第17講重難點拓展基本不等式的綜合問題（三大題型歸納分層練）

第17講重難點拓展：基本不等式的綜合問題【蘇教版2019必修一】目錄TOC\o"13"\h\z\u題型歸納 1題型01常數(shù)代換法求最值 1題型02消元法求最值 3題型03換元法求最值 6分層練習 9夯實基礎(chǔ) 9能力提升 18創(chuàng)新拓展 25題型01常數(shù)代換法求最值【解題策略】常數(shù)代換法解題的關(guān)鍵是通過代數(shù)式的變形，構(gòu)造和式或積式為定值的式子，然后利用基本不等式求解最值．應用此種方法求解最值時，應把“1”的表達式與所求最值的表達式相乘求積或相除求商【典例分析】【例1】（2324高一上·安徽·期末）已知正數(shù)，滿足，則的最小值是（

）A．6 B．16 C．20 D．18【答案】D【分析】將所求的式子乘以“1”，然后利用基本不等式求解即可.【詳解】因為正數(shù)，滿足，則，當且僅當，即時等號成立.故選：D【變式演練】【變式1】（2324高一上·河北滄州·期末）已知正數(shù)x，y滿足，則的最小值為（

）A．6 B． C． D．【答案】B【分析】借助基本不等式計算即可得.【詳解】，當且僅當，即時，等號成立，因此的最小值為.故選：B．【變式2】（2324高一下·黑龍江大慶·開學考試）若正數(shù)滿足，則的最小值為【答案】6【分析】先把已知變形為，再利用“1”的妙用，結(jié)合基本不等式求最值.【詳解】由得，所以，當且僅當，即時，等號成立.故答案為：6.【變式3】（2324高一上·甘肅·期末）已知.(1)求證：；(2)若，求的最小值.【答案】(1)證明見解析；(2)8.【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用基本不等式推理即得.（2）利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.【詳解】（1），則，當且僅當時取等號，所以.（2）由，且，得，當且僅當，即時取等號，所以當時，取得最小值8.題型02消元法求最值【解題策略】對含有多個變量的條件最值問題，若無法直接利用基本不等式求解，可嘗試減少變量的個數(shù)，即用其中一個變量表示另一個，再代入代數(shù)式中轉(zhuǎn)化為只含有一個變量的最值問題．【典例分析】【例2】（2324高一上·四川成都·期中）已知正實數(shù)a，b滿足，則的最大值為（

）A． B．1 C． D．【答案】D【分析】根據(jù)條件代入消去，變形后利用均值不等式求解.【詳解】由可得，所以，因為正實數(shù)a，b滿足，所以，故，當且僅當，即，故選：D【變式演練】【變式1】（2324高一上·湖南·階段練習）已知，且，當取最小值時，的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用基本不等式得到時，取最小值，此時消元得到，配方得到最大值；【詳解】因為，所以，所以，當且僅當，即時等號成立，所以，當時，取得最大值，最大值為.故選：D.【變式2】（2324高一上·廣東東莞·期末）若、，且，則的最大值為．【答案】/0.25【分析】由題意轉(zhuǎn)換成二次函數(shù)的最值來做即可.【詳解】由題意，，所以，所以等號成立當且僅當，即的最大值為.故答案為：.【變式3】（2122高一上·廣東深圳·階段練習）（1）已知，，且，若恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（2）已知，，，求的最小值．【答案】（1）；（2）【分析】（1）由題意可得，將展開利用基本不等式求出最小值即可求解；.【詳解】（1）因為恒成立，所以，由題意可知，當且僅當即，時等號成立，所以，所以，解得：，所以實數(shù)的取值范圍為：；（2）由x＋2y＋2xy＝8，可知y＝eq\f(8－x,2＋2x)，因為x>0，y>0，所以0<x<8.所以x＋2y＝x＋eq\f(8－x,x＋1)＝x＋eq\f(9－1－x,x＋1)＝x＋eq\f(9,x＋1)－1＝x＋1＋eq\f(9,x＋1)－2≥2eq\r(9)－2＝4，當且僅當x＋1＝eq\f(9,x＋1)，即x＝2時，等號成立．所以x＋2y的最小值為4.題型03換元法求最值【解題策略】換元法求最值的思路觀察已知與所求的結(jié)構(gòu)特點，通過配湊系數(shù)，合理的變換新元，將問題轉(zhuǎn)化為熟悉的模型，將問題明朗化，從而使問題得以解決【典例分析】【例3】（2324高一上·浙江·階段練習）已知實數(shù)x，y滿足，則的最大值為（

）A．1 B． C． D．2【答案】D【分析】利用換元得，即可變形為，利用不等式即可求解.【詳解】設(shè)，則，則由可得，化簡得，所以，所以，當且僅當時，等號成立，即或時等號成立，故，故選：D【變式演練】【變式1】（2324高一上·湖北黃岡·期中）已知，則函數(shù)的最大值為（

）A． B．7 C． D．【答案】A【分析】先令，將原式化為有關(guān)t的代數(shù)式，最后化簡，利用基本不等式即可求解.【詳解】因為，所以，設(shè)，則，，當且僅當即相當于時取等號，所以函數(shù)的最大值為是.故選：A【變式2】（2324高一上·云南迪慶·期末）已知二次函數(shù)，若對任意，若且不等式恒成立，則的最小值為．【答案】8【分析】根據(jù)一元二次不等式的解集性質(zhì)，結(jié)合換元法、基本不等式進行求解即可.【詳解】因為不等式恒成立，所以，可得，因為，所以由，設(shè)，因為，所以，則有當且僅當時取等號，即當時取等號，即當時取等號，故答案為：【點睛】關(guān)鍵點睛：本題的關(guān)鍵是根據(jù)一元二次不等式的解集性質(zhì)得到，進而利用換元法、基本不等式進行求解【變式3】．（2324高一上·江西南昌·階段練習）（1）已知，，且，求的最小值；（2）求函數(shù)的最小值．【答案】（1）3；（2）9．【分析】（1）依題意可得，則，利用基本不等式計算可得；（2）令，則，利用基本不等式計算可得；【詳解】（1）∵，，且，所以，則，當且僅當時等號成立，因此的最小值為3．（2）因為，所以，令，所以，所以，當且僅當，即時等號成立；所以函數(shù)的最小值為【夯實基礎(chǔ)】一、單選題1．（2324高一上·云南曲靖·期中）已知，，且，則的最大值為（

）A． B． C．1 D．【答案】C【分析】先變形，再利用基本不等式“1”的妙用即可得解.【詳解】由，可得，又由，可得，當且僅當時，即時，等號成立，所以，即的最大值為.故選：C.2．（2223高一上·遼寧大連·期末）若，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由已知可得，進而有，結(jié)合基本不等式求最大值，注意取值條件.【詳解】由題設(shè)，，而，，所以，所以且，又，當且僅當時取等號，所以，當且僅當時取等號，即目標式最大值為.故選：D3．（2324高一上·江蘇無錫·階段練習）若，且，的最小值為（

）A．15 B． C．17 D．【答案】C【分析】利用，可將消元為只含或只含的式子，再利用基本不等式求解.【詳解】∵，∴，其中，∴，又∵，∴，則，當且僅當即時，等號成立.∴的最小值為17.故選：C4．（2223高一上·重慶·期末）若正實數(shù)x，y滿足，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)等式計算得出1，再結(jié)合常值代換求和的最值，計算可得最大值.【詳解】,.故選:D.二、多選題5．（2324高一下·陜西西安·階段練習）下列說法正確的是（

）A．若，則的最大值是B．若都是正數(shù)，且，則的最小值是3C．若，則的最小值是3D．若實數(shù)滿足，則的最大值是4【答案】ABD【分析】利用基本不等式即可判斷A；根據(jù)基本不等式中“1”的整體代換即可判斷B；根據(jù)基本不等式即可判斷C；利用萬能“”法即可判斷D.【詳解】對于A，因為，所以，則，當且僅當，即時取等號，所以的最大值是，故A正確；對于B，由都是正數(shù)，且，得，則，當且僅當，即時取等號，所以的最小值是3，故B正確；對于C，若，則，所以，解得或（舍去），所以，當且僅當時取等號，所以的最小值是，故C錯誤；對于D，令，則，又，則，化簡得，所以，解得，所以的最大值是4，故D正確.故選：ABD.【點睛】易錯點睛：利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方.6．（2324高一上·江西撫州·期末）若正實數(shù)滿足，則下列結(jié)論中正確的有（

）A．的最小值為8．B．的最小值為C．的最大值為．D．的最小值為．【答案】ABC【分析】利用基本不等式求解最值判斷A，B，C，利用消元法結(jié)合二次函數(shù)求得最值判斷D.【詳解】A選項，因為，且，所以，所以，當且僅當時，等號成立，，當且僅當時，等號成立，故A正確；B選項，因為，當且僅當，即時取等號，故B項正確；C選項，，當且僅當時取等號，所以，所以的最大值為，故C項正確；D選項，因為，當且僅當時取等號，所以的最小值為，故D項錯誤．故選：ABC.【點睛】思路點睛：四個選項均要對所求式子進行變形，A，B，C選項利用“1”代換以及基本不等式求最值，同時也要注意取等條件是否成立，D選項由條件消元轉(zhuǎn)換成二次函數(shù)求最值.三、填空題7．（2324高一上·山東濟南·期中）若正數(shù)，滿足，則的最大值為．【答案】【分析】先利用基本不等式中“1”的妙用求得的取值范圍，從而求得的最大值.【詳解】因為正數(shù)，滿足，所以，即，則，當且僅當且，即時取等號，此時取得最小值9，則的最大值為．故答案為：8．（2324高一上·云南昭通·期末）已知實數(shù)，，且，則的最小值是．【答案】【分析】根據(jù)基本不等式在最值求解中的應用計算即可．【詳解】因為實數(shù)，，，則，當且僅當，即，時取等號．故答案為：．9．（2324高一上·湖北武漢·階段練習）已知正實數(shù)滿足，則的最大值為.【答案】【分析】由常數(shù)代換法，換元法，并利用基本不等式解決最值問題即可.【詳解】解：根據(jù)題意，由于，令，當時，由已知可得，所以；當時，則，令；，當且僅當，即，即時取等號，即的最大值.故答案為：.四、解答題10．（2324高一上·廣西南寧·階段練習）回答下列兩題：(1)已知，，且，求的最小值；(2)已知，求的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用“1”的妙用，變形為，利用基本不等式，即可求解；（2）變形后，直接利用基本不等式，即可求解.【詳解】（1）由題意可知，，當時，即，得時，等號成立，綜上可知，的最小值為；（2）原式，當時，等號成立，即，所以的最小值為.11．（2324高一上·四川達州·階段練習）已知a，b為正實數(shù)，且．(1)求ab的最大值；(2)求的最小值【答案】(1)2(2)【分析】（1）利用基本不等式即可求出ab的最大值；（2）利用基本不等式即可求出的最小值.【詳解】（1）由題意，a，b為正實數(shù)，且因為，當且僅當即時取等號，解得，即，故的最大值為2．（2）由題意及（1）得，a，b為正實數(shù)，且，∴，所以，當且僅當，即時取等號，∴的最小值為．【能力提升】一、單選題1．（2324高一上·湖南株洲·階段練習）已知：，且，則的最小值是（

）A．9 B．6 C．4 D．3【答案】A【分析】利用基本不等式的性質(zhì)，直接計算可得答案.【詳解】，，當且僅當時，即，由，得，即，可求出，即當時，不等式等號成立.故選：A2．（2324高一上·湖南長沙·階段練習）已知，則的最小值是（

）A．4 B．8 C．12 D．16【答案】D【分析】由基本不等式可得答案.【詳解】已知，則，，當且僅當，即時“”成立，故所求最小值是16.故選：D．3．（2324高一上·浙江·期末）已知，，且，則的最小值為（

）A．4 B．6 C．8 D．9【答案】D【分析】根據(jù)題意，以與為基本量加以整理，化簡后利用基本不等式算出答案.【詳解】由得，其中，，所以，當且僅當，即，則，時，等號成立，故的最小值為9.故選：D4．（2324高一上·安徽亳州·期末）已知，，則的最小值為（）A．8 B．4 C． D．【答案】A【分析】首先由條件可得，再變形，最后利用基本不等式，即可求解.【詳解】由，，可得，則則，當，得時，等號成立，所以的最小值為8.故選：A二、多選題5．（2324高一上·黑龍江大慶·期中）若正實數(shù)，滿足，則下列說法正確的是（）A．有最小值8 B．有最小值C．的最小值是4 D．的最小值是【答案】ACD【分析】變換，展開利用均值不等式計算得到A正確，直接利用均值不等式得到B錯誤C正確，消元利用二次函數(shù)性質(zhì)計算得到D正確，得到答案.【詳解】對選項A：，當且僅當，即，時等號成立，正確；對選項B：，，當且僅當，即，時等號成立，錯誤；對選項C：，當且僅當，即，時等號成立，正確；對選項D：，當時有最小值為，正確；故選：ACD6．（2324高一上·安徽合肥·階段練習）已知，且，則（

）A．的最大值為 B．的最大值是C．的最小值是8 D．的最小值是【答案】AC【分析】利用基本不等式判斷AC；利用基本不等式“1”的妙用判斷B，利用消元法與基本不等式判斷D.【詳解】對于A，，所以，，當且僅當時，等號成立，故A正確；對于B，，當且僅當，即時，等號成立，故B錯誤；對于C，，，當且僅當且，即時，等號成立，故C正確；對于D，由，得，由，得，，當且僅當，即時，等號成立，此時，矛盾，故等號取不到，故錯誤，故選：AC.【點睛】易錯點睛：在應用基本不等式求最值時，要把握不等式成立的三個條件，就是“一正——各項均為正；二定——積或和為定值；三相等——等號能否取得”，若忽略了某個條件，就會出現(xiàn)錯誤．三、填空題7．（2324高一上·安徽池州·期中）已知，若，則的最小值為.【答案】【分析】根據(jù)題意，化簡得到，設(shè)，求得，結(jié)合基本不等式，即可求解.【詳解】由，且，可得，則，設(shè)，可得且，可得，當且僅當時，即時，等號成立，所以的最小值為.故答案為：.8．（2223高一上·江蘇宿遷·階段練習）設(shè)為正實數(shù)，且，則的最小值為【答案】【分析】由題意可得，再根據(jù)基本不等式中“1”的整體代換即可得解.【詳解】由，得，則，當且僅當，即時等號成立，所以的最小值為.故答案為：.9．（2324高一上·浙江·期末）已知，則的最小值為．【答案】/【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合換元法，以及基本不等式的公式，即可求解．【詳解】因為，所以設(shè)，則，所以，，所以，當且僅當時，即時等號成立，所以的最小值為．故答案為：．四、解答題10．（2324高一上·新疆烏魯木齊·階段練習）已知.(1)若與均為正數(shù)，求的最大值；(2)若與均為負數(shù)，求的最小值.【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用基本不等式求解即得.（2）利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.【詳解】（1）因為，，則，即，當且僅當，即時取等號，所以當時，取得最大值.（2）由與均為負數(shù)，得，因此，當且僅當，即，時取等號，所以當時，取得最小值.11．（2324高一上·上海浦東新·期中）設(shè)x、y、z為互不相同的實數(shù)，對于﹐(1)令，用a、b表示(2)求的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)，消去y即可得結(jié)果；（2）令，由（1）整理可得，結(jié)合常用不等式分析求解.【詳解】（1）因為，可得，整理得.（2）令，由（1）可得：，即，因為，當且僅當時，等號成立，，當且僅當時，等號成立，，當且僅當時，等號成立，可得，當且僅當，等號成立，即，則，可得，即，所以的最小值為【創(chuàng)新拓展】一、單選題1．（2223高一上·天津·期末）若實數(shù)，且，則的最小值為（

）A．2 B． C． D．【答案】D【分析】由題意可得，再根據(jù)基本不等式中“1”的整體代換即可得解.【詳解】因為，所以，由，得，則，當且僅當，即時，取等號，所以的最小值為.故選：D.二、多