專題4-2向量四心及補(bǔ)充定理綜合歸類 （解析版）

專題4.2向量四心及補(bǔ)充定理綜合歸類目錄TOC\o"1-1"\h\u題型01“奔馳定理” 1題型02極化恒等式 5題型03極化恒等式求最值范圍 7.題型04等和線題型：基礎(chǔ) 10題型05等和線題型：型 13題型06等和線題型：型 16題型07等和線題型：分?jǐn)?shù)型 20題型08等和線題型：與數(shù)列 24題型09奔馳定理與重心型軌跡 27題型10三角形四心向量：內(nèi)心 29題型11三角形四心向量：外心 32題型12三角形四心向量：重心 35題型13三角形四心向量：垂心 38題型14向量點(diǎn)域綜合 41高考練場(chǎng) 44題型01“奔馳定理”【解題攻略】奔馳定理：為內(nèi)一點(diǎn)，，則.重要結(jié)論：，，.結(jié)論1：對(duì)于內(nèi)的任意一點(diǎn)，若、、的面積分別為、、，則：.即三角形內(nèi)共點(diǎn)向量的線性加權(quán)和為零，權(quán)系數(shù)分別為向量所對(duì)的三角形的面積.結(jié)論2：對(duì)于平面內(nèi)的任意一點(diǎn)，若點(diǎn)在的外部，并且在的內(nèi)部或其對(duì)頂角的內(nèi)部所在區(qū)域時(shí)，則有.結(jié)論3：對(duì)于內(nèi)的任意一點(diǎn)，若，則、、的面積之比為.即若三角形內(nèi)共點(diǎn)向量的線性加權(quán)和為零，則各向量所對(duì)的三角形面積之比等于權(quán)系數(shù)之比.結(jié)論4：對(duì)于所在平面內(nèi)不在三角形邊上的任一點(diǎn)，，則、、的面積分別為.即若三角形平面內(nèi)共點(diǎn)向量的線性加權(quán)和為零，則各向量所對(duì)應(yīng)的三角形面積之比等于權(quán)系數(shù)的絕對(duì)值之比.各向量所對(duì)應(yīng)的三角形是指另外兩個(gè)向量所在的三角形.【典例1-1】（2022春·全國(guó)·高三模擬）奔馳定理：已知是內(nèi)的一點(diǎn)，，，的面積分別為，，，則.“奔馳定理”是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@個(gè)定理對(duì)應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車的logo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”.設(shè)為三角形內(nèi)一點(diǎn)，且滿足：，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】直接根據(jù)向量的基本運(yùn)算得到，再結(jié)合“奔馳定理”即可求解結(jié)論．【詳解】解：為三角形內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，，．，故選：D．【典例1-2】已知點(diǎn)P為ABC內(nèi)一點(diǎn)，，則△APB，△APC，△BPC的面積之比為（）A． B． C． D．四川省三臺(tái)中學(xué)2021-2022學(xué)年高三4月質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題【答案】D【分析】先將已知向量式化為兩個(gè)向量共線的形式，再利用平行四邊形法則及向量數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義，三角形面積公式確定面積之比【詳解】解：，，如圖：，，、、三點(diǎn)共線，且，為三角形的中位線，而，，的面積之比等于故選：．【變式1-1】如圖所示，設(shè)為所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，并且，則與的面積之比等于（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題，延長(zhǎng)AP交BC于點(diǎn)D，利用共線定理，以及向量的運(yùn)算求得向量的關(guān)系，可得與的比值，再利用面積中底面相同可得結(jié)果.【詳解】延長(zhǎng)AP交BC于點(diǎn)D，因?yàn)锳、P、D三點(diǎn)共線，所以，設(shè)代入可得即又因?yàn)?，即，且。解得所以可得因?yàn)榕c有相同的底邊，所以面積之比就等于與之比所以與的面積之比為故選D【變式1-2】已知是等邊三角形，且,那么四邊形ABCD的面積為()A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)AD的中點(diǎn)為E，以為鄰邊作平行四邊形AECB，畫出對(duì)應(yīng)的圖形，利用E為中點(diǎn)，得到為平行四邊形，再根據(jù)可得四邊形為矩形，于是得到四邊形ABCD為直角梯形，進(jìn)而可得所求的面積．【詳解】取AD的中點(diǎn)E，以為鄰邊作平行四邊形AECB，如圖所示，則有，又，∴，∴四邊形為平行四邊形，又BE為等邊的中線，∴，∴平行四邊形BCDE是矩形，∴四邊形ABCD是直角梯形．又，∴，∴四邊形ABCD的面積為．故選A．【變式1-3】是所在平面上的一點(diǎn),滿足,若,則的面積為（）A．2 B．3 C．4 D．8【答案】A【解析】∵，∴，∴，且方向相同．∴，∴．選A．題型02極化恒等式【解題攻略】極化恒等式：a·b＝eq\f(1,4)[(a＋b)2－(a－b)2]【典例1-1】（2023·江蘇·高三專題練習(xí)）向量的數(shù)量積可以表示為：以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對(duì)角線”與“差對(duì)角線”平方差的四分之一.即如圖所示：，我們稱為極化恒等式.在△中，是中點(diǎn)，，，則（

）A．32 B．-32 C．16 D．-16【答案】D【分析】由題設(shè)有，代入極化恒等式求即可.【詳解】由題設(shè)，，，.故選：D【典例1-2】如圖,在中,已知,點(diǎn)分別在邊上,且,若為的中點(diǎn),則的值為________解：取的中點(diǎn),連接,則,在中,,【變式1-1】如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝1，AD＝2，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，AD邊上的中點(diǎn)，則eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(FG,\s\up6(→))＋eq\o(GH,\s\up6(→))·eq\o(HE,\s\up6(→))＝________．答案eq\f(3,2)；解析連結(jié)EG，F(xiàn)H，交于點(diǎn)O，則eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(FG,\s\up6(→))＝eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(EH,\s\up6(→))＝eq\o(EO,\s\up6(→))2－eq\o(OH,\s\up6(→))2＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(3,4)，eq\o(GH,\s\up6(→))·eq\o(HE,\s\up6(→))＝eq\o(GH,\s\up6(→))·eq\o(GF,\s\up6(→))＝eq\o(GO,\s\up6(→))2－eq\o(OH,\s\up6(→))2＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(3,4)，因此eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(FG,\s\up6(→))＋eq\o(GH,\s\up6(→))·eq\o(HE,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)．【變式1-2】（2023·福建泉州·泉州五中?？寄M預(yù)測(cè)）在中，，，點(diǎn)是線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先用，兩個(gè)向量表示，然后根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算即可得到.【詳解】

，，因，所以，又，所以，故選：B【變式1-3】（2023·安徽合肥·合肥市第七中學(xué)校考三模）以邊長(zhǎng)為2的等邊三角形ABC每個(gè)頂點(diǎn)為圓心，以邊長(zhǎng)為半徑，在另兩個(gè)頂點(diǎn)間作一段圓弧，三段圓弧圍成曲邊三角形，已知P為弧AC上的一點(diǎn)，且，則的值為（

）

A． B．C． D．【答案】C【分析】如圖所示，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示計(jì)算即可.【詳解】如圖所示，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線BC為x軸，過(guò)點(diǎn)B且垂直于BC的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則，，由，得，所以，，所以．

故選：C.題型03極化恒等式求最值范圍【解題攻略】極化恒等式的模型：平行四邊形模式：如圖，平行四邊形ABCD，O是對(duì)角線交點(diǎn)．則eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)[|AC|2－|BD|2]．三角形模式：如圖，在△ABC中，設(shè)D為BC的中點(diǎn)，則eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝|AD|2－|BD|2．（1）推導(dǎo)過(guò)程：由.三角形模式是平面向量極化恒等式的終極模式，幾乎所有的問(wèn)題都是用它解決．記憶規(guī)律：向量的數(shù)量積等于第三邊的中線長(zhǎng)與第三邊長(zhǎng)的一半的平方差．【典例1-1】如圖,在平面四邊形中,,則的最大值為____解：取的中點(diǎn),連接,由,由四點(diǎn)共圓,且直徑為.則.所以.【典例1-2】已知點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，為圓的內(nèi)接正三角形，則的最小值為_________．解：取的中點(diǎn)N，連結(jié)，取其中點(diǎn)D，如圖所示，則：．當(dāng)正沿圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)D在以M圓心，以為半徑的小圓上運(yùn)動(dòng)．由外接圓半徑為1，可求得，從而．所以的最小值是，故所求最小值為．【變式1-1】在銳角中，已知，則的取值范圍是____________．解析：考慮到題中的形式，學(xué)生一般是想通過(guò)極化恒等式進(jìn)行處理．由題意，取的中點(diǎn)為M，立即可得等式，但要突破顯得困難重重．此題的突破關(guān)鍵在于“銳角”兩個(gè)字，銳角的極限狀態(tài)就是直角，要注意從特殊狀態(tài)來(lái)研究一般狀態(tài)，即化普通狀態(tài)為特殊狀態(tài)進(jìn)行極限化處理．如圖，取的中點(diǎn)M，可得，應(yīng)長(zhǎng)度變化的極限位置是為直角三角形時(shí)的狀態(tài)，而成為直角的可能有兩種情況，即為直角和為直角．下面分兩種情況進(jìn)行分析：過(guò)點(diǎn)C作，垂足為，此時(shí)；過(guò)點(diǎn)C作，垂足為C，此時(shí)，，因此，故取值范圍是．【變式1-2】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知直線與圓相切于點(diǎn)，設(shè)直線與軸的交點(diǎn)為，點(diǎn)為圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為______．【答案】【解析】圓的圓心的為，因?yàn)橹本€與圓相切于點(diǎn)則所以得，所以，，所以直線方程為，圓的方程為，所以，，的中點(diǎn)，則因?yàn)椋怨?，所以的最大值為故答案為：【變?-3】半徑為4的圓上有三點(diǎn)，滿足，點(diǎn)是圓內(nèi)一點(diǎn)，則的取值范圍為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】如圖所示，設(shè)與交于點(diǎn)，由，得四邊形是菱形，且，則，，由圖知，，而，所以，同理，，而，所以，所以，因?yàn)辄c(diǎn)是圓內(nèi)一點(diǎn)，則，所以，即的取值范圍為，.題型04等和線題型：基礎(chǔ)【解題攻略】等和線基礎(chǔ)：系數(shù)為1型形如，求值或者范圍，其中可以理解對(duì)應(yīng)系數(shù)如，稱之為“和”系數(shù)為1.這種類型，可以直接利用“基底線”平移，做比值即可求得【典例1-1】.在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，動(dòng)點(diǎn)P是以C為圓心且與BD相切的圓上，若，則的最大值為（）A.3B.C.D.2答案：A解：根據(jù)圖形可知，當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)到與A點(diǎn)距離最大時(shí)有最大值，此時(shí)，過(guò)A點(diǎn)作BD的垂線，如圖所示垂足分別為M、N，則【典例1-2】已知在內(nèi)，且，，則____．【答案】【解析】【分析】首先根據(jù)題意，畫出相應(yīng)的圖形，利用題中所給的條件，列出相應(yīng)的等量關(guān)系式，根據(jù)平面向量基本定理，得到對(duì)應(yīng)的結(jié)果.【詳解】如圖，設(shè)BO與AC相交于D，則由，可得，設(shè)CO與AB相交于E，則由，可得，因B,O,D三點(diǎn)共線，故存在實(shí)數(shù)m，使，因C,O,E三點(diǎn)共線，故存在實(shí)數(shù)n，使得，所以，解得，，所以，，故答案是：.【變式1-1】在△ABC中，∠BAC=，以AB為一邊向△ABC外作等邊三角形ABD，∠BCD=2∠ACD，則____________．【答案】【解析】【分析】以A為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，則設(shè)，，，,則，根據(jù)三倍角公式建立方程可求出m,利用點(diǎn)的坐標(biāo)運(yùn)算求出即可.【詳解】如圖建系，設(shè)，則，根據(jù)三倍角公式，有，于是也即解得，于是從而.【變式1-2】已知在中，，，，P為BC上任意一點(diǎn)（含B，C），以P為圓心，1為半徑作圓，Q為圓上任意一點(diǎn)，設(shè)，則的最大值為A． B． C． D．【答案】C【分析】如圖:設(shè)或的延長(zhǎng)線交于D,過(guò)Q作//BC交AC或AC的延長(zhǎng)線于,過(guò)圓上離BC最遠(yuǎn)點(diǎn)作切線與AB的延長(zhǎng)線交于,與AC的延長(zhǎng)線交于,過(guò)A作,垂足為,然后根據(jù)向量知識(shí)將的最大值轉(zhuǎn)化為的最大值來(lái)求,【詳解】如圖:設(shè)或的延長(zhǎng)線交于D,過(guò)Q作//BC交AC或AC的延長(zhǎng)線于,過(guò)圓上離BC最遠(yuǎn)點(diǎn)作切線與AB的延長(zhǎng)線交于,與AC的延長(zhǎng)線交于,過(guò)A作,垂足為,交BC于K，此時(shí)圓P的圓心為,BC=5,,,其中,又,所以,當(dāng)Q在BC的下方時(shí),;當(dāng)Q在BC上時(shí),,當(dāng)Q在BC的上方時(shí),,根據(jù)平面幾何知識(shí),可知當(dāng)Q為、D為K時(shí)，最大，所以x+y取最大，所以：x+y的最大值為：．故選：C．【變式1-3】如圖，A、B、C是圓O上的三點(diǎn)，CO的延長(zhǎng)線與線段BA的延長(zhǎng)線交于圓O外一點(diǎn)D，若，則λ+μ的取值范圍是A．(-∞,-1) B．(-1,0) C．(0,1) D．(1,+∞)【答案】B【解析】【分析】首先由C,O,D三點(diǎn)共線且點(diǎn)D在圓外可設(shè)，再由B,A,D三點(diǎn)共線且點(diǎn)D在圓外可得，然后結(jié)合三角形法則可得，進(jìn)而可得，所以得到，從而，最后將其與已知向量式對(duì)比即可求出λ與μ，據(jù)此問(wèn)題即可解答．【詳解】由點(diǎn)D是圓O外一點(diǎn)且C,O,D三點(diǎn)共線，可設(shè)，由B,A,D三點(diǎn)共線且點(diǎn)D在圓外可得，又，∴，∴，∴．又，∴，∴．故選B．題型05等和線題型：型【解題攻略】形如，求值或者范圍.一般動(dòng)點(diǎn)多在圓上，則可以通過(guò)三角換元，構(gòu)造三角函數(shù)輔助角形式求最值。可構(gòu)建直角坐標(biāo)系并設(shè)且()，應(yīng)用平面向量線性關(guān)系的坐標(biāo)表示求得關(guān)于參數(shù)的函數(shù)式求最值.【典例1-1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）O是的外心，，，則（

）A． B． C． D．或【答案】D【分析】根據(jù)外心的性質(zhì)，結(jié)合數(shù)量積運(yùn)算求解，注意討論是否在上.【詳解】當(dāng)在上，則為的中點(diǎn)，滿足，符合題意，∴，則；當(dāng)不在上，取的中點(diǎn)，連接，則，則，同理可得：∵，，聯(lián)立可得，解得，故選：D.【典例1-2】在矩形ABCD中，，，P為矩形內(nèi)一點(diǎn)，且若，則的最大值為A． B． C． D．【答案】B【分析】可根據(jù)條件畫出圖形，根據(jù)圖形設(shè)，且，則又可用表示為：所以根據(jù)平面向量基本定理得到：，所以，最大值為1，所以的最大值為．【詳解】如圖，設(shè)，，則：；又；；；的最大值為．故選B．【變式1-1】（2022春·江蘇無(wú)錫·高三江蘇省天一中學(xué)?？迹┰谥校?，，，為的外心，若，、，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】作出圖形，先推導(dǎo)出，同理得出，由此得出關(guān)于實(shí)數(shù)、的方程組，解出這兩個(gè)未知數(shù)的值，即可求出的值.【詳解】如下圖所示，取線段的中點(diǎn)，連接，則且，，同理可得，，由，可得，即，解得，，因此，.故選：C.【變式1-2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知正三角形的邊長(zhǎng)為2，D是邊的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足，且，其中，則的最大值為．【答案】/2.5【分析】構(gòu)建以為原點(diǎn)，為x、y軸的直角坐標(biāo)系，確定相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)并設(shè)且()，由向量線性關(guān)系的坐標(biāo)表示列方程得到關(guān)于的三角函數(shù)式，應(yīng)用正弦型函數(shù)性質(zhì)求最大值.【詳解】由題設(shè)，在以為圓心，1為半徑的圓上或圓內(nèi)，構(gòu)建以為原點(diǎn)，為x、y軸的直角坐標(biāo)系，如下圖示：所以，，，令且()，所以，，，又，即，所以，而，則，故當(dāng)時(shí)，有最大值.故答案為：題型06等和線題型：型【解題攻略】形如，求值或者范圍，有如下思維：如果動(dòng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)，可以通過(guò)圓的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為輔助角求解?？梢越柚群途€，找到=定值，然后代入消元求解單元變量范圍或最值【典例1-1】如圖，在直角梯形中，，∥，，，圖中圓弧所在圓的圓心為點(diǎn)C，半徑為，且點(diǎn)P在圖中陰影部分（包括邊界）運(yùn)動(dòng)．若，其中，則的取值范圍是A． B．C． D．【答案】B【詳解】解：以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，方向?yàn)檩S，軸正方向建立直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由意可知：，據(jù)此可得：，則：，目標(biāo)函數(shù)：，其中為直線系的截距，當(dāng)直線與圓相切時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最大值.當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最小值，則的取值范圍是.本題選擇B選項(xiàng).【典例1-2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知銳角滿足，且O為的外接圓圓心，若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意可得，將平方整理得，設(shè)，則有，再設(shè)，則有==，求解即可.【詳解】解：如圖所示：由正弦定理可得：，所以，在中，由余弦定理可得,又因?yàn)?所以.又因?yàn)?，所以，即有：，即，所以，設(shè)，可得，又因?yàn)闉殇J角三角形，所以，所以，設(shè)，則有，所以==，所以故選：A.【變式1-1】（2022·四川·校聯(lián)考三模）在直角梯形中，，，，，分別為，的中點(diǎn)，以為圓心，為半徑的半圓分別交及其延長(zhǎng)線于點(diǎn)，，點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)（如圖）.若，其中，，則的取值范圍是A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)直角坐標(biāo)系，根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算，即可表達(dá)出，進(jìn)而用輔助角公式以及三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】分別以所在直線為軸，軸，方向?yàn)檎较蚪⒅苯亲鴺?biāo)系，知,設(shè)，由得：，即,則，由可得：，則，故.則的取值范圍是

.故選：C【變式1-2】（2019·北京·首都師范大學(xué)附屬中學(xué)校考一模）在中，點(diǎn)滿足.若存在點(diǎn)，使得，且，則的取值范圍是．【答案】（﹣2，0）【分析】由，得，結(jié)合條件，得到m＝﹣3λ﹣1，n＝3λ﹣1，利用mn＞0．可求出實(shí)數(shù)λ的取值范圍，由此可計(jì)算出m﹣n的取值范圍．【詳解】由，可得，所以，，則m＝﹣3λ﹣1，n＝3λ﹣1，由于mn＞0，則（﹣3λ﹣1）（3λ﹣1）＞0，即（3λ+1）（3λ﹣1）＜0，解得，∵λ＞0，所以，，m﹣n＝（﹣3λ﹣1）﹣（3λ﹣1）＝﹣6λ∈（﹣2，0），故答案為（﹣2，0）【變式1-3】（2022秋·山東青島·高三統(tǒng)考）將兩個(gè)直角三角形如圖拼在一起，當(dāng)點(diǎn)在線段上移動(dòng)時(shí)，若，當(dāng)取最大值時(shí)，的值是．【答案】【詳解】如圖所示：設(shè)且，由題意知，當(dāng)取最大值時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合．中，由余弦定理求得又，故答案為題型07等和線題型：分?jǐn)?shù)型【解題攻略】形如，求值或者范圍，一般情況下，則可以通過(guò)等和線或者，然后對(duì)采用均值不等式中的“1”的代換技巧。【典例1-1】（2021·遼寧大連·大連八中?？家荒＃┰谥校阎?，，為線段上的一點(diǎn)，且，則的最小值為A． B． C． D．【答案】A【解析】在中，設(shè)，，，結(jié)合三角形的內(nèi)角和及和角的正弦公式化簡(jiǎn)可求，可得，再由已知條件求得，，，考慮建立以所在的直線為軸，以所在的直線為軸建立直角坐標(biāo)系，根據(jù)已知條件結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算求得，然后利用基本不等式可求得的最小值.【詳解】在中，設(shè)，，，，即，即，，，，，，，，即，又，，，則，所以，，解得，.以所在的直線為軸，以所在的直線為軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則、、，為線段上的一點(diǎn)，則存在實(shí)數(shù)使得，，設(shè)，，則，，，，，消去得，，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因此，的最小值為.故選：A.【典例1-2】（2023春·江蘇南通·高三江蘇省南通中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在中，已知，，，為線段上的一點(diǎn)，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由sinB=cosA?sinC化簡(jiǎn)可求cosC=0即C=90°，再由，S△ABC=6可得bccosA=9，可求得c=5，b=3，a=4，考慮建立直角坐標(biāo)系，由P為線段AB上的一點(diǎn)，則存在實(shí)數(shù)λ使得,由，為單位向量，可得，，可得,可得，則由，利用基本不等式求解最小值．【詳解】中設(shè)，，，，即，，，，，，，，，根據(jù)直角三角形可得，，，，，以所在的直線為x軸，以所在的直線為y軸建立直角坐標(biāo)系可得，，，P為直線上的一點(diǎn)，則存在實(shí)數(shù)使得,設(shè)，，則，，,,，則,,故所求的最小值為,故選：D.【變式1-1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E在邊AB上，且，點(diǎn)F為線段BD上的一動(dòng)點(diǎn)（包含端點(diǎn)），若，則的取值范圍為．【答案】【分析】由向量加法法則可得，根據(jù)F為線段BD上的一動(dòng)點(diǎn)（包含端點(diǎn)）有且、，構(gòu)造并利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，進(jìn)而確定值域，即可得結(jié)果.【詳解】由，所以且，結(jié)合目標(biāo)式有，，，，（舍），故在、上遞減，在上遞增，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以．故答案為：【變式1-2】（2023春·內(nèi)蒙古烏蘭察布·高三?？迹┮阎钦龑?shí)數(shù)，的三邊長(zhǎng)為，點(diǎn)是邊(與點(diǎn)不重合)上任一點(diǎn)，且．若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算得到x、y的關(guān)系式，再由題給條件得到關(guān)于m的不等式，利用均值定理即可得到實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】以C為原點(diǎn)分別以CB、CA為x、y軸建立平面直角坐標(biāo)系如圖：則，則則，又點(diǎn)P在直線：上，則有，即由恒成立，可得恒成立，由，可得則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）又，，則則，則，則，則實(shí)數(shù)的取值范圍是故答案為：【變式1-3】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知為等邊三角形，點(diǎn)G是的重心．過(guò)點(diǎn)G的直線l與線段AB交于點(diǎn)D，與線段AC交于點(diǎn)E．設(shè)，，則；與周長(zhǎng)之比的取值范圍為．【答案】3【分析】連接AG并延長(zhǎng)，交BC于F，可得，變形可得，根據(jù)D、G、E三點(diǎn)共線，即可得答案；設(shè)的邊長(zhǎng)為1，設(shè)與周長(zhǎng)之比，可得，根據(jù)余弦定理，可求得表達(dá)式，代入可得，根據(jù)的范圍，可得的范圍，利用導(dǎo)數(shù)，結(jié)合的范圍，即可得答案.【詳解】連接AG并延長(zhǎng)，交BC于F，如圖所示由題意得，F(xiàn)為BC中點(diǎn)，所以，又G為重心，所以，所以，即，因?yàn)镈、G、E三點(diǎn)共線，所以，即.設(shè)的邊長(zhǎng)為1，設(shè)與周長(zhǎng)之比，則，在中，由余弦定理得，所以，即，所以，由（1）可得，即代入上式，可得由題意得，所以，又，所以，又，所以，因?yàn)椋?，令，則，令，則，所以在上為增函數(shù)，所以，所以與周長(zhǎng)之比的取值范圍為題型08等和線題型：與數(shù)列【典例1-1】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，平面四邊形中，點(diǎn)D為動(dòng)點(diǎn)，的面積是面積的3倍，數(shù)列滿足，，當(dāng)時(shí)，恒有，則數(shù)列的前6項(xiàng)和為（

）．A．2020 B．1818 C．911 D．912【答案】D【分析】連接交于點(diǎn)，根據(jù)，得，則，再根據(jù)，設(shè)，，，轉(zhuǎn)化為，根據(jù)與不共線，得到，即，變形為，由等比數(shù)列的定義得到是等比數(shù)列，得到通項(xiàng)公式，再用累加法得到，然后用分組求和法求解.【詳解】如圖，連接交于點(diǎn)，由，得，，設(shè)，，，，又與不共線，所以，則，即，所以，所以，即，所以是以2為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，所以，由，，…，，累加得，所以，所以．故選：D．【典例1-2】（2022秋·安徽合肥·高三階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)為的邊上一點(diǎn)，，為邊上的一列點(diǎn)，滿足，若，則（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)向量的運(yùn)算、共線向量的表示和等差數(shù)列的判定得出數(shù)列和的關(guān)系.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，且，所以，得，所以，又，所以?shù)列表示首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，所以.故選：B.【變式1-1】．（2022秋·河北石家莊·高三正定中學(xué)階段練習(xí)）如圖，已知點(diǎn)為的邊上一點(diǎn)，，為邊上的一列點(diǎn)，滿足，其中實(shí)數(shù)列中，，，則A．46 B．30 C．242 D．161【答案】D【詳解】因?yàn)?，所以，設(shè)，，又因?yàn)?，?/p>

以，又，所以數(shù)列表示首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，,故選D．【變式1-2】（2023秋·遼寧沈陽(yáng)·高三新民市高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知四邊形ABCD，為邊BC邊上一點(diǎn)，連接交BD于，點(diǎn)滿足，其中是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，，則的前n項(xiàng).

【答案】【分析】由結(jié)合共線向量定理的推論可得，則可求得，再由可得，從而得，則得，然后利用分組求和法可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，所以，因?yàn)椋允且?為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以，所以，因?yàn)椋?，所以，因?yàn)?，所以因?yàn)椋?，所以，故答案為：題型09奔馳定理與重心型軌跡【解題攻略】向量型求動(dòng)點(diǎn)軌跡：利用向量幾何意義與坐標(biāo)運(yùn)算，尋找轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)。①直接法，設(shè)出動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)題意列出關(guān)于的等式即可；②定義法，根據(jù)題意動(dòng)點(diǎn)符合已知曲線的定義，直接求出方程；③參數(shù)法，把分別用第三個(gè)變量表示，消去參數(shù)即可；④逆代法，將代入.【典例1-1】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知是平面上的4個(gè)定點(diǎn)，不共線，若點(diǎn)滿足，其中，則點(diǎn)的軌跡一定經(jīng)過(guò)的（

）A．重心 B．外心 C．內(nèi)心 D．垂心【答案】A【分析】設(shè)邊的中點(diǎn)為，則，進(jìn)而結(jié)合題意得，再根據(jù)向量共線判斷即可.【詳解】解：根據(jù)題意，設(shè)邊的中點(diǎn)為，則，因?yàn)辄c(diǎn)滿足，其中所以，，即，所以，點(diǎn)的軌跡為的中線，所以，點(diǎn)的軌跡一定經(jīng)過(guò)的重心.故選：A【典例1-2】（2022春·重慶·高三統(tǒng)考）已知是三角形所在平面內(nèi)一定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)軌跡一定通過(guò)三角形的A．重心 B．外心 C．垂心 D．內(nèi)心【答案】A【分析】作，根據(jù)，結(jié)合求解.【詳解】如圖所示：作，因?yàn)椋?，由加法法則知，在三角形的中線上，所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定經(jīng)過(guò)的重心，故選：A．【變式1-1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知A，B，C是平面上不共線的三點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足＝[(1－λ)＋(1－λ)＋(1＋2λ)·]，λ∈R，則點(diǎn)P的軌跡一定經(jīng)過(guò)（

）A．△ABC的內(nèi)心 B．△ABC的垂心C．△ABC的重心 D．AB邊的外心【答案】C【分析】根據(jù)向量的加法的平行四邊形法則向量的運(yùn)算法則，對(duì)條件進(jìn)行化簡(jiǎn)，得到，根據(jù)三點(diǎn)共線的充要條件知道、、三點(diǎn)共線，從而得到點(diǎn)的軌跡一定經(jīng)過(guò)的重心．【詳解】取AB的中點(diǎn)D，則2＝＋，∵＝[(1－λ)＋(1－λ)＋(1＋2λ)]，∴＝[2(1－λ)＋(1＋2λ)]＝＋，而＋＝1，∴P，C，D三點(diǎn)共線，∴點(diǎn)P的軌跡一定經(jīng)過(guò)△ABC的重心.故選：C【變式1-2】（2023春·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，，是不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)，是平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，若，，則點(diǎn)的軌跡一定過(guò)的（

）A．外心 B．重心 C．垂心 D．內(nèi)心【答案】B【分析】設(shè)出的中點(diǎn)，利用向量的運(yùn)算法則化簡(jiǎn)；據(jù)向量共線的充要條件得到在三角形的中線上，利用三角形的重心定義：三中線的交點(diǎn)，得到選項(xiàng)【詳解】解：如圖，取的中點(diǎn)，連接，則．又，，即．又，點(diǎn)在射線上．故的軌跡過(guò)的重心．故選：B．.題型10三角形四心向量：內(nèi)心【解題攻略】四心的向量統(tǒng)一形式：設(shè)是內(nèi)一點(diǎn)且；若為內(nèi)心，則；【典例1-1】（2020春·山西運(yùn)城·高三臨猗縣臨晉中學(xué)?？奸_學(xué)考試）為所在平面上動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)滿足,,則射線過(guò)的A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心【答案】B【分析】將變形為，因?yàn)楹偷哪ｉL(zhǎng)都是1，根據(jù)平行四邊形法則可得，過(guò)三角形的內(nèi)心.【詳解】因?yàn)楹头謩e是和的單位向量所以是以和為鄰邊的平行四邊形的角平分線對(duì)應(yīng)的向量。所以的方向與的角平分線重合即射線過(guò)的內(nèi)心。故選B【典例1-2】（2022秋·重慶·高三重慶一中校考）已知為的內(nèi)心，，若，則的最大值為A． B． C． D．【答案】D【詳解】點(diǎn)O是平面ABC上任意一點(diǎn)，點(diǎn)I是△ABC內(nèi)心的充要條件是：其中BC=a、AC=b、AB=c，將O點(diǎn)取作A點(diǎn)帶入得到，故由余弦定理得到，又因?yàn)?，最終求得，故．故答案選D.【變式1-1】（2021春·上海徐匯·高三上海市南洋模范中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，，，，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．若是的重心，則 B．若是的內(nèi)心，則C．若是的垂心，則 D．若是的外心，則【答案】B【分析】根據(jù)三角形各心的性質(zhì)求出對(duì)應(yīng)的之間的比值，即可得出答案.【詳解】如圖，設(shè)，直線與直線交于點(diǎn)，因?yàn)?，所以，則，即，過(guò)作分別平行于，則，而，，由平行線分線段成比例得，同理，所以；若是的重心，則為的中點(diǎn)，所以，故A正確；若是的內(nèi)心，則直線平分，而，，所以分的比，故B不正確；若是的垂心，如圖，則點(diǎn)與點(diǎn)重合，則，故C正確；若是的外心，因?yàn)?，所以線段AB的中垂線的斜率為，且AB的中點(diǎn)為，所以線段AB的中垂線的方程為，即，又線段BC的中垂線為，聯(lián)立，解得，所以，，由于，，所以，則，故D正確，故選：B.【變式1-2】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)為的內(nèi)心，，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】取的中點(diǎn)，連，則為內(nèi)切圓的半徑，利用面積關(guān)系求出，得，再根據(jù)得，由平面向量基本定理求出可得答案.【詳解】取的中點(diǎn)，連，因?yàn)?，，所以，，所以的?nèi)心在線段上，為內(nèi)切圓的半徑，因?yàn)?，所以，所以，得，所以，所以，又，所以，又已知，所以，所?

故選：B.【變式1-3】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在中，若，則點(diǎn)是的（

）A．重心 B．內(nèi)心 C．垂心 D．外心【答案】B【分析】根據(jù)“奔馳定理”列方程，整理后判斷出是的內(nèi)心.【詳解】過(guò)點(diǎn)分別作，，的垂線，，，其垂足依次為，如圖所示，由于，根據(jù)奔馳定理就有：，即，因此，故點(diǎn)是的內(nèi)心，B選項(xiàng)正確.故選：B

題型11三角形四心向量：外心【解題攻略】設(shè)是內(nèi)一點(diǎn)且；若為外心，則；【典例1-1】（2021春·湖北武漢·高三統(tǒng)考）中，，點(diǎn)為的外心，若，則實(shí)數(shù)．【答案】/【分析】利用余弦定理可求出角的余弦值，再利用向量的投影求出和的值，從而對(duì)兩邊同時(shí)點(diǎn)乘，得到關(guān)于的方程組，從而得解.【詳解】記的中點(diǎn)分別為，連接，如圖，

則，因?yàn)樵谥?，，由余弦定理，得，所以，，，因?yàn)?，所以，所以，解得，所?故答案為：.【典例1-2】（2023春·廣東珠?！じ呷y(tǒng)考）在中，，，為的外心，，，分別為，，的中點(diǎn)，且，則.【答案】【分析】先求出，由，，兩邊平方，結(jié)合及數(shù)量積的定義直接求解.【詳解】如圖，設(shè)的外接圓半徑為，由正弦定理，則，又因?yàn)?，，分別為，，的中點(diǎn)，所以，，，三式平方相加可得，又因?yàn)椋氲媒Y(jié)果為.故答案為：.【變式1-1】（2023春·湖北武漢·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)的外心為，且滿足，，則的面積為.【答案】/【分析】設(shè)的外接圓的半徑為，根據(jù)平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則，求出兩向量的夾角，判定為等腰三角形，由此求得的面積.【詳解】設(shè)的外接圓的半徑為，因?yàn)椋?，即，解得，又因?yàn)椋傻?，又由，可?解得，因?yàn)椋傻?，同理可得，由圓的性質(zhì)知，，所以為等腰三角形，因?yàn)?，所以為等腰直角三角形，所以，所以的面積為.故答案為：.

【變式1-2】（2023春·山東青島·高三統(tǒng)考）記的三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊分別為，，，且，，若是的外心，則．【答案】【分析】作于，于，根據(jù)向量數(shù)量積的幾何意義，，即可得到答案.【詳解】如圖：

作于，于，∵圓中，，∴，因此，同理可得，∴.故答案為:.【變式1-3】（2023春·廣東汕頭·高三金山中學(xué)?？家阎獮榈耐庑模簦瑒t最小值.【答案】【分析】利用外心的性質(zhì)，向量的數(shù)量積運(yùn)算得到，再利用余弦定理求出，利用基本不等式求最值.【詳解】∵為的外心，若，∴,∴，∴,即，即，∴,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，∴的最小值為.故答案為:.

題型12三角形四心向量：重心【解題攻略】重心四心的向量統(tǒng)一形式：設(shè)是內(nèi)一點(diǎn)且；若為重心，則；解決該類問(wèn)題常用如下方法：（1）根據(jù)條件，利用正、余弦定理直接解三角形；（2）利用向量，結(jié)合向量的數(shù)量積進(jìn)行求解；（3）建立直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)進(jìn)行求解.【典例1-1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若a=5sin（B），c=5且O為△ABC的外心，G為△ABC的重心，則OG的最小值為A．1 B． C．1 D．【答案】D【分析】首先根據(jù)條件解△ABC可得：C和△ABC外接圓的半徑R，由此建立直角坐標(biāo)系，可得：.A（，0），B（，0），外心O為（0，），重心G.從而求得|OG|2sinθ，即可得解.【詳解】A=5sin（B），c=5，∴acsin（B），由正弦定理可得：sinAsinC（sinB+cosB），∴sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=sinCsinB+sinCcosB，化為：sinBcosC=sinCsinB，sinB0，∴cosC=sinC，即tanC=1，C∈（0，π）.∴C.∴△ABC外接圓的半徑R.如圖所示，建立直角坐標(biāo)系.A（，0），B（，0），O（0，）.△ABC外接圓的方程為：x2.設(shè)C（cosθ，sinθ）.θ∈（0，π）則G.|OG|2sinθ，∴|OG|的最小值為：.故選：D.【典例1-2】（2022春·陜西西安·高三長(zhǎng)安一中校考階段練習(xí)）已知點(diǎn)為的重心，，，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由三角形重心的性質(zhì)可得，，由向量數(shù)量積的定義可求得，然后根據(jù)向量數(shù)量積的性質(zhì)可得|，結(jié)合基本不等式可求的最小值.【詳解】如圖所示，設(shè)的中點(diǎn)為，由三角形重心性質(zhì)可得，又為中點(diǎn)，，，則.又，，由向量的數(shù)量積定義可得，，.，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即的最小值.故選：C.【變式1-1】（2020春·天津·高三天津市濱海新區(qū)塘沽第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知中，為的重心，則A． B． C． D．【答案】A【分析】由題，先用余弦定理求得，再用向量表示出，然后代入用向量的數(shù)量積公式進(jìn)行計(jì)算即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)橹?，為的重心，所以，由余弦定理可得：且所?【變式1-2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）過(guò)的重心作直線，已知與、的交點(diǎn)分別為、，，若，則實(shí)數(shù)的值為A．或 B．或C．或 D．或【答案】B【解析】利用面積之比，轉(zhuǎn)化為的方程，解方程即可.【詳解】設(shè),因?yàn)镚為的重心，所以,即.由于三點(diǎn)共線，所以，即.因?yàn)椋?，所以，即有，解之得?故選B.【變式1-3】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)是的重心，，若，，則的最小值是A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為均值不等式求最值的問(wèn)題，據(jù)此求解的最小值即可.【詳解】如圖所示，由向量加法的三角形法則及三角形重心的性質(zhì)可得,，根據(jù)向量的數(shù)量積的定義可得,設(shè)，則，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，△ABC是等腰三角形時(shí)等號(hào)成立.綜上可得的最小值是.本題選擇C選項(xiàng).題型13三角形四心向量：垂心【解題攻略】四心的向量統(tǒng)一形式：設(shè)是內(nèi)一點(diǎn)且；若為垂心，則.【典例1-1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）奔馳定理：已知是內(nèi)的一點(diǎn)，若、、的面積分別記為、、，則．“奔馳定理”是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，這個(gè)定理對(duì)應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車的很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”.如圖，已知是的垂心，且，則(

)A． B． C． D．【答案】A【分析】由O是垂心，可得，結(jié)合可得，根據(jù)三角形內(nèi)角和為π，結(jié)合正切的和差角公式即可求解.【詳解】∵是的垂心，延長(zhǎng)交與點(diǎn)，∴，同理可得，∴：，又，∴，又，∴，不妨設(shè)，其中，∵，∴，解得或，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，則都是鈍角，則，矛盾.故，則，∴是銳角，，于是，解得.故選：A.【典例1-2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，則直線必經(jīng)過(guò)的A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心【答案】D【解析】?jī)蛇呁艘韵蛄?，利用向量的?shù)量積運(yùn)算可求得從而得到結(jié)論．【詳解】?jī)蛇呁艘韵蛄?得。。即點(diǎn)P在BC邊的高線上，所以P的軌跡過(guò)△ABC的垂心，故選D.【變式1-1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)為的外心，若，則點(diǎn)是的（

）A．重心 B．內(nèi)心 C．垂心 D．外心【答案】C【分析】取BC的中點(diǎn)D，連接OD，AM，BM，CM，由，結(jié)合，得到，從而，再由為的外心，得到即可.【詳解】解：取BC的中點(diǎn)D，如圖所示，連接OD，AM，BM，CM．因?yàn)椋?，又，則，所以，又由于為的外心，所以，因此有．同理可得，，所以點(diǎn)是的垂心．故選：C．【變式1-2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知H為的垂心，若，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】，，利用、得，，解得，再利用平方共線可得答案.【詳解】依題意，，同理．由H為△ABC的垂心，得，即，可知，即．同理有，即，可知，即，解得，，又，所以．故選：C．【變式1-3】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在中，D為邊BC上的一點(diǎn)，H為的垂心，，則（

）A．2019 B．2020 C．2021 D．2022【答案】C【分析】令BC，AB邊上的高分別為AE，CF，利用向量共線及向量數(shù)量積可得，再借助面積法及正弦定理計(jì)算可得即可得解.【詳解】設(shè)BC，AB邊上的高分別為AE，CF，則AE與CF交點(diǎn)為H，如圖，由B，C，D三點(diǎn)共線可得：，于是有，則，在中，，則，在中，由正弦定理得，則，在中，由正弦定理有，于是得，因此，，所以2021故選：C題型14向量點(diǎn)域綜合【典例1-1】如圖，在中，點(diǎn)是線段及、的延長(zhǎng)線所圍成的陰影區(qū)域內(nèi)（含邊界）的任意一點(diǎn)，且，則在直角坐標(biāo)平面上，實(shí)數(shù)對(duì)所表示的區(qū)域在直線的右下側(cè)部分的面積是A． B．C．4 D．5【答案】B【詳解】試題分析：如圖,過(guò)作,,因此面積為,故選B.【典例1-2】如圖，A、B分別是射線上的兩點(diǎn)，給出下列向量：①;②；③；④；⑤這些向量中以O(shè)為起點(diǎn)，終點(diǎn)落在陰影區(qū)域內(nèi)的是________（填序號(hào)）．【答案】①③【分析】設(shè)，證明當(dāng)點(diǎn)P落在陰影區(qū)域內(nèi)時(shí)，滿足：且，對(duì)照各個(gè)條件一一驗(yàn)證即可.【詳解】設(shè).當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，過(guò)點(diǎn)P分別作PE∥OA，PF∥OB分別交OB、OA于點(diǎn)E、F.則。同理可得：當(dāng)點(diǎn)P落在陰影區(qū)域除了線段AB上時(shí)，.因此當(dāng)點(diǎn)P落在陰影區(qū)域內(nèi)時(shí)，滿足：且.據(jù)此可知:只有①③滿足條件.故答案為：①③【變式1-1】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，原點(diǎn)為正八邊形的中心，軸，若坐標(biāo)軸上的點(diǎn)（異于點(diǎn)）滿足（其中，且、），則滿足以上條件的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）A． B． C． D．山東省濱州市2019—2020學(xué)年下學(xué)期高三年級(jí)期末考試數(shù)學(xué)試題【答案】D【分析】分點(diǎn)在、軸進(jìn)行分類討論，可得出點(diǎn)、關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱，由此可得出點(diǎn)的個(gè)數(shù).【詳解】分以下兩種情況討論：①若點(diǎn)在軸上，則、關(guān)于軸對(duì)稱，由圖可知，與、與、與、與關(guān)于軸對(duì)稱，此時(shí)，符合條件的點(diǎn)有個(gè)；②若點(diǎn)在軸上，則、關(guān)于軸對(duì)稱，由圖可知，與、與、與、與關(guān)于軸對(duì)稱，此時(shí)，符合條件的點(diǎn)有個(gè).綜上所述，滿足題中條件的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為.故選：D.【變式1-2】如圖，OM//AB，點(diǎn)P在由射線OM、線段OB及AB的延長(zhǎng)線組成的區(qū)域內(nèi)（不含邊界）運(yùn)動(dòng)，且，當(dāng)時(shí)，y的取值范圍是________【答案】【分析】根據(jù)向量加法的平行四邊形法則，為平行四邊形的對(duì)角線，該四邊形應(yīng)是以和的反向延長(zhǎng)線為兩鄰邊，得到的取值范圍，當(dāng)時(shí)，要使點(diǎn)落在指定區(qū)域內(nèi)，即點(diǎn)應(yīng)落在上，得到的范圍．【詳解】解：如圖，，點(diǎn)在由射線，線段及的延長(zhǎng)線圍成的區(qū)域內(nèi)（不含邊界）運(yùn)動(dòng)，且，由向量加法的平行四邊形法則，為平行四邊形的對(duì)角線，該四邊形應(yīng)是以和的反向延長(zhǎng)線為兩鄰邊，的取值范圍是；當(dāng)時(shí)，要使點(diǎn)落在指定區(qū)域內(nèi)，即點(diǎn)應(yīng)落在上，，，的取值范圍是，．故答案為：，【變式1-3】在中，，，D是內(nèi)切圓圓心，設(shè)P是外的三角形區(qū)域內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，若，則點(diǎn)所在區(qū)域的面積為______.江蘇省鹽城市東臺(tái)創(chuàng)新高級(jí)中學(xué)2019-2020學(xué)年高三上學(xué)期11月檢測(cè)數(shù)學(xué)試題【答案】【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，求出內(nèi)切圓半徑，求出點(diǎn)所在區(qū)域面積，利用與點(diǎn)坐標(biāo)間的關(guān)系可求得所要求的面積【詳解】以為原點(diǎn)，為軸，為軸建立如圖所求的平面直角坐標(biāo)系，∵，，∴，∴內(nèi)切圓的半徑為，則圓外的外部的面積為，，∴點(diǎn)所在區(qū)域面積為，而點(diǎn)所在區(qū)域面積為點(diǎn)所在區(qū)域面積的，面積為．故答案為：．高考練場(chǎng)1.已知等邊邊長(zhǎng)為4，為其內(nèi)一點(diǎn)，且，則的面積為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵，∴．如圖所示，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得，分別以為鄰邊作平行四邊形，則，又，可得，∴，∴，∴，故選B.2.如圖，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，E，F(xiàn)是AD上的兩個(gè)三等分點(diǎn)．eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＝4，eq\o(BF,\s\up6(→))·eq\o(CF,\s\up6(→))＝－1，則eq\o(BE,\s\up6(→))·eq\o(CE,\s\up6(→))的值為________．答案eq\f(7,8)；解析極化恒等式法設(shè)BD＝DC＝m，AE＝EF＝FD＝n，則AD＝3n．根據(jù)向量的極化恒等式，有eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))2－eq\o(DB,\s\up6(→))2＝9n2－m2＝4，eq\o(FB,\s\up6(→))·eq\o(FC,\s\up6(→))＝eq\o(FD,\s\up6(→))2－eq\o(DB,\s\up6(→))2＝n2－m2＝－1．聯(lián)立解得n2＝eq\f(5,8)，m2＝eq\f(13,8)．因此eq\o(EB,\s\up6(→))·eq\o(EC,\s\up6(→))＝eq\o(ED,\s\up6(→))2－eq\o(DB,\s\up6(→))2＝4n2－m2＝eq\f(7,8)．即eq\o(BE,\s\up6(→))·eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\f(7,8)．3.設(shè)點(diǎn)P為正三角形△ABC的邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)取得最小值時(shí)，sin∠PAC的值為____．【答案】【解析】取邊的中點(diǎn)為，連接線段，設(shè)正三角形的邊長(zhǎng)為由極化恒等式可得：，則當(dāng)取最小值時(shí)，也取最小值，又，此時(shí)，點(diǎn)在上靠近的四等分點(diǎn)，在中，余弦定理可得，由正弦定理可得：4.如圖所示，矩形ABCD的邊AB=4，AD=2，以點(diǎn)C為圓心，CB為半徑的圓與CD交于點(diǎn)E，若點(diǎn)P是圓弧(含端點(diǎn)B、E)上的一點(diǎn)，則的取值范圍是.【答案】【解析】取AB的中點(diǎn)設(shè)為O，則，當(dāng)O、P、C共線時(shí)，PO取得最小值為；當(dāng)P與B（或E）重合時(shí)，PO取得最大值為PO=2，所以的取值范圍是.5.直角梯形中，，，是邊長(zhǎng)為的正三角形，是平面上的動(dòng)點(diǎn)，，設(shè)（，），則的最大值為__________．【答案】【解析】【分析】【詳解】以為原點(diǎn)，為軸，所在直線為軸，建立直角坐標(biāo)系，可設(shè)，因?yàn)?，所以，，即的最大值為故答案?6.（2020·江蘇南通·江蘇省如皋中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知為銳角三角形的外心，若，，則的最大值.【答案】【分析】設(shè)外接圓的半徑為，,求出，，在兩別分別乘以，可表示出，利用基本不