1.1 第1課時(shí) 認(rèn)識(shí)勾股定理 課件 2024-2025學(xué)年北師大版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)

1.1探索勾股定理

第一章勾股定理第1課時(shí)

認(rèn)識(shí)勾股定理1.通過(guò)數(shù)格子的方法探索勾股定理；理解勾股定理反映的是直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系.2.能夠運(yùn)用勾股定理進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算和實(shí)際的應(yīng)用.學(xué)習(xí)目標(biāo)

如圖，這是一幅美麗的圖案，仔細(xì)觀察，你能發(fā)現(xiàn)這幅圖中的奧秘嗎？帶著疑問(wèn)我們來(lái)一起探索吧.情境導(dǎo)入（圖中每一格

代表1cm2）（1）正方形

P

的面積是

cm2；（2）正方形

Q

的面積是

cm2；（3）正方形

R

的面積是

cm2.121SP

+

SQ

=

SRRQPACBAC2

+

BC2

=

AB2等腰直角三角形ABC

三邊長(zhǎng)度之間存在什么關(guān)系嗎？SP=AC2

SQ=BC2SR=AB2上面三個(gè)正方形的面積之間有什么關(guān)系？做一做：觀察正方形瓷磚鋪成的地面.任務(wù)一：勾股定理的初步認(rèn)識(shí)（指向目標(biāo)1）填一填：觀察右邊兩幅圖：完成下表

(每個(gè)小正方形的面積為單位1).

A的面積B的面積C的面積左圖右圖4

？怎樣計(jì)算正方形

C的面積呢？9

16

9

？方法一：割方法二：補(bǔ)方法三：拼分割為四個(gè)直角三角形和一個(gè)小正方形.補(bǔ)成大正方形，用大正方形的面積減去四個(gè)直角三角形的面積.將幾個(gè)小塊拼成若干個(gè)小正方形，圖中兩塊紅色（或綠色）可拼成一個(gè)小正方形.分析表中數(shù)據(jù)，你發(fā)現(xiàn)了什么？A的面積B的面積C的面積左圖4913右圖16925結(jié)論：以直角三角形兩直角邊為邊長(zhǎng)的兩個(gè)小正方形的面積的和，等于以斜邊為邊長(zhǎng)的正方形的面積.幾何語(yǔ)言：在

Rt△ABC中，∵∠C=90°，∴

a2+b2=c2(勾股定理).aABCbc∟總結(jié)歸納定理揭示了直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系.

直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．如果

a，b和

c分別表示直角三角形的兩直角邊和斜邊，那么

a2

+

b2=c2．勾股定理求下列直角三角形中未知邊的長(zhǎng)：即時(shí)評(píng)價(jià)18x17125x解：由勾股定理可得82+x2=172，

x=15.解：由勾股定理可得

52+122

=x2，

x=13.

我們一起穿越到

2500年前，跟隨畢達(dá)哥拉斯再去他那位老朋友家做客，看到他朋友家用磚鋪成的地面（如圖所示）：ABC穿越畢達(dá)哥拉斯做客現(xiàn)場(chǎng)正方形

A的面積正方形

B的面積正方形

C的面積+=一直角邊2另一直角邊2斜邊2+=知識(shí)鏈接勾較短的直角邊稱為，股較長(zhǎng)的直角邊稱為，直角三角形中弦斜邊稱為.勾2+

股2=弦2股勾弦在中國(guó)古代，人們把彎曲成直角的手臂的上半部分稱為"勾"，下半部分稱為"股“.趣味小常識(shí)

例1

已知∠ACB=90°，CD⊥AB，AC=3，BC=4.求

CD的長(zhǎng).典例精析解：由勾股定理可得

AB2=AC2+BC2=25，

即AB=5.

根據(jù)三角形面積公式，

得

AC·BC=AB·CD.∴CD=.ADBC34任務(wù)二：利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算（指向目標(biāo)2）方法總結(jié)

由直角三角形的面積求法可知直角三角形兩直角邊的積等于斜邊與斜邊上高的積，這個(gè)規(guī)律也稱“弦高公式”，它常與勾股定理聯(lián)合使用．例2

如圖，已知

AD

是△ABC

的中線．

求證：AB2＋AC2

＝

2(AD2＋CD2)．證明：如圖，過(guò)點(diǎn)

A

作

AE⊥BC

于點(diǎn)

E.在

Rt△ACE、Rt△ABE

和

Rt△ADE

中，AB2＝AE2＋BE2，AC2＝AE2＋CE2，AE2＝AD2－ED2，BE＝DB－ED，CE＝CD＋ED.∴

AB2＋AC2＝(AE2＋BE2)＋(AE2＋CE2)＝2AD2＋DB2＋DC2＋2ED·(DC－DB)．又∵

AD

是△ABC

的中線，∴

DB＝DC.∴

AB2＋AC2＝2AD2＋2DC2＝2(AD2＋CD2)．E方法總結(jié)

構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理把需要證明的線段聯(lián)系起來(lái)．一般地，涉及線段之間的平方關(guān)系問(wèn)題時(shí)，通常沿著這個(gè)思路去分析問(wèn)題比較好．解：當(dāng)高

AD

在△ABC

內(nèi)部時(shí)，如圖①.在

Rt△ABD

中，由勾股定理，得

BD2＝AB2－AD2＝202－122＝162，∴

BD＝16.在

Rt△ACD

中，由勾股定理，得

CD2＝AC2－AD2＝152－122＝81，∴

CD＝9.

∴

BC＝BD＋CD＝25.∴

△ABC

的周長(zhǎng)為

25＋20＋15＝60.例3

在△ABC

中，AB＝20，AC＝15，AD

為

BC

邊上的高，且

AD

＝

12，求△ABC

的周長(zhǎng)．

題中未給出圖形，作高構(gòu)造直角三角形時(shí)，易漏掉鈍角三角形的情況．如在本例題中，易只考慮高AD

在△ABC

內(nèi)的情形，忽視高

AD

在△ABC

外的情形．當(dāng)高

AD

在△ABC

外部時(shí)，如圖②.同理可得BD＝16，CD＝9.∴

BC＝BD－CD＝7.∴△ABC

的周長(zhǎng)為

7＋20＋15＝42.綜上所述，△ABC

的周長(zhǎng)為

42

或

60.方法總結(jié)解：∵AE＝BE，∴S△ABE＝AE·BE＝AE2.又∵AE2＋BE2＝AB2，∴2AE2＝AB2.∴S△ABE＝AB2＝.同理可得

S△AHC＋S△BCF＝AC2＋BC2.又∵AC2＋BC2＝AB2，∴陰影部分的面積為AB2＝.例4

如圖，以

Rt△ABC

的三邊長(zhǎng)為斜邊分別向外作等腰直角三角形.若斜邊

AB＝3，求△ABE及陰影部分的面積.方法總結(jié)

求解與直角三角形三邊有關(guān)的圖形面積時(shí)，要結(jié)合圖形想辦法把圖形的面積與直角三角形三邊的平方聯(lián)系起來(lái)，再利用勾股定理找到圖形面積之間的等量關(guān)系．1.圖中陰影部分是一個(gè)正方形，則此正方形的面積為

cm2.8cm10cm36當(dāng)堂檢測(cè)2.

求下列圖中未知數(shù)

x、y的值：解：由勾股定理可得81+144

=x2，

x=15.解：由勾股定理可得

y2

+144

=169，

y=5.3.在△ABC中，∠C=90°.（1）若

a=6，b=8，則

c=

；（2）若

c=13，b=12，則

a=

.4.若直角三角形中，有兩邊長(zhǎng)是3和4，則第三邊長(zhǎng)的平方為（）

A25B14C7D7或25105D5.一長(zhǎng)為

2.5米的木梯，架在高為

2.4

米的墻上(如圖)，這時(shí)梯腳與墻的距離是多少?解：在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理，

得

BC2=AB2

-

AC2=2.52

-

2.42=0.49，

所以

BC=0.7.答：梯腳與墻的距離是

0.7米.ABC6.如圖，在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，求△ABC的面積．

方法點(diǎn)撥：當(dāng)題目中沒(méi)有直角三角形時(shí)，常作垂線（或作高）構(gòu)造直角三角形，然后利用勾股定理求得線段的長(zhǎng)，進(jìn)而求面積.

7.如圖所示，直角三邊形三邊上的半圓面積從小到大依次記為S1、S2、S3,則S1、S2、S3的關(guān)系是（）S1+S2=S3B.S12+S22=S32

C.S1+S2>S3D.S1+S2<S3A解：S5=