2022-2023學年北京市101中學八年級（下）期中數(shù)學試卷

第1頁（共1頁）2022-2023學年北京市101中學八年級（下）期中數(shù)學試卷一、選擇題（本題共30分，每小題3分）1．（3分）如果在實數(shù)范圍內有意義，那么x的取值范圍是（）A．x＞1 B．x≥l C．x≤1 D．x＜12．（3分）下列各式中，運算正確的是（）A． B． C． D．3．（3分）在平行四邊形ABCD中，∠D＝120°，則∠A的度數(shù)等于（）A．120° B．30° C．40° D．60°4．（3分）判斷下列四組數(shù)據(jù)，可以作為直角三角形三條邊長的是（）A．0.3，0.4，0.5 B．，， C．3+n，4+n，5+n（n＞0） D．1，2，35．（3分）如圖，兩個邊長為1的正方形整齊地排列在數(shù)軸上形成一個大的長方形，以O點為圓心，以長方形的對角線長度為半徑作圓與數(shù)軸有兩個交點，其中點P表示的數(shù)是（）A． B． C．2.2 D．6．（3分）如圖，在平行四邊形ABCD中，DE平分∠ADC，AD＝6，BE＝2，則平行四邊形ABCD的周長是（）A．16 B．18 C．20 D．247．（3分）若直角三角形的兩邊長分別為a、b，且滿足，則該直角三角形的第三邊長為（）A．5 B．5或 C．4 D．或48．（3分）四邊形ABCD的對角線AC、BD交于點O，下列條件不能判定四邊形ABCD為平行四邊形的是（）A．∠BAD＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC B．∠ABC＝∠ADC，AB∥CD C．AB∥CD，OB＝OD D．AB＝CD，OA＝OC9．（3分）如圖，一只螞蟻從點A出發(fā)沿著圓柱體的側面爬行到點B，圓柱體的底面周長是24厘米，圓柱體的高是5厘米，則螞蟻爬行的最短距離為（）A．13厘米 B．17厘米 C．厘米 D．5厘米10．（3分）如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC、BD交于點O，AE平分∠BAD交BC于點E，且∠ADC＝60°，AB＝BE，連接OE．下列結論中不成立的是（）A．∠CAD＝30° B．S平行四邊形ABCD＝AB?AC C．OB＝AB D．二、填空題（本題共18分，每小題3分）11．（3分）命題“全等三角形的面積相等”的逆命題是命題．（填入“真”或“假”）12．（3分）比較大?。?（填“＞”，“＜”或“＝”）．13．（3分）如圖，平行四邊形OABC的頂點O，A，C的坐標分別是（0，0），（3，0），（2，3），則頂點B的坐標是．14．（3分）如圖，?ABCD的對角線AC、BD交于點O，點E是AD的中點，△BCD的周長為18，則△DEO的周長是．15．（3分）如圖，在平行四邊形ABCD中，E為CD上一點，將△ADE沿AE折疊至△ADE'處，AD'與CE交于點F．若∠B＝52°，∠DAE＝20°，∠AEC的度數(shù)為．16．（3分）如圖所示的一張直角三角形紙片，其中∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，點D、E分別是AC、AB邊的中點，先將紙片沿DE剪開，然后再將兩部分拼成一個四邊形，則所得四邊形的周長是．三、解答題（本題共52分，第17、18、19、21、22題，每小題4分，第24題3分；第20、23、25題，每小題4分，第26、27題，每小題4分）17．（4分）計算：．18．（4分）計算：÷+（+）（﹣）19．（4分）已知，求代數(shù)式x2﹣2x+1的值．20．（5分）已知：△ABC．求作：直線AD，使得AD∥BC．作法：如圖．①分別以點A、點C為圓心，大于AC長為半徑畫弧，兩弧相交于點M、點N；②作直線MN交AC于點E；③以點E為圓心，BE長為半徑畫弧，交射線BE于點D；④作直線AD．所以直線AD就是所求作的直線．（1）使用直尺和圓規(guī)，補全圖形；（保留作圖痕跡）（2）完成下面的證明．證明：連接CD．∵AE＝．BE＝．∴四邊形ABCD是平行四邊形．（）（填推理的依據(jù)）．∴AD∥BC（）（填推理的依據(jù)）．21．（4分）如圖，平行四邊形ABCD，E、F兩點在對角線BD上，且BE＝DF，連接AE，EC，CF，F(xiàn)A．求證：四邊形AECF是平行四邊形．22．（4分）明朝數(shù)學家程大位在他的著作《算法統(tǒng)宗》中寫了一首計算秋千繩索長度的詞《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺離地．送行二步恰竿齊，五尺板高離地…”翻譯成現(xiàn)代文為：如圖，秋千OA靜止的時候，踏板離地高一尺（AC＝1尺），將它往前推進兩步（EB＝10尺），此時踏板升高離地五尺（BD＝5尺），求秋千繩索（OA或OB）的長度．23．（5分）一塊等腰直角三角尺ABC按照如圖所示方式放置．直角頂點C在直線m上，分別過點A、B，作AE⊥直線m于點E，BD⊥直線m于點D．（1）求證：EC＝DB；（2）若設△AEC三邊分別為a、b、c．請你利用此圖證明勾股定理．24．（3分）如圖，正方形網(wǎng)格中的每個小正方形邊長都為1，每個小格的頂點叫做格點，以格點為頂點按下列要求畫圖（不需要寫畫法）．（1）在圖中畫一個△ABC，使其三邊長分別為，，；（2）在（1）的條件下，計算：S△ABC＝；BC邊上的高為；（直接寫出結果）．25．（5分）如圖，在四邊形ABCD中，∠ACB＝∠CAD＝90°，點E在BC上，AE∥DC．（1）求證：四邊形AECD是平行四邊形；（2）若∠B＝30°，AE平分∠BAC，AD＝2，求AB的長．26．（7分）已知平行四邊形ABCD中，AE⊥BC于點E，AE＝AD．（1）如圖1，若DF平分∠ADC交線段AE于點F．①當BE＝2，∠ADC＝60°時，CD＝，AF＝；②如圖2，若0°＜∠ADC＜90°，且∠ADC≠60°，試探究線段CD，AF，BE之間的數(shù)量關系，并證明；（2）如圖3，若點P為線段AD上一動點，EP⊥PM，EP＝PM．連接AM，點Q是AM中點，且AD＝2，當點P從A點運動到D點時，點Q的運動路徑長為．（直接寫出答案）27．（7分）已知點E和圖形G，Q為圖形G上一點，若存在點P，使得點E為線段PQ的中點（P，Q不重合），則稱點P為圖形G關于點E的雙倍點．如圖，在平面直角坐標系中，點A（﹣1，1），B（﹣2，﹣1），C（0，﹣1），D（1，1）．（1）若點E的坐標為（﹣3，0），則在P1（﹣4，0），P2（﹣5，2），P3（﹣6，1），P4（﹣7，﹣1）是四邊形ABCD關于點E的雙倍點的是；（2）點N的坐標為（﹣3，t），若在二四象限角平分線上存在四邊形ABCD關于點N的雙倍點，直接寫出t的取值范圍；（3）點M為四邊形ABCD邊上的一個動點，平行于二、四象限角平分線的直線交x軸于點F（a，0），與y軸交于點H（0，b），若線段FH上的所有點均可成為四邊形ABCD關于M的雙倍點，直接寫出b的取值范圍．

2022-2023學年北京市101中學八年級（下）期中數(shù)學試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本題共30分，每小題3分）1．（3分）如果在實數(shù)范圍內有意義，那么x的取值范圍是（）A．x＞1 B．x≥l C．x≤1 D．x＜1【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件得到x﹣1≥0，然后解不等式即可．【解答】解：根據(jù)題意得x﹣1≥0，解得x≥1，即x的取值范圍是x≥1．故選：B．【點評】本題考查了二次根式有意義的條件：二次根式中被開方數(shù)的取值范圍．二次根式中的被開方數(shù)是非負數(shù)．2．（3分）下列各式中，運算正確的是（）A． B． C． D．【分析】計算出各個選項中式子的正確結果，即可判斷哪個選項符合題意．【解答】解：3﹣＝2，故選項A錯誤，不符合題意；＝2，故選項B錯誤，不符合題意；2+不能合并，故選項C錯誤，不符合題意；＝＝4，故選項D正確，符合題意；故選：D．【點評】本題考查二次根式的混合運算，熟練掌握運算法則是解答本題的關鍵．3．（3分）在平行四邊形ABCD中，∠D＝120°，則∠A的度數(shù)等于（）A．120° B．30° C．40° D．60°【分析】根據(jù)平行四邊形的鄰角互補即可得出∠A的度數(shù)．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∴∠A＝180°﹣∠D＝60°．故選：D．【點評】本題考查平行四邊形的性質，比較簡單，解答本題的關鍵是掌握平行四邊形的對角相等，鄰角互補．4．（3分）判斷下列四組數(shù)據(jù)，可以作為直角三角形三條邊長的是（）A．0.3，0.4，0.5 B．，， C．3+n，4+n，5+n（n＞0） D．1，2，3【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理進行計算，逐一判斷即可解答．【解答】解：A、∵0.42+0.32＝0.25，0.52＝0.25，∴0.42+0.32＝0.52，∴能構成直角三角形，故A符合題意；B、∵（）2+（）2＝7，（）2＝5，∴（）2+（）2≠（）2，∴不能構成直角三角形，故B不符合題意；C、∵（3+n）2+（4+n）2＝2n2+14n+25，（5+n）2＝25+10n+n2，∴（3+n）2+（4+n）2≠（5+n）2，∴不能構成直角三角形，故C不符合題意；D、∵1+2＝3，∴不能構成三角形，故D不符合題意；故選：A．【點評】本題考查了勾股定理的逆定理，熟練掌握勾股定理的逆定理是解題的關鍵．5．（3分）如圖，兩個邊長為1的正方形整齊地排列在數(shù)軸上形成一個大的長方形，以O點為圓心，以長方形的對角線長度為半徑作圓與數(shù)軸有兩個交點，其中點P表示的數(shù)是（）A． B． C．2.2 D．【分析】根據(jù)勾股定理求得OP，再根據(jù)數(shù)軸上的點表示的數(shù)解決此題．【解答】解：由題意得，OP＝．∴以長方形的對角線長度為半徑作圓與數(shù)軸有兩個交點，分別為和．∵P在數(shù)軸原點的右側，∴P表示的數(shù)為．故選：B．【點評】本題主要考查勾股定理、數(shù)軸上點表示的數(shù)，熟練掌握勾股定理、數(shù)軸上的點表示的數(shù)是解決本題的關鍵．6．（3分）如圖，在平行四邊形ABCD中，DE平分∠ADC，AD＝6，BE＝2，則平行四邊形ABCD的周長是（）A．16 B．18 C．20 D．24【分析】根據(jù)角平分線的定義以及兩直線平行，內錯角相等求出∠CDE＝∠CED，再根據(jù)等角對等邊的性質可得CE＝CD，然后利用平行四邊形對邊相等求出CD、BC的長度，再求出?ABCD的周長．【解答】解：∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE，∵?ABCD中，AD∥BC，∴∠ADE＝∠CED，∴∠CDE＝∠CED，∴CE＝CD，∵在?ABCD中，AD＝6，BE＝2，∴AD＝BC＝6，∴CE＝BC﹣BE＝6﹣2＝4，∴CD＝AB＝4，∴?ABCD的周長＝6+6+4+4＝20．故選：C．【點評】本題考查了平行四邊形對邊平行，對邊相等的性質，角平分線的定義，等角對等邊的性質，是基礎題，準確識圖并熟練掌握性質是解題的關鍵．7．（3分）若直角三角形的兩邊長分別為a、b，且滿足，則該直角三角形的第三邊長為（）A．5 B．5或 C．4 D．或4【分析】根據(jù)非負數(shù)的性質列出方程求出a、b的值，根據(jù)勾股定理即可得到結論．【解答】解：∵，∴a2﹣6a+9＝0，b﹣4＝0，∴a＝3，b＝4，當4是直角三角形的直角邊時，直角三角形的第三邊長＝＝5；當4是直角三角形的斜邊時，直角三角形的第三邊長＝＝，∴直角三角形的第三邊長為5或．故選：B．【點評】本題考查了勾股定理，非負數(shù)的性質：幾個非負數(shù)的和為0時，這幾個非負數(shù)都為0．8．（3分）四邊形ABCD的對角線AC、BD交于點O，下列條件不能判定四邊形ABCD為平行四邊形的是（）A．∠BAD＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC B．∠ABC＝∠ADC，AB∥CD C．AB∥CD，OB＝OD D．AB＝CD，OA＝OC【分析】根據(jù)題意畫出圖形，然后根據(jù)平行四邊形的判定定理逐項分析判斷即可．【解答】解：如圖，A．∵∠BAD＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，故此選項不符合題意；B．∵∠ABC＝∠ADC，AB∥CD，∴∠BAD+∠ADC＝180°，∠DCB+∠ABC＝180°，∴∠BAD＝∠BCD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，故此選項不符合題意；C．∵AB∥CD，OB＝OD，∴∠ABO＝∠CDO，∵∠AOB＝∠COD，∴△ABO≌△CDO，∴AB＝CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，故此選項不符合題意；D．AB＝CD，OA＝OC不能判定四邊形ABCD是平行四邊形，故此選項符合題意；故選：D．【點評】本題主要考查了平行四邊形的判定，關鍵是掌握（1）兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形．（2）兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形．（3）一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．（4）兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形．（5）對角線互相平分的四邊形是平行四邊形．9．（3分）如圖，一只螞蟻從點A出發(fā)沿著圓柱體的側面爬行到點B，圓柱體的底面周長是24厘米，圓柱體的高是5厘米，則螞蟻爬行的最短距離為（）A．13厘米 B．17厘米 C．厘米 D．5厘米【分析】將圓柱的側面展開，得到一個長方形，再然后利用兩點之間線段最短解答．【解答】解：如圖所示：由于圓柱體的底面周長為24cm，則AC＝24×＝12（cm）．又因為BC＝5cm，所以AB＝＝13（cm）．故螞蟻爬行的最短距離為13cm．故選：A．【點評】此題主要考查了平面展開圖的最短路徑問題，將圓柱的側面展開，構造出直角三角形是解題的關鍵．10．（3分）如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC、BD交于點O，AE平分∠BAD交BC于點E，且∠ADC＝60°，AB＝BE，連接OE．下列結論中不成立的是（）A．∠CAD＝30° B．S平行四邊形ABCD＝AB?AC C．OB＝AB D．【分析】由?ABCD中，∠ADC＝60°，易得△ABE是等邊三角形，又由AB＝BC，證得選項A：∠CAD＝30°；繼而證得AC⊥AB，得選項B：S?ABCD＝AB?AC；可得OE是三角形的中位線，證得選項D：OE＝BC．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠ABC＝∠ADC＝60°，∠BAD＝120°，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠EAD＝60°．∴△ABE是等邊三角形，∴AE＝AB＝BE，∵AB＝BC，∴AE＝BC，∴∠BAC＝90°，∴∠CAD＝30°，故選項A不符合題意；∵AC⊥AB，∴S?ABCD＝AB?AC，故選項B不符合題意；∵AB＝BC，OB＝BD，∵BD＞BC，∴AB≠OB，故選項C符合題意；∵∠CAD＝30°，∠AEB＝60°，AD∥BC，∴∠EAC＝∠ACE＝30°，∴AE＝CE，∴BE＝CE，∵OA＝OC，∴OE＝AB＝BC，故選項D不符合題意．故選：C．【點評】此題考查了平行四邊形的性質、三角形中位線的性質以及等邊三角形的判定與性質．注意證得△ABE是等邊三角形，OE是△ABC的中位線是關鍵．二、填空題（本題共18分，每小題3分）11．（3分）命題“全等三角形的面積相等”的逆命題是假命題．（填入“真”或“假”）【分析】把一個命題的條件和結論互換就得到它的逆命題．分析是否為真命題，需要分別分析各題設是否能推出結論，如果能就是真命題．【解答】解：“全等三角形的面積相等”的逆命題是“面積相等的三角形是全等三角形”，根據(jù)全等三角形的定義，不符合要求，因此是假命題．【點評】本題考查了互逆命題的知識，兩個命題中，如果第一個命題的條件是第二個命題的結論，而第一個命題的結論又是第二個命題的條件，那么這兩個命題叫做互逆命題．其中一個命題稱為另一個命題的逆命題．12．（3分）比較大?。海?（填“＞”，“＜”或“＝”）．【分析】先估算2的值，然后判斷即可．【解答】解：∵1＜＜2，∴2＜2＜4，∴2＜4．故答案為：＜．【點評】本題考查了實數(shù)的大小比較，算術平方根，熟練準確估算無理數(shù)的大小是解題的關鍵．13．（3分）如圖，平行四邊形OABC的頂點O，A，C的坐標分別是（0，0），（3，0），（2，3），則頂點B的坐標是（5，3）．【分析】根據(jù)“平行四邊形的對邊平行且相等的性質”得到點B的縱坐標與點C的縱坐標相等，且BC＝OA即可得到結論．【解答】解：如圖，在?OABC中，O（0，0），A（3，0），∴OA＝BC＝3，又∵BC∥AO，∴B的橫坐標為：2+3＝5，點B的縱坐標與點C的縱坐標相等，∴B（5，3）；故答案為：（5，3）．【點評】本題考查了平行四邊形的性質和坐標與圖形性質．此題充分利用了“平行四邊形的對邊相互平行且相等”的性質．14．（3分）如圖，?ABCD的對角線AC、BD交于點O，點E是AD的中點，△BCD的周長為18，則△DEO的周長是9．【分析】根據(jù)平行四邊形的性質得出DE＝AD＝BC，DO＝BD，AO＝CO，求出OE＝CD，求出△DEO的周長是DE+OE+DO＝（BC+DC+BD），代入求出即可．【解答】解：∵E為AD中點，四邊形ABCD是平行四邊形，∴DE＝AD＝BC，DO＝BD，AO＝CO，∴OE＝CD，∵△BCD的周長為18，∴BD+DC+BC＝18，∴△DEO的周長是DE+OE+DO＝（BC+DC+BD）＝×18＝9，故答案為：9．【點評】本題考查了平行四邊形的性質，三角形的中位線的應用，解此題的關鍵是求出DE＝BC，DO＝BD，OE＝DC．15．（3分）如圖，在平行四邊形ABCD中，E為CD上一點，將△ADE沿AE折疊至△ADE'處，AD'與CE交于點F．若∠B＝52°，∠DAE＝20°，∠AEC的度數(shù)為72°．【分析】由平行四邊形的性質得出∠D＝∠B＝53°，由折疊的性質得：∠D′＝∠D＝52°，∠EAD′＝∠DAE＝20°，由三角形的外角性質求出∠AEF＝72°．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠D＝∠B＝52°，由折疊的性質得：∠D′＝∠D＝52°，∠EAD′＝∠DAE＝20°，∴∠AEC＝∠D+∠DAE＝52°+20°＝72°；故答案為：72°．【點評】本題考查了平行四邊形的性質、折疊的性質、三角形的外角性質以及三角形內角和定理；熟練掌握平行四邊形的性質和折疊的性質，是解決問題的關鍵．16．（3分）如圖所示的一張直角三角形紙片，其中∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，點D、E分別是AC、AB邊的中點，先將紙片沿DE剪開，然后再將兩部分拼成一個四邊形，則所得四邊形的周長是或8．【分析】根據(jù)已知先求出AB＝4，AC＝2，再根據(jù)中位線的性質可得CD＝AD＝，AE＝BE＝2，DE＝1，然后拼圖，出現(xiàn)兩種情況，一種是拼成一個矩形，另一種拼成一個平行四邊形，進而算出周長即可．【解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，∴AB＝4，AC＝2，∵圖中所示的中位線剪開，∴CD＝AD＝，AE＝BE＝2，DE＝1，如圖所示：拼成一個矩形，矩形周長為：2+2++＝4+2；如圖所示，可以拼成一個平行四邊形，周長為：2+2+2+2＝8，故答案為：或8．【點評】此題主要考查了圖形的剪拼，關鍵是根據(jù)畫出圖形，要考慮全面，不要漏解．三、解答題（本題共52分，第17、18、19、21、22題，每小題4分，第24題3分；第20、23、25題，每小題4分，第26、27題，每小題4分）17．（4分）計算：．【分析】先化簡，去括號，再算加減即可．【解答】解：＝2＝．【點評】本題主要考查二次根式的加減法，解答的關鍵是對相應的運算法則的掌握．18．（4分）計算：÷+（+）（﹣）【分析】根據(jù)二次根式的除法和平方差公式可以化簡題目中的式子，然后再合并同類項即可解答本題．【解答】解：÷+（+）（﹣）＝＝3+7﹣5＝5．【點評】本題考查二次根式的混合運算，解題的關鍵是明確二次根式的混合運算的計算方法．19．（4分）已知，求代數(shù)式x2﹣2x+1的值．【分析】將所求的代數(shù)式利用完全平方公式進行因式分解，然后代入求值．【解答】解：，∴x2﹣2x+1＝（x﹣1）2＝（+1﹣1）2＝5．即x2﹣2x+1＝5．【點評】本題主要考查了二次根式的化簡求值，二次根式的化簡求值，一定要先化簡再代入求值．20．（5分）已知：△ABC．求作：直線AD，使得AD∥BC．作法：如圖．①分別以點A、點C為圓心，大于AC長為半徑畫弧，兩弧相交于點M、點N；②作直線MN交AC于點E；③以點E為圓心，BE長為半徑畫弧，交射線BE于點D；④作直線AD．所以直線AD就是所求作的直線．（1）使用直尺和圓規(guī)，補全圖形；（保留作圖痕跡）（2）完成下面的證明．證明：連接CD．∵AE＝EC．BE＝ED．∴四邊形ABCD是平行四邊形．（對角線互相平分的四邊形是平行四邊形）（填推理的依據(jù)）．∴AD∥BC（平行四邊形的對邊平行）（填推理的依據(jù)）．【分析】（1）根據(jù)要求作出圖形即可；（2）證明四邊形ABCD是平行四邊形，可得結論．【解答】（1）解：如圖，直線AD即為所求；（2）證明：連接CD．∵AE＝EC．BE＝ED．∴四邊形ABCD是平行四邊形（對角線互相平分的四邊形是平行四邊形），∴AD∥BC（平行四邊形的對邊平行），故答案為：EC，ED，對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，平行四邊形的對邊平行．【點評】本題考查作圖﹣基本作圖，平行四邊形的判定和性質等知識，解題的關鍵是熟練掌握五種基本作圖，屬于中考?？碱}型．21．（4分）如圖，平行四邊形ABCD，E、F兩點在對角線BD上，且BE＝DF，連接AE，EC，CF，F(xiàn)A．求證：四邊形AECF是平行四邊形．【分析】根據(jù)兩條對角線相互平分的四邊形是平行四邊形即可證明四邊形AECF是平行四邊形．【解答】證明：連接AC交BD于點O，∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴OA＝OC，OB＝OD．∵BE＝DF，∴OE＝OF．∴四邊形AECF為平行四邊形．【點評】平行四邊形的判定方法共有五種，應用時要認真領會它們之間的聯(lián)系與區(qū)別，同時要根據(jù)條件合理、靈活地選擇方法．22．（4分）明朝數(shù)學家程大位在他的著作《算法統(tǒng)宗》中寫了一首計算秋千繩索長度的詞《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺離地．送行二步恰竿齊，五尺板高離地…”翻譯成現(xiàn)代文為：如圖，秋千OA靜止的時候，踏板離地高一尺（AC＝1尺），將它往前推進兩步（EB＝10尺），此時踏板升高離地五尺（BD＝5尺），求秋千繩索（OA或OB）的長度．【分析】設OA＝OB＝x尺，表示出OE的長，在直角三角形OEB中，利用勾股定理列出關于x的方程，求出方程的解即可得到結果．【解答】解：設OA＝OB＝x尺，∵EC＝BD＝5尺，AC＝1尺，∴EA＝EC﹣AC＝5﹣1＝4（尺），OE＝OA﹣AE＝（x﹣4）尺，在Rt△OEB中，OE＝（x﹣4）尺，OB＝x尺，EB＝10尺，根據(jù)勾股定理得：x2＝（x﹣4）2+102，整理得：8x＝116，即2x＝29，解得：x＝14.5．則秋千繩索的長度為14.5尺．【點評】此題考查了勾股定理的應用，熟練掌握勾股定理是解本題的關鍵．23．（5分）一塊等腰直角三角尺ABC按照如圖所示方式放置．直角頂點C在直線m上，分別過點A、B，作AE⊥直線m于點E，BD⊥直線m于點D．（1）求證：EC＝DB；（2）若設△AEC三邊分別為a、b、c．請你利用此圖證明勾股定理．【分析】（1）通過AAS證得△CAE≌△BCD，根據(jù)全等三角形的對應邊相等證得結論；（2）利用等面積法證得勾股定理．【解答】（1）證明：∵∠ACB＝∠AEC＝∠BDC＝90°，∴∠ACE+∠BCD＝90°，∵∠ACE+∠CAE＝90°，∴∠CAE＝∠BCD，在△AEC與△CDB中，，∴△AEC≌△CDB（AAS），∴EC＝DB；（2）解：∵△AEC三邊分別為a、b、c．∴DB＝EC＝a，CD＝AE＝b，AC＝BC＝c，∴，∵，∴，∴a2+b2＝c2．【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質，勾股定理的證明，解本題的關鍵是判斷兩三角形全等．24．（3分）如圖，正方形網(wǎng)格中的每個小正方形邊長都為1，每個小格的頂點叫做格點，以格點為頂點按下列要求畫圖（不需要寫畫法）．（1）在圖中畫一個△ABC，使其三邊長分別為，，；（2）在（1）的條件下，計算：S△ABC＝2；BC邊上的高為；（直接寫出結果）．【分析】（1）利用數(shù)形結合的思想作出圖形即可；（2）利用分割法求出三角形的面積，再求出高．【解答】（1）解：如圖，△ABC即為所求作（答案不唯一）．（2）△ABC的面積＝2×3﹣×1×1﹣×1×3﹣×2×2＝2．作AH⊥BC于點H，∵?BC?AH＝2，∴AH＝．故答案為：2；．【點評】本題考查作圖﹣應用與設計作圖，勾股定理，三角形的面積等知識，解題的關鍵是學會利用數(shù)形結合的思想解決問題．25．（5分）如圖，在四邊形ABCD中，∠ACB＝∠CAD＝90°，點E在BC上，AE∥DC．（1）求證：四邊形AECD是平行四邊形；（2）若∠B＝30°，AE平分∠BAC，AD＝2，求AB的長．【分析】（1）證AD∥BC，再由平行四邊形的判定即可得出結論；（2）由平行四邊形的性質得EC＝AD＝2，再由含30°角的直角三角形的性質得AE＝2EC＝4，進而由勾股定理得AC＝2，然后由含30°角的直角三角形的性質即可得出結論．【解答】（1）證明：∵∠ACB＝∠CAD＝90°，∴AD∥BC，又∵AE∥DC，∴四邊形AECD是平行四邊形；（2）解：由（1）可知，四邊形AECD是平行四邊形，∴EC＝AD＝2，∵∠B＝30°，∴∠BAC＝90°﹣∠B＝60°，∵AE平分∠BAC，∴，∴AE＝2EC＝4，在Rt△AEC中，由勾股定理得：AC＝＝＝2，∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴，即AB的長為4．【點評】本題考查了平行四邊形的判定與性質、含30°角的直角三角形的性質、平行線的判定以及勾股定理等知識，熟練掌握平行四邊形的判定與性質是解題的關鍵．26．（7分）已知平行四邊形ABCD中，AE⊥BC于點E，AE＝AD．（1）如圖1，若DF平分∠ADC交線段AE于點F．①當BE＝2，∠ADC＝60°時，CD＝4，AF＝2；②如圖2，若0°＜∠ADC＜90°，且∠ADC≠60°，試探究線段CD，AF，BE之間的數(shù)量關系，并證明；（2）如圖3，若點P為線段AD上一動點，EP⊥PM，EP＝PM．連接AM，點Q是AM中點，且AD＝2，當點P從A點運動到D點時，點Q的運動路徑長為．（直接寫出答案）【分析】（1）①由平行四邊形的性質得BC∥AD，∠B＝∠ADC＝60°，則∠AEB＝∠DAF＝90°，因為∠EAB＝30°，CD＝AB＝2BE＝4；再證明△AEB≌△DAF，得AF＝BE＝2，于是得到問題的答案；②延長FA到K，使KA＝BE，連結DK，可證明△DAK≌△AEB，則DK＝AB＝CD，∠ADK＝∠EAB＝90°﹣∠B＝90°﹣∠ADC，可推導出∠KDF＝∠KFD＝90°﹣∠ADC，則AF+BE＝FK＝DK＝CD；（2）連接DE，作DL⊥DE交BC的延長線于點L，先求得DE＝＝2，∠ADE＝∠AED＝45°，再證明∠DLE＝∠DEL＝45°，則DL＝DE＝2；作MH⊥AD交AD的延長線于點H，連接DM，可證明△APE≌△HMP，得AP＝HM，AE＝HP，可推導出HM＝HD，則∠HDM＝∠HMD＝45°，而∠HDL＝∠DLE＝45°，可知DM與DL重合，即點M在DL上運動，取AD的中點G，連接DQ，則GQ∥DM，GQ＝DM，所以∠DGQ＝∠HDL＝45°，可知點Q在經(jīng)過AD的中點且與DL平行的直線上運動，當點P與點D重合時，DM＝DL＝2，此時GQ＝DM＝，所以點Q的運動路徑長為．【解答】解：（1）①∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠ADC＝60°，BE＝2，∴BC∥AD，∠B＝∠ADC＝60°，∵AE⊥BC于點E，∴∠AEB＝∠DAF＝90°，∴∠EAB＝30°，∴CD＝AB＝2BE＝2×2＝4；∵DF平分∠ADC，∴∠ADF＝∠CDF＝∠ADC＝30°，∴∠EAB＝∠ADF，∵AE＝DA，∴△AEB≌△DAF（ASA），∴AF＝BE＝2，故答案為：4，2．②AF+BE＝CD，證明：如圖2，延長FA到K，使KA＝BE，連結DK，∵∠DAK＝∠CEA＝90°，∴∠DAK＝∠AEB，∵DA＝AE，∴△DAK≌△AEB（SAS），∴DK＝AB＝CD，∠ADK＝∠EAB＝90°﹣∠B＝90°﹣∠ADC，∴∠KDF＝∠ADK+∠ADF＝90°﹣∠ADC+∠ADC＝90°﹣∠ADC，∵∠KFD＝90°﹣∠ADF＝90°﹣∠ADC，∴∠KDF＝∠KFD，∴FK＝DK＝CD，∵FK＝AF+KA＝AF+BE，∴AF+BE＝CD．（2）如圖3，連接DE，作DL⊥DE交BC的延長線于點L，則∠EDL＝90°，∵AE＝AD＝2，∠DAE＝90°，∴DE＝＝＝2，∠ADE＝∠AED＝45°，∴∠DEL＝∠ADE＝45°，∴∠DLE＝∠DEL＝45°，∴DL＝DE＝2；作MH⊥AD交AD的延長線于點H，連接DM，∵EP⊥PM，∴∠PAE＝∠H＝∠EPM＝90°，∴∠APE＝∠HMP＝90°﹣∠MPH，∵EP＝PM，∴△APE≌△HMP（AAS），∴AP＝HM，AE＝HP，∴AD＝HP，∴AD﹣PD＝HP﹣PD，∴AP＝HD，∴HM＝HD，∴