專題2-1 函數(shù)性質(zhì)（單調(diào)性、奇偶性、中心對稱、軸對稱、周期性）（原卷版）

專題2-1函數(shù)性質(zhì)（單調(diào)性、奇偶性、中心對稱、軸對稱、周期性）目錄TOC\o"1-1"\h\u題型01奇偶性基礎(chǔ) 1題型02中心對稱型函數(shù) 2題型03軸對稱型函數(shù) 3題型04斜直線軸對稱型 3題型05“正余弦”型對稱 4題型06伸縮型對稱 5題型07一元三次函數(shù)型中心對稱 6題型08“局部周期”型函數(shù)性質(zhì) 7題型09雙函數(shù)型對稱 8題型10原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)型雙函數(shù)對稱 9題型11放大鏡型函數(shù)性質(zhì) 10題型12抽象函數(shù)賦值型性質(zhì) 11題型13對稱型恒成立求參 11題型14構(gòu)造“對稱”型函數(shù) 12高考練場 13題型01奇偶性基礎(chǔ)【解題攻略】奇偶函數(shù)的性質(zhì)①偶函數(shù)?f(－x)＝f(x)?關(guān)于y軸對稱?對稱區(qū)間的單調(diào)性相反；②奇函數(shù)?f(－x)＝－f(x)?關(guān)于原點對稱?對稱區(qū)間的單調(diào)性相同；③奇函數(shù)在x＝0處有意義時，必有結(jié)論f(0)＝0；奇偶性的判定①“奇±奇”是奇，“偶±偶”是偶，“奇×/÷奇”是偶，“偶×/÷偶”是偶，“奇×/÷偶”是奇；②奇(偶)函數(shù)倒數(shù)或相反數(shù)運算，奇偶性不變； ③奇(偶)函數(shù)的絕對值運算，函數(shù)的奇偶性均為偶函數(shù)．【典例1-1】（2023秋·山西·高三校聯(lián)考期中）已知函數(shù)為奇函數(shù)，則的值是（

）A．0 B． C．12 D．10【典例1-2】（2023秋·北京昌平·高三北京市昌平區(qū)前鋒學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知，則（

）A．為偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增B．為偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減C．為奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增D．為奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減【變式1-1】．（2023·全國·高一專題練習(xí)）若為奇函數(shù)，則的解集為（

）A． B． C． D．【變式1-2】（2023秋·江蘇南通·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知是奇函數(shù)，則在處的切線方程是（

）A． B． C． D．【變式1-3】．（2023秋·天津和平·高三天津一中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，，若對任意，都有成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．題型02中心對稱型函數(shù)【解題攻略】中心對稱結(jié)論：（1）若函數(shù)滿足，則的一個對稱中心為（2）若函數(shù)滿足，則的一個對稱中心為（3）若函數(shù)滿足，則的一個對稱中心為.【典例1-1】已知函數(shù)，則存在非零實數(shù)，使得（）A． B．C． D．【典例1-2】函數(shù)的圖象與函數(shù)圖象的所有交點的橫坐標(biāo)之和為___________.【變式1-1】.設(shè)函數(shù)的最大值為5，則的最小值為（）A． B．1 C．2 D．3【變式1-2】已知函數(shù)，，若使關(guān)于的不等式成立，則實數(shù)的范圍為___________.【變式1-3】.函數(shù)的圖像可能是（）A． B．C． D．題型03軸對稱型函數(shù)【解題攻略】軸對稱性的常用結(jié)論如下：若函數(shù)滿足,則的一條對稱軸為若函數(shù)滿足,則的一條對稱軸為若函數(shù)滿足,則的一條對稱軸為(4)f(a－x)=f(b＋x)?f(x)的圖象關(guān)于直線x=eq\f(a＋b,2)對稱；【典例1-1】．（2023上·重慶·高三重慶市忠縣忠州中學(xué)校校聯(lián)考）已知定義在上的函數(shù)，函數(shù)為偶函數(shù)，且對都有，若，則的取值范圍是．【典例1-2】（2023上·江西景德鎮(zhèn)·高一統(tǒng)考期中）已知函數(shù)滿足關(guān)系式，且對于，，滿足恒成立，若不等式對恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是．【變式1-1】．（2023上·江蘇南通·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）設(shè)定義在上的函數(shù)在單調(diào)遞減，且為偶函數(shù)，若，，且有，則的最小值為.【變式1-2】（2023上·山東濟南·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）若函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，且有且僅有4個零點，則的值為．【變式1-3】．（2023上·陜西榆林·高三校考階段練習(xí)）函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且圖象關(guān)于對稱，在區(qū)間上，，則.題型04斜直線軸對稱型【解題攻略】關(guān)于斜直線軸對稱，可以借鑒圓錐曲線中直線的對稱性來處理（1）點關(guān)于直線的對稱點，則有；（2）直線關(guān)于直線的對稱可轉(zhuǎn)化為點關(guān)于直線的對稱問題來解決.如果斜直線軸對稱，還有以下經(jīng)驗公式：如果對稱軸所在的直線斜率是，即直線是型，可以利用反解對稱軸法直接求出對稱變換式子(1)如果關(guān)于直線的對稱點為，則的坐標(biāo)為；(2)如果關(guān)于直線的對稱點為，則的坐標(biāo)為．【典例1-1】（2023上·重慶·高三西南大學(xué)附中?？迹┮阎瘮?shù)為奇函數(shù)，的函數(shù)圖象關(guān)于對稱，且當(dāng)時，，則.【典例1-2】（2023上·遼寧·高三校聯(lián)考）已知定義域為的函數(shù)滿足，且其圖象關(guān)于直線對稱，若當(dāng)時，，則.【變式1-1】（2023上·遼寧大連·高三大連八中校考期中）已知函數(shù)，若曲線關(guān)于直線對稱，則的值為．【變式1-2】（2023上·上海浦東新·高三華師大二附中?？迹┮阎瘮?shù)的圖象過點，且關(guān)于直線成軸對稱圖形，則．【變式1-3】（2021上·高一?？颊n時練習(xí)）若函數(shù)的圖象與且的圖象關(guān)于直線對稱，則的值等于（

）A． B． C． D．題型05“正余弦”型對稱【解題攻略】（1）兩中心；（2）兩垂直軸則；（3）一個中心，一條軸，則【典例1-1】函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且為偶函數(shù)，當(dāng)時，，若函數(shù)恰有一個零點，則實數(shù)的取值集合是（

）A． B．C． D．【典例1-2】.定義在上的偶函數(shù)f（x）滿足f（－x）＋f（x－2）＝0，當(dāng)時，（已知），則（

）A． B．C． D．【變式1-1】已知定義在上的函數(shù)滿足條件，且函數(shù)為奇函數(shù)，則下列說法中錯誤的是（

）A．函數(shù)是周期函數(shù)；B．函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱；C．函數(shù)為上的偶函數(shù)；D．函數(shù)為上的單調(diào)函數(shù)．【變式1-2】已知函數(shù)的定義域為，為的導(dǎo)函數(shù)，且，，若為偶函數(shù)，則下列結(jié)論不一定成立的是（

）A． B．C． D．【變式1-3】.定義在上的函數(shù)滿足，；且當(dāng)時，．則方程所有的根之和為（

）A．6 B．12 C．14 D．10題型06伸縮型對稱【解題攻略】伸縮變換y＝f(ax)y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(a>1，縱坐標(biāo)伸長為原來的a倍，橫坐標(biāo)不變),\s\do5(0<a<1，縱坐標(biāo)縮短為原來的a倍，橫坐標(biāo)不變))y＝af(x)【典例1-1】（2023秋·湖南懷化·高三統(tǒng)考）已知不是常函數(shù)，且是定義域為的奇函數(shù)，若的最小正周期為1，則（

）A． B．1是的一個周期C． D．【典例1-2】（2023·河南·長葛市第一高級中學(xué)統(tǒng)考模擬預(yù)測）若函數(shù)f（x）的定義域為R，且f（2x＋1）為偶函數(shù)，f（x－1）的圖象關(guān)于點（3，3）成中心對稱，則下列說法正確的個數(shù)為（

）①的一個周期為2

②③④直線是圖象的一條對稱軸A．1 B．2 C．3 D．4【變式1-1】（2022秋·重慶南岸·高三重慶市第十一中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知是定義在上的函數(shù)，是奇函數(shù)，且是偶函數(shù)，則下列選項一定正確的是（

）A．函數(shù)的周期為2 B．函數(shù)的周期為3C． D．【變式1-2】．（2022秋·吉林長春·高三長春市第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)函數(shù)的定義域為，且是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，則一定有（

）A． B． C． D．【變式1-3】（2022秋·廣西玉林·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知是定義域為的奇函數(shù)，是定義域為的偶函數(shù)，則（

）A． B． C． D．題型07一元三次函數(shù)型中心對稱【解題攻略】所有的三次函數(shù)都有“拐點”，且該“拐點”也是函數(shù)的圖像的對稱中心，設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是的導(dǎo)數(shù)，若方程有實數(shù)解，則稱點為函數(shù)的“拐點”．【典例1-1】．給出定義：設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若方程有實數(shù)解，則稱為函數(shù)的“拐點”.經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)所有的三次函數(shù)都有“拐點”，且該“拐點”也是函數(shù)的圖像的對稱中心，若函數(shù)，則（

）A．8082 B．2021 C．-8082 D．-2023【典例1-2】已知一元三次函數(shù)對稱中心的橫坐標(biāo)為其二階導(dǎo)函數(shù)的零點．若，則（

）A．0 B．4 C． D．【變式1-1】在同一坐標(biāo)系中作出三次函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的圖象，下列可能正確的序號是（

）A．①② B．①③ C．③④ D．①④【變式1-2】設(shè)函數(shù)是的導(dǎo)數(shù)，經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)，任意一個三次函數(shù)的圖象都有對稱中心，其中滿足，已知函數(shù)，則（

）A．0 B． C．1 D．【變式1-3】一般地，對于一元三次函數(shù)，若，則為三次函數(shù)的對稱中心，已知函數(shù)圖象的對稱中心的橫坐標(biāo)為，且有三個零點，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．題型08“局部周期”型函數(shù)性質(zhì)【解題攻略】局部周期函數(shù)，可類比以下函數(shù)圖像：【典例1-1】定義在0,+∞上的函數(shù)fx滿足f（i）f2021（ii）若方程fx-kx=0有且只有兩個解，則實數(shù)k福建省長汀縣第一中學(xué)2022屆高三上學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)試題【典例1-2】.已知fx=12x+a,x≤0,fx-1,x>0,【變式1-1】（2021下·天津武清·高三天津市武清區(qū)楊村第一中學(xué)校）已知函數(shù)，若對于正數(shù)，直線與函數(shù)的圖像恰好有個不同的交點，則.【變式1-2】．（2021上·四川資陽·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，函數(shù)在處的切線為，若，則與的圖象的公共點個數(shù)為．題型09雙函數(shù)型對稱【解題攻略】雙函數(shù)性質(zhì)：1.雙函數(shù)各自對應(yīng)的對稱中心和對稱軸等性質(zhì)2.雙函數(shù)之間存在著互相轉(zhuǎn)化或者互相表示的函數(shù)等量關(guān)系【典例1-1】（2023·廣西玉林·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，的定義域均為，是奇函數(shù)，且，，則（

）A．f（x）為奇函數(shù) B．g（x）為奇函數(shù)C． D．【典例1-2】（2023春·河南開封·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知函數(shù)，的定義域為，且，，若為偶函數(shù)．，則（

）A．24 B．26 C．28 D．30【變式1-1】（2023秋·江西·高三校聯(lián)考期末）已知函數(shù)，的定義域均為，且，.若的圖象關(guān)于直線對稱，且，則（

）A．80 B．86 C．90 D．96【變式1-2】（2023秋·全國·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）的定義域為，為偶函數(shù)，且，則下列說法不正確的是（

）A．的圖象關(guān)于對稱 B．的圖象關(guān)于對稱C．4為的周期 D．【變式1-3】（2022秋·四川成都·高三成都七中?？紝ｎ}練習(xí)）已知函數(shù)的定義域均為為偶函數(shù)，且，，下列說法正確的有（

）A．函數(shù)的圖象關(guān)于對稱B．函數(shù)的圖象關(guān)于對稱C．函數(shù)是以4為周期的周期函數(shù)D．函數(shù)是以6為周期的周期函數(shù)題型10原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)型雙函數(shù)對稱【解題攻略】原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)1若函數(shù)是可導(dǎo)函數(shù)，且圖像關(guān)于對稱，則其導(dǎo)函數(shù)的圖像關(guān)于軸對稱性質(zhì)2奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為偶函數(shù)性質(zhì)3若函數(shù)是可導(dǎo)函數(shù)，且圖像關(guān)于對稱，則其導(dǎo)函數(shù)的圖像關(guān)于軸對稱性質(zhì)4偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為奇函數(shù)性質(zhì)5若函數(shù)是可導(dǎo)函數(shù)，且圖像關(guān)于對稱，則其導(dǎo)函數(shù)的圖像關(guān)于對稱偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為奇函數(shù)性質(zhì)6若定義在R上的函數(shù)是可導(dǎo)函數(shù)，且周期為T，則其導(dǎo)函數(shù)是周期函數(shù)，且周期也為T性質(zhì)7若函數(shù)是可導(dǎo)函數(shù)，定義域為D，其導(dǎo)函數(shù)的圖像關(guān)于軸對稱，則圖像關(guān)于對稱，為定義域內(nèi)任意一點【典例1-1】（2023·四川成都·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，，且是偶函數(shù)，，，則（

）A．2022 B．2023 C．2024 D．2025【典例1-2】（2022上·四川遂寧·高三射洪中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)定義域均為，為奇函數(shù)，，，則正確的有（

）①；②；③；④.A．①④ B．①② C．②③ D．③④【變式1-1】（2023·廣西梧州·蒼梧中學(xué)校考模擬預(yù)測）設(shè)定義在上的函數(shù)與的導(dǎo)函數(shù)分別為和，若，，且為奇函數(shù)，．現(xiàn)有下列四個結(jié)論：①；②；③；④．其中所有正確結(jié)論的序號是（

）A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④【變式1-2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)定義在R上的函數(shù)與的導(dǎo)函數(shù)分別為和．若，，且為奇函數(shù)，則下列說法中一定正確的是（

）A． B．C．， D．【變式1-3】7.設(shè)定義在實數(shù)集上的函數(shù)與的導(dǎo)數(shù)分別為與，若，，且為奇函數(shù)，則下列說法不正確的是（

）A． B．圖象關(guān)于直線對稱C． D．遼寧省沈陽市第二中學(xué)2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題題型11放大鏡型函數(shù)性質(zhì)【解題攻略】形如等“似周期函數(shù)”或者“類周期函數(shù)”，俗稱放大鏡函數(shù)，要注意以下幾點辨析：1.是從左往右放大，還是從右往左放大。2.放大（縮?。r，要注意是否函數(shù)值有0。3.放大（縮小）時，是否發(fā)生了上下平移。4.“放大鏡”函數(shù)，在尋找“切線”型臨界值時，計算容易“卡殼”，授課時要著重講清此處計算?！镜淅?-1】定義在上函數(shù)滿足，且當(dāng)時，，則使得在上恒成立的的最小值是______________.【典例1-2】.已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，有下列結(jié)論：①函數(shù)在上單調(diào)遞增；②函數(shù)的圖象與直線有且僅有個不同的交點；③若關(guān)于的方程恰有個不相等的實數(shù)根，則這個實數(shù)根之和為；④記函數(shù)在上的最大值為，則數(shù)列的前項和為.其中所有正確結(jié)論的編號是___________.【變式1-1】已知定義在[1,+∞)上的函數(shù)f(x)=4-A．在[1,6]上，方程f(x)-16x=0有B．關(guān)于x的方程f(x)-12n=0(n∈C．當(dāng)x∈[2n-1,2n](n∈N*D．對于實數(shù)x∈[1,+∞)，不等式xf(x)≤6恒成立【變式1-2】設(shè)函數(shù)的定義域為，滿足，且當(dāng)時，．若對任意，都有，則m的取值范圍是（

）A． B．C． D．【變式1-3】．定義域為的函數(shù)滿足：，當(dāng)時，，若時，恒成立，則實數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．題型12抽象函數(shù)賦值型性質(zhì)【典例1-1】（2023春·遼寧·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知是定義在上的函數(shù)，且在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，對，，都有.若，使得不等式成立，則實數(shù)的最大值為.【典例1-2】．（2023·全國·高三對口高考）已知定義域為的函數(shù)對任意實數(shù)x，y滿足，且，．給出下列結(jié)論：①；②為奇函數(shù)；③為周期函數(shù)；④在內(nèi)單調(diào)遞減．其中正確結(jié)論的序號是．【變式1-1】（2023·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預(yù)測）若函數(shù)的定義域為，且，，則．【變式1-2】（2023·浙江·高三專題練習(xí)）若定義在上的函數(shù)滿足：，，且，則滿足上述條件的函數(shù)可以為.（寫出一個即可）【變式1-3】（2022秋·湖南衡陽·高三衡陽市一中?？迹┒x在R上的函數(shù)f(x)滿足x，yR，且f(0)0，f(a)=0(a>0).則下列結(jié)論正確的序號有.①f(0)=1；②；③；④.題型13對稱型恒成立求參【解題攻略】一般地，已知函數(shù)，（1）若，，有成立，故；（2）若，，有成立，故；（3）若，，有成立，故；（4）若，，有，則的值域是值域的子集【典例1-1】．（2021上·江蘇南京·高三南京市中華中學(xué)?？计谀┒x在上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時，若對任意的，不等式恒成立，則實數(shù)的最大值為（

）A． B． C． D．【典例1-2】（2020·湖南永州·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，.若對任意的，成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式1-1】（2021上·上海浦東新·高三上海市建平中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，滿足對于任意的，都有，設(shè)，若對于任意的，，都有成立，則實數(shù)的取值范圍是．【變式1-2】．（2018上·上海奉賢·高一上海市奉賢中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，對任意非零實數(shù)，若等式成立，則正整數(shù)的值為.【變式1-3】已知是定義在R上的函數(shù)，且關(guān)于直線對稱.當(dāng)時，，若對任意的，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．題型14構(gòu)造“對稱”型函數(shù)【典例1-1】（2021上·湖北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知滿足，滿足，則（

）A． B．C． D．前三個答案都不對【典例1-2】（2022上·上海徐匯·高三上海市南洋模范中學(xué)校考階段練習(xí)）設(shè)且滿足，則.【變式1-1】（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知，那么的值是．【變式1-2】（2021上·浙江寧波·高三余姚中學(xué)校考）已知滿足，若對任意的，恒成立，則實數(shù)k的最小值為．高考練場1.（2022秋·云南保山·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，若是奇函數(shù)，則（

）A． B． C． D．2..已知函數(shù)滿足，若函數(shù)與圖像的交點為，則_____