基礎(chǔ)課28 平面向量的基本定理及其坐標(biāo)表示

基礎(chǔ)課28平面向量的基本定理及其坐標(biāo)表示課時(shí)評(píng)價(jià)·提能基礎(chǔ)鞏固練1.設(shè)e1，e2是平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底，則下列四組向量中，不能作為基底的是（A.e1+e2和e1C.e1+2e2和2[解析]因?yàn)閑1，e2是平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底，所以e1，e2不共線，所以e1+e2和e1?e2不共線，e1+2e2和2e1+e2不共線，e1和e1+e2不共線,2.已知向量AB=1,3,BC=2,A.5,16 B.7,?16 C.[解析]因?yàn)锳B=1,3,BC=2,4,3.設(shè)x，y∈R，向量a=x,2，b=1,y，A.0 B.1 C.2 D.3[解析]因?yàn)閍=x,2，b=1,y，c=?2,2，且a⊥c，b//c，4.（改編）已知向量a=λ+1,?2，b=A.10 B.103 C.5 D.[解析]向量a=λ+1,?2，b=1,3，若a⊥b，則λ+1?5.（改編）已知向量a=3,4，則與A.(45,?35) B.(?35,45) [解析]設(shè)與a垂直的單位向量e=x,y，因?yàn)閍=3x2+y2=1，解得e=(45,6.如果e1,e2是平面α內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，那么下列說法錯(cuò)誤的是（①a=λ②對(duì)于平面α內(nèi)任一向量a，使a=λe③若向量λ1e1+μ④若存在實(shí)數(shù)λ，μ使得λe1+A.①② B.②③ C.③④ D.②[解析]由平面向量的基本定理可知，①④正確.對(duì)于②，由平面向量的基本定理可知，一旦一個(gè)平面的基底確定，那么任意一個(gè)向量在此基底下的實(shí)數(shù)對(duì)是唯一的，故②錯(cuò)誤.對(duì)于③，當(dāng)λ1λ2=0或μ1μ2=0時(shí)，說法不一定成立，7.（改編）已知在△ABC中，D為邊AB上一點(diǎn)且滿足AD=2DB，若P為線段CD上一點(diǎn)，且滿足AP=λAB+μA.2 B.94 C.52[解析]因?yàn)镻為線段CD上一點(diǎn)，所以AP=xAD+又因?yàn)锳P=λAB+μAC，可得λ=可得16λ當(dāng)且僅當(dāng)μ6λ=3λ2μ，即μ=3λ=23時(shí)，等號(hào)成立，8.已知在矩形ABCD中，AB=2，AD=4，動(dòng)點(diǎn)P滿足AP=λABA.若μ=1，則B.若λ=1，則C.若μ=12，則滿足PAD.若λ=13，μ=[解析]以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD，AB所在直線分別為x，y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則B0,2，D4,0，因?yàn)锳P=λAB+對(duì)于A，當(dāng)μ=1時(shí)，P4,2λ，則點(diǎn)P到直線AB的距離為4，則對(duì)于B，當(dāng)λ=1時(shí)，P4μ,2，則DP=4μ?4,2，因?yàn)?≤μ≤1，所以對(duì)于C，當(dāng)μ=12時(shí)，P2,2λ，PA=?2,?2λ，PB=?2,2?2λ對(duì)于D，若λ=13，μ=23，則P(83,23)，此時(shí)點(diǎn)P到直線AB的距離為綜合提升練9.（多選題）已知向量a=2,1,A.a+b⊥b B.向量aC.a與a?b夾角的余弦值為255 D.若c[解析]對(duì)于A,因?yàn)閍+b=2,1+?3對(duì)于B,因?yàn)閍cos?a,b?=a?bb=?6+1?32+1對(duì)于C,因?yàn)閍?b=2,1??3,1=5,對(duì)于D,因?yàn)閍=2,1,c=(55,?255)，而2×?210.（多選題）已知在平行四邊形ABCD中，E為邊CD的中點(diǎn)，F(xiàn)為邊BC上靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)，連接AF，BE交于點(diǎn)M，連接AC，N為AC上靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn)，記AB=a，AD=A.M，N，E三點(diǎn)共線B.若AM=λC.BND.S△ABM=17[解析]如圖所示,在平行四邊形ABCD中，因?yàn)镹為邊AC上靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn)，所以AN=23所以EN=AN?AE=1所以EM//EN，又有公共點(diǎn)E，所以M,N,E三點(diǎn)共線，故A設(shè)MA=cAF，則AE=ME?MA=?m12AB?AD?cAFBN=AN?AB=?13AB+23AD，因?yàn)镋M因?yàn)锳M=67AF，所以S△ABM=6711.如圖所示，在邊長(zhǎng)為3的等邊△ABC中，AD=23AC，且點(diǎn)P在以AD的中點(diǎn)O為圓心，OA為半徑的半圓上，若BP=[解析]如圖，以O(shè)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則A?1,0,B(12,332),C2,0，因?yàn)樗渣c(diǎn)P的軌跡方程為x2+y2=1，且在x軸的下半部分設(shè)Pcosα則BP=(cosα?12,BA=(?32因?yàn)锽P=xBA+yBC，所以(cos即(cosα?12所以sin所以x+y=?239sinα+1，因?yàn)棣痢蔥π,12.（雙空題）如圖，在△ABC中，AB=3,BC=4,AC=5，D是BC的中點(diǎn)，AE=13EC,BF?AC=0，AD與BE[解析]因?yàn)锳G=λAD，AD=又B，G，E三點(diǎn)共線，所以EG=xEB，又AE=13EC，所以AG=xAB因?yàn)锽F?AC=0，所以BF?AC=AB?BC，所以BF=125，在Rt△BFC應(yīng)用情境練13.如圖,這是某一自行車的平面結(jié)構(gòu)示意圖，已知圖中的圓A（前輪）、圓D（后輪）的半徑均為3，△ABE，△BEC，△ECD均是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形.設(shè)P為后輪上一點(diǎn)，則在騎該自行車的過程中，AC[解析]如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，因?yàn)閳AA（前輪），圓D（后輪）的半徑均為3，△ABE，△BEC，△ECD均是邊長(zhǎng)為所以設(shè)點(diǎn)P3cosθ,3sin所以AC=6,所以AC?所以當(dāng)sinθ+π3=?1，即θ=714.（雙空題）趙爽為《周髀算經(jīng)》一書作序時(shí)介紹了“勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖”（如圖1）.某數(shù)學(xué)興趣小組類比“趙爽弦圖”構(gòu)造出圖2，△ABC為正三角形，AD，BE，CF圍成的△DEF也為正三角形.若D為BE的中點(diǎn)，則△DEF與△ABC的面積的比值為17；設(shè)[解析]如圖,連接AE，由題意知△ABD≌△BCE≌△CAF，且D,E,F分別為BE,CF,ADS△ABC=S因?yàn)锳D=AB+BD=化簡(jiǎn)得AD=47AB創(chuàng)新拓展練15.已知對(duì)任意平面向量AB=x,y，將AB=x,y繞其起點(diǎn)沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)θ角得到向量AP=xcosθ?ysinθ,xsinθ+ycos[解析]設(shè)Bx,y，則AB=x?1,y?即將點(diǎn)B繞點(diǎn)A沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)5π可得AP=(x?化簡(jiǎn)可得AP=(12又因?yàn)锳P=(32所以12解得x=1+316.如圖，平面向量e1與e2是單位向量，夾角