高中數(shù)學(xué)試題：立體幾何

點、直線、平面之間的位置關(guān)系

一、選擇題

1.（2013?浙江高考）設(shè)m,n是兩條不同的直線，a,B是兩個不同的平面（）

A.若機〃a,n//a,則機

B.若機〃a,m//則a〃4

C.若m〃n,m,La,則

D.若機〃a,則機_1_6

【解析】可以借助正方體模型對四個選項分別剖析，得出正確結(jié)論.A項，

當(dāng)加〃a,〃〃a時，祖，”可能平行，可能相交，也可能異面，故錯誤；B項，

當(dāng)機〃a,機〃P時，a,夕可能平行也可能相交，故錯誤；C項，當(dāng)機〃“，m-La

時，n-i-a,故正確；D項，當(dāng)機〃a,aJ_p時，機可能與用平行，可能在夕內(nèi)，

也可能與夕相交，故錯誤.故選C.

【答案】C

2.（2013?青島模擬）已知機、n、/是三條不同的直線，a、氏/是三個不同的

平面，給出以下命題：

①若mUa,n//a,則機〃〃；

②若HiUa,a邛,aC0=1,m.Ll,則機_1_"；

③若"〃"z,mUa,貝！J“〃a；

④若a〃y,￡〃”則0（〃￡.

其中正確命題的序號是（）

A.②④B.②③C.③④D.①③

【解析】對于命題①，加、n可能是異面直線，故①錯；對于命題③，可

能有“Ua,故③錯；故選A.

【答案】A

3.（2013?天津模擬）已知/,機是兩條不同的直線，a,4是兩個不同的平面,

有下列五個命題：

①若IU0,且a〃.，則/〃a；

②若1邛,且a〃4，則/，a；

③若八夕，且則/〃a；

④aC夕=m，J=LI//m,則/〃a；

⑤若aCp=m，I//a,I//B，貝!]/〃帆

則所有正確命題的序號是（）

A.①③⑤B.②④⑤

C.①②⑤D.①②④

【解析】根據(jù)面面平行的性質(zhì)知，①②正確，⑤中由/〃a,/平行平面a

中的某條直線x,同理/平行平面夕中的某條直線y,從而x〃%所以y〃a,進

而y〃/n,故/〃加，所以⑤正確.故選C.

【答案】C

4.（2013?廣東高考）設(shè)機，〃是兩條不同的直線，a,4是兩個不同的平面，

下列命題中正確的是（）

A.若a_l_p,mUa,nU0,則m.Ln

B.若a〃夕，機Ua,nU§,則機〃“

C.若m_Ln,mUa,則

D.若機_La,m//n,n///i,貝!Ja_l_p

【解析】本題可以依據(jù)相應(yīng)的判定定理或性質(zhì)定理進行判斷，也可以借助

于長方體模型，利用模型中的直線和平面進行判斷.

如圖，在長方體A3CD—AiBCbDi中，平面BCCLBI，平面ABC。，3QU平

面BCC?3CU平面A5CD,而3。不垂直于3C,故A錯誤.

平面AiBCbDi〃平面A3CD,BLDIU平面AIBCLDI,ACU平面ABCD,但

BLDI和AC不平行，故B錯誤.

AB±AiDi,ABU平面A3CD,ALDC平面ALBCLDI,但平面AIBCLDI〃平

面A3CD,故C錯誤.故選D.

【答案】D

5.（2013?江西高考）如圖4—2—8,正方體的底面與正四面體的底面在同一

平面a上，且AB〃CD,正方體的六個面所在的平面與直線CE,ER相交的平面

個數(shù)分別記為m,n,那么m+n=（）

圖4—2—8

A.8B.9

C.10D.11

【解析】取CD的中點H,連接EH,HE在四面體CDER中，CgEH,

CD-LFH,所以CD，平面EEH,所以A3,平面EEH,所以正方體的左、右兩

個側(cè)面與ER平行，其余4個平面與ER相交，即咒=4.又因為CE與A3在同一

平面內(nèi)，所以CE與正方體下底面共面，與上底面平行，與其余四個面相交，即

m=4,所以m+“=4+4=8.

【答案】A

二、填空題

圖4—2—9

6.如圖4—2—9,在正方體ABCD—ALBICLDI中，M,N分別是棱CLDI,

CC的中點.以下四個結(jié)論：

①直線AM與直線CC相交；

②直線AM與直線BN平行；

③直線AM與直線DD\異面；

④直線3N與直線MBi異面.

其中正確結(jié)論為.（注：把你認(rèn)為正確的結(jié)論序號都填上）

【解析】由圖可知AM與CG是異面直線；AM與3N也是異面直線；AM

與。Di是異面直線；3N與MB也是異面直線，故①②錯誤，③④正確.

【答案】③④

7.（2013?黃岡模擬）給出下列命題：

①直線。與平面a不平行，則a與平面a內(nèi)的所有直線都不平行；

②直線a與平面a不垂直，則a與平面a內(nèi)的所有直線都不垂直；

③異面直線a,6不垂直，則過a的任何平面與6都不垂直；

④若直線a和人共面，直線。和c共面，則。和c共面.

其中錯誤的命題是.（只填序號）

【解析】對于命題①②，當(dāng)直線a在平面a內(nèi)時，結(jié)論不成立，故命題①

②錯；

對于命題③，假設(shè)過a的一個平面與5垂直，則異面直線a,6垂直與已知

矛盾.故命題③正確；

對于命題④，當(dāng)直線a和6平行，6與c相交時，a和c可能是異面直線，

故命題④錯誤.

【答案】①②④

8.（2013?安徽高考）如圖4—2—10,正方體A3CD—ALBICLDI的棱長為1,P

為的中點，Q為線段CCi上的動點，過點A,P,。的平面截該正方體所得

的截面記為S,則下列命題正確的是（寫出所有正確命題的編號）.

①當(dāng)0<CQ<，S為四邊形;

②當(dāng)CQ=g時，S為等腰梯形；

31

③當(dāng)CQ=I時，S與CiDi的交點R滿足CI7?=3；

3

④當(dāng)W<CQV1時，S為六邊形；

⑤當(dāng)CQ=1時，S的面積為坐.

【解析】①當(dāng)0VCQV；時，如圖（1）.

在平面AALDID內(nèi)，作AE〃尸Q,

顯然E在棱DDi上，連接E。,

貝US是四邊形APQE.

②當(dāng)CQ='時,如圖(2).

顯然尸?！?ci〃ADi,連接Di。，

則S是等腰梯形.

3

③當(dāng)CQ=i時，如圖(3).

作BF//PQ交CC的延長線于點F,則。聲=；.

作AE〃質(zhì)交DDi的延長線于點E,DiE=|,AE//PQ,

連接EQ交CiDi于點&由于RtARCiQ^RtARDiE,

：.CiQ：DiE=CiR：RD\=1：2,ACi7?=1.

3

④當(dāng)a〈CQVl時，如圖(3),連接RM(點〃為AE與ALDI交點)，顯然S

為五邊形APQRM.

⑤當(dāng)CQ=1時，如圖(4).

同③可作AE〃尸。交DDi的延長線于點E,交ALDI于點顯然點M為

4D1的中點，所以S為菱形APQM,其面積為gMPXAQ=gx小乂小=坐.

【答案】①②③⑤

三'解答題

9.(2013?江西高考)如圖4-2-11,直四棱柱A3CD—ALBICLDI中，A3〃CD,

ADLAB,AB=2,AD=?A4i=3,E為CD上一點、,DE=1,EC=3.

圖4—2—11

(1)證明：BE,平面331clC；

(2)求點Bi到平面EAiCi的距離.

【解】⑴證明過點5作CD的垂線交CD于點￡則

BF=AD=y12,EF=AB~DE=1,FC=2.

在RtABFE中,BE=y13.

在RtZiCRB中，BC=y[6.

在△BEC中，因為BE2+BC=9=EC2,故BELBC.

由3BJ平面ABCD,得BE±BBi,

所以BE，平面BBiCiC.

(2)連接BiE,則三棱錐E-AiBiCi的體積V=-jAAi-SAAiB]Ci=y[2.

在RtAAiDiCi中，AiCi=^/AIDT+DIC?=3^2.

同理，ECi=^EC2+CCT=3^2,

AIE=^/AIA2+AD2+DE2=273,

故SA4CiE=3小.

設(shè)點Bi到平面EAiCi的距離為d,

則三棱錐Bi-EAiCi的體積

V=^-d-S/\EAiCi=y/5d,

從而小d=爽,

10.(2013?濟南模擬)如圖4-2-12,斜三棱柱A1BCi—ABC中，側(cè)面AAiCiC

，底面ABC,底面ABC是邊長為2的等邊三角形，側(cè)面AAiCiC是菱形，ZAiAC

=60°,E、R分別是Ai。、A3的中點.

圖4-2-12

(1)求證：ECmABC；

(2)求三棱錐Ai—EFC的體積.

【解】證明(1)在平面A41cle內(nèi)，作AiOLAC,。為垂足.

因為NAiAC=60。，所以A0=；44i=5C,即。為AC的中點，所以。C觸

AiE.

因而EC觸40.因為側(cè)面A4CC底面ABC,交線為AC,AiO±AC,所以

4。，平面ABC.

所以ECABC.

(2)F到平面AiEC的距離等于3點到平面AiEC距離30長度的一半，而30

=小.

所以VAx—EFC=VF—AiEC=^SAAiEC-^BO

=*AiE-EC坐=畀/坐=/

11.(2013?青島模擬)如圖4—2—13,在長方形A3CD中，AB=2,BC=1,

E為CD的中點，R為AE的中點.現(xiàn)在沿AE將三角形ADE向上折起，在折起

的圖形中解答下列問題：

ABAB

圖4—2—13

(1)在線段A3上是否存在一點K,使3C〃平