高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)導(dǎo)學(xué)案(新高考)第37講平面向量的應(yīng)用(原卷版+解析)

第37講平面向量的應(yīng)用1、向量在平面幾何中的應(yīng)用(1)證明線(xiàn)段相等、平行，常運(yùn)用向量加法的三角形法則、平行四邊形法則，有時(shí)也用到向量減法的定義．(2)證明線(xiàn)段平行，三角形相似，判斷兩直線(xiàn)(或線(xiàn)段)是否平行，常運(yùn)用向量平行(共線(xiàn))的條件，a∥b?eq\f(x1,x2)＝eq\f(y1,y2)?x1y2－x2y1＝0(x2≠0，y2≠0)．(3)證明垂直問(wèn)題，常用向量垂直的充要條件，a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0．(4)求夾角問(wèn)題：利用夾角公式cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))\r(xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2))).(5)用向量方法解決幾何問(wèn)題的步驟：①建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問(wèn)題中涉及的幾何元素，將平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題；②通過(guò)向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系；③把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系．2、向量在解析幾何中的應(yīng)用(1)直線(xiàn)的傾斜角、斜率與平行于該直線(xiàn)的向量之間的關(guān)系．設(shè)直線(xiàn)l的傾斜角為α，斜率為k，向量a＝(a1，a2)平行于l，則k＝tanα＝eq\f(a2,a1)；如果已知直線(xiàn)的斜率為k＝eq\f(a2,a1)，則向量(a1，a2)與向量(1，k)一定都與l平行．(2)與a＝(a1，a2)平行且過(guò)P(x0，y0)的直線(xiàn)方程為y－y0＝eq\f(a2,a1)(x－x0)，過(guò)點(diǎn)P(x0，y0)且與向量a＝(a1，a2)垂直的直線(xiàn)方程為y－y0＝－eq\f(a1,a2)(x－x0)．1、（2023年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（全國(guó)甲卷））設(shè)為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，若，則（）A.1 B.2 C.4 D.52、（2023年高考數(shù)學(xué)真題完全解讀（新高考I卷））已知雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)分別為．點(diǎn)在上，點(diǎn)在軸上，，則的離心率為_(kāi)_______．1、已知O是平面上的一定點(diǎn)，A，B，C是平面上不共線(xiàn)的三個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\o(OA,\s\up7(→))＋λ(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→)))，λ∈(0，＋∞)，則點(diǎn)P的軌跡一定通過(guò)△ABC的()A．內(nèi)心 B．外心C．重心 D．垂心2、在△ABC中，(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→)))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|2，則△ABC的形狀一定是________三角形．()A.等邊B.等腰C.直角D.等腰直角3、若O為△ABC所在平面內(nèi)的任意一點(diǎn)，且滿(mǎn)足（eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))）·（eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))－2eq\o(OA,\s\up6(→))）＝0，則△ABC的形狀為()A.等腰三角形B.直角三角形C.等邊三角形D.等腰直角三角形4、已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為6，∠ABD＝30°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，DC上，且BC＝2BE，CD＝λCF.若eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BF,\s\up6(→))＝－9，則λ的值為()A.2B.3C.4D.5考向一平面向量在平面幾何中的應(yīng)用例1、（1）已知O是平面上的一定點(diǎn)，A，B，C是平面上不共線(xiàn)的三個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋λ(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，λ∈(0，＋∞)，則點(diǎn)P的軌跡一定通過(guò)△ABC的______心．（2）等腰直角三角形中，，，點(diǎn)是斜邊上一點(diǎn)，且，那么（）A． B． C．2 D．4（3）已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，∠ABC＝60°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AD，DC上，eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→)))，eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(DC,\s\up6(→))，則eq\o(BE,\s\up6(→))·eq\o(BF,\s\up6(→))＝________.變式1、（2022·湖北·恩施土家族苗族高中高三期末）如圖，正六邊形的邊長(zhǎng)為2，動(dòng)點(diǎn)從頂點(diǎn)出發(fā)，沿正六邊形的邊逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)到頂點(diǎn)，若的最大值和最小值分別是，，則（）A．9 B．10 C．11 D．12變式2、如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，求證：AF⊥DE.方法總結(jié)：利用坐標(biāo)運(yùn)算證明兩個(gè)向量的垂直問(wèn)題1、若證明兩個(gè)向量垂直，先根據(jù)共線(xiàn)、夾角等條件計(jì)算出這兩個(gè)向量的坐標(biāo)；然后根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式，計(jì)算出這兩個(gè)向量的數(shù)量積為0即可．2．已知兩個(gè)向量的垂直關(guān)系，求解相關(guān)參數(shù)的值根據(jù)兩個(gè)向量垂直的充要條件，列出相應(yīng)的關(guān)系式，進(jìn)而求解參數(shù)考向二平面向量與三角綜合例2、已知a＝(cosx，2cosx)，b＝(2cosx，sinx)，f(x)＝a·b.(1)將函數(shù)f(x)的圖象向右平移eq\f(π,6)個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)g(x)的圖象，求g(x)的單調(diào)增區(qū)間；(2)當(dāng)a≠0，a與b共線(xiàn)時(shí)，求f(x)的值．變式1、本題中，求|a－b|的最大值．變式2、（2022·河北深州市中學(xué)高三期末）的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，.已知向量，，且.（1）求；（2）若，且，求的周長(zhǎng).方法總結(jié)：(1)以向量為載體考查三角函數(shù)的綜合應(yīng)用題目，通過(guò)向量的坐標(biāo)運(yùn)算構(gòu)建出三角函數(shù)，然后再考查有關(guān)三角函數(shù)的最值、單調(diào)性、周期性等三角函數(shù)性質(zhì)問(wèn)題，有時(shí)還加入?yún)?shù)，考查分類(lèi)討論的思想方法．(2)向量與三角函數(shù)結(jié)合時(shí)，通常以向量為表現(xiàn)形式，實(shí)現(xiàn)三角函數(shù)問(wèn)題，所以要靈活運(yùn)用三角函數(shù)中的相關(guān)方法與技巧求解．(3)注意向量夾角與三角形內(nèi)角的區(qū)別與聯(lián)系，避免出現(xiàn)將內(nèi)角等同于向量夾角的錯(cuò)誤．考向三平面向量與解析幾何例3(1)已知向量eq\o(OA,\s\up7(→))＝(k,12)，eq\o(OB,\s\up7(→))＝(4,5)，eq\o(OC,\s\up7(→))＝(10，k)，且A，B，C三點(diǎn)共線(xiàn)，當(dāng)k<0時(shí)，若k為直線(xiàn)的斜率，則過(guò)點(diǎn)(2，－1)的直線(xiàn)方程為_(kāi)_______________．(2)若點(diǎn)O和點(diǎn)F分別為橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上的任意一點(diǎn)，則eq\o(OP,\s\up7(→))·eq\o(FP,\s\up7(→))的最大值為_(kāi)_______．變式1、（2022·江蘇通州·高三期末）（多選題）已知點(diǎn)A(4，3)在以原點(diǎn)O為圓心的圓上，B，C為該圓上的兩點(diǎn)，滿(mǎn)足，則（）A．直線(xiàn)BC的斜率為 B．∠AOC＝60°C．△ABC的面積為 D．B、C兩點(diǎn)在同一象限方法總結(jié)：向量在解析幾何中的作用：(1)載體作用，向量在解析幾何問(wèn)題中出現(xiàn)，多用于“包裝”，解決此類(lèi)問(wèn)題關(guān)鍵是利用向量的意義、運(yùn)算，脫去“向量外衣”；(2)工具作用，對(duì)于解析幾何中出現(xiàn)的垂直可轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積等于0，對(duì)于共線(xiàn)的線(xiàn)段長(zhǎng)度乘積可轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積等．1、（2022·湖北省鄂州高中高三期末）在中，，為的重心，若，則外接圓的半徑為（）A． B． C． D．2、（2022·江蘇揚(yáng)州·高三期末）如圖所示是畢達(dá)哥拉斯的生長(zhǎng)程序：正方形上連接著等腰直角三角形，等腰直角三角形邊上再連接正方形，如此繼續(xù)，設(shè)初始正方形ABCD的邊長(zhǎng)為，則＝（）A．2 B．4 C．6 D．83、（2022·江蘇無(wú)錫·高三期末）已知點(diǎn)在圓上，點(diǎn)的坐標(biāo)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的最小值等于（）A． B． C． D．4、（2022·廣東羅湖·高三期末）（多選題）已知點(diǎn)O是邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD的中心，則下列結(jié)論正確的為（）A． B．C． D．5、（2022·江蘇蘇州·高三期末）（多選題）折紙發(fā)源于中國(guó)．世紀(jì)，折紙傳入歐洲，與自然科學(xué)結(jié)合在一起成為建筑學(xué)院的教具，并發(fā)展成為現(xiàn)代幾何學(xué)的一個(gè)分支．我國(guó)傳統(tǒng)的一種手工折紙風(fēng)車(chē)（如圖）是從正方形紙片的一個(gè)直角頂點(diǎn)開(kāi)始，沿對(duì)角線(xiàn)部分剪開(kāi)成兩個(gè)角，將其中一個(gè)角折疊使其頂點(diǎn)仍落在該對(duì)角線(xiàn)上，同樣操作其余三個(gè)直角制作而成的，其平面圖如圖，則（）A． B．C． D．

第37講平面向量的應(yīng)用1、向量在平面幾何中的應(yīng)用(1)證明線(xiàn)段相等、平行，常運(yùn)用向量加法的三角形法則、平行四邊形法則，有時(shí)也用到向量減法的定義．(2)證明線(xiàn)段平行，三角形相似，判斷兩直線(xiàn)(或線(xiàn)段)是否平行，常運(yùn)用向量平行(共線(xiàn))的條件，a∥b?eq\f(x1,x2)＝eq\f(y1,y2)?x1y2－x2y1＝0(x2≠0，y2≠0)．(3)證明垂直問(wèn)題，常用向量垂直的充要條件，a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0．(4)求夾角問(wèn)題：利用夾角公式cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))\r(xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2))).(5)用向量方法解決幾何問(wèn)題的步驟：①建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問(wèn)題中涉及的幾何元素，將平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題；②通過(guò)向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系；③把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系．2、向量在解析幾何中的應(yīng)用(1)直線(xiàn)的傾斜角、斜率與平行于該直線(xiàn)的向量之間的關(guān)系．設(shè)直線(xiàn)l的傾斜角為α，斜率為k，向量a＝(a1，a2)平行于l，則k＝tanα＝eq\f(a2,a1)；如果已知直線(xiàn)的斜率為k＝eq\f(a2,a1)，則向量(a1，a2)與向量(1，k)一定都與l平行．(2)與a＝(a1，a2)平行且過(guò)P(x0，y0)的直線(xiàn)方程為y－y0＝eq\f(a2,a1)(x－x0)，過(guò)點(diǎn)P(x0，y0)且與向量a＝(a1，a2)垂直的直線(xiàn)方程為y－y0＝－eq\f(a1,a2)(x－x0)．1、（2023年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（全國(guó)甲卷））設(shè)為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，若，則（）A.1 B.2 C.4 D.5【答案】B【解析】方法一：因?yàn)?，所以，從而，所以．故選：B.方法二：因?yàn)?，所以，由橢圓方程可知，，所以，又，平方得：，所以．故選：B.2、（2023年高考數(shù)學(xué)真題完全解讀（新高考I卷））已知雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)分別為．點(diǎn)在上，點(diǎn)在軸上，，則的離心率為_(kāi)_______．【答案】/【解析】方法一：依題意，設(shè)，則，在中，，則，故或（舍去），所以，，則，故，所以在中，，整理得，故.1、已知O是平面上的一定點(diǎn)，A，B，C是平面上不共線(xiàn)的三個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\o(OA,\s\up7(→))＋λ(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→)))，λ∈(0，＋∞)，則點(diǎn)P的軌跡一定通過(guò)△ABC的()A．內(nèi)心 B．外心C．重心 D．垂心【答案】C【解析】由原等式，得eq\o(OP,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→))＝λ(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→)))，即eq\o(AP,\s\up7(→))＝λ(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→)))，根據(jù)平行四邊形法則，知eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→))＝2eq\o(AD,\s\up7(→))(D為BC的中點(diǎn))，所以點(diǎn)P的軌跡必過(guò)△ABC的重心．故選C.2、在△ABC中，(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→)))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|2，則△ABC的形狀一定是________三角形．()A.等邊B.等腰C.直角D.等腰直角【答案】C.【解析】由(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→)))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝|AC|2，得eq\o(AC,\s\up6(→))·(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝0，即eq\o(AC,\s\up6(→))·(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→)))＝0，2eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BA,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(AC,\s\up6(→))⊥eq\o(BA,\s\up6(→))，∴A＝90°.又根據(jù)已知條件不能得到|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|，故△ABC一定是直角三角形．3、若O為△ABC所在平面內(nèi)的任意一點(diǎn)，且滿(mǎn)足（eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))）·（eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))－2eq\o(OA,\s\up6(→))）＝0，則△ABC的形狀為()A.等腰三角形B.直角三角形C.等邊三角形D.等腰直角三角形【答案】A【解析】由（eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))）·（eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))－2eq\o(OA,\s\up6(→))）＝0，得eq\o(CB,\s\up6(→))·（eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))）＝0，即（eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))）·（eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))）＝0，所以|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|，所以△ABC是等腰三角形．4、已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為6，∠ABD＝30°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，DC上，且BC＝2BE，CD＝λCF.若eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BF,\s\up6(→))＝－9，則λ的值為()A.2B.3C.4D.5【答案】B【解析】依題意，得eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(BA,\s\up6(→))，eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,λ)eq\o(BA,\s\up6(→))，所以eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\o(BC,\s\up6(→))－\o(BA,\s\up6(→))))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(BC,\s\up6(→))＋\f(1,λ)\o(BA,\s\up6(→))))＝eq\f(1,2)|eq\o(BC,\s\up6(→))|2－eq\f(1,λ)|eq\o(BA,\s\up6(→))|2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2λ)－1))eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(BA,\s\up6(→))＝（eq\f(1,2)－eq\f(1,λ)）×62＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2λ)－1))×62×cos60°＝－9，解得λ＝3.考向一平面向量在平面幾何中的應(yīng)用例1、（1）已知O是平面上的一定點(diǎn)，A，B，C是平面上不共線(xiàn)的三個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋λ(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，λ∈(0，＋∞)，則點(diǎn)P的軌跡一定通過(guò)△ABC的______心．（2）等腰直角三角形中，，，點(diǎn)是斜邊上一點(diǎn)，且，那么（）A． B． C．2 D．4（3）已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，∠ABC＝60°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AD，DC上，eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→)))，eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(DC,\s\up6(→))，則eq\o(BE,\s\up6(→))·eq\o(BF,\s\up6(→))＝________.【答案】：1．重心2．D3．eq\f(22,3)【解析】1．由原等式，得eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝λ(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，即eq\o(AP,\s\up6(→))＝λ(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，根據(jù)平行四邊形法則，知eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))是△ABC的中線(xiàn)AD(D為BC的中點(diǎn))所對(duì)應(yīng)向量eq\o(AD,\s\up6(→))的2倍，所以點(diǎn)P的軌跡必過(guò)△ABC的重心．2．由題意得：.3．法一如圖，eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,λ)eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,λ)eq\o(AB,\s\up6(→))，所以eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))＝＝eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,λ)eq\o(AB,\s\up6(→))2＋eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,3λ)))×2×2×cos120°＋eq\f(4,λ)＋eq\f(4,3)＝1解得λ＝2．變式1、（2022·湖北·恩施土家族苗族高中高三期末）如圖，正六邊形的邊長(zhǎng)為2，動(dòng)點(diǎn)從頂點(diǎn)出發(fā)，沿正六邊形的邊逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)到頂點(diǎn)，若的最大值和最小值分別是，，則（）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】D【解析】解：連接，在正六邊形中，，∴，∵正六邊形的邊長(zhǎng)為2，∴，因?yàn)楫?dāng)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，與均逐漸增大，當(dāng)從移動(dòng)到時(shí)，與均逐漸減小，所以當(dāng)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，取得最大值，為，當(dāng)移動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，取得最小值，為0．∴，，∴．故選：D.變式2、如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，求證：AF⊥DE.【解析】如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2，則點(diǎn)A(0，0)，D(0，2)，E(1，0)，F(xiàn)(2，1)，所以eq\o(AF,\s\up6(→))＝(2，1)，eq\o(DE,\s\up6(→))＝(1，－2)，所以eq\o(AF,\s\up6(→))·eq\o(DE,\s\up6(→))＝(2，1)·(1，－2)＝2－2＝0，所以eq\o(AF,\s\up6(→))⊥eq\o(DE,\s\up6(→))，即AF⊥DE.方法總結(jié)：利用坐標(biāo)運(yùn)算證明兩個(gè)向量的垂直問(wèn)題1、若證明兩個(gè)向量垂直，先根據(jù)共線(xiàn)、夾角等條件計(jì)算出這兩個(gè)向量的坐標(biāo)；然后根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式，計(jì)算出這兩個(gè)向量的數(shù)量積為0即可．2．已知兩個(gè)向量的垂直關(guān)系，求解相關(guān)參數(shù)的值根據(jù)兩個(gè)向量垂直的充要條件，列出相應(yīng)的關(guān)系式，進(jìn)而求解參數(shù)考向二平面向量與三角綜合例2、已知a＝(cosx，2cosx)，b＝(2cosx，sinx)，f(x)＝a·b.(1)將函數(shù)f(x)的圖象向右平移eq\f(π,6)個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)g(x)的圖象，求g(x)的單調(diào)增區(qū)間；(2)當(dāng)a≠0，a與b共線(xiàn)時(shí)，求f(x)的值．【解析】(1)因?yàn)閒(x)＝a·b＝2cos2x＋2sinxcosx＝sin2x＋cos2x＋1＝eq\r(2)sin（2x＋eq\f(π,4)）＋1，所以g(x)＝eq\r(2)sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))＋\f(π,4)))＋1＝eq\r(2)sin（2x－eq\f(π,12)）＋1.由－eq\f(π,2)＋2kπ≤2x－eq\f(π,12)≤eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z，得－eq\f(5π,24)＋kπ≤x≤eq\f(7π,24)＋kπ，k∈Z，所以函數(shù)g(x)的單調(diào)增區(qū)間為[－eq\f(5π,24)＋kπ，eq\f(7π,24)＋kπ]，k∈Z.(2)因?yàn)閍≠0，a與b共線(xiàn)，所以cosx≠0，所以sinxcosx－4cos2x＝0，所以tanx＝4，所以f(x)＝2cos2x＋2sinxcosx＝eq\f(2cos2x＋2sinxcosx,sin2x＋cos2x)＝eq\f(2＋2tanx,1＋tan2x)＝eq\f(10,17).變式1、本題中，求|a－b|的最大值．【解析】|a－b|＝eq\r(a2－2a·b＋b2)＝eq\r(5cos2x－2sin2x－2cos2x－2＋4cos2x＋sin2x)＝eq\r(3＋2cos2x－2sin2x)＝eq\r(3＋2\r(2)cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4))))，所以|a－b|max＝eq\r(2)＋1.變式2、（2022·河北深州市中學(xué)高三期末）的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，.已知向量，，且.（1）求；（2）若，且，求的周長(zhǎng).【解析】解：（1）根據(jù)題意，可得，化簡(jiǎn)整理得，即.因?yàn)?，所以，又，則.（2）由（1）知，則.又因?yàn)?，所以，故，因?因?yàn)?，所以，故的周長(zhǎng)為.方法總結(jié)：(1)以向量為載體考查三角函數(shù)的綜合應(yīng)用題目，通過(guò)向量的坐標(biāo)運(yùn)算構(gòu)建出三角函數(shù)，然后再考查有關(guān)三角函數(shù)的最值、單調(diào)性、周期性等三角函數(shù)性質(zhì)問(wèn)題，有時(shí)還加入?yún)?shù)，考查分類(lèi)討論的思想方法．(2)向量與三角函數(shù)結(jié)合時(shí)，通常以向量為表現(xiàn)形式，實(shí)現(xiàn)三角函數(shù)問(wèn)題，所以要靈活運(yùn)用三角函數(shù)中的相關(guān)方法與技巧求解．(3)注意向量夾角與三角形內(nèi)角的區(qū)別與聯(lián)系，避免出現(xiàn)將內(nèi)角等同于向量夾角的錯(cuò)誤．考向三平面向量與解析幾何例3(1)已知向量eq\o(OA,\s\up7(→))＝(k,12)，eq\o(OB,\s\up7(→))＝(4,5)，eq\o(OC,\s\up7(→))＝(10，k)，且A，B，C三點(diǎn)共線(xiàn)，當(dāng)k<0時(shí)，若k為直線(xiàn)的斜率，則過(guò)點(diǎn)(2，－1)的直線(xiàn)方程為_(kāi)_______________．(2)若點(diǎn)O和點(diǎn)F分別為橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上的任意一點(diǎn)，則eq\o(OP,\s\up7(→))·eq\o(FP,\s\up7(→))的最大值為_(kāi)_______．【答案】（1）2x＋y－3＝0.（2）6.【解析】(1)∵eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(OB,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→))＝(4－k，－7)，eq\o(BC,\s\up7(→))＝eq\o(OC,\s\up7(→))－eq\o(OB,\s\up7(→))＝(6，k－5)，且eq\o(AB,\s\up7(→))∥eq\o(BC,\s\up7(→))，∴(4－k)(k－5)＋6×7＝0，解得k＝－2或k＝11.由k<0可知k＝－2，則過(guò)點(diǎn)(2，－1)且斜率為－2的直線(xiàn)方程為y＋1＝－2(x－2)，即2x＋y－3＝0.(2)由題意，得F(－1,0)，設(shè)P(x0，y0)，則有eq\f(x\o\al(2,0),4)＋eq\f(y\o\al(2,0),3)＝1，解得yeq\o\al(2,0)＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x\o\al(2,0),4)))，因?yàn)閑q\o(FP,\s\up7(→))＝(x0＋1，y0)，eq\o(OP,\s\up7(→))＝(x0，y0)，所以eq\o(OP,\s\up7(→))·eq\o(FP,\s\up7(→))＝x0(x0＋1)＋yeq\o\al(2,0)＝xeq\o\al(2,0)＋x0＋3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x\o\al(2,0),4)))＝e