域?yàn)?，?nèi)層函數(shù)，在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為不是D錯(cuò)誤.故選：ABC10．（23-24高三上·廣東佛山·階段練習(xí)）已知，則下列不等式可能成立的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】利用對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)一一判定即可.【詳解】在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)，，的圖象，從圖中可以看出，當(dāng)，，均在區(qū)間時(shí)，有，當(dāng)，，均在區(qū)間時(shí)，有，故A正確，B錯(cuò)誤；由于，所以有，作出函數(shù)，，的圖象，類(lèi)似地可以得出C正確，D不正確.故選：AC．

11．（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）放射性物質(zhì)在衰變中產(chǎn)生輻射污染逐步引起了人們的關(guān)注，已知放射性物質(zhì)數(shù)量隨時(shí)間的衰變公式，表示物質(zhì)的初始數(shù)量，是一個(gè)具有時(shí)間量綱的數(shù)，研究放射性物質(zhì)常用到半衰期，半衰期指的是放射性物質(zhì)數(shù)量從初始數(shù)量到衰變成一半所需的時(shí)間，已知，右表給出了鈾的三種同位素τ的取值：若鈾234、鈾235和鈾238的半衰期分別為，，，則（

）物質(zhì)τ的量綱單位τ的值鈾234萬(wàn)年35.58鈾235億年10.2鈾238億年64.75A． B．與成正比例關(guān)系C． D．【答案】BD【分析】A選項(xiàng)，根據(jù)半衰期的定義得到，從而得到方程，求出；B選項(xiàng)，由A選項(xiàng)得到結(jié)論；C選項(xiàng)，由B選項(xiàng)可得C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，計(jì)算出，作商得到D正確.【詳解】A選項(xiàng)，由題意得，又，故，兩邊取對(duì)數(shù)得，，，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，由A可知，與成正比例關(guān)系，B正確；C選項(xiàng)，由B可知，與成正比例關(guān)系，由于鈾234的值小于鈾235的值，故，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，，，故，D正確.故選：BD三、填空題12．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則．【答案】【分析】根據(jù)題意，，結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，求得的值，即可求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)可得，又當(dāng)時(shí)，，則，所以．故答案為：.13．（23-24高三下·上海·階段練習(xí)）函數(shù)的定義域?yàn)椋敬鸢浮浚痉治觥扛鶕?jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得不等式，然后解指數(shù)不等式可得．【詳解】由題意，即，∴，，∴定義域?yàn)椋蚀鸢笧椋海?4．（23-24高三下·全國(guó)·階段練習(xí)）函數(shù)是偶函數(shù)，則.【答案】【分析】根據(jù)題意，利用列出方程，結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算，即可求解.【詳解】因?yàn)槭桥己瘮?shù)，可得，所以.故答案為：.15．（23-24高三上·浙江寧波·期末）已知，求.【答案】8【分析】利用函數(shù)的單調(diào)性解方程，得到，的值，問(wèn)題即可解決.【詳解】設(shè)，則在上為增函數(shù)，且，所以只有一解：；同理：方程只有一解：.所以：.故答案為：16．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知，則．【答案】3【分析】根據(jù)給定條件，利用指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化關(guān)系，再利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)及換底公式計(jì)算得解.【詳解】依題意，，則．故答案為：317．（23-24高三上·寧夏石嘴山·開(kāi)學(xué)考試）已知是上的減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合分段函數(shù)的單調(diào)性的判定法，以及一次函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，列出不等式組，即可求解.【詳解】由函數(shù)在上為單調(diào)遞減函數(shù)，則滿(mǎn)足，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：.四、解答題18．（2023高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）計(jì)算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)13【分析】利用對(duì)數(shù)和指數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】（1）解：原式．（2）原式．19．（23-24高三上·上海寶山·期中）已知函數(shù)的定義域?yàn)锳，值域?yàn)锽．(1)當(dāng)時(shí)，求集合A；(2)當(dāng)時(shí)，求集合B．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)對(duì)數(shù)定義需滿(mǎn)足真數(shù)大于0恒成立，求出對(duì)應(yīng)的定義域；（2）先求出定義域，再應(yīng)用對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)求出取值范圍，最后求出值域即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，所以，若則不等式無(wú)解，所以，即，即，解得或，所以；（2）當(dāng)時(shí)，所以，若則不等式無(wú)解，所以，即，解得此時(shí)不等式恒成立，所以定義域，又當(dāng)時(shí)恒成立（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），所以，所以，所以20．（23-24高三上·廣東·階段練習(xí)）（1）求方程的根；（2）若，，求的取值范圍．【答案】（1），；（2）【分析】（1）設(shè)，則，解得，再代入求出；（2）設(shè)，則對(duì)于恒成立，參變分離得到在時(shí)恒成立，求出的最大值，即可求出參數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）設(shè)，則，即，得，，即或，解得或，所以方程的根為：，．（2）設(shè)，因?yàn)?，則，令，，由題意可得對(duì)于恒成立，即在時(shí)恒成立，而在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取最大值為，所以．21．（23-24高三上·江蘇常州·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)為偶函數(shù)．(1)求k的值；(2)寫(xiě)出函數(shù)的單調(diào)性（不需證明），并解不等式．【答案】(1)1(2)單調(diào)性見(jiàn)解析，不等式解集為【分析】（1）根據(jù)得到方程，求出；（2）根據(jù)定義法得到函數(shù)的單調(diào)性，并根據(jù)單調(diào)性解不等式.【詳解】（1）∵為定義在R上的偶函數(shù)，∴，即，故，即，解得；（2）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，理由如下：，設(shè)任取，且，則，因?yàn)椋?，所以，，故，所以在單調(diào)遞增，由復(fù)合函數(shù)同增異減可得，在單調(diào)遞增，又在R上為偶函數(shù)，故在上單調(diào)遞減，，∴，解得或，∴不等式解集為.【B級(jí)

能力提升練】一、單選題1．（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)的圖象大致為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)時(shí)的單調(diào)性可排除BC；再由奇偶性可排除D.【詳解】，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，都為增函數(shù)，所以，在上單調(diào)遞增，故B，C錯(cuò)誤；又因?yàn)?，所以不是奇函?shù)，即圖象不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故D錯(cuò)誤.故選：A2．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）2024年中國(guó)載人航天工程將統(tǒng)籌推進(jìn)空間站應(yīng)用與發(fā)展和載人月球探測(cè)兩大任務(wù)，其中，中國(guó)空間站應(yīng)用與發(fā)展階段各項(xiàng)工作正按計(jì)劃穩(wěn)步推進(jìn).若空間站運(yùn)行周期的平方與其圓軌道半徑的立方成正比，當(dāng)空間站運(yùn)行周期增加1倍時(shí)，其圓軌道半徑增加的倍數(shù)大約是（參考數(shù)據(jù)：，）（

）A．1.587 B．1.442C．0.587 D．0.442（

）【答案】C【分析】利用指數(shù)和對(duì)數(shù)的運(yùn)算求解即可.【詳解】空間站運(yùn)行周期的平方與其圓軌道半徑的立方成正比，設(shè)，當(dāng)空間站運(yùn)行周期增加1倍時(shí)，設(shè)此時(shí)半徑為，則，兩式相比得：，即，故，故圓軌道半徑增加的倍數(shù)大約是.故選：C.3．（2024·河北衡水·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)，若函數(shù)是偶函數(shù)，則（

）A． B． C．2 D．3【答案】D【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，結(jié)合偶函數(shù)滿(mǎn)足的等量關(guān)系，即可求解.【詳解】的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故所以，故或（舍去），故選：D4．（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·二模）設(shè)，，，則、、的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用對(duì)數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解.【詳解】，，，因?yàn)椋?，因?yàn)?，，所以，所?故選：D.5．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)且在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與底數(shù)有關(guān)，分和兩種情況討論，此外還要注意對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域，即真數(shù)為正；復(fù)合函數(shù)單調(diào)性滿(mǎn)足“同增異減”，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性結(jié)合題干中“在區(qū)間上單調(diào)遞減”得到真數(shù)部分函數(shù)的單調(diào)性，從而求得的取值范圍.【詳解】設(shè)函數(shù)，則．①若，則在定義域上單調(diào)遞減．又在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，故對(duì)任意的恒成立．又，所以對(duì)任意的顯然成立．又因?yàn)閷?duì)任意恒成立，所以0，故．②若，則在定義域上單調(diào)遞增．又在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，故對(duì)任意的恒成立．因?yàn)閽佄锞€的開(kāi)口向上，所以不可能對(duì)任意的恒成立．所以的取值范圍為．故選：A．二、多選題6．（23-24高三下·河南鄭州·階段練習(xí)）關(guān)于函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（

）A．定義域?yàn)锽．是偶函數(shù)C．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)D．在上單調(diào)遞增【答案】ACD【分析】由可求定義域判斷A；根據(jù)定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)判斷B；計(jì)算是否為0判斷C；由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷D.【詳解】對(duì)于A，由得或，故定義域?yàn)?，A正確；對(duì)于B，因?yàn)槎x域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故不是偶函數(shù)，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)?，所以圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，正確；對(duì)于D，，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，D正確.故選：ACD.7．（2024·湖南長(zhǎng)沙·模擬預(yù)測(cè)）氚，亦稱(chēng)超重氫，是氫的同位素之一，它的原子核由一個(gè)質(zhì)子和兩個(gè)中子組成，并帶有放射性，會(huì)發(fā)生衰變，其半衰期是12.43年.樣本中氚的質(zhì)量隨時(shí)間(單位:年)的衰變規(guī)律滿(mǎn)足，其中表示氚原有的質(zhì)量，則（

）(參考數(shù)據(jù):)A．B．經(jīng)過(guò)年后，樣本中的氚元素會(huì)全部消失C．經(jīng)過(guò)年后，樣本中的氚元素變?yōu)樵瓉?lái)的D．若年后，樣本中氚元素的含量為，則【答案】CD【分析】利用給定式子進(jìn)行化簡(jiǎn)判斷A，代入求值判斷B，C，解方程求出，再判斷D即可.【詳解】由題意得，故有，左右同時(shí)取對(duì)數(shù)得，故得，故A錯(cuò)誤，當(dāng)時(shí)，，故B錯(cuò)誤，而當(dāng)時(shí)，，得到經(jīng)過(guò)年后，樣本中的氚元素變?yōu)樵瓉?lái)的，故C正確，由題意得，化簡(jiǎn)得，，將代入其中，可得，故D正確.故選：CD三、填空題8．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)，則函數(shù)的值域?yàn)椋敬鸢浮俊痉治觥壳蟪龊瘮?shù)的定義域，進(jìn)而求出的范圍，利用換元法結(jié)合二次函數(shù)求函數(shù)的值域.【詳解】因?yàn)橐阎瘮?shù)的定義域?yàn)榍?，定義域需滿(mǎn)足，可得，令，則，則，又因?yàn)榈膱D象開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為，可知在內(nèi)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；可知函數(shù)的值域?yàn)?故答案為：.9．（23-24高三下·上海徐匯·階段練習(xí)）若函數(shù)在上有最小值（、為常數(shù)），則函數(shù)在上最大值為.【答案】【分析】考慮函數(shù)，判斷得是奇函數(shù)，根據(jù)奇函數(shù)對(duì)稱(chēng)性，結(jié)合在上的最值情況即可得解.【詳解】考慮函數(shù)，定義域?yàn)镽，又，所以是奇函數(shù)，則，設(shè)的最大值為，最小值為，則，又，所以，，所以，則，所以，故答案為：9.四、解答題10．（23-24高一上·廣東深圳·期末）已知函數(shù)，且．(1)若，求方程的解；(2)若對(duì)，都有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)或(2)【分析】（1）令，利用換元法將原方程轉(zhuǎn)化為，則或，結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可求解；（2）令，原不等式可轉(zhuǎn)變?yōu)樵谏虾愠闪?，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)分類(lèi)討論，求出即可求解.【詳解】（1）令，則，當(dāng)時(shí)，等價(jià)于，即，得，有或，則或，所以或.（2）法一：令，由，得，依題意得恒成立，因?yàn)?，所以在上恒成立，令，?duì)稱(chēng)軸，①當(dāng)時(shí)，即，，得.所以.②當(dāng)，即，，得.所以.綜上所述，的取值范圍為.法二：令，由，得，依題意得恒成立，令，①當(dāng)時(shí)，易知在上單調(diào)遞增，且當(dāng)時(shí)，，所以此時(shí)沒(méi)有最小值，即不存在使得不等式恒成立.②當(dāng)時(shí)，易知在上單調(diào)遞增，故恒成立，解得，即當(dāng)時(shí)，不等式恒成立.③當(dāng)時(shí)，由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，要使原不等式成立，須使恒成立，解得綜上所述，的取值范圍為.法三：令，由，得，依題意得恒成立，因?yàn)椋栽谏虾愠闪?，由，得，①?dāng)時(shí)，恒成立，R；②當(dāng)，，所以在上恒成立，令，，則，在上單調(diào)遞減，所以，所以，的取值范圍為.③當(dāng)，，所以在上恒成立，令，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即，，時(shí)等號(hào)成立，即，所以，的取值范圍為綜上所述，的取值范圍為.11．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)(且).(1)當(dāng)時(shí)，函數(shù)恒有意義，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)是否存在這樣的實(shí)數(shù)，使得函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，且最大值為？如果存在，試求出的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)不存在，理由見(jiàn)解析【分析】（1）依題意可得在上恒成立，參變分離可得在上恒成立，令，，利用導(dǎo)數(shù)說(shuō)明函數(shù)的單調(diào)性，即可求出的取值范圍；（2）由（1）同理可知，再分、兩種情況討論，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)恒有意義，所以在上恒成立，即在上恒成立．令，，則，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以.又且，所以.（2）函數(shù)在區(qū)間上有意義，則在上恒成立．由（1）同理可知，，又函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，并且最大值為.當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，則且在上單調(diào)遞增，所以，即，故不存在這樣的實(shí)數(shù)；當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，則且在上單調(diào)遞減，所以，即，故不存在這樣的實(shí)數(shù).綜上，不存在這樣的實(shí)數(shù)，使得函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，且最大值為.【C級(jí)

拓廣探索練】一、單選題1．（2024·黑龍江哈爾濱·三模）已知，，則下面正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】構(gòu)造函數(shù)，，結(jié)合零點(diǎn)的存在性定理可得，，即可逐項(xiàng)判斷.【詳解】令，由，故，由與在上單調(diào)遞增，故在上單調(diào)遞增，又，，故，故B錯(cuò)誤；令，由函數(shù)的圖象及的圖象可得在上只有一個(gè)零點(diǎn)，由，故，又，，故，故C錯(cuò)誤；有，故A錯(cuò)誤；，故D正確.故選：D.2．（2024·云南·二模）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋胰?，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)單調(diào)性，由單調(diào)性可知；當(dāng)時(shí)，根據(jù)單調(diào)性的性質(zhì)和復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知單調(diào)遞增，可得，然后將原不等式轉(zhuǎn)化為即可得解.【詳解】當(dāng)時(shí)，，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知在上單調(diào)遞減，所以；當(dāng)時(shí)，，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，為增函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，又在上為增函數(shù)，所以在單調(diào)遞增，所以.綜上，在上恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).所以不等式，解得且且，即原不等式的解集為.故選：D【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：解分段函數(shù)相關(guān)不等式時(shí)，需要根據(jù)自變量范圍進(jìn)行分類(lèi)討論，利用單調(diào)性求解即可.二、填空題3．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知，，則．【答案】【分析】根據(jù)等式結(jié)構(gòu)特征先利用換元法化簡(jiǎn)等式形式為，，然后通過(guò)兩等式的聯(lián)系（均可化為形式），構(gòu)造函數(shù)研究出m與n的關(guān)系，從而建立x與y的關(guān)系，進(jìn)而求出.【詳解】令，，則，，由題可得，，所以，.因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，