專題7-3圓錐曲線離心率歸類（解析版）

專題7-3圓錐曲線離心率歸類目錄TOC\o"1-1"\h\u題型01離心率基礎 1題型02第一定義求離心率 3題型03中點型求離心率 6題型04點差法型求離心率（第三定義型） 9題型05漸近線型離心率 12題型06漸近線中點型求離心率 13題型07構造a、b、c齊次式型 17題型08焦半徑型離心率 19題型09焦點三角形求離心率 21題型10雙焦點三角形余弦定理型 23題型11焦點三角形雙角度型 27題型12共焦點型橢圓雙曲線離心率 30題型13借助均值不等式求共焦點型 32題型14焦點三角形內心型求離心率 35題型15焦點三角形重心型求離心率 39題型16小題大做型求離心率 41高考練場 45題型01離心率基礎【解題攻略】求解圓錐曲線的離心率的常見方法：1、定義法：通過已知條件列出方程組，求得得值，根據離心率的定義求解離心率；2、齊次式法：由已知條件得出關于的二元齊次方程或不等式，然后轉化為關于的一元二次方程或不等式，結合離心率的定義求解；3、特殊值法：根據特殊點與圓錐曲線的位置關系，利用取特殊值或特殊位置，求出離心率問題.【典例1-1】.P是橢圓上的一點，F為橢圓的右焦點，軸，過點P作斜率為的直線恰好經過左頂點，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】如圖所示，求出，化簡方程即得解.【詳解】如圖所示，，由題得所以.故選：C【典例1-2】（2021秋·山西晉城·高三晉城市第一中學校校考階段練習）雙曲線的離心率用來表示，則（

）A．在上是增函數 B．在上是減函數C．在上是增函數，在上是減函數 D．是常數【答案】D【分析】根據雙曲線的漸近線為坐標軸，結合等軸雙曲線的離心率為定值，即可求解.【詳解】由題意，雙曲線的漸近線為軸和軸，即坐標軸，其中坐標軸互相垂直，即該雙曲線為等軸雙曲線，所以雙曲線的離心率為，即（常數）.故選：D.【變式1-1】（2023秋·高三課時練習）實軸長和虛軸長相等的雙曲線稱為等軸雙曲線，則等軸雙曲線的離心率為（

）A． B．2 C． D．3【答案】A【分析】依題意可得，即可得到，從而求出離心率.【詳解】依題意可得等軸雙曲線中，則，所以離心率.故選：A【變式1-2】已知橢圓的左、右焦點分別為、，點P為C上一點，若，且，則橢圓C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根據，且求得，再根據勾股定理列出關于的方程，解出即可【詳解】點橢圓上的點，，且在中，即，整理得：即故選：D【變式1-3】已知橢圓的左、右焦點分別為，，P為橢圓C上一點，若的周長為18，長半軸長為5，則橢圓C的離心率為（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】因為的周長為18，所以，結合題意可得，代入離心率公式運算求解．【詳解】設焦距為．因為的周長為18，所以，所以．因為長半軸長為5，即所以橢圓C的離心率為故選：B．題型02第一定義求離心率【解題攻略】解題時要把所給的幾何特征轉化為的關系式．求離心率的常用方法有：（1）根據條件求得，利用或求解；（2）根據條件得到關于的方程或不等式，利用將其化為關于的方程或不等式，然后解方程或不等式即可得到離心率或其范圍．【典例1-1】已知橢圓的右焦點為F（5，0），點A，B為C上關于原點對稱的兩點，且，，則C的離心率為___________.【答案】【分析】根據題意可得，結合，求得，，繼而可求出，求得答案.【詳解】因為點A，B為C上關于原點對稱的兩點，故連接AB，則AB過原點O，又因為，，故，又，所以，，取C的左焦點為，連接，則，所以，所以，所以C的離心率為，故答案為：【典例1-2】設橢圓()的一個焦點點為橢圓內一點,若橢圓上存在一點，使得，則橢圓的離心率的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】記橢圓的左焦點為，則，即，，，即，即，橢圓的離心率的取值范圍是，故選A.【變式1-1】.橢圓的左右焦點分別為?，直線與交于A?兩點，若，，當時，的離心率的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】結合題干條件得到，表達出，，利用橢圓定義得到關系，結合的范圍求出離心率的最小值.【詳解】連接，由題知點A?關于原點對稱，，，，則，，又，即，，由得，所以，D正確.故選：D【變式1-2】.已知橢圓的右焦點為F（5，0），點A，B為C上關于原點對稱的兩點，且，，則C的離心率為___________.【答案】【分析】根據題意可得，結合，求得，，繼而可求出，求得答案.【詳解】因為點A，B為C上關于原點對稱的兩點，故連接AB，則AB過原點O，又因為，，故，又，所以，，取C的左焦點為，連接，則，所以，所以，所以C的離心率為，故答案為：【變式1-3】.設橢圓的左右焦點分別為，，焦距為，點在橢圓的內部，點P是橢圓上的動點，且恒成立，則橢圓的離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用點在橢圓的內部，以及列不等式，化簡后求得橢圓的離心率的取值范圍.【詳解】因為點在橢圓的內部，所以①，而②，，由①②得，即.所以.因為，而，所以，即，由三角形的性質可得，因為是橢圓上的動點，且恒成立，所以，所以，即，所以橢圓離心率的取值范圍是.故選：A.題型03中點型求離心率【解題攻略】直線與曲線相交，涉及到交線中點的題型，多數用點差法。按下面方法整理出式子，然后根據實際情況處理該式子。主要有以下幾種問題：（1）求中點坐標；（2）求中點軌跡方程；（3）求直線方程；（4）求曲線；中點，，【典例1-1】（2023·全國·高三專題練習）如圖，已知雙曲線：的左，右焦點分別為，，正六邊形的一邊的中點恰好在雙曲線上，則雙曲線的離心率是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設的中點為P，連接OP，，求出，，即得解.【詳解】設的中點為P，連接OP，，得，，所以，，在中，由余弦定理得，所以，所以，所以雙曲線的離心率.故選：B.【典例1-2】（2021秋·福建廈門·高三福建省廈門集美中學校考階段練習）已知雙曲線的左右焦點分別為，，過的直線交雙曲線的右支于，兩點.點為線段的中點，且.若，則雙曲線的離心率是（

）A．2 B． C． D．【答案】A【分析】設，根據雙曲線的定義得出，從而求出，在中利用余弦定理以及離心率的定義即可求解.【詳解】點為線段的中點，且，則,設，則，又為直角三角形，，即，，，由雙曲線的定義可得，，，，，又，在中，由余弦定理可得，，離心率.故選：A【變式1-1】（2022春·陜西安康·高三統考）已知雙曲線的左，右焦點分別為、，過點作傾斜角為的直線l交雙曲線C的右支于A，B兩點，其中點A在第一象限，若，且雙曲線C的離心率為2．則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】結合雙曲線的性質和余弦定理,即可求解.【詳解】由雙曲線的定義知，，∵，∴，即，∴，在中，由余弦定理知，，∵，故選A．【變式1-2】（2021春·河北唐山·高三唐山市第十一中學校考階段練習）已知雙曲線：的左、右焦點分別為，，點，分別在其左、右兩支上，且，為線段的中點，若，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】若，，，由求得，進而可求、，在中有得到關于a、c的齊次方程，即可求離心率.【詳解】由題意，若，，，∴，即，得，∵，得，∴在中，，即，∴.故選：A【變式1-3】（2022春·新疆·高三八一中學校考）設，分別為雙曲線的左、右焦點．若為右支上的一點，且為線段的中點，，，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意可得，再由雙曲線定義可得，在中，利用勾股定理可得，同除解方程即可求解.【詳解】由題意可得，由雙曲線定義可得，則，．在中，，又，，整理可得，即，解得或（舍去）．故選：B題型04點差法型求離心率（第三定義型）【解題攻略】設直線和曲線的兩個交點，，代入橢圓方程，得；；將兩式相減，可得；；最后整理得：同理，雙曲線用點差法，式子可以整理成：設直線和曲線的兩個交點，，代入拋物線方程，得；；將兩式相減，可得；整理得：【典例1-1】已知點是橢圓上的兩點，且線段恰好為圓的一條直徑，為橢圓上與不重合的一點，且直線的斜率之積為，則橢圓的離心率為____________．湖南省株洲市第二中學2021-2022學年高三下學期數學試題【答案】【分析】根據給定條件，設出點A，M的坐標，表示出點B的坐標，利用斜率坐標公式結合橢圓方程即可計算作答.【詳解】設，，依題意，，兩式相減得，因線段恰好為圓的一條直徑，則，于是得直線的斜率之積為，解得，所以橢圓的離心率為.故答案為：【典例1-2】已知直線與橢圓相交于兩點，且線段的中點在直線上，則此橢圓的離心率為_______【答案】試題分析：直線與的交點為，點即為中點，設與的交點分別為，所以。將點代入橢圓方程，兩式相減整理可得，即，由直線方程可知，所以，即。因為，所以，即，。【變式1-1】（2023·四川雅安·統考三模）已知雙曲線C的中心在坐標原點，焦點在x軸上，離心率等于，點在雙曲線C上，橢圓E的焦點與雙曲線C的焦點相同，斜率為的直線與橢圓E交于A、B兩點．若線段AB的中點坐標為，則橢圓E的方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由離心率和點求出雙曲線的方程，進而求出焦點，設出橢圓的方程及的坐標，由點差法得到，結合中點坐標及斜率求得，再利用焦點坐標，即可求解.【詳解】設雙曲線方程為，則，解得，故雙曲線方程為，焦點為；設橢圓方程為，則橢圓焦點為焦點為，故，設，則，兩式相減得，整理得，即，解得，故，橢圓方程為.故選：D.【變式1-2】（2021秋·河南·高三校聯考階段練習）已知斜率為的直線與雙曲線相交于A，B兩點，O為坐標原點，AB的中點為P，若直線OP的斜率為，則雙曲線C的離心率為（

）A． B．2 C． D．3【答案】C【分析】利用點差法，結合直線斜率公式、中點坐標公式、雙曲線離心率公式進行求解即可.【詳解】設，，，則，兩式相減得，所以.因為，，所以.因為，，所以，，故.故選：C【變式1-3】（2022秋·寧夏石嘴山·高三石嘴山市第一中學?？迹┮阎p曲線的離心率為2，過點的直線與雙曲線C交于A，B兩點，且點P恰好是弦的中點，則直線的方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】運用點差法即可求解【詳解】由已知得，又，，可得.則雙曲線C的方程為.設，，則兩式相減得，即.又因為點P恰好是弦的中點，所以，，所以直線的斜率為，所以直線的方程為，即.經檢驗滿足題意故選：C題型05漸近線型離心率【典例1-1】（2021秋·重慶南岸·高三重慶市南坪中學校校考階段練習）經過雙曲線的左焦點作傾斜角為的直線，若與雙曲線的左支有兩個不同的交點，則的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】只需使雙曲線的其中一漸近線方程的斜率小于直線的斜率，再利用雙曲線中關系以及離心率的范圍即得.【詳解】要使直線與雙曲線有兩個交點，需使雙曲線的其中一漸近線方程的斜率小于直線的斜率即，即，整理得，即，又雙曲線故的范圍是故選：B【典例1-2】（2023春·黑龍江大慶·高三大慶中學校考開學考試）已知點在雙曲線的漸近線上，則雙曲線的離心率為（

）A． B．2 C． D．【答案】D【分析】將P點坐標代入漸近線方程，求出a與b的關系，再根據求出離心率.【詳解】漸近線方程為：，由于P點坐標在第二象限，選用，將P點坐標代入得：，又；故選：D.【變式1-1】（2023秋·甘肅天水·高三校考）已知雙曲線：的漸近線方程為：，則該雙曲線的離心率為（

）A． B． C．2 D．【答案】A【分析】根據漸近線方程求出，從而根據求出離心率.【詳解】的漸近線方程為，故，故雙曲線的離心率為.故選：A【變式1-2】（2023·內蒙古通遼·?？寄M預測）已知雙曲線的一條漸近線的傾斜角為，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．2【答案】D【分析】求出雙曲線一條漸近線斜率，即，從而求出離心率.【詳解】由題意得：雙曲線的一條漸近線方程的斜率，所以雙曲線離心率.故選：D【變式1-3】（2022·全國·高三專題練習）已知雙曲線（，）與直線無公共點，則雙曲線的離心率的最大值是（

）A． B．2 C． D．【答案】D【分析】根據雙曲線的幾何性質可知：雙曲線與沒有公共點，則，即可求解.【詳解】雙曲線的漸近線方程為：，若雙曲線（，）與直線無公共點，則應有，所以離心率，故選：D.題型06漸近線中點型求離心率【典例1-1】（2021秋·陜西渭南·高三統考）已知雙曲線C：的左、右焦點分別為、，過的直線分別交雙曲線C的兩條漸近線于點M、N.若點M是線段的中點，且，則雙曲線C的離心率為（

）A． B． C．2 D．4【答案】C【分析】根據三角形中位線得，又M是線段的中點，又可得，則可得漸近線的傾斜角為，從而求得的值，即可得雙曲線離心率.【詳解】雙曲線C：的漸近線方程為，

因為O是線段的中點，M是線段的中點，所以又，所以，所以，所以所以漸近線的傾斜角為，則，又，所以，則離心率.故選：C.【典例1-2】（2023秋·河南安陽·高三?？迹┮阎p曲線的左焦點為，右頂點為A，兩條漸近線為.設關于的對稱點為，且線段的中點恰好在上，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】方法1：根據幾何性質分析可得：，運算求解；方法2：根據點關于線對稱求點，再求線段的中點，代入漸近線方程運算求解.【詳解】方法1：如圖，設為坐標原點，，直線與交于點，則，且為線段的中點，設線段中點為，則在上，∵，則，設直線與軸的交點為，則為線段的中點，且軸，則，∵，則，∴，即，整理得設雙曲線的離心率為，則，解得或（舍去）.方法2：由題意可得：，不妨設直線，，則，解得，即，設線段中點為，點，則，將點坐標代入方程得，整理得，設雙曲線的離心率為，則，解得或（舍去）.故選：C.【變式1-1】（2022·全國·高三專題練習）已知雙曲線與橢圓．過橢圓上一點作橢圓的切線l，l與x軸交于M點，l與雙曲線C的兩條漸近線分別交于N、Q，且N為MQ的中點，則雙曲線C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設出切線方程，與橢圓方程聯立后利用根的判別式求出，求出切線方程，從而得到M點坐標，再聯立漸近線得到N，Q的橫坐標，利用中點得到方程，求出，從而求出離心率.【詳解】由題意得：漸近線方程為，設切線方程為，聯立得：，由得：，解得：，所以切線方程為，令得：，所以，聯立與，解得：，聯立與，解得：，因為N為MQ的中點，所以，解得：，所以離心率為故選：A【變式1-2】（2022春·廣西南寧·高三南寧二中?？茧A段練習）已知雙曲線的右焦點為F，左頂點為A，M為C的一條漸近線上一點，延長FM交y軸于點N，直線AM經過ON（其中O為坐標原點）的中點B，且，則雙曲線C的離心率為（

）．A．2 B． C．3 D．4【答案】A【分析】因為，且，可得，再結合雙曲線的知識可得，利用幾何知識可得為等邊三角形，，進而求．【詳解】記M為雙曲線的漸近線上的點，因為，且，所以，．所以．因為右焦點到漸近線的距離，所以．所以，所以，所以≌，所以，又因為，．所以為等邊三角形，所以，所以，即，所以．故選：A．【變式1-3】（2022·河北滄州·統考模擬預測）已知雙曲線的左右焦點分別為F1，F2，右頂點為A，M為OA的中點，P為雙曲線C右支上一點且，且，則說法錯誤的是（

）A．C的離心率為2 B．C的漸近線方程為C．PM平分 D．【答案】B【分析】由題設及雙曲線性質可得且，即可判斷A、B；根據角平分線性質只需判斷、是否相等判斷C；利用向量線性運算的幾何意義，用表示即可判斷D.【詳解】由題設，且，又，所以，而，故，由，則，，故，所以C的離心率為2，A正確；由上可得，故C的漸近線方程為，B錯誤；由，則，故，而M為OA的中點，則，，故，由角平分線性質易知：PM平分，C正確；，D正確.故選：B題型07構造a、b、c齊次式型【解題攻略】只需要根據一個條件得到關于a，b，c的齊次式，結合b2＝c2－a2轉化為a，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或a2轉化為關于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)．【典例1-1】（2023春·湖北·高三統考階段練習）已知雙曲線為雙曲線的右焦點，過點作漸近線的垂線，垂足為，交另一條漸近線于，若，則雙曲線的離心率的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】設，根據列式，根據的取值范圍求得的取值范圍，進而求得離心率的取值范圍.【詳解】依題意可知在第一象限，在第二象限，到漸近線的距離為，即，設，則，，由得，故，，.故選:C【典例1-2】（2023·全國·高三專題練習）過雙曲線的右焦點F作一條直線，當直線斜率為1時，直線與雙曲線左、右兩支各有一個交點；當直線斜率為3時，直線與雙曲線右支有兩個不同的交點，則雙曲線離心率的取值范圍為(

)A． B． C． D．【答案】C【分析】先寫出直線的方程，聯立雙曲線的方程消去y，由k＝1得到，即．由k＝3得到，即，再求離心率的范圍．【詳解】雙曲線右焦點為，設過右焦點的直線為，與雙曲線方程聯立消去y可得到：，由題意可知，當k＝1時，此方程有兩個不相等的異號實根，∴，得0＜a＜b，即；當k=3時，此方程有兩個不相等的同號實根，∴，得0＜b＜3a，；又，∴離心率的取值范圍為．故選：C.【變式1-1】（2023秋·全國·高三校聯考階段練習）已知雙曲線C：的左頂點為A，右焦點為F，以線段AF為直徑的圓M與雙曲線的一條漸近線相交于B，D兩點，且滿足（O為坐標原點），若圓M的面積S滿足，則雙曲線C的離心率e的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由結合圓的相交弦定理得，由圓M的面積S滿足，即可求出雙曲線C的離心率e的取值范圍.【詳解】設雙曲線C的半焦距為c，∵，∴.由圓的相交弦定理知，.又圓M的半徑，∴，∴，∴，∴，∴.又，∴，∴.故選:B.【變式1-2】（2022·全國·高三專題練習）已知雙曲線的上、下焦點分別是，若雙曲線C上存在點P使得，，則其離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據平面向量加法的幾何意義，結合平面向量數量積的運算性質、雙曲線的離心率公式進行求解即可.【詳解】設，利用向量加法法則知，則即，故①，設，則，②，由①②得，即，又，所以，即，即所以雙曲線離心率的值大于3，故選：D【變式1-3】（2008·湖南·高考真題）若雙曲線上橫坐標為的點到右焦點的距離大于它到左準線的距離，則雙曲線離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據題設條件可得基本量的關系，從而可求離心率.【詳解】根據雙曲線的第二定義，雙曲線上橫坐標為的點到右焦點的距離為，而該點到左準線的距離為．故由條件知．整理得．綜合，解得．故選：B題型08焦半徑型離心率【解題攻略】圓錐曲線焦半徑統一結論，其中p為交點到準線的距離，對橢圓和雙曲線而言對于拋物線，則【典例1-1】（2023秋·高三課時練習）已知雙曲線左，右焦點分別為，若雙曲線右支上存在點使得，則離心率的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】在中，由正弦定理可得，再由已知可得，根據點在雙曲線右支上，得到關于的不等式，從而可求出的范圍.【詳解】由題意可得點不是雙曲線的頂點，否則無意義在中，由正弦定理得，因為，所以，所以，因為點在雙曲線右支上，所以，所以，得，由雙曲線的性質可得，所以，化簡得，所以，解得，因為，所以，即雙曲線離心率的取值范圍為，故選：C【典例1-2】（2022·全國·高三專題練習）已知雙曲線（，）左、右焦點分別為，，若雙曲線右支上存在點使得，則離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由正弦定理得，，可得在雙曲線的右支上，由雙曲線的定義，得，根據在雙曲線右支上，得關于的不等式，從而求出的范圍【詳解】解：由題意，點不是雙曲線的頂點，否則無意義，在中，由正弦定理得，又，∴，即，∵在雙曲線的右支上，由雙曲線的定義，得，∴，即，由雙曲線的幾何性質，知，∴，即，∴，解得，又，雙曲線離心率的范圍是．故選：C．【變式1-1】已知橢圓的左、右焦點分別為，，橢圓上點到焦點的最大距離為3，最小距離為1，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由橢圓上的點到焦點的距離最大值為，最小值為，可求出，即可計算出離心率【詳解】設橢圓的半焦距為，由題意可得，解得，，所以橢圓C的離心率，故選：A.【變式1-2】設是橢圓的右焦點，是橢圓的左頂點，為直線上一點，是底角為的等腰三角形，則橢圓的離心率為A． B． C． D．【答案】B【詳解】如圖，設直線與軸的交點為，因為由橢圓性質可知，，由題意可知解得，故選B.【變式1-3】設，分別為橢圓的左，右焦點，若直線上存在點，使，則橢圓離心率的取值范圍為______.【答案】【分析】由題設易知，結合橢圓離心率的性質即可得離心率的取值范圍.【詳解】由題設，，則，而，所以.故答案為：.題型09焦點三角形求離心率【典例1-1】已知分別是橢圓的上下兩個焦點，若橢圓上存在四個不同點,使得的面積為，則橢圓的離心率的取值范圍是A． B． C． D．【答案】A【分析】設橢圓的上頂點為A,問題轉化為的面積大于解不等式即可.【詳解】由題知a=2,b=設橢圓的右頂點為A(,0),的面積為,∴的面積的最大值時為><3,∴,∴故選A.【典例1-2】已知是橢圓E的兩個焦點，P是E上的一點，若，且，則E的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據橢圓定義得到，由得到，由勾股定理得到，兩式結合求出，結合得到，求出離心率.【詳解】由題意得：，則，由橢圓定義可知：，所以，即，所以，又，所以，即故E的離心率為.故選：C.【變式1-1】.已知是橢圓的一個焦點，若直線與橢圓相交于兩點，且，則橢圓離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】將與橢圓的左、右焦點連接起來，由橢圓的對稱性得到一個平行四邊形，利用橢圓的定義和余弦定理，結合重要不等式可得離心率的范圍.【詳解】如圖設分別為橢圓的左、右焦點，設直線與橢圓相交于，連接.根據橢圓的對稱性可得：四邊形為平行四邊形.由橢圓的定義有：由余弦定理有：即所以當且僅當時取等號，又的斜率存在，故不可能在軸上.所以等號不能成立,即即，所以故選：A【變式1-2】如圖，橢圓的左右焦點分別是，點、是上的兩點，若，且，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】延長交橢圓于點，在和兩個直角三角形中結合勾股定理和橢圓的幾何性質建立等量關系求解.【詳解】延長交橢圓于點，得，，設，則，據橢圓的定義有，，在中，，在中，．故選：A【變式1-3】已知橢圓的左，右焦點分別為，，直線與C交于點M，N，若四邊形的面積為且，則C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據題意可知四邊形為平行四邊形，設，進而得，根據四邊形面積求出點M的坐標，再代入橢圓方程得出關于e的方程，解方程即可.【詳解】如圖，不妨設點在第一象限，由橢圓的對稱性得四邊形為平行四邊形，設點，由，得，因為四邊形的面積為，所以，得，由，得，解得，所以，即點，代入橢圓方程，得，整理得，由，得，解得，由，得.故選：A題型10雙焦點三角形余弦定理型【解題攻略】圓錐曲線具有中心對稱性質，內接焦點四邊形性質：焦點四邊形具有中心對稱性質。焦點四邊形可分割為兩個焦點三角形，具有焦點三角形性質。焦點四邊形可分割為兩個余弦定理形雙三角形，可以用雙余弦定理求解【典例1-1】橢圓的兩個焦點為，，過的直線交橢圓于，兩點，，，則橢圓的離心率為___________.【答案】【分析】設橢圓，設，運用橢圓的定義，可得，，即有，取的中點，連接，則，由勾股定理可得a,c的另一關系式，聯立解得，，運用離心率公式計算即可得到答案．【詳解】設橢圓，，，，如圖示：設，則，由橢圓的定義可得，，即有，即，①取的中點，連接，則，由,則，由勾股定理可得，即為，②由①②解得，，則離心率，故答案為：【典例1-2】已知橢圓以為左右焦點，點P、Q在橢圓上，且過右焦點，，若，則該橢圓離心率是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據題意不妨設，則，根據橢圓的定義可求得，從而可求得，即可得解.【詳解】解：根據題意可得如圖橢圓，是直角三角形，，不妨設，則，因為，所以，，所以離心率．故選：A．【變式1-1】如圖所示，為橢圓的左右焦點，過的直線交橢圓于B．D兩點且，E為線段上靠近的四等分點．若對于線段上的任意點P，都有成立，則橢圓的離心率為________．【答案】【分析】取的中點Q，連EQ．PQ．根據向量的加法和減法轉化，同理，等價于，由點的任意性判斷，得到，根據幾何關系和橢圓定義得到邊長，根據余弦定理建立方程求橢圓的離心率.【詳解】解：取的中點Q，連EQ．PQ．，同理，恒成立等價于，因為點是線段上的任意一點，故，得到，設，則，，由，得，，，在中，，在中，又所以，解得．故答案為：【變式1-2】已知橢圓的左焦點和右焦點，上頂點為，的中垂線交橢圓于點，若左焦點在線段上，則橢圓離心率為____．【答案】【詳解】如圖，設，由橢圓的定義可得．∵的中垂線交橢圓于點，∴，∴．又，∴，解得，∴．在中，，∴．在中，由余弦定理得，∴，∴，∴，即橢圓的離心率為．故答案為：．【變式1-3】.已知橢圓的焦點為，，過的直線與交于，兩點，若，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意可表示出、、，在在和中利用余弦定理，再根據，得到方程，解得.【詳解】解：，，在和中利用余弦定理可得。即化簡可得同除得：解得或（舍去）故選：題型11焦點三角形雙角度型【解題攻略】設橢圓（a＞b＞0）的兩個焦點為F1、F2,P（異于長軸端點）為橢圓上任意一點，在△PF1F2中，記,,，則有.設雙曲線（a＞0,b＞0）的兩個焦點為F1、F2,P（異于長軸端點）為雙曲線上任意一點，在△PF1F2中，記,,，則有.【典例1-1】（2023秋·河北保定·高三?？迹┮阎獧E圓的兩個焦點分別為，點為橢圓上一點，且，則橢圓的離心率為．【答案】/【分析】由題意得到，即，進而求得，結合，得到，即可求得橢圓的離心率．【詳解】因為，，則，所以，且，所以，又由，即，即，所以．故答案為：．【典例1-2】（2023·上海·高三專題練習）已知橢圓的左、右焦點分別為，若橢圓上存在一點使，且，則．【答案】.【分析】根據正弦定理和已知條件可得，結合橢圓的定義可得，再根據即可求解.【詳解】由正弦定理得，又，所以，所以，所以，所以，所以，因為(不等式兩邊不能取等號，否則題目中分式的分母為0，無意義)，所以，即，所以，即解得，所以.故答案為:.【變式1-1】（2023·重慶·統考三模）已知，分別為橢圓的左右焦點，P是橢圓上一點，，，則橢圓離心率的取值范圍為．【答案】【分析】設，可得，.然后根據正弦定理可求出，.根據橢圓的定義可推得，，化簡整理可得，.求出，令，構造函數，根據函數的單調性，即可得出答案.【詳解】設，則，.由正弦定理可得，，所以，.根據橢圓的定義可知，，所以有，所以有.因為，，所以，令，則，設，則函數在上單調遞增.又，，所以，，即.故答案為：.【變式1-2】已知，分別為橢圓的兩個焦點，P是橢圓E上的點，，且，則橢圓E的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意得，利用橢圓定義及勾股定理求得橢圓參數關系，即可求離心率.【詳解】由題意及正弦定理得：，令，則，，可得，所以橢圓的離心率為：.故選：B【變式1-3】設P為橢圓上一點，且，其中為橢圓的兩個焦點，則橢圓的離心率e的值等于（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】設，利用正弦定理，求得與的關系，進而求得橢圓的離心率，得到答案.【詳解】設，在中，由正弦定理得，可得，又由，所以，所以.故選：B.題型12共焦點型橢圓雙曲線離心率【解題攻略】橢圓與雙曲線共焦點、，它們的交點對兩公共焦點、的張角為，橢圓與雙曲線的離心率分別為、，則．【典例1-1】（2023春·四川內江·高三四川省內江市第六中學?？茧A段練習）已知橢圓和雙曲線的焦點相同，記左、右焦點分別為，，橢圓和雙曲線的離心率分別為，，設點為與在第一象限內的公共點，且滿足，若，則的值為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】根據橢圓和雙曲線的定義可得，，(分別為橢圓的長半軸長及雙曲線的實半軸長)，從而得，再代入中，求解即可.【詳解】設橢圓的長半軸長、短半軸長分別為，半焦距為，雙曲線的實半軸長、虛半軸長分別為，半焦距為，則有，又因為點為與在第一象限內的公共點，且滿足，所以且，由橢圓的定義可得，所以，由雙曲線的定義可得，所以，所以所以，又因為，解得(舍)或，故選：A.【典例1-2】（2022秋·江西南昌·高三南昌縣蓮塘第一中學?？茧A段練習）已知橢圓，雙曲線，，為的焦點，為和的交點，若△的內切圓的圓心的橫坐標為1，和的離心率之積為，則實數的值為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】設的內切圓的圓心為，且與，，的切點為，，，由切線長相等，以及雙曲線的定義，可得內切圓的圓心橫坐標為，運用離心率公式，可得．【詳解】不妨設點P在第一象限，設的內切圓的圓心為，且與，，的切點為，，，可得，，由雙曲線的定義可得，即有，又，可得，可得內切圓的圓心的橫坐標為，和的離心率之積為，可得解得，故選：【變式1-1】（2023·高三課時練習）已知橢圓（）與雙曲線（，）有公共焦點，，且兩條曲線在第一象限的交點為P．若是以為底邊的等腰三角形，曲線，的離心率分別為和，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】設曲線，的焦距為2c，則可得，然后結合橢圓和雙曲線的定義可求出的關系，變形后可得結果.【詳解】設曲線，的焦距為2c．是以為底邊的等腰三角形，則．由點P在第一象限，知，即，即，即．故選：B【變式1-2】（2022·全國·高三專題練習）已知橢圓和雙曲線有相同的左、右焦點，，若，在第一象限內的交點為P，且滿足，設，分別是，的離心率，則，的關系是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由結合外角定理可得，然后可得，再結合橢圓和雙曲線定義、勾股定理列式整理可得.【詳解】因為，所以，所以所以，記橢圓長半軸長為，雙曲線實半軸長為，則由橢圓和雙曲線定義可得：…①…②①2+②2可得由勾股定理知，，代入上式可得整理得，即所以故選：D【變式1-3】（2022·全國·高三專題練習）已知分別是橢圓和雙曲線的公共的左右焦點，是的離心率，若在第一象限內的交點為，且滿足，則的關系是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先確定，再利用勾股定理、橢圓、雙曲線的定義，即可得出結論.【詳解】解：設橢圓的長半軸長為，雙曲線的實半軸長為，，因為，所以，所以，所以，所以，因為，所以，所以，即，所以，所以.故選：A.題型13借助均值不等式求共焦點型【典例1-1】、已知是橢圓和雙曲線的公共焦點，是它們一個公共點，且，橢圓、雙曲線的離心率分別為，則的最小值__________．【答案】【解析】由題意，可設橢圓的長半軸為，雙曲線的實半軸為，由橢圓和雙曲線的定義可知，，則，，又，由余弦定理可得，整理得，即，則，所以.【典例1-2】（2023·全國·高三專題練習）已知橢圓和雙曲線有共同的焦點，，是它們的一個交點，且，記橢圓和雙曲線的離心率分別為，，則當取最大值時，，的值分別是（

）A．， B．， C．， D．，【答案】A【分析】設橢圓與雙曲線的標準方程分別為：，，，，根據，利用余弦定理得到，進而得到，再利用基本不等式求解.【詳解】解：不妨設橢圓與雙曲線的標準方程分別為：，，，．設，．．則，，∴，．因為，所以，即．∴，∴，∴，則，當且僅當，時取等號．故選：A．【變式1-1】（2022·全國·高三專題練習）已知是橢圓和雙曲線的一個交點，是橢圓和雙曲線的公共焦點，分別為橢圓和雙曲線的離心率，若，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用橢圓的定義和雙曲線的定義，以及余弦定理列方程，轉化為離心率的形式，并用基本不等式求得最小值.【詳解】根據橢圓與雙曲線的對稱性，不妨設點在第一象限，那么，半焦距為，根據橢圓與雙曲線的定義有：，，解得，，在中，由余弦定理，可得：，整理得，所以，∴，當且僅當取等號.故選：D.【變式1-2】．（2022秋·四川宜賓·高三四川省宜賓市第四中學校?？迹┮阎獧E圓和雙曲線有相同焦點與，設橢圓和雙曲線的離心率分別為，為兩曲線的一個公共點，且(其中O為坐標原點），則的最小值為（

）A． B．10 C． D．15【答案】C【分析】利用橢圓、雙曲線的定義，確定，利用離心率的定義，結合基本不等式，即可得出結論．【詳解】解：由題意設焦距為，橢圓的長軸長，雙曲線的實軸長為，不妨令在雙曲線的右支上由雙曲線的定義①，由橢圓的定義②，又，即，所以，即，故③，①②得④，將④代入③得，，當且僅當，即時取等號；故選：C【變式1-3】（2022·高三課時練習）已知橢圓與雙曲線有相同的焦點，點是曲線與的一個公共點，分別是和的離心率，若，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意設焦距為，橢圓長軸長，雙曲線實軸長為，取橢圓與雙曲線在一象限的交點為，由已知條件結合橢圓雙曲線的定義推出，可得，再利用基本不等式即可求出的最小值.【詳解】由題意設焦距為，橢圓長軸長，雙曲線實軸長為，取橢圓與雙曲線在一象限的交點為，由橢圓和雙曲線定義分別有，，因為，所以，③因為，所以，④所以，即，所以，即，則當且僅當即，時等號成立，所以最小值為，故選：B.題型14焦點三角形內心型求離心率【解題攻略】雙曲線中，焦點三角形的內心的軌跡方程為.證明：設內切圓與的切點分別為，則由切線長定理可得,因為，，所以，所以點的坐標為，所以點的橫坐標為定值a.【典例1-1】（2022秋·黑龍江鶴崗·高三鶴崗一中?？迹┮阎p曲線的左、右焦點分別為，，O為坐標原點，點M在C的右支上運動，的內心為I，若，則C的離心率為（

）A．2 B． C．3 D．【答案】A【分析】首先設雙曲線的右頂點為A，的內切圓I與、、分別相切于點P、Q、N，根據雙曲線的概念得到，從而得到A與N重合，再結合題意得到，即可得到答案.【詳解】設雙曲線的右頂點為A，的內切圓I與、、分別相切于點P、Q、N，如圖所示：.所以，，，則，而，所以，即A與N重合，即內切圓I與相切于點A，所以，又，所以A為的中點，所以，故.故選：A.【典例1-2】．（2023春·四川綿陽·高三綿陽南山中學實驗學校?？茧A段練習）已知雙曲線()的左?右焦點分別為為雙曲線上的一點，為的內心，且，則的離心率為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】延長到且，延長到且，結合向量的線性關系知是△的重心，根據重心和內心的性質，進而得到，由雙曲線定義得到齊次方程，即可求離心率.【詳解】如下圖示，延長到且，延長到且，所以，即，故是△的重心，即，又，所以，而是的內心，則，由，則，故，即.故選：D【變式1-1】（2022·全國·高三專題練習）點P是雙曲線C：右支上一點，，分別是雙曲線C的左，右焦點，M為的內心，若雙曲線C的離心率，且，則（

）A． B． C．1 D．【答案】D【分析】設出內切圓的半徑，表示出，由得，結合雙曲線的定義及離心率即可求解.【詳解】設內切圓的半徑為，則，由可得，化簡得，又，故.故選：D.【變式1-2】（2022秋·四川宜賓·高三宜賓市敘州區(qū)第一中學校校考）已知、分別為雙曲線的左、右焦點，且，點為雙曲線右支一點，為的內心，若成立，給出下列結論：①當軸時，②離心率③

④點的橫坐標為定值上述結論正確的是（

）A．①② B．②③ C．①③④ D．②③④【答案】D【解析】當軸時，求出，判定①不正確；通過求解離心率，可判定②正確；設的內切圓半徑為，利用面積公式求得，可判定③正確；設內切圓與,的切點分別為，結合雙曲線的定義，求得的橫坐標，可判定④正確.【詳解】當軸時，可得，此時，所以①不正確；因為，所以，整理得，可得（其中為雙曲線的離心率，），所以，所以②正確；設的內切圓半徑為，由雙曲線的定義可得，其中，因為，所以，解得，所以③正確；設內切圓與,的切點分別為，可得，因為，可得，則點的坐標為，所以點橫坐標為，所以④正確.故選：D.【變式1-3】（2023秋·高三課時練習）已知、分別為雙曲線的左、右焦點，且，點為雙曲線右支上一點，為內心，若，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設，，，可得，可以將，轉換為，結合雙曲線的定義以及即可求解.【詳解】如圖所示：

由題意為內心，設，，，內切圓半徑為，所以，又因為，即，化簡得，由雙曲線定義可知，因此有；注意到，且以及，聯立并化簡得，即，解得或（舍去，因為）故選：C題型15焦點三角形重心型求離心率【典例1-1】（2020·黑龍江大慶·鐵人中學校考二模）設，是雙曲線的左、右焦點，點是雙曲線右支上一點，若的內切圓的半徑為，且的重心滿足，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C．2 D．【答案】C【分析】根據，得到，，然后由等面積法由，結合，解得，再利用距離公式得到，進而得到A的坐標，代入雙曲線方程求解即可.【詳解】如圖所示：因為，所以，所以，，所以，又，解得，設，，所以，.所以，解得，所以，代入雙曲線方程得：，解得，所以.故選：C【典例1-2】（2022·全國·高三專題練習）在雙曲線：的右支上存在點，使得點與雙曲線的左、右焦點，形成的三角形的內切圓的半徑為，若的重心滿足，則雙曲線的離心率為A． B． C． D．【答案】C【詳解】如圖，由平行于軸得則所以的面積又由焦半徑公式，因此代入橢圓方程得故選C．【變式1-1】（2022春·四川內江·高三威遠中學校?？茧A段練習）設雙曲線的左右焦點分別為若在曲線的右支上存在點，使得的內切圓半徑為，圓心記為，又的重心為，滿足,則雙曲線的離心率為．A． B． C． D．【答案】C【分析】由，可得，則，由，結合雙曲線的定義可求得，代入橢圓方程中化簡可求出離心率【詳解】由軸得：，則，所以，又，得，由，得，化簡得，因此，代入橢圓方程得，化簡得，所以離心率.故選：C【變式1-2】（2023·全國·模擬預測）已知雙曲線的左頂點為A，若在雙曲線的右支上存在兩點M，N，使△AMN為等邊三角形，且右焦點為△AMN的重心，則該雙曲線的離心率為（

）A． B．2 C． D．【答案】C【分析】設雙曲線的右焦點為，左焦點為，由重心性質可求，根據雙曲線定義求，在中由余弦定理列方程可得關系，由此可求離心率.【詳解】設雙曲線的右焦點為，左焦點為，如圖，連接MF，．由△AMN為等邊三角形，F為△AMN的重心，得．由圖形的對稱性可知，．又因為△AMF是等腰三角形，所以．在中，由余弦定理得，即，整理得，即，由于，，則，所以，故雙曲線的離心率，故選：C．【變式1-3】（2023春·山東濟南·高三山東省實驗中學?？奸_學考試）已知雙曲線的右焦點為，過點作一條漸近線的垂線，垂足為，若的重心在雙曲線上，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】依次求出點、的坐標，然后由點在雙曲線上可建立方程求解.【詳解】不妨設在，令，則有，解得，所以，，因為點在雙曲線上，所以，解得，故選：B.題型16小題大做型求離心率【典例1-1】已知橢圓，若存在過點且互相垂直的直線，，使得，與橢圓C均無公共點，則該橢圓離心率的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】判斷l(xiāng)1，l2中一條斜率不存在和另一條斜率為0，兩直線中有一條與橢圓相交，當兩直線斜率存在且不為0時，可設，聯立橢圓方程，由于判別式小于0，以及求根公式，結合兩直線垂直的條件，可將換為，解不等式，考慮不等式有解，可得m的范圍，即可得到所求離心率的范圍．【詳解】橢圓，過點A（3，1）的直線l1，l2中一條斜率不存在和另一條斜率為0時，斜率為0的直線與橢圓相交，當兩直線的斜率存在且不為0時，設，即，聯立橢圓方程可得，由直線和橢圓無交點，可得，化簡得，解得或；由兩直線垂直的條件，可將換為，即有，化為，解得．由題意可得，可得；同樣，解得．則．故選：C．【典例1-2】如圖，橢圓的離心率為e，F是的右焦點，點P是上第一象限內任意一點.且，，，若，則離心率e的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】根據題設條件求出，從而得到一個關于直線的斜率恒成立的不等式，故可得關于基本量的不等式，據此可求離心率的范圍.【詳解】因為點P是上第一象限內任意一點，故為銳角，所以，設直線的斜率為，則.由可得，故，所以，因為，故，所以，解得，因為對任意的恒成立，故，整理得到對任意的恒成立，故即即.故選：B.【變式1-1】存在過橢圓左焦點的弦，使得，則橢圓C的離心率的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】當軸，即，結合即可求得離心率，②當不垂直于軸時，設的方程為：，聯立直線與橢圓的方程，利用韋達定理求出和，即可求得弦長，設直線的傾斜角為，化簡得到，進一步可得，利用的范圍，即可取得離心率的最小值.【詳解】①當軸時，有，得，所以，又因為，所以，即，所以離心率，②當不垂直于軸時，，設的方程為：，代入得，設，，則，，由弦長公式知：，化簡得：，設直線的傾斜角為，則，所以，又因為，所以，即，即，所以，所以，因為，所以，又由，所以，綜上所述：離心率的最小值是，故選：D當不垂直于軸時，，設的方程為：，與橢圓方程聯立，設直線的傾斜角為，則，令其等于，即可得關于的齊次式利用的范圍即可求出離心率的范圍，進而可求得最小值.【變式1-2】已知橢圓內有一定點，過點P的兩條直線，分別與橢圓交于A、C和B、D兩點，且滿足，，若變化時，直線CD的斜率總為，則橢圓的離心率為A． B． C． D．【答案】A【分析】設出四點的坐標，將兩點坐標代入橢圓方程并化簡，同理將兩點坐標代入橢圓方程并化簡，根據化簡上述兩個式子，由此求得的值，進而求得橢圓離心率.【詳解】設因為，且，所以，同理.將兩點坐標代入橢圓方程并化簡得，即，同理，由于，，所以，即，即，兩式相加得，即，所以，所以，故選A.【變式1-3】過原點的一條直線與橢圓=1（a＞b＞0）交于A，B兩點，以線段AB為直徑的圓過該橢圓的右焦點F2，若∠ABF2∈[]，則該橢圓離心率的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】以AB為直徑的圓的圓周角∠ABF2∈[]，故圓心角，所以當斜率存在時，斜率，然后將斜率轉化為的關系式，求解離心率的取值范圍；當斜率不存在時，易得，易解離心率的值，綜上便可得出答案．【詳解】解：當過原點的直線斜率不存在時，因為以AB為直徑的圓經過右焦點，所以有，此時；當過原點的直線斜率存在時，設過原點的直線為，，因為∠ABF2∈[]所以圓心角，所以，即，直線與橢圓聯立方程組，解得，因為以AB為直徑的圓經過右焦點，所以，以AB為直徑的圓方程為，所以有，即，故，即，所以，解得故得到綜上：，故選B高考練場1..已知橢圓的左右焦點分別，左頂點為A，上頂點為B，點P為橢圓上一點，且，若，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先根據題意得到，根據得到，再計算離心率即可.【詳解】由題知：，因為，所以，整理得，所以，得，.故選：A2.已知橢圓的左、右焦點分別為，為橢圓上一點，且，若關于平分線的對稱點在橢圓上，則該橢圓的離心率為______．【答案】【詳解】因為關于的對稱點在橢圓上，則，，為正三角形，，又，所以軸，設，則，即，故答案為.3.（2023·河南·校聯考模擬預測）已知雙曲線：的左?右焦點分別為，，過作以為圓心?為半徑的圓的切線切點為.延長交的左支于點，若為線段的中點，且，則的離心率為（

）A．2 B． C． D．【答案】C【分析】由已知把，用，表示，再由勾股定理求得，然后結合列式求解雙曲線的離心率.【詳解】解：由題意，得，，，，，解得.故選：C.4.（2021秋·江蘇揚州·高三揚州大學附屬中學?？迹┮阎本€y=x-1與雙曲線交于A、B兩點，若線段AB的中點為M（2，1），則雙曲線的離心率等于（

）A． B．2 C． D．【答案】C【分析】根據題意，結合點差法，以及雙曲線離心率的求法，即可求解.【詳解】根據題意，設，，則，，由，相減得，即，因為，所以，即，故離心率.故選：C.5.（2022春·新疆博爾塔拉·高三階段練習）若雙曲線的兩條漸近線與直線y＝2圍成了一個等邊三角形，則C的離心率為（

）A． B． C． D．2【答案】D【分析】根據題意得到漸近線方程的斜率，從而得到，求出離心率.【詳解】由題意得：漸近線方程的斜率為，又漸近線方程為，所以，所以C的離心率為故選：D6.（2023·黑龍江大慶·大慶中學?？寄M預測）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點，若A為線段的中點，且，則C的離心率為（

）A． B．2 C． D．3【答案】B【分析】由題意可得為直角三角形，再結合A為線段的中點，可得AO垂直平分，可表示出直線，再聯立漸近線方程可以得到，，的關系