高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)導(dǎo)學(xué)案(新高考)第25講弧度制及任意角的三角函數(shù)(原卷版+解析)

第25講弧度制及任意角的三角函數(shù)1.角的概念的推廣(1)正角、負角和零角：一條射線繞頂點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫作正角，按順時針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫作負角；如果射線沒有作任何旋轉(zhuǎn)，那么也把它看成一個角，叫作零角．(2)象限角：以角的頂點為坐標(biāo)原點，角的始邊為x軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，這樣，角的終邊在第幾象限，我們就說這個角是第幾象限的角．終邊落在坐標(biāo)軸上的角(軸線角)不屬于任何象限．(3)終邊相同的角：與角α的終邊相同的角的集合為{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}．2.弧度制①1弧度的角：長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角．②規(guī)定：正角的弧度數(shù)為正數(shù)，負角的弧度數(shù)為負數(shù)，零角的弧度數(shù)為零，|α|＝，l是以角α作為圓心角時所對圓弧的長，r為半徑．③弧度與角度的換算：360°＝rad；180°＝rad；1°＝rad；1rad＝_度．④弧長公式：__l＝|α|r__．扇形面積公式：S扇形＝_＝．3.任意角的三角函數(shù)(1)定義：設(shè)α是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點P(x，y)，那么sinα＝__y__，cosα＝__x__，tanα＝eq\f(y,x)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x≠0))．(2)特殊角的三角函數(shù)值角α0°30°45°60°90°180°270°α弧度數(shù)sinαcosαtanα1、若α是第四象限角，則π＋α是第____象限角()A．一B．二C．三D．四2、（2022·日照一模）已知角θ的終邊經(jīng)過點P（eq\f(1,2)，－eq\f(\r(3),2)），則角θ可以為()A.eq\f(5π,6)B.eq\f(2π,3)C.eq\f(11π,6)D.eq\f(5π,3).3、（多選）下列結(jié)論中，正確的是()A.－eq\f(7π,6)是第三象限角B.若圓心角為eq\f(π,3)的扇形的弧長為π，則該扇形的面積為eq\f(3π,2)C.若角α的終邊過點P(－3，4)，則cosα＝－eq\f(3,5)D.若角α為銳角，則角2α為鈍角4、（2022·山東高三開學(xué)考試）在平面直角坐標(biāo)系中，角α的頂點在坐標(biāo)原點，始邊在x軸的非負半軸，終邊過點(－2，y)，且tan(π－α)＝2，則sinα＝．考向一角的表示及象限角例1、(1)終邊在直線y＝eq\r(3)x上的角的集合為；(2)若角θ的終邊與eq\f(6π,7)角的終邊相同，則在[0，2π）內(nèi)，終邊與角eq\f(θ,3)的終邊相同的角的個數(shù)為；(3)已知角α的終邊在如圖所示陰影表示的范圍內(nèi)（不包括邊界），則角α用集合可表示為．變式、（1）集合eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(kπ≤α≤kπ＋\f(π,4)))，k∈Z))中的角所表示的范圍(陰影部分)是()（2）若角α是第二象限角，則eq\f(α,2)是()A．第一象限角 B．第二象限角C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限角方法總結(jié)：1.象限角的兩種判斷方法：(1)圖象法：在平面直角坐標(biāo)系中，作出已知角并根據(jù)象限角的定義直接判斷已知角是第幾象限角．(2)轉(zhuǎn)化法：先將已知角轉(zhuǎn)化為k·360°＋α(0°≤α<360°，k∈Z)的形式，找出與已知角終邊相同的角α，再由角α終邊所在的象限判斷已知角是第幾象限角．2.由角所在的區(qū)域?qū)懗鼋堑募?，由角的集合畫出區(qū)域．考向二扇形的有關(guān)運算例2、已知扇形的圓心角是α，半徑為R，弧長為l.(1)若α＝eq\f(π,3)，R＝10cm，求扇形的弧長l.(2)若扇形的周長是20cm，當(dāng)扇形的圓心角α為多少弧度時，這個扇形的面積最大？(3)若α＝eq\f(π,3)，R＝2cm，求扇形的弧所在的弓形的面積.變式1、（1）中國折疊扇有著深厚的文化底蘊.如圖，在半圓O中作出兩個扇形OAB和OCD，用扇環(huán)形ABDC(圖中陰影部分)制作折疊扇的扇面.記扇環(huán)形ABDC的面積為S1，扇形OAB的面積為S2，當(dāng)S1與S2的比值為eq\f(\r(5)－1,2)時，扇面的形狀較為美觀，則此時扇形OCD的半徑與半圓O的半徑之比為()A.eq\f(\r(5)＋1,4)B.eq\f(\r(5)－1,2)C.3－eq\r(5)D.eq\r(5)－2(2)一個扇形的面積是1cm2，它的周長是4cm，則圓心角為________弧度，弧長為________cm.變式2、已知在半徑為10的圓O中，弦AB的長為10.(1)求弦AB所對圓心角α的大??；(2)求α所在的扇形弧長l及弧所在弓形的面積S.方法總結(jié)：有關(guān)弧長及扇形面積問題的注意點(1)利用扇形的弧長和面積公式解題時，要注意角的單位必須是弧度．(2)求扇形面積最大值的問題時，常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題，利用配方法使問題得到解決．(3)在解決弧長問題和扇形面積問題時，要合理地利用圓心角所在的三角形．考向三三角函數(shù)的定義及應(yīng)用例3、已知角α的終邊上一點P(－eq\r(3)，m)(m≠0)，且sinα＝eq\f(\r(2)m,4)，求cosα，tanα的值．變式1、已知角α的頂點在坐標(biāo)原點，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊上一點M的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(3π,4)，cos\f(3π,4)))，則角α的最小正角為()A.eq\f(π,4) B.eq\f(3π,4) C.eq\f(5π,4) D.eq\f(7π,4)變式2、已知角α的終邊過點P(－8m，－6cos60°)，且cosα＝－eq\f(4,5)，則m＝．方法總結(jié)：1．明確用定義法求三角函數(shù)值的兩種情況：(1)已知角α終邊上一點P的坐標(biāo)，則可先求出點P到原點的距離r，然后用三角函數(shù)的定義求解；(2)已知角α的終邊所在的直線方程，則可先設(shè)出終邊上一點的坐標(biāo)，求出此點到原點的距離，然后用三角函數(shù)的定義來求解．2．三角函數(shù)值只與角的大小有關(guān)，與點P在角的終邊上的位置無關(guān)，由于P是除原點外的任意一點，故r恒為正，本題要注意對變量的討論．1、（2022·湖北·模擬預(yù)測）若角的終邊經(jīng)過點，則的值為（

）A． B． C． D．2、（2022·山東日照·一模）已知角的終邊經(jīng)過點，則角可以為（

）A． B． C． D．3、（2022·重慶市育才中學(xué)模擬預(yù)測）若點在角的終邊上，則的值為A． B． C． D．4、（2022·湖北武漢·模擬預(yù)測）已知角的始邊與軸非負半軸重合，終邊上一點，若，則（

）A．3 B． C． D．5、（2022·河北·石家莊二中模擬預(yù)測）若角滿足，，則在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限6、（2022·重慶市育才中學(xué)模擬預(yù)測）希波克拉底是古希臘醫(yī)學(xué)家，他被西方尊為“醫(yī)學(xué)之父”，除了醫(yī)學(xué)，他也研究數(shù)學(xué).特別是與“月牙形”有關(guān)的問題.如圖所示.陰影部分的月牙形的邊緣都是圓弧，兩段圓弧分別是的外接圓和以為直徑的圓的一部分，若，，則該月牙形的面積為（

）A． B． C． D．7、（2022·廣東廣東·一模）數(shù)學(xué)中處處存在著美，機械學(xué)家萊洛發(fā)現(xiàn)的萊洛三角形就給人以對稱的美感．萊洛三角形的畫法：先畫等邊三角形ABC，再分別以點A、B、C為圓心，線段AB長為半徑畫圓弧，便得到萊洛三角（如圖所示）．若萊洛三角形的周長為，則其面積是______．第25講弧度制及任意角的三角函數(shù)1.角的概念的推廣(1)正角、負角和零角：一條射線繞頂點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫作正角，按順時針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫作負角；如果射線沒有作任何旋轉(zhuǎn)，那么也把它看成一個角，叫作零角．(2)象限角：以角的頂點為坐標(biāo)原點，角的始邊為x軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，這樣，角的終邊在第幾象限，我們就說這個角是第幾象限的角．終邊落在坐標(biāo)軸上的角(軸線角)不屬于任何象限．(3)終邊相同的角：與角α的終邊相同的角的集合為{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}．2.弧度制①1弧度的角：長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角．②規(guī)定：正角的弧度數(shù)為正數(shù)，負角的弧度數(shù)為負數(shù)，零角的弧度數(shù)為零，|α|＝__eq\f(l,r)__，l是以角α作為圓心角時所對圓弧的長，r為半徑．③弧度與角度的換算：360°＝_2π_rad；180°＝__π__rad；1°＝__eq\f(π,180)__rad；1rad＝__eq\f(180,π)__度．④弧長公式：__l＝|α|r__．扇形面積公式：S扇形＝__eq\f(1,2)lr__＝__eq\f(1,2)|α|r2__．3.任意角的三角函數(shù)(1)定義：設(shè)α是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點P(x，y)，那么sinα＝__y__，cosα＝__x__，tanα＝eq\f(y,x)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x≠0))．(2)特殊角的三角函數(shù)值角α0°30°45°60°90°180°270°α弧度數(shù)_0__eq\f(π,6)__eq\f(π,4)__eq\f(π,3)__eq\f(π,2)__π__eq\f(3π,2)_sinα_0__eq\f(1,2)__eq\f(\r(2),2)__eq\f(\r(3),2)__1__0__－1_cosα_1__eq\f(\r(3),2)__eq\f(\r(2),2)__eq\f(1,2)__0__－1__0_tanα_0__eq\f(\r(3),3)__1__eq\r(3)__0_1、若α是第四象限角，則π＋α是第____象限角()A．一B．二C．三D．四【答案】B【解析】eq\f(π,2)＋2kπ<π＋α<π＋2kπ，k∈Z，故π＋α是第二象限角．2、（2022·日照一模）已知角θ的終邊經(jīng)過點P（eq\f(1,2)，－eq\f(\r(3),2)），則角θ可以為()A.eq\f(5π,6)B.eq\f(2π,3)C.eq\f(11π,6)D.eq\f(5π,3)【答案】D【解析】因為角θ的終邊經(jīng)過點P（eq\f(1,2)，－eq\f(\r(3),2)），所以θ是第四象限角，且cosθ＝eq\f(1,2)，sinθ＝－eq\f(\r(3),2)，則θ＝eq\f(5π,3).3、（多選）下列結(jié)論中，正確的是()A.－eq\f(7π,6)是第三象限角B.若圓心角為eq\f(π,3)的扇形的弧長為π，則該扇形的面積為eq\f(3π,2)C.若角α的終邊過點P(－3，4)，則cosα＝－eq\f(3,5)D.若角α為銳角，則角2α為鈍角【答案】BC【解析】對于A，－eq\f(7π,6)與eq\f(5π,6)的終邊相同，為第二象限角，故A錯誤；對于B，設(shè)扇形的半徑為r，則eq\f(π,3)r＝π，所以r＝3，則扇形的面積為eq\f(1,2)×3×π＝eq\f(3π,2)，故B正確；對于C，角α的終邊過點P(－3，4)，根據(jù)三角函數(shù)的定義，得cosα＝－eq\f(3,5)，故C正確；對于D，因為0<α<eq\f(π,2)，所以0<2α<π，故D錯誤．故選BC.4、（2022·山東高三開學(xué)考試）在平面直角坐標(biāo)系中，角α的頂點在坐標(biāo)原點，始邊在x軸的非負半軸，終邊過點(－2，y)，且tan(π－α)＝2，則sinα＝．【答案】eq\f(2\r(5),5)【解析】因為角α終邊過點(－2，y)，所以tanα＝－eq\f(y,2).又tan(π－α)＝2，所以tanα＝－2，所以y＝4，所以sinα＝eq\f(4,\r((－2)2＋42))＝eq\f(2\r(5),5).考向一角的表示及象限角例1、(1)終邊在直線y＝eq\r(3)x上的角的集合為；【答案】eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α＝\f(π,3)＋kπ，k∈Z))【解析】因為在(0，2π)內(nèi)，終邊在直線y＝eq\r(3)x上的角是eq\f(π,3)，eq\f(4π,3)，與eq\f(π,3)，eq\f(4π,3)終邊相同的角分別為2kπ＋eq\f(π,3)，2kπ＋eq\f(4π,3)＝(2k＋1)π＋eq\f(π,3)，k∈Z，所以終邊在直線y＝eq\r(3)x上的角的集合為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α＝\f(π,3)＋kπ，k∈Z)).(2)若角θ的終邊與eq\f(6π,7)角的終邊相同，則在[0，2π）內(nèi)，終邊與角eq\f(θ,3)的終邊相同的角的個數(shù)為；【答案】3【解析】因為θ＝eq\f(6π,7)＋2kπ(k∈Z)，所以eq\f(θ,3)＝eq\f(2π,7)＋eq\f(2kπ,3)(k∈Z).依題意有0≤eq\f(2π,7)＋eq\f(2kπ,3)<2π，k∈Z，所以－eq\f(3,7)≤k<eq\f(18,7)，所以k＝0，1，2，即在[0，2π）內(nèi)，終邊與角eq\f(θ,3)的終邊相同的角為eq\f(2π,7)，eq\f(20π,21)，eq\f(34π,21)，共3個．(3)已知角α的終邊在如圖所示陰影表示的范圍內(nèi)（不包括邊界），則角α用集合可表示為．【答案】eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|2kπ＋\f(π,4)<α<2kπ＋\f(5π,6)，k∈Z))【解析】因為在[0，2π]內(nèi)，終邊落在陰影部分角的集合為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(5π,6)))，所以所求角的集合為{α|2kπ＋eq\f(π,4)<α<2kπ＋eq\f(5π,6)，k∈Z}．變式、（1）集合eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(kπ≤α≤kπ＋\f(π,4)))，k∈Z))中的角所表示的范圍(陰影部分)是()（2）若角α是第二象限角，則eq\f(α,2)是()A．第一象限角 B．第二象限角C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限角【答案】（1）B（2）C.【解析】（1）當(dāng)k＝2n(n∈Z)時，2nπ≤α≤2nπ＋eq\f(π,4)(n∈Z)，此時α的終邊和0≤α≤eq\f(π,4)的終邊一樣，當(dāng)k＝2n＋1(n∈Z)時，2nπ＋π≤α≤2nπ＋π＋eq\f(π,4)(n∈Z)，此時α的終邊和π≤α≤π＋eq\f(π,4)的終邊一樣．（2）∵α是第二象限角，∴eq\f(π,2)＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z，∴eq\f(π,4)＋kπ<eq\f(α,2)<eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z.當(dāng)k為偶數(shù)時，eq\f(α,2)是第一象限角；當(dāng)k為奇數(shù)時，eq\f(α,2)是第三象限角．故選C.方法總結(jié)：1.象限角的兩種判斷方法：(1)圖象法：在平面直角坐標(biāo)系中，作出已知角并根據(jù)象限角的定義直接判斷已知角是第幾象限角．(2)轉(zhuǎn)化法：先將已知角轉(zhuǎn)化為k·360°＋α(0°≤α<360°，k∈Z)的形式，找出與已知角終邊相同的角α，再由角α終邊所在的象限判斷已知角是第幾象限角．2.由角所在的區(qū)域?qū)懗鼋堑募?，由角的集合畫出區(qū)域．考向二扇形的有關(guān)運算例2、已知扇形的圓心角是α，半徑為R，弧長為l.(1)若α＝eq\f(π,3)，R＝10cm，求扇形的弧長l.(2)若扇形的周長是20cm，當(dāng)扇形的圓心角α為多少弧度時，這個扇形的面積最大？(3)若α＝eq\f(π,3)，R＝2cm，求扇形的弧所在的弓形的面積.【解析】(1)因為α＝eq\f(π,3)，R＝10cm，所以l＝|α|R＝eq\f(π,3)×10＝eq\f(10π,3)(cm).(2)由已知得，l＋2R＝20，所以S＝eq\f(1,2)lR＝eq\f(1,2)(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25.所以當(dāng)R＝5時，S取得最大值，此時l＝10，α＝2.(3)設(shè)弓形面積為S弓形，由題意知l＝eq\f(2π,3)cm，所以S弓形＝eq\f(1,2)×eq\f(2π,3)×2－eq\f(1,2)×22×sineq\f(π,3)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－\r(3)))cm2.變式1、（1）中國折疊扇有著深厚的文化底蘊.如圖，在半圓O中作出兩個扇形OAB和OCD，用扇環(huán)形ABDC(圖中陰影部分)制作折疊扇的扇面.記扇環(huán)形ABDC的面積為S1，扇形OAB的面積為S2，當(dāng)S1與S2的比值為eq\f(\r(5)－1,2)時，扇面的形狀較為美觀，則此時扇形OCD的半徑與半圓O的半徑之比為()A.eq\f(\r(5)＋1,4)B.eq\f(\r(5)－1,2)C.3－eq\r(5)D.eq\r(5)－2【答案】B【解析】設(shè)∠AOB＝θ，半圓的半徑為r，扇形OCD的半徑為r1，依題意，有eq\f(\f(1,2)θr2－\f(1,2)θreq\o\al(2,1),\f(1,2)θr2)＝eq\f(\r(5)－1,2)，即eq\f(r2－req\o\al(2,1),r2)＝eq\f(\r(5)－1,2)，所以eq\f(req\o\al(2,1),r2)＝eq\f(3－\r(5),2)＝eq\f(6－2\r(5),4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5)－1,2)))eq\s\up12(2)，從而得eq\f(r1,r)＝eq\f(\r(5)－1,2).(2)一個扇形的面積是1cm2，它的周長是4cm，則圓心角為________弧度，弧長為________cm.【答案】22【解析】設(shè)扇形的圓心角為α，半徑為r.則由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S＝\f(1,2)αr2＝1，,αr＋2r＝4，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α＝2，,r＝1，))所以弧長l＝αr＝2，所以扇形的圓心角為2弧度，弧長為2cm.變式2、已知在半徑為10的圓O中，弦AB的長為10.(1)求弦AB所對圓心角α的大??；(2)求α所在的扇形弧長l及弧所在弓形的面積S.【解析】(1)如圖，過點O作OC⊥AB，垂足為C，則AC＝5.在Rt△ACO中，sin∠AOC＝eq\f(AC,AO)＝eq\f(5,10)＝eq\f(1,2)，所以∠AOC＝eq\f(π,6)，所以α＝2∠AOC＝eq\f(π,3).(2)由(1)及題意，得l＝eq\f(10π,3)，S扇形＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)×eq\f(10π,3)×10＝eq\f(50π,3).因為S△AOB＝eq\f(1,2)×10×10×sineq\f(π,3)＝25eq\r(3)，所以S弓形＝S扇形－S△AOB＝eq\f(50π,3)－25eq\r(3)＝50（eq\f(π,3)－eq\f(\r(3),2)）方法總結(jié)：有關(guān)弧長及扇形面積問題的注意點(1)利用扇形的弧長和面積公式解題時，要注意角的單位必須是弧度．(2)求扇形面積最大值的問題時，常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題，利用配方法使問題得到解決．(3)在解決弧長問題和扇形面積問題時，要合理地利用圓心角所在的三角形．考向三三角函數(shù)的定義及應(yīng)用例3、已知角α的終邊上一點P(－eq\r(3)，m)(m≠0)，且sinα＝eq\f(\r(2)m,4)，求cosα，tanα的值．【解析】：由題設(shè)知x＝－eq\r(3)，y＝m，∴r2＝|OP|2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\r(3)))2＋m2(O為原點)，r＝eq\r(3＋m2)．∴sinα＝eq\f(m,r)＝eq\f(\r(2)m,4)＝eq\f(m,2\r(2))，因為m≠0∴r＝eq\r(3＋m2)＝2eq\r(2)，即3＋m2＝8，解得m＝±eq\r(5)．當(dāng)m＝eq\r(5)時，r＝2eq\r(2)，x＝－eq\r(3)，y＝eq\r(5)，∴cosα＝eq\f(－\r(3),2\r(2))＝－eq\f(\r(6),4)，tanα＝－eq\f(\r(15),3)；當(dāng)m＝－eq\r(5)時，r＝2eq\r(2)，x＝－eq\r(3)，y＝－eq\r(5)，∴cosα＝eq\f(－\r(3),2\r(2))＝－eq\f(\r(6),4)，tanα＝eq\f(\r(15),3)．變式1、已知角α的頂點在坐標(biāo)原點，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊上一點M的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(3π,4)，cos\f(3π,4)))，則角α的最小正角為()A.eq\f(π,4) B.eq\f(3π,4) C.eq\f(5π,4) D.eq\f(7π,4)【答案】D【解析】角α的終邊上一點M的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(3π,4)，cos\f(3π,4)))，即Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，－\f(\r(2),2)))，故點M在第四象限，且tanα＝eq\f(－\f(\r(2),2),\f(\r(2),2))＝－1，則角α的最小正角為eq\f(7π,4)，故選D變式2、已知角α的終邊過點P(－8m，－6cos60°)，且cosα＝－eq\f(4,5)，則m＝．【答案】eq\f(1,2)【解析】由題意，得P(－8m，－3).由cosα＝－eq\f(4,5)，得eq\f(－8m,\r(64m2＋9))＝－eq\f(4,5)，解得m＝eq\f(1,2)（m＝－eq\f(1,2)不合題意，舍去）.方法總結(jié)：1．明確用定義法求三角函數(shù)值的兩種情況：(1)已知角α終邊上一點P的坐標(biāo)，則可先求出點P到原