江蘇省南通市高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題

2020～2021學(xué)年度第一學(xué)期期末考試高一數(shù)學(xué)一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.在平面直角坐標(biāo)系中，若角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先計(jì)算點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，再利用三角函數(shù)的定義即可求解.【詳解】點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，由三角函數(shù)的定義可得：，故選：D2.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先解不等式，化簡(jiǎn)集合，由集合，根據(jù)交集的概念，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，，所?故選：D.3.若命題，，則命題p的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】【分析】根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題即可得正確答案.【詳解】命題，，則命題p的否定是，，故選：C4.在一種新型流行病疫情防控中，病毒檢測(cè)是確診患病與否的有效快捷手段.某醫(yī)院在成為病毒檢測(cè)的定點(diǎn)醫(yī)院并開展檢測(cè)工作的第n天，每個(gè)檢測(cè)對(duì)象平均耗時(shí)（單位：小時(shí)）大致服從的關(guān)系為（，為常數(shù)）.已知第16天每個(gè)檢測(cè)對(duì)象平均耗時(shí)為16小時(shí)，第64天和第67天每個(gè)檢測(cè)對(duì)象平均耗時(shí)均為8小時(shí)，則第25天每個(gè)檢測(cè)對(duì)象平均耗時(shí)大致為（結(jié)果精確到個(gè)位）（）A.16小時(shí) B.13小時(shí) C.9小時(shí) D.8小時(shí)【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題中條件，先確定，得出，求出和，進(jìn)而即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)榈趎天，每個(gè)檢測(cè)對(duì)象平均耗時(shí)（單位：小時(shí)）大致服從的關(guān)系為，其中為定值，又第64天和第67天每個(gè)檢測(cè)對(duì)象平均耗時(shí)均為8小時(shí)，所以，，又第16天每個(gè)檢測(cè)對(duì)象平均耗時(shí)為16小時(shí)，所以，，解得，代入可得，所以，因此第25天每個(gè)檢測(cè)對(duì)象平均耗時(shí)為小時(shí)，故選：B.5.若，則（）A. B. C. D.2【答案】B【解析】【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系，由題中條件，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，即，即，所?故選：B.6.已知函數(shù)的圖象如圖，則的解析式可能是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由的零點(diǎn)可排除選項(xiàng)A；由時(shí)，，可排除選項(xiàng)C，由可排除選項(xiàng)D，即可得正確選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A：，令，可得，由圖象知只有，故選項(xiàng)A不正確；對(duì)于選項(xiàng)C：，由的圖象知當(dāng)時(shí)，，故選項(xiàng)C不正確；對(duì)于選項(xiàng)D：在處沒(méi)有定義，由的圖象可知，故選項(xiàng)D不正確；由排除法可知選項(xiàng)B正確，故選：B【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：由函數(shù)圖象選擇解析式：根據(jù)圖象的定義域，單調(diào)性、奇偶性、特殊點(diǎn)的函數(shù)值、極限思想等利用排除法可求解.7.已知函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用周期性求出后可求的值.【詳解】因?yàn)?，故，故，故，所以，故選：B.8.已知，，，則使得的實(shí)數(shù)對(duì)有（）A.0個(gè) B.1個(gè) C.2個(gè) D.3個(gè)【答案】D【解析】【分析】先判斷函數(shù)是奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增；根據(jù)題中條件，得到，求解，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)榈亩x域?yàn)?，顯然定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又，所以是奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，顯然單調(diào)遞增；所以當(dāng)時(shí)，也單調(diào)遞增；又，所以函數(shù)是連續(xù)函數(shù)；因此在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椋詾槭?，必有，即，解得或或，即使得的?shí)數(shù)對(duì)有，，，共對(duì).故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：求解本題的關(guān)鍵在于先根據(jù)函數(shù)解析式，判斷函數(shù)是奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，得出時(shí)，的值域，列出方程，即可求解.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得3分.9.健康成年人的收縮壓和舒張壓一般為120～140和60～90.心臟跳動(dòng)時(shí)，血壓在增加或減小.血壓的最大值、最小值分別稱為收縮壓和舒張壓，血壓計(jì)上的讀數(shù)就是收縮壓和舒張壓，讀數(shù)120/80為標(biāo)準(zhǔn)值.記某人的血壓滿足函數(shù)式，其中為血壓（），t為時(shí)間（），其函數(shù)圖像如圖所示，則下列說(shuō)法正確的是（）A. B.收縮壓為120C.舒張壓為70 D.每分鐘心跳80次【答案】BCD【解析】【分析】由圖象的周期可求出的值，可判斷A，分別求最大值、最小值可判斷選項(xiàng)B、C，計(jì)算頻率可判斷選項(xiàng)D，進(jìn)而可得正確選項(xiàng).【詳解】由圖知：，所以，可得，故選項(xiàng)A不正確；所以，由圖知在一個(gè)周期內(nèi)最大值為，最小值為，所以收縮壓為120，舒張壓為70，故選項(xiàng)B、C正確；每分鐘心跳數(shù)為頻率，故選項(xiàng)D正確，故選：BCD.10.已知函數(shù)，則（）A.的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱 B.的最大值為3C.是的一個(gè)周期 D.在上的最小值為【答案】AC【解析】【分析】利用函數(shù)的奇偶性定義周期性以及對(duì)勾函數(shù)單調(diào)性與值域直接判斷.【詳解】由得函數(shù)的定義域?yàn)?，，為偶函?shù)，故A選項(xiàng)正確；，故是的一個(gè)周期，C選項(xiàng)正確；設(shè)，函數(shù)，在和上單調(diào)遞減，故函數(shù)無(wú)最大值，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；時(shí)，，此時(shí)，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：AC.【點(diǎn)睛】求函數(shù)最值和值域的常用方法：(1)單調(diào)性法：先確定函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性求最值；(2)圖象法：先作出函數(shù)的圖象，再觀察其最高點(diǎn)、最低點(diǎn)，求出最值；(3)基本不等式法：先對(duì)解析式變形，使之具備“一正二定三相等”的條件后用基本不等式求出最值；(4)導(dǎo)數(shù)法：先求導(dǎo)，然后求出在給定區(qū)間上的極值，最后結(jié)合端點(diǎn)值，求出最值；(5)換元法：對(duì)比較復(fù)雜的函數(shù)可通過(guò)換元轉(zhuǎn)化為熟悉的函數(shù)，再用相應(yīng)的方法求最值．11.下列說(shuō)法中，正確的有（）A.B.冪函數(shù)圖像過(guò)原點(diǎn)時(shí)，它在區(qū)間上一定是單調(diào)增函數(shù)C.設(shè)，則“”是“”的必要不充分條件D.“”是“函數(shù)為偶函數(shù)”的充要條件【答案】ABC【解析】【分析】A選項(xiàng)，根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)，直接計(jì)算，可判斷A正確；B選項(xiàng)，根據(jù)冪函數(shù)過(guò)原點(diǎn)，得到的范圍，即可判斷函數(shù)單調(diào)性，得到B正確；C選項(xiàng)，根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)，以及充分條件與必要條件的概念，可判斷C正確；D選項(xiàng)，根據(jù)充分條件與必要條件概念，由三角函數(shù)的性質(zhì)，即可判斷D錯(cuò).【詳解】A選項(xiàng)，，即A正確；B選項(xiàng)，冪函數(shù)圖像過(guò)原點(diǎn)時(shí)，，所以，因此在區(qū)間上一定是單調(diào)增函數(shù)，即B正確；C選項(xiàng)，，若，則，則，所以，因此或；若，則，所以“”是“”的必要不充分條件，即C正確；D選項(xiàng)，若，則顯然是偶函數(shù)；若是偶函數(shù)，則，所以“”是“函數(shù)為偶函數(shù)”的充分不必要條件，即D錯(cuò)；故選：ABC12.已知正實(shí)數(shù)x，y，z滿足，則（）A. B. C. D.【答案】BCD【解析】【分析】令則，可得：，，利用對(duì)數(shù)的換底公式計(jì)算可判斷選項(xiàng)A，驗(yàn)證是否正確可判斷選項(xiàng)B，由于，比較可判處選項(xiàng)C，利用基本不等式可判斷選項(xiàng)D，進(jìn)而可得正確選項(xiàng).【詳解】令則，可得：，，對(duì)于選項(xiàng)A：，若則，因?yàn)?，所以，故選項(xiàng)A不正確；對(duì)于選項(xiàng)B：由可得，即，因?yàn)?，所以，即，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：，因?yàn)?，所以，因，所以，即，即，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：，，因?yàn)椋驗(yàn)樗缘忍?hào)不成立，所以，即，所以，根據(jù)“或”命題的性質(zhì)可知選項(xiàng)D正確.故選：BCD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵是令則，可得：，，再利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)以及換底公式化簡(jiǎn)每一個(gè)選項(xiàng)的等式，注意利用基本不等式時(shí)等號(hào)能否成立.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.不需寫出解答過(guò)程，請(qǐng)把答案直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上.13.已知扇形的圓心角為1，半徑為2，則該扇形的面積為______.【答案】.【解析】【分析】利用扇形的面積公式即可求解.【詳解】由扇形的面積公式可得該扇形的面積為，故答案為：.14.已知函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸是直線，則的值為______.【答案】【解析】【分析】將代入結(jié)合即可求解.【詳解】將代入可得，所以，因?yàn)?，所以，，故答案為?15.汽車在行駛中，由于慣性，剎車后還要繼續(xù)向前滑行一段距離才能停止，一般稱這段距離為“剎車距離”.剎車距離是分析交通事故的一個(gè)重要依據(jù).在某次事故中，根據(jù)現(xiàn)場(chǎng)勘測(cè)結(jié)果，肇事汽車的剎車距離為72m，經(jīng)查詢知該車的剎車距離sm與車速v之間的關(guān)系為，則該車的速度為______.【答案】.【解析】【分析】將代入即可求解.【詳解】將代入可得，即，可得，解得：或（舍）故答案為：.16.若，則的最大值為______.【答案】【解析】【分析】令，則，代入原不等式利用立方差公式進(jìn)行因式分解可得，令，利用導(dǎo)數(shù)證明，結(jié)合，可得，進(jìn)而可得，即可求出的范圍，也即是的范圍，即可得最大值.【詳解】令，則，代入原不等式可得，即，所以，即，所以令，令，則，所以，因?yàn)椋?，即，因，所以，解得：，又因?yàn)?，所以，即，所以的最大值為，故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵點(diǎn)是利用換元法可簡(jiǎn)化所解不等式，利用立方差公式可進(jìn)行因式分解，再判斷每一個(gè)因式的符號(hào)，即可求解.四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.已知集合，.（1）用區(qū)間表示集合P；（2）是否存在實(shí)數(shù)m，使得是的______條件.若存在實(shí)數(shù)m，求出m的取值范圍;若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.請(qǐng)從如下三個(gè)條件選擇一個(gè)條件補(bǔ)充到上面的橫線上：①充分不必要；②必要不充分；③充要.【答案】（1）；（2）答案見解析.【解析】【分析】（1）解不等式后可得集合.（2）根據(jù)條件關(guān)系可得對(duì)應(yīng)集合的包含關(guān)系，從而可得參數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）因?yàn)榧?，所以?（2）若選擇①，即是的充分不必要條件，則且（兩個(gè)等號(hào)不同時(shí)成立），解得，故實(shí)數(shù)m的取值范圍是．若選擇②，即是的必要不充分條件．當(dāng)時(shí)，，解得．當(dāng)時(shí)，且（兩個(gè)等號(hào)不同時(shí)成立），解得．綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍是．若選擇③，即是的充要條件，則，即此方程組無(wú)解，則不存在實(shí)數(shù)m，使是的充要條件．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：（1）若是的必要不充分條件，則對(duì)應(yīng)集合是對(duì)應(yīng)集合的真子集；（2）是的充分不必要條件，則對(duì)應(yīng)集合是對(duì)應(yīng)集合的真子集；（3）是的充分必要條件，則對(duì)應(yīng)集合與對(duì)應(yīng)集合相等；（4）是的既不充分又不必要條件，對(duì)的集合與對(duì)應(yīng)集合互不包含．18.已知.（1）化簡(jiǎn).（2）若銳角滿足，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)誘導(dǎo)公式，將原式逐步化簡(jiǎn)，即可得出結(jié)果；（2）根據(jù)題中條件，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系，求出，再將所求式子化為關(guān)于的式子，即可求出結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，且是銳角，所以，所以，則．19.已知.（1）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）求不等式的解集；（3）若函數(shù)在區(qū)間上有最小值，求a的值.【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】【分析】（1）利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性，先將所給不等式化為，求解，即可得出結(jié)果；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，由對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性，將不等式化為，求解，即可得出結(jié)果；（3）令，設(shè)，，討論和兩種情況，結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性，確定最小值，結(jié)合題中條件，列出方程求解，即可得出結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，所以，所以；?）因?yàn)榍遥?，解得．所以不等式的解集為；?）令，則，設(shè)，，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，解得．當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，解得（舍去）．綜上可得：．20.為落實(shí)《中共中央、國(guó)務(wù)院關(guān)于全面加強(qiáng)新時(shí)代大中小學(xué)勞動(dòng)教育的意見》，加快構(gòu)建德智體美勞全面培養(yǎng)的教育體系，開齊、開足、開好德育、體育、美育、勞動(dòng)教育課程，某校成立了勞技興趣小組.該小組計(jì)劃用兩塊全等的、周長(zhǎng)為40的矩形材料拼成如圖所示的物件.其中，矩形和矩形的對(duì)角線交點(diǎn)重合，.依次取，，，的中點(diǎn)，然后沿圖中虛線剪去八個(gè)全等的三角形，形成一個(gè)星狀圖形.（1）當(dāng)四邊形的面積為36時(shí)，求星狀圖形面積；（2）求星狀圖形周長(zhǎng)的最小值.【答案】（1）星狀圖形面積為84；（2）星狀圖形周長(zhǎng)的最小值．【解析】【分析】（1）利用平面幾何性質(zhì)，星狀圖形中每個(gè)角的面積是所在矩形面積的一半，故四個(gè)角的面積之和等于矩形與矩形的面積之和，從而星狀圖形的面積等于矩形的面積；（2）設(shè)，，根據(jù)勾股定理求得星狀圖形的邊長(zhǎng)，及周長(zhǎng)，再利用二次函數(shù)性質(zhì)求最值.【詳解】（1）設(shè)，因?yàn)樗倪呅问钦叫吻颐娣e為36，所以．因?yàn)?，所以．星狀圖形中每個(gè)角的面積是所在矩形面積的一半，故四個(gè)角的面積之和等于矩形與矩形的面積之和，從而星狀圖形的面積等于矩形的面積，所以星狀圖形面積為84．（2）由題意得星狀圖形邊長(zhǎng)均相等．設(shè)，，則．因?yàn)?，所以，所以．記的中點(diǎn)為P，則，，所以，記星狀圖形周長(zhǎng)l，則，當(dāng)，時(shí)滿足，．由于，滿足，故符合答案的星狀圖存在.21.已知函數(shù)的最大值為2，其圖象與y軸交點(diǎn)為.（1）求的解析式；（2）求在上的單調(diào)增區(qū)間；（3）對(duì)于任意，恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【答案】（1）；（2）和；（3）.【解析】【分析】（1）先由最值，求出，再由函數(shù)過(guò)點(diǎn)，求出，即可得出函數(shù)解析式；（2）根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性，即可求出函數(shù)在區(qū)間上的增區(qū)間；（3）先由，得到，令，將問(wèn)題化為在時(shí)恒成立，進(jìn)而可求出結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)樽畲笾禐?，所以．因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)，所以，又因?yàn)椋裕裕?）因?yàn)?，所以．?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．又因?yàn)椋栽谏系膯握{(diào)增區(qū)間是和．（3）因?yàn)?，所以，所以．令，則在時(shí)恒成立，即在時(shí)恒成立，令，，任取，則，，所以，即，所以在上單調(diào)遞減，則，所以只需，即實(shí)數(shù)m的取值范圍是.【