云南省昆明市東川區(qū)明月中學(xué)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題文含解析

PAGEPAGE17云南省昆明市東川區(qū)明月中學(xué)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題文（含解析）（考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分）留意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自己的相關(guān)信息填寫在答題卡上;2．將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無(wú)效.第I卷（選擇題）一、選擇題:共12題，每題5分，共60分，在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，則=A. B. C. D.【答案】B【解析】試題分析：由題意，所以．故選B．考點(diǎn)：集合的運(yùn)算．2.函數(shù)的定義域是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由對(duì)數(shù)式的真數(shù)大于0，分式的分母不為0聯(lián)立不等式組求解．【詳解】由，得且．函數(shù)定義域是．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的定義域及其求法，是基礎(chǔ)的計(jì)算題．3.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面內(nèi)位于（）A.第一象限 B.其次象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】，其共軛復(fù)數(shù)為，在第四象限.點(diǎn)睛：本題主要考查復(fù)數(shù)概念及運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)與復(fù)平面點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.在復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算上,常常由于疏忽而導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果出錯(cuò).除了加減乘除運(yùn)算外,有時(shí)要結(jié)合共軛復(fù)數(shù)的特征性質(zhì)和復(fù)數(shù)模的相關(guān)學(xué)問,綜合起來加以分析.在復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算中,只對(duì)加法和乘法法則給出規(guī)定,而把減法、除法定義為加法、乘法的逆運(yùn)算.復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算類似多項(xiàng)式的運(yùn)算,加法類似合并同類項(xiàng);復(fù)數(shù)的加法滿意交換律和結(jié)合律,復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法類似多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式,除法類似分母有理化;用類比的思想學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)中的運(yùn)算問題.4.設(shè)，是兩條不重合的直線，，是兩個(gè)不重合的平面，則下列命題中不正確的一個(gè)是（）A.若，則 B.若，，則C.若，則 D.若，，則【答案】D【解析】【分析】依據(jù)空間線面、面面的平行垂直關(guān)系，對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析，可得到答案.【詳解】選項(xiàng)A．若，，則,正確.選項(xiàng)B．若，，則,正確.選項(xiàng)C．若，,則，正確.選項(xiàng)D.若，，則與可能平行，也可能異面，所以不正確.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查空間線面、面面的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.5.已知實(shí)數(shù)，滿意條件則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】繪制不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義可得：目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)出取得最大值：.本題選擇B選項(xiàng).6.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的值為4，則輸出的值是（）A.24 B.6 C.2 D.120【答案】A【解析】【分析】依據(jù)推斷條件，執(zhí)行循環(huán)，直至跳出循環(huán)，輸出結(jié)果.【詳解】執(zhí)行循環(huán)得：因?yàn)椋越Y(jié)束循環(huán)，輸出故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查循環(huán)結(jié)構(gòu)流程圖，考查基本分析求解實(shí)力，屬基礎(chǔ)題.7.已知一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示（圖中網(wǎng)格小正方形的邊長(zhǎng)為1），則該幾何體的體積為（）A. B.32 C. D.16【答案】D【解析】分析：由已知中的三視圖，可得該幾何體是一個(gè)三棱柱，分別求出它的底面面積和高，代入體積公式，即可求解．詳解：由已知中的三視圖，可得該幾何體是一個(gè)三棱柱，如圖所示，，其中底面面積為，高為，所以該三棱柱的體積為，故選D．點(diǎn)睛：本題考查了幾何體的三視圖及組合體的表面積的計(jì)算，在由三視圖還原為空間幾何體的實(shí)際形態(tài)時(shí)，要從三個(gè)視圖綜合考慮，依據(jù)三視圖的規(guī)則，空間幾何體的可見輪廓線在三視圖中為實(shí)線，不行見輪廓線在三視圖中為虛線．在還原空間幾何體實(shí)際形態(tài)時(shí)，一般是以正視圖和俯視圖為主，結(jié)合側(cè)視圖進(jìn)行綜合考慮．求解以三視圖為載體的空間幾何體的表面積與體積的關(guān)鍵是由三視圖確定直觀圖的形態(tài)以及直觀圖中線面的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，利用相應(yīng)體積公式求解．8.設(shè)向量，滿意，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)，利用數(shù)量積運(yùn)算公式，即可求得答案.【詳解】，，，.故選D.【點(diǎn)睛】本題考查利用向量的數(shù)量積計(jì)算向量的模的方法，考查基礎(chǔ)學(xué)問和基本運(yùn)算實(shí)力.9.函數(shù)的圖象大致為()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】分別令，依據(jù)的函數(shù)值，對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行解除，由此得出正確選項(xiàng).【詳解】由四個(gè)選項(xiàng)的圖像可知，令，，由此解除C選項(xiàng).令，，由此解除B選項(xiàng).由于，解除D選項(xiàng).故本小題選A.【點(diǎn)睛】本小題主要考查函數(shù)圖像的推斷，考查利用特別點(diǎn)解除的方法，屬于基礎(chǔ)題.10.已知長(zhǎng)方體一個(gè)頂點(diǎn)上三條棱的長(zhǎng)分別是3、4、5，且它的頂點(diǎn)都在同一球面上，則這個(gè)球的表面積是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：長(zhǎng)方體的外接球的直徑就是長(zhǎng)方體的對(duì)角線，求出長(zhǎng)方體的對(duì)角線，即可求出球的直徑，然后求出球的表面積.詳解：長(zhǎng)方體的一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱長(zhǎng)分別是，且它的個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，長(zhǎng)方體的對(duì)角線就是球的直徑，長(zhǎng)方體的對(duì)角線為，球的半徑為，則這個(gè)球的表面積是，故選C.點(diǎn)睛：本題主要考查球的內(nèi)接多面體的有關(guān)學(xué)問，球的表面積的求法，意在考查計(jì)算實(shí)力與空間想象力，留意球的直徑與長(zhǎng)方體的對(duì)角線的轉(zhuǎn)化是解答本題的關(guān)鍵.11.過雙曲線的右焦點(diǎn)作垂直于軸的直線，交雙曲線的漸近線于兩點(diǎn)，若（為坐標(biāo)原點(diǎn)）是等邊三角形，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】試題解析：：雙曲線（a＞0，b＞0）的漸近線為，令x＝c，得，由△OAB（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）是等邊三角形，得，從而，故，故選B．考點(diǎn)：本題考查了雙曲線的離心率點(diǎn)評(píng)：解本題的關(guān)鍵是求出A點(diǎn)的坐標(biāo)，依據(jù)正三角形的性質(zhì)求出a，b間的關(guān)系，再求出雙曲線的離心率．12.已知函數(shù)，若對(duì)隨意，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；令，則，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，；綜上實(shí)數(shù)的取值范圍是，選B.點(diǎn)睛：對(duì)于求不等式成立時(shí)的參數(shù)范圍問題，在可能的狀況下把參數(shù)分別出來，使不等式一端是含有參數(shù)的不等式，另一端是一個(gè)區(qū)間上詳細(xì)的函數(shù)，這樣就把問題轉(zhuǎn)化為一端是函數(shù)，另一端是參數(shù)的不等式，便于問題的解決.但要留意分別參數(shù)法不是萬(wàn)能的，假如分別參數(shù)后，得出的函數(shù)解析式較為困難，性質(zhì)很難探討，就不要運(yùn)用分別參數(shù)法.第II卷（非選擇題）二、填空題：13.綻開式中常數(shù)項(xiàng)為．【答案】【解析】試題分析：的綻開式的通項(xiàng)令得常數(shù)項(xiàng)為.考點(diǎn)：二項(xiàng)式定理.14.已知平面對(duì)量，，且//，則＝．【答案】(-4,-8)【解析】【詳解】由，然后依據(jù)平面對(duì)量共線（平行）的坐標(biāo)表示建立等式即，求出，然后依據(jù)平面對(duì)量的坐標(biāo)運(yùn)算．15.已知函數(shù)的部分圖象如圖，則_______.【答案】0【解析】【分析】依據(jù)周期可得，依據(jù)最高點(diǎn)以及可得，從而可得答案.【詳解】由圖象可知，所以，所以，解得，又，所以，所以，，所以，，因?yàn)?，所以，所?故答案為：0.【點(diǎn)睛】本題考查了由三角函數(shù)的圖象求參數(shù)，考查了三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題16.已知函數(shù)，且關(guān)于的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_______.【答案】【解析】因?yàn)榉匠逃袃蓚€(gè)實(shí)數(shù)根，所以的圖象與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，如圖所示，可知，所以，故答案為.點(diǎn)睛：本題考察了函數(shù)的圖象與方程的關(guān)系，把方程根的問題，轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題求解，結(jié)合圖形求解；方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，轉(zhuǎn)化為的圖象與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，作出函數(shù)圖象，關(guān)鍵是臨界位置的取舍.三、解答題:共6題，17題10分，18到22每題12分，共70分.17.設(shè)的內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，且.（1）當(dāng)時(shí)，求a的值；（2）當(dāng)?shù)拿娣e為3時(shí)，求a+c的值．【答案】（1）（2）【解析】試題分析：（1）利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，求出，利用正弦定理求出a即可．（2）通過三角形的面積求出ac的值，然后利用余弦定理即可求出a+c的值．試題解析:解：（1）.由正弦定理得..（2）的面積，.由余弦定理，得4=,即.∴，∴點(diǎn)睛：解三角形問題，多為邊和角的求值問題，這就須要依據(jù)正、余弦定理結(jié)合已知條件敏捷轉(zhuǎn)化邊和角之間的關(guān)系，從而達(dá)到解決問題的目的.其基本步驟是：第一步：定條件，即確定三角形中的已知和所求，在圖形中標(biāo)出來，然后確定轉(zhuǎn)化的方向.其次步：定工具，即依據(jù)條件和所求合理選擇轉(zhuǎn)化的工具，實(shí)施邊角之間的互化.第三步：求結(jié)果18.已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為1，公差，且是與的等比中項(xiàng).（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1)由題意求出等差數(shù)列的公差，即可求出結(jié)果；(2)用裂項(xiàng)相消法求和即可.【詳解】(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為，是與的等比中項(xiàng).即或；(2)由（1）知.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列，以及數(shù)列的求和，屬于基礎(chǔ)題型.19.某校兩個(gè)班級(jí)100名學(xué)生在一次考試中的成果的頻率分布直方圖如圖所示，其中成果分組區(qū)如下表：組號(hào)第一組其次組第三組第四組第五組分組（1）求頻率表分布直方圖中的值；（2）依據(jù)頻率表分布直方圖，估計(jì)這100名學(xué)生這次考試成果的平均分；（3）現(xiàn)用分層抽樣的方法從第三、四、五組中隨機(jī)抽取6名學(xué)生，將該樣本看成一個(gè)總體，從中隨機(jī)抽取2名，求其中恰有1人的分?jǐn)?shù)不低于90分的概率.【答案】(1)a=0.005;(2)74.5;(3)見解析.【解析】【詳解】試題分析：（１）依據(jù)所以概率的和為1，即所求矩形的面積和為1，建立等式關(guān)系，可求出所求；（2）均值為各組組中值與該組頻率之積的和；（3）先分別求出3，4，5組的人數(shù)，再利用古典概型學(xué)問求解．試題解析：解：（1）由題意得10a+0.01×10+0.02×10+0.03×10+0.035×10=1，所以a=0.005．（2）由直方圖分?jǐn)?shù)在[50，60]的頻率為0.05，[60，70]的頻率為0.35，[70，80]的頻率為0.30，[80，90]的頻率為0.20，[90，100]的頻率為0.10，所以這100名學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成果的平均分的估計(jì)值為：55×0.05+65×0.35+75×0.30+85×0.20+95×0.10=74.5（3）由直方圖，得：第3組人數(shù)為0.3×100=30，第4組人數(shù)為0.2×100=20人，第5組人數(shù)為0.1×100=10人．所以利用分層抽樣在60名學(xué)生中抽取6名學(xué)生，每組分別：第3組：人，第4組：人，第5組：=1人．所以第3、4、5組分別抽取3人、2人、1人．設(shè)第3組的3位同學(xué)為A1，A2，A3，第4組的2位同學(xué)為B1，B2，第5組的1位同學(xué)為C1，則從六位同學(xué)中抽兩位同學(xué)有15種可能如下：（A1，A2），（A1，A3），（A2，A3），（B1，B2），（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（A1，C1），（A2，C1），（A3，C1），（B1，C1），（B2，C1），其中恰有1人的分?jǐn)?shù)不低于90（分）的情形有：（A1，C1），（A2，C1），（A3，C1），（B1，C1），（B2，C1），共5種．所以其中第4組的2位同學(xué)至少有一位同學(xué)入選的概率為.考點(diǎn)：①頻率分布直方；②平均數(shù)的求法；③古典概率．20.如圖，在三棱柱中，底面，，，，點(diǎn)，分別為與的中點(diǎn).（1）證明：平面.（2）求與平面所成角的正弦值.【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）先連接，，依據(jù)線面平行的判定定理，即可得出結(jié)論；（2）先以為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出直線的的方向向量與平面的法向量，由向量夾角公式求出向量夾角余弦值，即可得出結(jié)果.【詳解】（1）證明：如圖，連接，.在三棱柱中，為的中點(diǎn).又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以.又平面，平面，所以平面.（2）解：以為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，.設(shè)平面的法向量為，則，令，得.記與平面所成角，則.【點(diǎn)睛】本題主要考查線面平行的判定、以及線面角的向量求法，熟記線面平行的判定定理以及空間向量的方法即可，屬于?？碱}型.21.已知橢圓的離心率為，且經(jīng)過點(diǎn).（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，是軸上的點(diǎn)，若是以為斜邊的等腰直角三角形，求直線的方程.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）將點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程，與離心率聯(lián)立方程組解得a,b，（2）將等腰三角形轉(zhuǎn)化為的中垂線方程過點(diǎn)，且點(diǎn)到直線距離等于AB一半，先設(shè)直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，依據(jù)韋達(dá)定理以及弦長(zhǎng)公式可得AB長(zhǎng)以及AB中點(diǎn)，依據(jù)點(diǎn)斜式求的中垂線方程，求與x軸交點(diǎn)得Q點(diǎn)坐標(biāo)，依據(jù)點(diǎn)到直線距離公式列方程解得直線斜率，即得直線方程.【詳解】（1）由，設(shè)橢圓方程為則，橢圓方程為（2）設(shè)的中點(diǎn)坐標(biāo)，，則由得由得，，的中垂線方程為，所以點(diǎn)到直線的距離為，，所以，解得直線的方程為22.已知.（1）求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；（2）若時(shí)，若不等式對(duì)隨意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）【解析】分析：（1）先依據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義得切線斜率，再依據(jù)點(diǎn)斜式得切線方程，（2）先構(gòu)造函數(shù)再通過二