專題08立體幾何異面直線所成角線面角面面角及平行和垂直的證明的6種?？碱}型歸類

專題08立體幾何異面直線所成角、線面角、面面角及平行和垂直的證明的6種?？碱}型歸類立體幾何異面直線所成角、線面角、面面角及平行和垂直的證明的6種?？碱}型題型05:線線垂直、線面垂直、面面垂直證明立體幾何異面直線所成角、線面角、面面角及平行和垂直的證明的6種?？碱}型題型05:線線垂直、線面垂直、面面垂直證明題型06:立體幾何的綜合性問題題型03:平面與平面所成角問題題型02:直線與平面所成角問題題型04:線線平行、線面平行和面面平行的證明題型01:異面直線所成角問題異面直線所成角問題1．正方體中，分別是的中點，則直線與直線所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先通過平移將異面直線的所成角轉(zhuǎn)化為相交直線的所成角，在三角形內(nèi)利用余弦定理即可求得【詳解】如圖，取的中點，再取的中點，連接，因點是的中點，易證,可得，又因點是的中點，故，則，故直線與直線所成角即直線與直線所成角.不妨設(shè)正方體棱長為4，在中，，由余弦定理，，即直線與直線所成角的余弦值為.故選：C.2．已知三棱柱的側(cè)棱與底面邊長都相等，頂點在底面ABC上的射影為的中心，則異面直線AB與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由于‖，所以為異面直線AB與所成角，然后根據(jù)題意可判斷為等邊三角形，從而可求出，進而可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)頂點在底面上的射影為，連接，因為，所以為異面直線AB與所成角，因為為等邊三角形，為的中心，所以，因為頂點在底面ABC上的射影為，所以平面，因為平面，所以，,所以，所以，因為，所以，所以為等邊三角形，所以，所以，所以異面直線AB與所成角的余弦值為，故選：A3．如圖，正三棱柱中，點E為正方形的中心，點F為棱的中點，則異面直線與所成角的正切值為（

）A． B． C． D．2【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，取的中點，結(jié)合平行公理，利用異面直線所成角的定義，借助等腰三角形的性質(zhì)求解即可.【詳解】在正三棱柱中，取中點，連接，由點E為正方形的中心，得，而，于是，由為棱的中點，得，則四邊形是平行四邊形，有，即或其補角就是異面直線與所成的角，顯然正三棱柱所有棱長都相等，令棱長為2，則，等腰底邊上的高，，所以異面直線與所成角的正切值為.故選：D4．已知四棱錐的底面是邊長為4的正方形，，，則直線與所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用全等三角形證得，由余弦定理求出，再利用定義法求出直線與所成角的正弦值.【詳解】連結(jié)交于，連結(jié)，則為的中點，如圖，由底面為正方形，，得，即，又，則，有，即，在中，由余弦定理得，則為正三角形，由，得是直線與所成的角，即，，所以直線與所成角的正弦值為.故選：A5．如圖，在長方體中，，異面直線與所成的的余弦值為，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】把異面直線所成的角，轉(zhuǎn)化為平面角，再用解三角形的方法求解.【詳解】連接，交于點，取的中點，連接.因為，所以與所成的角為（或其補角）.令，在中，由，得.又，，由余弦定理得，即，解得，所以.故選：C6．已知在正四棱臺中，，若異面直線與所成角的余弦值為，則正四棱臺的體積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由可得為異面直線與所成角，即可求出，連接、，過點作交于點，過點作交于點，即可求出棱臺的高，從而求出棱臺的體積.【詳解】如圖在正四棱臺中，，所以為異面直線與所成角，又，所以，，且，所以，連接、，過點作交于點，過點作交于點，則，，所以，則，即正四棱臺的高，所以棱臺的體積.

故選：D7．在空間四邊形中，，，，分別是，，，的中點．若，且與所成的角為，則的長為（

）A．1 B． C．1或 D．或【答案】C【分析】連接，可得或，求解三角形即可求出.【詳解】如圖，連接，在中，因為為中點，所以，，在中，因為為中點，所以，，因為與所成的角為，所以或，當時，為等邊三角形，所以，當，由余弦定理可得，即，所以的長為1或.故選：C.直線與平面所成角問題8．已知圓臺的上、下底面半徑分別為1和3，母線長為，則（

）A．圓臺的母線與底面所成的角為B．圓臺的側(cè)面積為C．圓臺的體積為D．若圓臺的兩個底面的圓周在同一個球的球面上，則該球的表面積為【答案】ABD【分析】選項A，先求出圓臺的高，進而求出圓臺的母線與底面所成的角即可；選項B，由圓臺的側(cè)面積公式求解即可；選項C，由圓臺的體積公式求解即可；選項D，設(shè)球心到下底面的距離為，由勾股定理得，求解即可.【詳解】對于A，因為圓臺的上、下底面半徑分別為1和3，母線為，所以圓臺的高為：，根據(jù)線面角定義求出母線與底面所成角，A正確；對于B，由圓臺的側(cè)面積公式，求得圓臺的側(cè)面積為：，B正確；對于C，由圓臺的體積公式，求得圓臺體積為：，C錯誤；對于D，由題意可知球心在下底面下方，設(shè)球心到下底面的距離為，由勾股定理得，解得，則該球的半徑為，所以該球的表面積為，D正確．故選：ABD.9．已知四棱錐的底面是邊長為4的正方形，，，則直線與平面夾角的正弦值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先求，再作出平面，根據(jù)垂直關(guān)系，以及等面積轉(zhuǎn)化，確定垂足點的位置，以及，再求線面角的正弦值.【詳解】如圖，由題意可知，，中，根據(jù)余弦定理可知，則，過點作平面，，連結(jié)，，連結(jié)，

因為平面，平面，所以，且平面所以平面，平面，所以，又因為，所以，同理，中，，則，根據(jù)等面積公式，，所以，，又，所以，則，直線與平面夾角的夾角為，.故選：B【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是確定垂足的位置，以及垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化.10．在長方體中，與平面所成的角為，則（

）A．異面直線與所成的角為 B．異面直線與所成的角為C．與平面所成的角為 D．與平面所成的角的正弦值為【答案】ABD【分析】根據(jù)給定條件，建立空間直角坐標系，利用線線角、線面角的向量求法求解即得.【詳解】在長方體中，連接，顯然對角面是矩形，即，由，得，因此矩形是正方形，又平面，則是與平面所成的角，即，令，則，建立如圖所示的空間直角坐標系，，

對于A，，，則，因此異面直線與所成的角為，A正確；對于B，，，則，因此異面直線與所成的角為，B正確；對于C，，而平面的法向量，，顯然是不等于的鈍角，因此與平面所成的角不為，C錯誤；對于D，平面的法向量，，所以與平面所成的角的正弦值為，D正確.故選：ABD11．已知圓錐的頂點為，底面圓心為，為底面直徑，，，點在底面圓周上，且點到平面的距離為，則（

）A．該圓錐的體積為 B．直線與平面所成的角為C．二面角為 D．直線與所成的角為【答案】BCD【分析】取線段的中點，連接，過作，垂足為，可證明面，即可得，對于A：求出底面圓半徑，然后用圓錐的體積公式求解；對于B：直線與平面所成的角為，在直角三角形中求解即可；對于C：二面角的平面角為，在直角三角形中求解即可；對于D：取線段的中點，連接，直線與所成的角為或其補角，求出的三邊，然后利用余弦定理求解.【詳解】取線段的中點，連接，過作，垂足為，易知，又，面，所以面，又面，所以，又，且，面，所以面，所以線段的長為點到平面的距離，即，

對于A：在等腰三角形中，，，所以，所以該圓錐的體積為，A錯誤；對于B：由面可得直線與平面所成的角為，在直角三角形中，，所以，B正確；對于C：由面可得二面角的平面角為，在直角三角形中，，所以，C正確；對于D：取線段的中點，連接，明顯有，則直線與所成的角為或其補角，因為，則，在直角三角形中，，在直角三角形中，，在中，，所以，D正確.

故選：BCD.12．在正方體中，下列說法正確的是（

）A． B．平面C．直線與平面的夾角為 D．三棱錐是正四面體【答案】ABD【分析】對于選項A:先證面,再證即可；對于選項B：先通過線面垂直證明，，再結(jié)合線面垂直的判定定理證明即可;對于選項C:結(jié)合線面角的定義計算該線面角即可；對于選項D:由即可判定.【詳解】于選項A:連接,在正方體中有面，且面,所以，又因為底面為正方形，所以，因為,面，所以面,因為面,所以.故選項A正確；

對于選項B：連接,在正方體中有面,且面,所以，又因為底面為正方形，所以，因為,面,所以面,因為面,所以.在正方體中有面,且面,所以，又因為底面為正方形，所以，因為,面,所以面,因為面,所以.因為,面,所以平面,故選項B正確；

對于選項C：連接,在正方體中有面,所以為直線在平面的射影,即為直線與平面所成的角,設(shè)正方體的棱長為，則，,則，故選項C錯誤；

對于選項D:連接在正方體中易得故三棱錐是正四面體.故選項D正確.

故選：ABD.13．已知正方體的棱長為1，則（

）A．直線與直線所成的角為B．平面C．點到平面的距離為D．直線與平面所成角的余弦值為【答案】BD【分析】建立如圖所示的空間直角坐標系，利用坐標得到，即可判斷選項A；利用向量法證明，即可判斷選項B；利用向量法求出點到平面的距離即可判斷選項C；利用向量法求出直線與平面所成角的余弦值即可判斷選項D.【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標系：.A：，因為，所以，因此選項A不正確；B：，所以，所以，而，平面ACD1，因此平面，所以選項正確；C：因為平面，所以是平面的法向量，，所以點到平面的距離為，因此選項C不正確；：設(shè)直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的余弦值，因此選項D正確.故選：BD.14．已知正四棱錐的側(cè)棱長為，其各頂點都在同一個球面上，若該球的體積為，則該正四棱錐的側(cè)棱與底面所成的角的正弦值為.【答案】【分析】根據(jù)已知條件求得正四棱錐的底面邊長和高，結(jié)合線面角的知識求得正確答案.【詳解】如圖所示正四棱錐，，則平面.設(shè)正四棱錐外接球的半徑為，則R=2，設(shè)正四棱錐底面邊長為，高為，則①，由整理得②，由①②解得，由于平面，所以正四棱錐的側(cè)棱與底面所成的角為，.故答案為：15．在正三棱柱中，，點為棱的中點，則直線與平面夾角的正弦值為．【答案】/【分析】記分別為直線的中點，取中點，連結(jié)，，只需證平面，即可得是與平面所成的角，進而可求出結(jié)果.【詳解】記分別為直線的中點，取中點，連結(jié)，，所以在正三棱柱中，，平面平面，平面平面，面，所以平面；又是的中點，所以，所以平面，故即是與平面所成的角；設(shè)，則，，所以.故答案為：.平面與平面所成角問題16．如圖，已知二面角的大小為，，，，且，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意得到，利用結(jié)合向量的數(shù)量積的運算公式，即可求解．【詳解】因為二面角的大小為，，，，，，所以與的夾角為，又因為，所以，所以，即．故選：A．17．在正三棱臺中，，二面角為，則該三棱臺的體積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合正三棱臺的結(jié)構(gòu)特征求出棱臺的高，再利用棱臺的體積公式計算即得.【詳解】在正三棱臺中，令的中點分別為，連接，則，于是二面角的平面角為，即，設(shè)上底面與下底面的中心分別為，連接，則，過點作，垂足為，則，則，則，所以該三棱臺的體積為.故選：B18．將兩個相同的正棱錐的底面重疊組成的幾何體稱為“正雙棱錐”.如圖，在正雙三棱錐中，兩兩互相垂直，則二面角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】取中點，連接，說明為二面角的平面角，通過幾何關(guān)系計算求解.【詳解】取中點，連接，交平面于點，由正棱錐性質(zhì)及對稱性易知為的中心，且，故為二面角的平面角，設(shè)正三棱錐側(cè)棱長為2，易得，則，在中由余弦定理得.故選：D.19．在正四棱錐中，，二面角的大小為，則該四棱錐的體積為（

）A．4 B．2 C． D．【答案】C【分析】作出輔助線，得到為二面角的平面角，所以，從而求出四棱錐的高，由棱錐體積公式求出答案.【詳解】連接，相交于點，則為正方形的中心，故⊥底面，取的中點，連接，則，，故為二面角的平面角，所以，故，所以該四棱錐的體積為.故選：C20．如圖，正方體，棱長為是的中點，則二面角的正弦值為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)二面角平面角的定義得到是二面角的平面角，然后求正弦值即可.【詳解】

如圖，取中點，連接，，因為為正方體，所以，，因為為中點，所以，，因為平面平面，平面，平面，所以是二面角的平面角，，，，，所以二面角的正弦值為.故選：B.21．已知圓錐的頂點為P，底面圓心為O，AB為底面直徑，，，點C在底面圓周上，且二面角為，則的面積為（

）A． B．2 C． D．【答案】B【分析】作圖，取AC中點，根據(jù)圓錐的性質(zhì)及二面角的定義計算PD、AC長即可.【詳解】

如圖所示，∵AB為底面直徑，，，∴是等腰三角形，由余弦定理可得，，由圓錐的特征易知，取中點D，連接，顯然有，即二面角為，∴，則，∴，故選：B22．已知圓錐的頂點為，底面圓心為，，底面半徑為2，，是底面圓周上兩點，且，則二面角的大小為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】取的中點，連，可證是二面角的平面角，再根據(jù)已知條件計算可得結(jié)果.【詳解】取的中點，連，因為，所以，因為，所以，所以是二面角的平面角，因為平面，平面，所以，因為，，所以，因為，所以，所以，所以.所以二面角的大小為.

故選：B23．已知圓錐的頂點為，底面圓心為，為底面直徑，，，點在底面圓周上，且二面角為，則下列各選項正確的是（

）A．該圓錐的體積為 B．該圓錐的側(cè)面積為C． D．過圓錐任意兩條母線的截面中面積最大的為【答案】C【分析】根據(jù)圓錐的體積、側(cè)面積判斷A、B選項的正確性；利用二面角的知識判斷C；對于D選項，結(jié)合三角形的面積公式求解判斷即可.【詳解】依題意，，，所以，A選項，圓錐的體積為，A選項錯誤；B選項，圓錐的側(cè)面展開圖扇形弧長為，所以圓錐的側(cè)面積為，B選項錯誤；C選項，設(shè)是的中點，連接，則，所以是二面角的平面角，則，所以，故，則，C選項正確；D選項，設(shè)過圓錐任意兩條母線的截面為，，在中，，因為，所以當時，截面面積最大，而，故D選項錯誤.故選：C.

線線平行、線面平行和面面平行的證明24．如圖，四棱錐P－ABCD中，PD⊥DA，PD⊥DC，在底面ABCD中，AB∥DC，AB⊥AD，又CD＝6，AB＝AD＝PD＝3，E為PC的中點．(1)求證：BE∥平面ADP；(2)求異面直線PA與CB所成的角的大?。敬鸢浮?1)證明見解析(2)60°【分析】（1）取PD的中點取PD的中點F，連接EF，AF，利用平行四邊形證明BE∥AF即可；（2）取CD的中點G，連接AG，PG，可得∠PAG(或其補角)為PA與CB所成的角，由等邊三角形求解即可.【詳解】（1）取PD的中點取PD的中點F，連接EF，AF，則在△PCD中，EF∥CD且EF＝CD，由已知AB∥CD且AB＝CD，所以AB∥EF且AB＝EF，所以四邊形ABEF為平行四邊形，所以BE∥AF，而AF?平面ADP，BE?平面ADP，所以BE∥平面ADP．（2）取CD的中點G，連接AG，PG，所以AB∥GC且AB＝GC，所以四邊形ABCG為平行四邊形，所以BC∥AG，所以∠PAG(或其補角)為PA與CB所成的角，由題意得PA＝AG＝PG＝3，所以∠PAG＝60°，所以異面直線PA與CB所成的角的大小為60°．25．如圖，在棱長為2的正方體中，是棱的中點，是與的交點.(1)求證：平面；(2)求三棱錐的體積.【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）根據(jù)正方體的性質(zhì)可得是的中點，從而可得，根據(jù)線面平行的判定定理即可證明；（2）根據(jù)即可求解.【詳解】（1）∵是與的交點，∴是的中點，又是棱的中點，∴，又平面，平面，∴平面.（2）由正方體的性質(zhì)可得平面，所以.26．如圖，在棱長為3的正方體中，分別為棱的中點．(1)證明：；(2)求三棱錐的體積．【答案】(1)證明過程見解析(2)【分析】（1）作出輔助線，得到四邊形為平行四邊形，結(jié)合中位線證明出結(jié)論；（2）求出底面積和高，利用錐體體積公式求出答案.【詳解】（1）連接，因為分別為棱的中點，所以，因為正方體的棱長為3，所以，，故四邊形為平行四邊形，所以，故；（2）由題意得，正方形的面積為，，，故，又⊥平面，故⊥平面，三棱錐的體積為.27．已知在正方體中，M、E、F、N分別是、、、的中點.求證：(1)E、F、D、B四點共面(2)平面平面.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)題意證明，即可得結(jié)果；（2）根據(jù)線面、面面平行的判定定理分析證明.【詳解】（1）證明：分別是、的中點，所以，又，所以四邊形是平行四邊形，.，即確定一個平面，故E、F、D、B四點共面.（2）（2）M、N分別是、的中點，.又平面，平面，平面.連接，如圖所示，則，.四邊形是平行四邊形..又平面，平面.平面.都在平面,且,所以平面平面.28．如圖所示，四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AD=2，E?F?G分別為PC?PD?BC的中點.

(1)求證：PA平面EFG；(2)求三棱錐P﹣EFG的體積.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）取的中點，連接，，說明不在平面，在平面，證明平行平面內(nèi)的直線即可證明平面；（2）利用轉(zhuǎn)化法，求出底面面積和高，求三棱錐的體積．【詳解】（1）如圖，取的中點，連接，，，分別為，的中點，．，分別為，的中點，．．，，，四點共面，分別為，的中點，．平面，平面，平面．（2）平面，平面，．為正方形，．，平面,平面．，，．，

29．如圖，在直四棱柱中，底面是邊長為2的菱形，，O分別為上、下底的中心，，點是的中點.(1)求證：平面；(2)若三棱錐的體積為，求棱柱的側(cè)面積.【答案】(1)證明見解析(2)48【分析】（1）作出輔助線，由中位線得到線線平行，進而證明線面平行；（2）作出輔助線，利用等體積法和三棱錐的體積求出，即，從而求出側(cè)面積.【詳解】（1）證明：連接.∵點O，E分別為，的中點，∴，∵平面，平面，∴平面.（2）取中點，連接，.∵E為的中點，∴為的中位線，∴，且.∵，∴，由菱形的性質(zhì)知，為邊長為2的等邊三角形.又平面，∴平面，，∵點E是的中點，∴，∴，即.∴側(cè)面積.30．如圖所示，在四棱錐中，四邊形是平行四邊形，點分別是線段的中點．

(1)求證：平面(2)是線段的中點，證明：平面平面．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）利用線面平行的判定定理證明即可；（2）利用面面平行的判定定理證明即可.【詳解】（1）四邊形是平行四邊形可知，連接AE必與BD相交于中點F，故，面ABC，面ABC，面ABC；

（2）由點分別為中點可得：，面ACD，面ACD，面ACD，，面ACD，面ACD，面ACD，平面，故平面平面ACD．

31．如圖所示，在四棱錐中，平面，，E是PD的中點.

(1)求證：；(2)求證：平面；(3)若M是線段上一動點，則線段上是否存在點N，使平面？說明理由.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)存在，證明見解析【分析】（1）根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理即可證明；（2）由中位線、線面平行的性質(zhì)可得四邊形為平行四邊形，再根據(jù)線面平行的判定即可證明；（3）根據(jù)線面、面面平行的性質(zhì)定理和判斷定理即可判斷存在性.【詳解】（1）在四棱錐中，平面，平面，平面，平面平面，所以；（2）如下圖，取為中點，連接，由E是PD的中點，所以且，由（1）知，又，所以且，所以四邊形為平行四邊形，故，而平面，平面，則平面.

（3）取中點N，連接，，因為E，N分別為，的中點，所以，因為平面，平面，所以平面，線段存在點N，使得平面，理由如下：由（2）知：平面，又，平面，平面，所以平面平面，又M是上的動點，平面，所以平面，所以線段存在點N，使得平面.線線垂直、線面垂直、面面垂直證明32．如圖，在直三棱柱中，，，，，點是的中點．(1)求證：平面；(2)求證：；(3)求三棱錐的體積．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)64【分析】（1）設(shè)與交于點，可得，由線面平行的判定可得答案（2）由余弦定理得可得，由勾股定理可得，又平面得，可得平面可得答案；（3）在中過點作，垂足為，可得平面，利用相等可得答案.【詳解】（1）設(shè)與交于點，則為的中點，連接，則在中，則DE是的中位線，所以，又平面，平面，所以平面．（2）在中，由，，，由余弦定理，得，則，即，為直角三角形，．又平面，平面，，又，平面，平面，平面，．（3）在中過點作，垂足為，平面平面，且平面平面，平面易知，，，．33．如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，側(cè)面面，，，為的中點.(1)求證：面面；(2)若的大小為，求四棱錐的體積.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)側(cè)面面，得到面，再利用面面垂直的判定定理證明；（2）取AB的中點O，連接PO，易知為等邊三角形，從而，然后根據(jù)E為PD的中點求解.【詳解】（1）證明：側(cè)面面，，面面=AB，面，又平面PBC，面面；（2）如圖所示：取AB的中點O，連接PO，因為，的大小為，所以為等邊三角形，則，因為側(cè)面面，側(cè)面面，所以平面，，又因為E為PD的中點，所以.34．如圖，在四棱錐中，平面，，.(1)求證：平面；(2)若，求點C到平面的距離.【答案】(1)證明見解析(2).【分析】（1）利用線面垂直的判定定理、性質(zhì)定理可得答案；（2）利用線面垂直的判定定理、性質(zhì)定理可得，再由可得答案.【詳解】（1）平面平面，平面，平面；（2），平面平面，平面，平面，平面，則，，，設(shè)點到平面的距離為h，由，得，即，點到平面的距離為.35．如圖，四棱錐中，，，，平面平面.(1)證明：；(2)若，M是的中點，求三棱錐的體積.【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）利用直角梯形的性質(zhì)計算證得，再利用面面垂直的性質(zhì)、線面垂直的性質(zhì)推理即得.（2）取的中點，連接，利用面面垂直的性質(zhì)結(jié)合等體積法求出體積.【詳解】（1）在四棱錐中，，，，四邊形是直角梯形，，，，于是，即，而平面平面，平面平面，平面，則平面，又平面，所以.（2）取的中點，連接，由，得，，由平面平面，平面平面，平面，得平面，由M是的中點，得點到平面的距離，又，顯然，所以三棱錐的體積.36．如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，，分別是，的中點．求證：

(1)平面；(2)．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）借助線面垂直判定定理即可得；（2）借助線面垂直性質(zhì)定理即可得.【詳解】（1）四棱錐的底面是矩形，，平面，平面，，又，、平面，平面；（2）由（1）知平面，同理可得，平面，，分別是，的中點，，平面，又平面，.37．如圖，在三棱錐中，平面，，，，為棱的中點.(1)證明：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由線面垂直的性質(zhì)可得出，利用勾股定理的逆定理可證得，再利用線面垂直的判定定理可證得結(jié)論成立；（2）取線段的中點，連接、，推導(dǎo)出平面，可知直線與平面所成角為，計算出、的長，即可求得的值，即為所求.【詳解】（1）證明：在中，，，，則，所以，，又因為平面，平面，所以，，因為，、平面，因此，平面.（2）解：取線段的中點，連接、，因為、分別為、的中點，則且，因為平面，則平面，所以，與平面所成的角為，因為平面，平面，所以，，因為，，則，因為為的中點，則，因為平面，平面，則，所以，，因此，直線與平面所成角的正弦值為.38．如圖，在直三棱柱中，，，，，分別為，的中點．(1)證明：平面平面；(2)求三棱錐的體積．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）先根據(jù)勾股定理證得，根據(jù)直棱柱的性質(zhì)和線面垂直的性質(zhì)定理證得；再根據(jù)線面垂直的判定定理證得平面；最后根據(jù)面面垂直的判定定理即可證得平面平面.（2）根據(jù)三棱錐等體積及錐體體積公式可求解.【詳解】（1）證明：∵，，∴，∴.∵在直三棱柱中，平面ABC，平面ABC，∴，又因為，平面，平面，∴平面，又平面ACE，∴平面平面．（2）由（1）知，平面，∴AC為三棱錐的高，且.由直三棱柱的性質(zhì)可得：四邊形為矩形.因為，分別為，的中點，所以，，，則，∴．39．如圖1，在矩形ABCD中，，．將△BCD沿BD翻折至，且，如圖2．

(1)求證：平面平面；(2)求平面與平面ABD夾角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）先證明平面，再根據(jù)面面垂直的判定定理即可證明結(jié)論；（2）作，在平面內(nèi)過點E作，即作出平面與平面ABD所成二面角的平面角，解三角形求出線相段的長，解即可求得答案.【詳解】（1）由題意知，則，故，又，且平面，故平面，而平面，故平面平面；（2）作，垂足為E，在平面內(nèi)過點E作，交于F，連接，則即為平面與平面ABD夾角或其補角，

由題意知，，故，，又在中，，則，則，又平面，平面，故，則，故，即，在中，,故平面與平面ABD夾角的余弦值為．40．如圖，在四棱錐中，，，，平面平面．(1)求證：平面；(2)設(shè)，，求三棱錐的體積．【答案】(1)證明見及解析(2)【分析】（1）取的中點，結(jié)合等腰三角形三線合一、面面垂直和線面垂直性質(zhì)可得，又，由線面垂直的判定可證得結(jié)論；（2）利用勾股定理可求得，，根據(jù)，結(jié)合棱錐體積公式可求得結(jié)果．【詳解】（1）取的中點，連接，因為，為中點，所以，因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，又因為，，所以，且，平面，所以平面．（2）由（1）知平面，因為平面，所以，又，，所以，因為，所以為等腰三角形，所以所以，所以.【點睛】本題考查了空間中的垂直關(guān)系應(yīng)用問題，也考查了幾何體體積計算問題，是中檔題．41．正三棱柱的底面邊長與側(cè)棱長都是2，分別是的中點．(1)求三棱柱的全面積；(2)求證：∥平面；(3)求證：平面⊥平面．【答案】(1)；(2)證明見解析；(3)證明見解析.【分析】（1）利用棱柱的表面積公式進行求解即可；（2）利用線面平行的判定定理進行證明即可；（3）利用面面垂直的判定定理證明即可.【詳解】（1）因為三棱柱是正三棱柱，且棱長均為2，所以底面是正三角形，側(cè)面均為正方形，故三棱柱的全面積為；（2）在正三棱柱中，因為分別是的中點，可知，又∥，所以四邊形是平行四邊形，故∥，又平面，平面，所以∥平面．（3）連，設(shè)與相交于，則由側(cè)面為正方形，可知與互相平分．在中，，在中，，故，連，則．又，，連，則，又與相交于，，平面，所以平面．因為平面，所以平面平面．立體幾何的綜合性問題42．如圖，在棱長為2的正方體中，在線段上運動（包括端點），下列選項正確的有（

）

A．B．C．直線與平面所成角的最大值是D．的最小值為【答案】ACD【分析】由正方體的性質(zhì)，得到正方體中的垂直關(guān)系，對照選項作出判斷；作出直線與平面所成角，進而判斷線面角的最大值；通過翻折平面，將平面與平面沿翻折到同一個平面內(nèi)，進而判斷的最小值.【詳解】對于選項A，由正方體性質(zhì)，易得,,因為平面，所以平面.因為平面，所以，故A正確；對于選項B，當與重合，則此時與夾角為，故B錯誤；對于選項C，如圖連接交于，

因為平面，平面，所以.因為,平面,所以平面，即平面，所以為直線與平面所成角，所以.所以當最小時最大，即時，最小.由，可得，此時，故的最大值為，直線與平面所成角的最大值是，故C正確；對于選項D，如圖，將平面與平面沿翻折到同一個平面內(nèi)

由題意，，從而，故為平行四邊形.又，故為矩形.從而當為與交點時，最小，此時，故D正確.故選:ACD.43．如圖，已知正三棱臺的上、下底面邊長分別為2和6，側(cè)棱長為4，點P在側(cè)面內(nèi)運動（包含邊界），且AP與平面所成角的正切值為，點為上一點，且，則下列結(jié)論中正確的有（

）A．正三棱臺的高為B．點P的軌跡長度為C．高為，底面圓的半徑為的圓柱可以放在棱臺內(nèi)D．過點的平面截該棱臺內(nèi)最大的球所得的截面面積為【答案】ACD【分析】延長正三棱臺側(cè)棱相交于點，分析可知三棱錐為正四面體，對于A：根據(jù)正四面體的高以及棱臺的性質(zhì)分析求解；對于B：根據(jù)線面夾角可得，可知點的軌跡為等邊的內(nèi)切圓，即可得結(jié)果；對于C：根據(jù)三棱臺、圓柱的結(jié)構(gòu)特征分析判斷；對于D：利用等體積法求正四面體的內(nèi)切球，分析可知該棱臺內(nèi)最大的球即為正四面體的內(nèi)切球，即可得結(jié)果.【詳解】延長正三棱臺側(cè)棱相交于點，由題意可知：，在等腰梯形中，因為，，，則.即為等邊三角形，可知三棱錐為正四面體，且.對于選項A：設(shè)為等邊的中心，由正四面體的性質(zhì)可知：側(cè)面，且，即點到底面的距離為，又因為，，所以正三棱臺的高為，故A正確；對于選項B：因為與平面所成角的正切值為，即，解得，且等邊的內(nèi)切圓半徑，可知點的軌跡為等邊的內(nèi)切圓，所以點的軌跡長度為，故B錯誤；對于選項C：因為正三棱臺的高，且的內(nèi)切圓半徑為，所以高為，底面圓的半徑為的圓柱可以放在棱臺內(nèi)，故C正確；對于選項D：設(shè)正四面體的內(nèi)切球半徑，由等體積法可得：，解得.因為，則該棱臺內(nèi)最大的球即為正四面體的內(nèi)切球.又因為，，，則為的中點，過點的平面正好過該內(nèi)切球的球心，所以截面面積為，故D正確.故選：ACD.【點睛】關(guān)鍵點點睛：將三棱臺補成三棱錐，結(jié)合題意分析可知三棱錐為正四面體，結(jié)合正四面體的性質(zhì)分析判斷.44．已知正方體的棱長為2，P，Q分別是棱，上的動點（含端點），則（

）

A．四面體的體積是定值B．直線與平面所成角的范圍是C．若P，Q分別是棱，的中點，則D．若P，Q分別是棱，的中點，則經(jīng)過P，Q，C三點作正方體的截面，截面面積為【答案】ABC【分析】由體積公式計算判斷A；由線面角公式判斷B；由距離計算判斷C;由截面做法及計算判斷D.【詳解】對A，因為四面體的體積為，h為到底面的距離，且為定值2，為定值，故四面體的體積是定值，A正確；對B，連接，易得平面，故平面，則到平面的距離即為到平面的距離；又，平面，則平面，則到平面的距離為，易得，則直線與平面所成角的正弦值為，所以直線與平面所成角的范圍是，故B正確；

對C，若P，Q分別是棱，的中點，易得，故C正確；對D，取中點M,中點N,連接，易知故四邊形為平行四邊形，則，易知，故，故經(jīng)過P，Q，C三點作正方體的截面，截面為梯形，如圖：

又易得，，作易得為矩形，設(shè)，則，由則，解得，故，故四邊形的面積為，故D錯誤.故選：ABC【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查正方體性質(zhì)，線面角及截面問題，明確截面形狀是解決D的關(guān)鍵.45．如圖，棱長為1的正方體中，E為棱的中點，點F在該正方體的側(cè)面上運動，且滿足平面．下列說法正確的是（

）A．點F軌跡是長度為的線段B．三棱錐的體積為定值C．存在一點F，使得D．直線與直線所成角的正弦值的取值范圍為【答案】ACD【分析】設(shè)G為中點，證得平面，平面，得到平面平面，得出點的軌跡為線段，可判定A正確；由，可判定B錯誤；當點為中點時，證得，可判定C正確；當點為中點和點與或重合時，分別求得直線與直線所成角的正弦值可判定D正確.【詳解】設(shè)G為中點，則截面圖形是為等腰梯形，分別為的中點，可得且，因為平面，平面，且平面，平面，所以平面，平面，又因為，且平面，所以平面平面，因為平面，且點在該正方體的側(cè)面上運動，所以點的軌跡為線段，且，所以A正確；由，所以B錯誤；當點為中點時，因為，可得，因為，所以，所以C正確；當點為中點時，在正方體，可得，則直線與直線所成的角，即為直線與直線所成的角，設(shè)，在等腰中，，可得，在中，可得，所以；當點與或重合時，此時直線與直線所成角的正弦值為，所以直線與直線所成角的正弦值的取值范圍為，所以D正確.故選：ACD.46．已知正四棱錐的底邊長為2，高為2，且各個頂點都在球的球面上，則下列說法正確的是（

）A．直線與平面所成角的余弦值為B．平面截球所得的截面面積為C．球的體積為D．球心到平面的距離為【答案】ACD【分析】在直角，求得，可判定A正確；設(shè)正四棱錐外接球的半徑為，得到平面截球所得的截面圓的半徑為，可得判定B錯誤；求得由外接球的半徑為，結(jié)合球的體積，可判定C正確；設(shè)等腰的外接圓的圓心，外接圓的半徑為，結(jié)合球的性質(zhì)，可判定D正確.【詳解】如圖所示，因為正四棱錐的底邊長為2，高為2，且各個頂點都在球的球面上，連接，且，則平面，，對于A中，在直角，，可得，所以，所以A正確；對于B中，設(shè)正四棱錐外接球的半徑為，在直角中，，可得，即，解得，則平面截球所得的截面圓的半徑為，所以截面圓的面積為，所以B錯誤；對于C中，由外接球的半徑為，所以球的體積為，所以C正確；對于D中，設(shè)等腰的外接圓的圓心，外接圓的半徑為，取的中點，連接，則點在上，且，在直角中，可得，即，解得，根據(jù)球的性質(zhì)，可得平面，在直角中，可得，即球心到平面的距離為，所以D正確.故選：ACD.47．如圖，兩個共底面的正四棱錐組成一個八面體，且該八面體的各棱長均相等，則（

）A．平面平面B．平面平面C．直線與平面所成角的正弦值是D．平面與平面夾角的余弦值是【答案】AD【分析】對于A，需證平面CDE與平面CDE；取中點，所以為二面角的平面角，求出此二面角不是直二面角，可判斷B；同理為二面角的平面角，可判定D;對于C，先證平面BEDF，故即為直線AE與平面BDE所成的角，求解即可.【詳解】連接AC交BD于點O，則點O為正方形ABCD的中心，由對稱性可知，，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面CDE，平面，所以平面，同理平面，又，AF，平面，所以平面平面，