高中數(shù)學講義微27 三角函數(shù)的值域

微專題27三角函數(shù)的值域與最值

、基礎知識

1、形如y=Asin(0x+”)解析式的求解：詳見“函數(shù)y=Asin(0X+o)解析式的求解”一節(jié),

本節(jié)只列出所需用到的三角公式

八、收w2l+cos2?.2l-cos2?

(1)降暴公式：cosa=------------,sina--------------

22

(2)2sinacosa=sin2a

(3)兩角和差的正余弦公式

sin(a+4)=sincos0+sin0cosa

sin(a—/)=sinacos力一sin夕cosa

cos(a+4)=cosacosA-sinasin/7

cos(a—分)=cosacos尸+sinasin尸

I--------b

(4)合角公式：asina+bcosa=yJa2+b2sin(^z+^),其中tan0=—

2、常見三角函數(shù)的值域類型：

(1)形如y=Asin(〃)x+o)的值域：使用換元法，設看=5+0，根據(jù)x的范圍確定，的范

圍，然后再利用三角函數(shù)圖像或單位圓求出0X+0的三角函數(shù)值，進而得到值域

例：求/(x)=2sin12x—?：xe一｝(的值域

7T7171,c7137r7i

解：設/=2x——當xe時，t—2x----€

4471

..rV2A/2-

..sintG---,—

22

.?J(x)e卜應，應］

(2)形如y=/(sinx)的形式，即y=與/=sinx的復合函數(shù)：通常先將解析式化簡為

同角同三角函數(shù)名的形式，然后將此三角函數(shù)視為一個整體，通過換元解析式轉變?yōu)槭煜さ?/p>

函數(shù)，再求出值域即可

7C2?

例：求/(%)=sin%—cos2%+2,%￡的值域

解：/(x)=sinx—(1一sin2x)+2=sin2x+sinx+1

設r=sinxxG——,一/.t€

632

廣產(chǎn)+,+1=。+」+。

-I24

33

.-.ye-,3,即的值域為-,3

(3)含三角函數(shù)的分式，要根據(jù)分子分母的特點選擇不同的方法，通常采用換元法或數(shù)形結

合法進行處理(詳見例5,例6)

二、典型例題

例1：已知向量4=(cos%,sinx+A/3cosx),B=(cosx-/sinx,—sinx),/(x)=a-b

(1)求函數(shù)的單調遞增區(qū)間

(2)當xe時，求了(%)的取值范圍

解：(1)f^x)=a-b=cosxlcos%-A/3sinx)+(sinx+A/3COSXj■(-sinX)

=cos2x-sin2x-2百sinxcosx

=cos2x-y/3sin2x=2cos2x+—

7i+2k兀<2x+—<2zr+Ikrc=>——\-k7i<x<g+左〃(keZ)

33

兀j57r7/jry\

單調遞增區(qū)間為:——\-kn.-----\-kn(keZ)

36v7

T[TTTT

(2)思路：由(1)可得：/(x)=2cos,從九￡--得到角2x+—的范圍,

643

進而求出了(%)的范圍

解：由(1)得：f(x)=2cos[^2x+y

yj>TU

,-.2xe——n2x+—e0,

323

731

/.cos2x+—G--------,1/(x)=2cos9+三〉[-"2]

I372

小煉有話說：對于形如/(%)=Asin(〃沈+0)的形式，通常可先計算出0￥+夕的范圍，再確

定其三角函數(shù)值的范圍

7C7T

例2：已知函數(shù)〃x)=cost2x-y1+2sinlxsinXH---

44

(1)求函數(shù)/(%)的最小正周期和圖像的對稱軸方程

JTTT

(2)求函數(shù)在區(qū)間-三'，萬的值域

717C

解：⑴/(X)=cost2x-y1+2sinlxsmXH---

44

、

1c百.cc

=-cos2x-\-----sin2x+2sinx----smx+也cosx

2222

7

=-cos2x+—sin2x+sin2x-cos2x

22

=-cos2x+—sin2x-cos2x=—sin2x--cos2x

2222

=sin(2x-7

JTJTJTKTT

：.T=7T對稱軸方程：2x--=-+k7T=>X=-+—(k&Z}

6232v'

7777

(2)思路：將2%—-視為一個整體，先根據(jù)x的范圍求出2%—-的范圍，再判斷其正弦值

66

的范圍

解：/("=sin(2x一(

冗nn5〃

*/xe■,-2x-ie

36

73

，/(x)=sin2x--e

I6丁

思路：解析式中的項種類過多，不利于化簡與分析，所以考慮盡量轉化為同一個角的某一個

三角函數(shù)。觀察可得cosX次數(shù)較低，所以不利于轉化，而sin?羽cos2%均可以用cosx進行

7

表示，確定核心項為cosx,解析式變形為y=cosx-（l—cos2x）—Qcos^x-1)+—,化簡

'4

后為y=一cos2x+cosx+a=—[cosx—wj+2,當COSX=5時，Vmax=2

答案：2

小煉有話說：當解析式無法化成y=Asin（。尤+o）的形式時，要考慮是否是三角函數(shù)與其他

函數(shù)的復合函數(shù)，進而要將某個三角函數(shù)作為核心變量，并將其余的三角函數(shù)用核心變量進

行表示，再將核心變量進行換元求出值域即可

例4：設函數(shù)/（X）=卜inx|+cos2x,若xe，則函數(shù)的最小值是

思路：同例4考慮將解析式中的項統(tǒng)一，cos2x=l-2sin2x=l-2|sinx|2,進而可將卜inx|

作為一個整體，通過換元來求值域。

解:f（x）=|sinx\+cos2x=|sinx\+l-2|sinx|2

y=—2/+/+1=—2（t—+-1,所以ye0,-1

所以最小值為y=0

答案：0

例5：函數(shù)〃x）=―X的值域為_____________

\）2+sinx

3T

思路：可將sinx視為研究對象，令％=sinxj￡,進而只需求y=——的值域即可。

解：令方=sinx,可得/￡卜1,1]

3-/5

?■-y=I77=-1+77I.」+2電3]

答案：-A

[3J

小煉有話說：要注意在工￡尺時sin%自身帶范圍，即

例6：函數(shù);'(x)=2—‘in*的值域為

COSX

O_Y0____Y

思路：可變形為〃尤)=----------,且---------可視為(0,2)與(cosx,sinx)連線的斜率左

0—cosx0—cosx

的取值范圍，(cosx,sinx)為單位圓上的一點，所以問題轉化為直線/:y=Ax+2與圓

2

/+y2=1有公共點的人的范圍。所以〃/=/W1,解得：左26或左〈—石，所

VFTT

以y(x)e(—00,-73]u[A+8)

答案：(一8,-6]

小煉有話說：(1)對比例5和例6,盡管都是同一個角的分式值域，但是例5的三角函數(shù)名相

同，所以可視為同一個量，利用換元求解，而例6的三角函數(shù)名不同，所以不能視為同一個

量。要采取數(shù)形結合的方式。

(2)本題還可利用方程與函數(shù)的關系求得值域，解法如下：

2-sinx八

y=-------nycosx+sinx=2

cosx

._____2

Jy'+lsin(n+夕)=2=sin(x+9)=/

.3+i

所以y的取值范圍(即值域)要能保證存在x使得等式成立

2

所以只需,<1

2<7/+1.解得：ye(—oo,—百]U[G,+°°)

例7：設函數(shù)/(x)=sin卜x+工],xe—三,a的值域是—工,1,則實數(shù)。的取值范圍是

TT萬c冗

思路：本題是已知值域求參數(shù)，所以考慮先帶著Q計算角2x+-的范圍為---,2aH——

666

17C7171

值域中最大值為1,所以說明一一,2a+—經(jīng)過一同時范圍不能超

2166」2

71TC7177r7171

過一萬（否則最小值就要小于—）,從而可得一<2a-\—<—,解得：一<a<一

6226662

卜八.1TCTC

答案：一V?！兑?/p>

62

例8：已知函數(shù)/（x）=acos2x—Z^sinxcosx—￡的最大值為:，且/>[]]=￥?,則

_V31一百D」或且

A.B.C.——或——

2一丁2424

思路：觀察至I7（%）的項具備齊二次的特點，所以想到將解析式化為Asin（（ox+（p）的形式，

通過變形可得：/（x）=+"sin（2x+0）,所以最大值為gJ。？+白=；，即

a2+b2=l?,再利用電可得：―二”軋二昱②,通過①②可解得：

（3）4444

的值為-工或

,進而求出f

24

2l+cos2x1_.a

解：/(%)=tzcosx-/?sinxcosx-^=a-------------psinzx——

222

=；(acos2x-Z?sio2%)=/{+/sin(2%+0)

所以可得：/(%)=->Ja+b2=-

^\/max22

o上石，「乃)2冗1.冗冗a1676

另一方面：/-=acos---Z?sin—cos-----=——a-----b=——

3332444

_昱

a1+b1=1a=0^~2

整理可得：\「r-

解得:<b=-V

a+N3bz3

時,

的值為---或1

24

2

口、“c兀q,皿￡(、l+cos2x+8sinx

例9：當0<尤<一時，函數(shù)fix)=-------------------的取小值為

思路一：考慮將所有項轉變?yōu)殛P于2%的三角函數(shù)，即

,、l+cos2x+4(l—cos2%)5—3cos2xqcos2.x

f(x\=-----------------------L=土上——-=-3■3---------,從而想到分式與斜率的

sin2%sin2%0-sin2%

5c

——cos2x

關系，&---------可視為

,(sin2x,cos2x),結合0<x<~可得(sin2x,cos2x)為單

sin2x°4

位圓半圓上的點，通過數(shù)形結合可得：最小值為4

思路二：考慮將所有項轉變?yōu)殛P于x的三角函數(shù)，則

f(x)=-------------------=-----------------=----------------,觀察到分子分母為齊

sin2x2cosxsinxcosxsin