【?？?jí)狠S題】2023-2024學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)壓軸題攻略（滬教版）專題02 代數(shù)方程 壓軸題（八大題型）（解析版）

專題02代數(shù)方程壓軸題（八大題型）目錄：題型1：分式方程與其他方程、不等式題型2：復(fù)合型無(wú)理方程題型3：二元二次方程方程綜合題型4：代數(shù)方程綜合題型5：換元法題型6：新定義題題型7：代數(shù)方程的實(shí)際應(yīng)用題型8：代數(shù)方程與一次函數(shù)題型1：分式方程與其他方程、不等式1．已知關(guān)于的分式方程的解為整數(shù)，且關(guān)于的不等式組有解且至多有2個(gè)整數(shù)解，則符合條件的整數(shù)有（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】先解分式方程，再根據(jù)分式方程的解為整數(shù)求出的范圍，然后解不等式組，最后根據(jù)不等式組至多有2個(gè)整數(shù)解確定的值即可解答．【解析】解：，，∴，∴，∵分式方程的解為整數(shù)，∴為整數(shù)，且，∴，∵，解不等式①，得，解不等式②，得，∴該不等式的解集為又∵該不等式組有解且至多有2個(gè)整數(shù)解，∴，∴，綜上所述，符合條件的整數(shù)的值為，共計(jì)4個(gè)．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式方程的解以及一元一次不等式的整數(shù)解，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．2．若整數(shù)a使得關(guān)于x的不等式組解集為，使得關(guān)于y的分式方程＝+2的解為正數(shù)，則所有滿足條件的整數(shù)a的和為（

）A．﹣21 B．﹣20 C．﹣17 D．﹣16【答案】D【分析】首先解不等式組并根據(jù)不等式組的解集，確定a的取值范圍，再根據(jù)分式方程的解是正數(shù)確定a的取值范圍，注意排除增根的情況，最后兩個(gè)a的取值范圍合并，就可以算出所有整數(shù)a的和．【解析】解：解不等式，得，解不等式，得，∵該不等式組的解集為，∴，解得，∵關(guān)于y的分式方程＝+2的解為正數(shù)，∴，∴且，解得且，∴a的取值范圍為且，∴符合條件的整數(shù)a有：-6、-5、-3、-2、-1、0、1，所有整數(shù)a相加的和為：．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查含參的一元一次不等式組和含參的分式方程的解，注意含參的不等式的解法和增根的情況是解決本題的關(guān)鍵．3．要使關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且使關(guān)于x的分式方程的解為非負(fù)數(shù)的所有整數(shù)的個(gè)數(shù)為（

）A．5個(gè) B．6個(gè) C．7個(gè) D．8個(gè)【答案】B【分析】根據(jù)一元二次方程根的情況得到且解得：且，再把分式方程化簡(jiǎn)求值得：，因?yàn)榻鉃榉秦?fù)數(shù)，且即且，所以且，即可得出滿足題意的整數(shù)解．【解析】解：關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根則且關(guān)于x的分式方程去分母得：解得：分式方程的解為非負(fù)數(shù)且即且且滿足題意的整數(shù)的值為故答案為：B．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程根的情況、分式方程的解，注意二次項(xiàng)系數(shù)不為0及分式方程的解要有意義，這是此題的易錯(cuò)點(diǎn)．4．若整數(shù)使得關(guān)于的方程的解為整數(shù)，且關(guān)于的不等式組有偶數(shù)解且至多有3個(gè)偶數(shù)解，則所有符合條件的整數(shù)的和為（

）A．–12 B．–9 C．12 D．15【答案】A【分析】根據(jù)不等式組有偶數(shù)解且至多有3個(gè)偶數(shù)解，分3種情況進(jìn)行討論，然后結(jié)合方程的解為整數(shù)，確定a?。?4、-3、-2、-1，即可求解．【解析】解：解得：解得：當(dāng)y有1個(gè)偶數(shù)解時(shí)：解得：，a?。?10、-9、-8、-7；當(dāng)y有2個(gè)偶數(shù)解時(shí)：解得：，a?。?4、-3、-2、-1；當(dāng)y有3個(gè)偶數(shù)解時(shí)：解得：，a?。?、3、4、5；∵為整數(shù)，∴a為奇數(shù)∴a取-9、-7、-3、-1、3、5則所有符合條件的整數(shù)的和為：-12．故選：A．【點(diǎn)睛】此題主要考查利用分式方程和一元一次不等式組的特殊解，求參數(shù)值，解題的關(guān)鍵是正確理解一元一次不等式組的解集．題型2：復(fù)合型無(wú)理方程5．方程的解的情況是（）A．無(wú)解 B．恰有一解 C．恰有兩個(gè)解 D．有無(wú)窮多個(gè)解【答案】D【分析】將方程轉(zhuǎn)化為，進(jìn)行討論求解即可．【解析】解：將方程變形為①，若，則①成為，即，得；若，則①成為，即，得；若，即時(shí)，則①成為，即，這是一個(gè)恒等式，滿足的任何x都是方程的解，結(jié)合以上討論，可知，方程的解是滿足的一切實(shí)數(shù)，即有無(wú)窮多個(gè)解．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查解無(wú)理方程．熟練掌握完全平方公式以及二次根式的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．6．方程的解是．【答案】9【分析】設(shè)y=，由可將原方程進(jìn)行化簡(jiǎn)，解化簡(jiǎn)后的方程即可求得答案.【解析】設(shè)y=，則原方程變形為，∴，即，∴4y+36-4y=y(y+9)，即y2+9y-36=0，∴y=-12或y=3，∵≥0，∴=3，∴x=9，故答案為9.【點(diǎn)睛】本題考查了解無(wú)理方程，解題的關(guān)鍵是利用換元法，還要注意的應(yīng)用.7．“程，課程也，二物者二程，三物者三程，皆如物數(shù)程之，并列為行，故謂之方程．”這是我國(guó)古代著名數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)》對(duì)方程一詞給出的注釋，對(duì)于一些特殊的方程，我們給出兩個(gè)定義：①若兩個(gè)方程有相同的一個(gè)解，則稱這兩個(gè)方程為“相似方程”；②若兩個(gè)方程有相同的整數(shù)解，則稱這兩個(gè)方程為“相伴方程”．(1)判斷分式方程與無(wú)理方程是否是“相似方程”，并說(shuō)明理由；(2)已知關(guān)于，的方程：和，它們是“相似方程”嗎？如果是，請(qǐng)寫出它們的公共解；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)已知關(guān)于，的二元一次方程：和（其中為整數(shù)）是“相伴方程”，求的值．【答案】(1)是相似方程，見解析(2)不是相似方程，見解析(3)，或．【分析】（1）分別求出分式方程和無(wú)理方程的解，然后根據(jù)“相似方程”的定義進(jìn)行判斷即可；（2）聯(lián)立兩個(gè)方程，求出公共解，應(yīng)用“相似方程”的定義進(jìn)行判斷即可；（3）聯(lián)立兩個(gè)方程得到，再分當(dāng)，當(dāng)時(shí)，兩種情況討論求解即可．【解析】（1）解：是相似方程，理由如下：，給方程兩邊同時(shí)乘以，得，化簡(jiǎn)得，解得，，，，，，，，舍去，，因?yàn)榉质椒匠膛c無(wú)理方程有一個(gè)相同的解，所以分式方程與無(wú)理方程是“相似方程”；（2）不是相似方程，理由如下：，，，，和，它們不是“相似方程”；（3）根據(jù)題意可得：，解得：，當(dāng)時(shí)，不符合題意，當(dāng)時(shí)，則，，都是整數(shù)，，或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解分式方程，解無(wú)理方程，解二元一次方程組，解不等式組等，正確理解題意時(shí)解決本題的關(guān)鍵．題型3：二元二次方程方程綜合8．若實(shí)數(shù)x,y滿足，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根據(jù)題意方程組，得到xy=2，x2+y2=5；在根據(jù)完全平方公式，得出（x+y）2=9；再得到x，y的值，代入即可得到．【解析】根據(jù)方程組；得到，從而解得；將以上x和y的值代入，當(dāng)=；當(dāng)=，當(dāng)=；當(dāng)，=；故答案為：A【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的解法的拓展，二元二次方程組，解題的關(guān)鍵是熟悉并靈活應(yīng)用二元一次方程組的方法，用到整體代入思想，以及完全平方公式．9．已知x，y為實(shí)數(shù)，且滿足，記的最大值為M，最小值為m，則（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意先將u轉(zhuǎn)化為，然后再根據(jù)進(jìn)行配方，確定xy的范圍，從而求出u的范圍，得到M，m的大小即可得到答案．【解析】解：∵，∴，∴，∵，當(dāng)且僅當(dāng)，即，，或，時(shí)，等號(hào)成立，∴的最小值為，∴最小值為：，即，∵，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即，，或，時(shí)等號(hào)成立，∴的最大值為，∴的最大值為，即，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了代數(shù)式的最值問(wèn)題，關(guān)鍵是將u轉(zhuǎn)化為，再確定的范圍．10．觀察表一，尋找規(guī)律，表二、表三、表四分別是從表一中截取的一部分，則a+b﹣m＝．【答案】﹣7【分析】由表二結(jié)合表一即可得出關(guān)于a的一元一次方程，解之即可得出a值；由表三結(jié)合表一即可得出關(guān)于b的一元一次方程，解之即可得出b值；在表三中設(shè)42為第x行y列，則75為第（x+1）行（y+2）列，結(jié)合表一中每個(gè)數(shù)等于其所在的行數(shù)×列式即可列出關(guān)于x、y的二元一次方程組，解之即可得出x、y的值，將其代入m=（x+1）（y+1）即可得出m的值，將a、b、m的值代入a-b+m即可得出結(jié)論．【解析】表二截取的是其中的一列：上下兩個(gè)數(shù)字的差相等，∴a-15=15-12，解得：a=18；表三截取的是兩行兩列的相鄰的四個(gè)數(shù)字：右邊一列數(shù)字的差比左邊一列數(shù)字的差大1，∴42-b-1=36-30，解得：b=35；表四截取的是兩行三列的相鄰的六個(gè)數(shù)字：設(shè)42為第x行y列，則75為第（x+1）行（y+2）列，則有，解得：或（舍去），∴m=（x+1）（y+1）=（14+1）×（3+1）=60．∴a+b﹣m=18+35-60=-7．故答案為-7【點(diǎn)睛】此題考查一元一次方程的應(yīng)用，規(guī)律型：數(shù)字變化類，根據(jù)表一中數(shù)的排列特點(diǎn)通過(guò)解方程（或方程組）求出a、b、m的值是解題關(guān)鍵．題型4：代數(shù)方程綜合11．以下說(shuō)法：①關(guān)于x的方程的解是x=c（c≠0）；

②方程組正整數(shù)的解有2組；

③已知關(guān)于x，y的方程組，其中﹣3≤a≤1，當(dāng)a=1時(shí)，方程組的解也是方程x+y=4﹣a的解；其中正確的有（

）A．②③ B．①② C．①③ D．①②③【答案】A【解析】①于x的方程x+==c+的解是x=c或x=（c≠0），此項(xiàng)錯(cuò)誤；②方程組的正整數(shù)解有2組，方程組，因x、y、z是正整數(shù)，可得x+y≥2，又因23只能分解為23×1方程②變?yōu)椋▁+y）z=23，所以只能是z=1，x+y=23將z=1代入原方程轉(zhuǎn)化為，解得x=2，y=21或x=20，y=3；所以這個(gè)方程組的正整數(shù)解是（2，21，1）、（20，3，1），此項(xiàng)正確；③關(guān)于x，y的方程組，其中-3≤a≤1，解得x=1+2a，y=1-a，x+y=2+a，當(dāng)a=1時(shí)，x+y=3，故方程組的解也是方程x+y=4-a=3的解，此項(xiàng)正確．故選A．點(diǎn)睛：此題主要考查了分式方程的解法以及二元二次方程組的解法等知識(shí)，正確將原式變形是解題關(guān)鍵．12．我們知道，任意一個(gè)正整數(shù)k都可以進(jìn)行這樣的分解：k＝m×n（m，n是正整數(shù)，且m≤n），在k的所有這種分解中，如果m，n兩因數(shù)之差的絕對(duì)值最小，我們就稱m×n是k的最佳分解，并規(guī)定：．例如：18可以分解成1×18，2×9或3×6，因?yàn)?8﹣1＞9﹣2＞6﹣3，所以3×6是18的最佳分解，所以．(1)【探索規(guī)律】f（20）＝；f（36）＝；(2)若x是正整數(shù)，猜想f（x2＋2x）＝；(3)【應(yīng)用規(guī)律】若f（）＝，其中x是正整數(shù)，求x的值；(4)若，其中x是正整數(shù)，所有x的值的和為．【答案】(1)，1(2)(3)x的值為4042(4)28【分析】（1）理解題意，根據(jù)“最佳分解”的定義進(jìn)行計(jì)算即可；（2）由結(jié)合“最佳分解”的定義即可得出答案；（3）結(jié)合（2）可得出關(guān)于x的分式方程，解出x，再驗(yàn)算即可；（4）根據(jù)最佳分解的定義，建立方程求解．【解析】（1）解：∵20=1×20=2×10=4×5，又∵20-1>10-2>5-4，，∴；∵36=1×36=2×18=3×12=4×9=6×6，又∵36-1>18-2>12-3>9-4>6-6，∴．故答案為：，1；（2）解：∵，．∴，故答案為：；（3）由（2）可知去分母，得：解得：經(jīng)檢驗(yàn)符合題意．故x的值為4042；（4）解：由，可設(shè)(t為正整數(shù))，即，∴，有以下幾種情況：①當(dāng)t=x?6時(shí)，，解得x=7；②當(dāng)t=x?5時(shí)，，解得，不符合題意，舍；③當(dāng)t=x-4時(shí)，，解得x=8；④當(dāng)t=x-3時(shí)，，解得，不符合題意，舍；⑤當(dāng)t=x-2時(shí)，，解得x=13；⑥當(dāng)t=x-1時(shí)，，解得，不符合題意，舍；⑦當(dāng)t=x時(shí)，，無(wú)解；⑧當(dāng)t=x+1時(shí)，，解得，不符合題意，舍；⑨當(dāng)t=x+2時(shí)，，解得，不符合題意，舍；⑩當(dāng)t=x+3時(shí)，，解得，不符合題意，舍；?當(dāng)t=x+4時(shí)，，解得，不符合題意，舍；?當(dāng)t=x+5時(shí)，，解得，不符合題意，舍；?當(dāng)t=x+6時(shí)，，解得，不符合題意，舍；綜上所述，符合題意的x的值為：7或8或13，∴所有x的值的和為7+8+13=28．故答案為：28．【點(diǎn)睛】本題考查用新定義解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，根據(jù)最佳分解，表示出f（k），建立方程是求解本題的關(guān)鍵．題型5：換元法13．閱讀下列材料：方程：是一個(gè)一元四次方程，根據(jù)該方程的特點(diǎn)，它的解法通常是：設(shè)，那么，于是原方程可變?yōu)?，解這個(gè)方程得：，．當(dāng)時(shí)，，∴；當(dāng)時(shí)，，∴所以原方程有四個(gè)根：，，，．在這個(gè)過(guò)程中，我們利用換元法達(dá)到降次的目的，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．(1)利用換元法解方程得到方程的解為______．(2)若，求的值．(3)利用換元法解方程：．【答案】(1)，(2)(3)，【分析】（1）設(shè)，代入得到，解得，，當(dāng)時(shí)，，得到，此方程無(wú)解；當(dāng)時(shí)，，得到，；（2）設(shè)，代入得到．解得，，根據(jù)，得到；（3）設(shè)，則，代入得到，得到，解得，檢驗(yàn)后得到，得到，得到，，檢驗(yàn)后即得．【解析】（1）設(shè)，則，于是原方程可變?yōu)?，解這個(gè)方程得：，，當(dāng)時(shí)，，移項(xiàng)得：，∵，∴此方程無(wú)解，當(dāng)時(shí)，，解得，；故答案為：，；（2）設(shè)，則該方程變?yōu)椋獾茫海摺?，即?）設(shè)，則，原方程變形為：，去分母，得，即解得，．

經(jīng)檢驗(yàn)，是分式方程的根．∴即解得：，．經(jīng)檢驗(yàn)，是分式方程的根．

∴原分式方程的解為：，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解特殊形式的高次方程、分式方程．解決問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握換元法的一般步驟設(shè)元、換元、解元、還原幾步．解分式方程注意驗(yàn)根．14．閱讀下列材料：為解方程可將方程變形為然后設(shè)，則，原方程化為①，解①得，．當(dāng)時(shí)，無(wú)意義，舍去；當(dāng)時(shí)，，解得；∴原方程的解為，；上面這種方法稱為“換元法”，把其中某些部分看成一個(gè)整體，并用新字母代替（即換元），則能使復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單的問(wèn)題．利用以上學(xué)習(xí)到的方法解下列方程：（1）；（2）．【答案】（1），，，；（2），．【分析】（1）根據(jù)閱讀材料利用換元法降次，令，即原方程=，求解即可．（2）同理，令，即原方程=，求解即可．【解析】（1）設(shè)，得：，解得：，．當(dāng)時(shí)，，解得：，當(dāng)時(shí)，，解得：，．∴原方程的解為，，，．（2）設(shè)，則方程可變成，∴，，．當(dāng)時(shí)，，所以無(wú)解．當(dāng)時(shí)，，∴，∴，．經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解．【點(diǎn)睛】本題考查利用換元法解一元二次方程．利用整體換元把一些形式復(fù)雜的方程變成一元二次方程，從而達(dá)到降次的目的是解答本題的關(guān)鍵．題型6：新定義題15．我們不妨約定：若一個(gè)關(guān)于的一元一次方程能寫成的形式，其中，，為常數(shù)并且能構(gòu)成直角三角形的三邊，則稱此方程為“一元勾股方程”．滿足條件的直角三角形的面積稱為此方程對(duì)應(yīng)的“股雅值”．如：方程，可寫成，，則，，能構(gòu)成直角三角形的三邊，所以是一元勾股方程．此時(shí)對(duì)應(yīng)的“股雅值”為．(1)請(qǐng)說(shuō)明：是一元勾股方程；(2)若方程（）為一元勾股方程，該方程的解為，求其對(duì)應(yīng)的“股雅值”；(3)關(guān)于x的方程（）為一元勾股方程，其對(duì)應(yīng)的“股雅值”為，關(guān)于的方程無(wú)解，求原一元勾股方程的解．【答案】(1)說(shuō)明見解析(2)(3)【分析】（1）仿照列題，方程，可寫成，即可求解；（2）根據(jù)方程，方程的解為，①，根據(jù)勾股定理得出，進(jìn)而求得的值，求得面積即可求解；（3）根據(jù)對(duì)應(yīng)的“股雅值”為，得出，根據(jù)分式方程無(wú)解分類討論，進(jìn)而得出①當(dāng)時(shí)，②當(dāng)時(shí)，根據(jù)完全平方公式變形求值，進(jìn)而即可求解．【解析】（1）解：方程，可寫成，∵，∴是一元勾股方程．（2）∵，方程的解為∴，∴，①∵∴為斜邊∴∴②將①代入②得：③由①③可得，，∴“股雅值”為（3）∵∴為斜邊∴∵對(duì)應(yīng)的“股雅值”為∴∴解方程可得∵方程無(wú)解∴①，②當(dāng)時(shí)，，③當(dāng)時(shí)，，（舍）①當(dāng)時(shí)，∴∴②當(dāng)時(shí)，∴（舍）∴．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的解，解分式方程，分母有理化，勾股定理，理解新定義是解題的關(guān)鍵．題型7：代數(shù)方程的實(shí)際應(yīng)用16．2月開學(xué)季來(lái)臨，某文具店在2月上旬推出了A、B、C三種不同主題的開學(xué)大禮包．已知2月上旬A、B、C三種主題大禮包售價(jià)之比為，銷量之比為．開學(xué)后不久，根據(jù)市場(chǎng)需求，在2月下旬文具店老板對(duì)三種主題大禮包售價(jià)進(jìn)行了調(diào)整，其中B主題大禮包售價(jià)比2月上旬降低了，C主題大禮包在2月上旬售價(jià)的基礎(chǔ)上打八折，從而使得B、C兩種主題大禮包銷售額相較于2月上旬有所增加，A主題大禮包銷售額相較于2月上旬有所下降．若A主題大禮包減少的銷售額與B、C兩種主題大禮包增加的銷售額之比為，且A主題大禮包減少的銷售額占2月下旬三種主題大禮包總銷售額的，則2月下旬B、C兩種主題大禮包的銷量之比為．【答案】【分析】設(shè)2月上旬A、B、C三種主題大禮包售價(jià)為，銷量為，2月下旬A主題大禮包減少的銷售額與B、C兩種主題大禮包增加的銷售額分別為，根據(jù)“2月下旬A主題大禮包減少的銷售額占2月下旬三種主題大禮包總銷售額的”列出方程，然后分別求出2月下旬B、C兩種主題大禮包銷售額，進(jìn)而求出2月下旬B、C兩種主題大禮包銷售量，即可解答．【解析】解：設(shè)2月上旬A、B、C三種主題大禮包售價(jià)為，銷量為，2月下旬A主題大禮包減少的銷售額與B、C兩種主題大禮包增加的銷售額分別為，根據(jù)題意，得，解得，∴2月下旬B、C兩種主題大禮包銷售額分別為，，∴2月下旬B、C兩種主題大禮包銷售之比為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程方程是應(yīng)用，讀懂題意，找出等量關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．17．為迎接春節(jié)，某商場(chǎng)計(jì)劃購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種品牌的恤衫共100件．已知乙品牌每件的進(jìn)價(jià)比甲品牌每件的進(jìn)價(jià)貴30元，且用6000元購(gòu)買甲品牌的件數(shù)恰好是用6000元購(gòu)買乙品牌件數(shù)的2倍．(1)甲、乙兩種品牌每件的進(jìn)價(jià)分別是多少元？(2)商場(chǎng)決定購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種品牌恤衫的資金不少于3600元，且購(gòu)進(jìn)甲品牌恤衫至少78件，求該商場(chǎng)有哪幾種進(jìn)貨方案；(3)在（2）的條件下，商場(chǎng)決定甲品牌恤衫以每件50元出售，乙品牌恤衫以每件100元出售，若該商場(chǎng)推出促銷活動(dòng)：顧客購(gòu)買一件恤衫持購(gòu)物票據(jù)可抽獎(jiǎng)一次，每人限購(gòu)一件，一等獎(jiǎng)共有1個(gè)，所購(gòu)恤衫按標(biāo)價(jià)返款100%；二等獎(jiǎng)共有3個(gè)，所購(gòu)恤衫按標(biāo)價(jià)返款50%．該商場(chǎng)將這100件恤衫全部售出后共獲利2220元，直接寫出抽到的二等獎(jiǎng)中，購(gòu)買的乙種品牌恤衫有多少件．【答案】(1)甲品牌每件的進(jìn)價(jià)為30元，乙品牌每件的進(jìn)價(jià)為60元；(2)商場(chǎng)共有三種進(jìn)貨方案：①購(gòu)進(jìn)甲品牌恤衫78件，購(gòu)進(jìn)乙品牌恤衫22件；②購(gòu)進(jìn)甲品牌恤衫79件，購(gòu)進(jìn)乙品牌恤衫21件；③購(gòu)進(jìn)甲品牌恤衫80件，購(gòu)進(jìn)乙品牌恤衫20件；(3)抽到的二等獎(jiǎng)中，購(gòu)買乙種品牌恤衫有1件或3件．【分析】（1）根據(jù)乙品牌每件的進(jìn)價(jià)比甲品牌每件的進(jìn)價(jià)貴30元，且用6000元購(gòu)買甲品牌的件數(shù)恰好是用6000元購(gòu)買乙品牌件數(shù)的2倍，可以列出相應(yīng)的分式方程，從而可求得甲、乙兩種品牌每件的進(jìn)價(jià)分別是多少元；（2）購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種品牌恤衫的資金不少于3600元，且購(gòu)進(jìn)甲品牌恤衫至少78件，可以列出相應(yīng)的不等式組，從而求出的取值，分別列出進(jìn)貨方案即可；（3）根據(jù)（2）中共有3種方案，分三種情況進(jìn)行討論：設(shè)二等獎(jiǎng)中購(gòu)買乙品牌的有件，甲品牌的有件，當(dāng)購(gòu)進(jìn)甲品牌恤衫78件，購(gòu)進(jìn)乙品牌恤衫22件時(shí)，一等獎(jiǎng)為甲品牌時(shí)，根據(jù)該商場(chǎng)將這100件恤衫全部售出后共獲利2220元可列出方程解得不是整數(shù)即可舍去；當(dāng)購(gòu)進(jìn)甲品牌恤衫78件，購(gòu)進(jìn)乙品牌恤衫22件時(shí)，一等獎(jiǎng)為乙品牌時(shí)，根據(jù)該商場(chǎng)將這100件恤衫全部售出后共獲利2220元可列出方程解得不是整數(shù)即可舍去；以此例推分別進(jìn)行討論即可，若為小于等于3的整數(shù)，則可滿足題意．【解析】（1）解：設(shè)甲品牌恤衫每件的進(jìn)價(jià)為元，則乙品牌恤衫每件的進(jìn)價(jià)為元．由題意得：解得：經(jīng)檢驗(yàn)是原分式方程的解，且符合題意．，答：甲品牌恤衫每件的進(jìn)價(jià)為30元．乙品牌恤衫每件的進(jìn)價(jià)為60元．（2）設(shè)該商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)甲品牌恤衫a件，則購(gòu)進(jìn)乙品牌恤衫件．根據(jù)題意得：的整數(shù)值為78，79，80．商場(chǎng)共有三種進(jìn)貨方案．方案一：購(gòu)進(jìn)甲品牌恤衫78件，購(gòu)進(jìn)乙品牌恤衫22件；方案二：購(gòu)進(jìn)甲品牌恤衫79件，購(gòu)進(jìn)乙品牌恤衫21件；方案三：購(gòu)進(jìn)甲品牌恤衫80件，購(gòu)進(jìn)乙品牌恤衫20件．（3）設(shè)二等獎(jiǎng)中購(gòu)買乙品牌的有件，甲品牌的有件，①購(gòu)進(jìn)甲品牌恤衫78件，購(gòu)進(jìn)乙品牌恤衫22件，一等獎(jiǎng)為甲品牌，解得：（舍）．購(gòu)進(jìn)甲品牌恤衫78件，購(gòu)進(jìn)乙品牌恤衫22件，一等獎(jiǎng)為乙品牌，解得：（舍）．②購(gòu)進(jìn)甲品牌恤衫79件，購(gòu)進(jìn)乙品牌恤衫21件，一等獎(jiǎng)為甲品牌，解得：．購(gòu)進(jìn)甲品牌恤衫79件，購(gòu)進(jìn)乙品牌恤衫21件，一等獎(jiǎng)為乙品牌，解得：．③購(gòu)進(jìn)甲品牌恤衫80件，購(gòu)進(jìn)乙品牌恤衫20件，一等獎(jiǎng)為甲品牌，解得：（舍）．購(gòu)進(jìn)甲品牌恤衫80件，購(gòu)進(jìn)乙品牌恤衫20件，一等獎(jiǎng)為乙品牌，解得：（舍）．因此，抽到的二等獎(jiǎng)中，購(gòu)買乙品牌有1件或3件．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用問(wèn)題以及不等式組的應(yīng)用解決方案問(wèn)題，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的方程或不等式解決問(wèn)題，利用分類討論思想不遺漏情況進(jìn)行討論問(wèn)題，注意分式方程需要檢驗(yàn)．18．1月份，甲、乙兩商店從批發(fā)市場(chǎng)購(gòu)進(jìn)了相同單價(jià)的某種商品，甲商店用1050元購(gòu)進(jìn)的商品數(shù)量比乙商店用1260元購(gòu)進(jìn)的數(shù)量少10件．(1)求該商品的單價(jià)；(2)2月份，兩商店以單價(jià)元/件（低于1月份單價(jià)）再次購(gòu)進(jìn)該商品，購(gòu)進(jìn)總價(jià)均不變．①試比較兩家商店兩次購(gòu)進(jìn)該商品的平均單價(jià)的大小．②已知，甲商店1月份以每件30元的標(biāo)價(jià)售出了一部分，剩余部分與2月份購(gòu)進(jìn)的商品一起售賣，2月份第一次按標(biāo)價(jià)9折售出一部分且未超過(guò)1月份售出數(shù)量的一半，第二次在第一次基礎(chǔ)上再降價(jià)2元全部售出，兩個(gè)月的總利潤(rùn)為1050元，求甲商店1月份可能售出該商品的數(shù)量．【答案】(1)該商品的單價(jià)為21元(2)①甲的平均單價(jià)等于乙的平均單價(jià)；②或28【分析】（1）設(shè)該商品的單價(jià)為x元，根據(jù)商店用1050元購(gòu)進(jìn)的商品數(shù)量比乙商店用1260元購(gòu)進(jìn)的數(shù)量少10件列出方程求解即可；（2）①分別求出甲、乙兩次一共購(gòu)買的商品數(shù)量，進(jìn)而求出甲、乙的平均單價(jià)，然后比較大小即可；②先求出甲商品一月份一共購(gòu)進(jìn)的商品數(shù)量為件二月份甲購(gòu)進(jìn)的商品數(shù)量為件，設(shè)一月份售出m件，二月份第一次售出n件，則二月份第二次售出件，再根據(jù)銷售額成本利潤(rùn)列出方程推出，再由m、n都是正整數(shù)，得到，由2月份第一次按標(biāo)價(jià)9折售出一部分且未超過(guò)1月份售出數(shù)量的一半，得到，進(jìn)而得到且m是正整數(shù)，再由也是正整數(shù)，得到m必須是偶數(shù)，即m的值為或28．由題意得，，【解析】（1）解：設(shè)該商品的單價(jià)為x元，由題意得，，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，∴該商品的單價(jià)為21元；（2）解：①由題意得，甲兩次一共購(gòu)買的商品數(shù)量為件，乙兩次一共購(gòu)買的商品數(shù)量為，∴甲的平均單價(jià)為，乙的平均單價(jià)為，即，∴甲的平均單價(jià)等于乙的平均單價(jià)；②甲商品一月份一共購(gòu)進(jìn)的商品數(shù)量為件當(dāng)時(shí)，則二月份甲購(gòu)進(jìn)的商品數(shù)量為件，設(shè)一月份售出m件，二月份第一次售出n件，則二月份第二次售出件，由題意得，，∴，∴；∴，∵m、n都是正整數(shù)，∴，∴，∵2月份第一次按標(biāo)價(jià)9折售出一部分且未超過(guò)1月份售出數(shù)量的一半，∴，∴，∴，∴且m是正整數(shù)，又∵也是正整數(shù)，∴m必須是偶數(shù)，∴m的值為或28．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式方程的實(shí)際應(yīng)用，分式混合計(jì)算的實(shí)際應(yīng)用，二元一次方程的解，一元一次不等式組的實(shí)際應(yīng)用，正確理解題意找到等量關(guān)系和不等式關(guān)系是解題的關(guān)鍵．19．某服裝店用4500元購(gòu)進(jìn)一批襯衫，很快售完，服裝店老板又購(gòu)進(jìn)第二批該款式的襯衫，已知進(jìn)價(jià)每件比第一批降低了10元，若第二次購(gòu)貨款為2100元，則進(jìn)貨量是第一次的一半．(1)這兩次各購(gòu)進(jìn)這種襯衫多少件？(2)若第一批襯衫的售價(jià)是200元/件，老板想讓這兩批襯衫售完后的總利潤(rùn)不低于1950元，且不高于2250元，第二批襯衫的售價(jià)有哪幾種方案？（售價(jià)是10的倍數(shù)）(3)在（2）的條件下，服裝店從第二批襯衫中拿出幾件獎(jiǎng)勵(lì)員工，其余襯衫全部售出，銷售這兩批襯衫共獲利1680元．直接寫出獎(jiǎng)勵(lì)員工襯衫的件數(shù)．【答案】(1)第一次購(gòu)進(jìn)這種襯衫30件，第二次購(gòu)進(jìn)這種襯衫15件(2)第二批襯衫的售價(jià)有3種方案，方案1：第二批襯衫的售價(jià)為170元/件；方案2：第二批襯衫的售價(jià)為180元/件；方案3：第二批襯衫的售價(jià)為190元/件(3)獎(jiǎng)勵(lì)員工襯衫的件數(shù)為3件【分析】（1）設(shè)第二次購(gòu)進(jìn)這種襯衫x件，則第一次購(gòu)進(jìn)這種襯衫2x件，利用進(jìn)貨單價(jià)等于進(jìn)貨總價(jià)÷進(jìn)貨數(shù)量，結(jié)合第二批進(jìn)價(jià)每件比第一批降低了10元，可得出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)后，可得出第二次購(gòu)進(jìn)這種襯衫的數(shù)量，再將其代入2x中，即可求出第一次購(gòu)進(jìn)這種襯衫的數(shù)量；（2）設(shè)第二批襯衫的售價(jià)是y元/件，根據(jù)“這兩批襯衫售完后的總利潤(rùn)不低于1950元，且不高于2250元”，可得出關(guān)于y的一元一次不等式組，可得y的取值范圍，再結(jié)合“y為正整數(shù)，且y是10的倍數(shù)”，即可解答；（3）利用獎(jiǎng)勵(lì)員工襯衫的數(shù)量＝少獲得的利潤(rùn)÷第二批襯衫的售價(jià)即可解答．【解析】（1）解：設(shè)第二次購(gòu)進(jìn)這種襯衫x件，則第一次購(gòu)進(jìn)這種襯衫2x件，根據(jù)題意得：，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)，是所列方程的解，且符合題意，∴．答：第一次購(gòu)進(jìn)這種襯衫30件，第二次購(gòu)進(jìn)這種襯衫15件．（2）解：設(shè)第二批襯衫的售價(jià)是y元/件，根據(jù)題意得：，解得：，又∵y為正整數(shù)，且y是10的倍數(shù)，∴y可以為170，180，190，∴第二批襯衫的售價(jià)有3種方案，方案1：第二批襯衫的售價(jià)為170元/件；方案2：第二批襯衫的售價(jià)為180元/件；方案3：第二批襯衫的售價(jià)為190元/件．（3）解：當(dāng)?shù)诙r衫的售價(jià)為170元時(shí)，獎(jiǎng)勵(lì)員工襯衫的件數(shù)為（件），不符合題意，舍去；當(dāng)?shù)诙r衫的售價(jià)為180元時(shí)，獎(jiǎng)勵(lì)員工襯衫的件數(shù)為（件），不符合題意，舍去；當(dāng)?shù)诙r衫的售價(jià)為190元時(shí)，獎(jiǎng)勵(lì)員工襯衫的件數(shù)為（件），符合題意．答：獎(jiǎng)勵(lì)員工襯衫的件數(shù)為3件．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用、一元一次不等式組的應(yīng)用、有理數(shù)的混合運(yùn)算等知識(shí)點(diǎn)，解找準(zhǔn)數(shù)量關(guān)系、正確列出分式方程和列出一元一次不等式組是解答本題的關(guān)鍵．20．5月20日是全國(guó)學(xué)生營(yíng)養(yǎng)日，小紅為了得知自己平時(shí)攝入的早餐各營(yíng)養(yǎng)成分含量是否達(dá)到人體攝入的標(biāo)準(zhǔn)，設(shè)計(jì)了以下活動(dòng)：I調(diào)查：小紅根據(jù)自己的飲食習(xí)慣調(diào)查了以下三種食物的營(yíng)養(yǎng)成分表，且發(fā)現(xiàn)每麥片所含的蛋白質(zhì)比每牛奶所含蛋白質(zhì)的4倍多6克，獲得160克蛋白質(zhì)所需麥片與獲得25克蛋白質(zhì)所需牛奶的克數(shù)相同．營(yíng)養(yǎng)麥片（每）牛奶（每）雞蛋（每個(gè)）蛋白質(zhì)_________g_________g常量元素含鈉含鈣/Ⅱ計(jì)算：（1）請(qǐng)求出營(yíng)養(yǎng)麥片和牛奶（每）所含蛋白質(zhì)各為多少克．（2）小紅某一天的早晨吃了營(yíng)養(yǎng)麥片和牛奶共，且獲得常量元素沒有超過(guò)，請(qǐng)求出此份早餐所含蛋白質(zhì)的最大值．III設(shè)計(jì)：根據(jù)調(diào)查，小紅發(fā)現(xiàn)想讓早餐更符合人體攝入要求，早餐應(yīng)攝入不少于的蛋白質(zhì)，常量元素鈉、鈣攝入總量共（兩種常量元素均攝?。?，雞蛋與營(yíng)養(yǎng)麥片總質(zhì)量不超過(guò)（每個(gè)雞蛋的質(zhì)量按計(jì)算）．已知營(yíng)養(yǎng)麥片和牛奶的克數(shù)、雞蛋的個(gè)數(shù)均為整數(shù)，請(qǐng)你結(jié)合評(píng)價(jià)表設(shè)計(jì)一種符合要求的早餐方案并填表（不同方案得分不同，具體見表）．方案評(píng)價(jià)表優(yōu)秀方案營(yíng)養(yǎng)麥片、牛奶、雞蛋三種食物均有3分良好方案只含有營(yíng)養(yǎng)麥片和牛奶兩種食物2分方案：種類營(yíng)養(yǎng)麥片牛奶雞蛋質(zhì)量_________g_________g_________個(gè)【答案】Ⅱ：（1）每營(yíng)養(yǎng)麥片含蛋白質(zhì)，牛奶含蛋白質(zhì)；（2）；III：答案見解析【分析】（1）設(shè)每牛奶所含蛋白質(zhì)為，則每營(yíng)養(yǎng)麥片所含蛋白質(zhì)為．根據(jù)題意列出分式方程，解方程求解即可；（2）設(shè)營(yíng)養(yǎng)麥片，則牛奶，記蛋白質(zhì)總量為，根據(jù)題意求得的范圍，進(jìn)而根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)求解；（3）設(shè)營(yíng)養(yǎng)麥片，牛奶，雞蛋個(gè)，根據(jù)題意列出方程和不等式組，計(jì)算即可求解．【解析】（1）設(shè)每牛奶所含蛋白質(zhì)為，則每營(yíng)養(yǎng)麥片所含蛋白質(zhì)為．，，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，則．答：每營(yíng)養(yǎng)麥片含蛋白質(zhì)，牛奶含蛋白質(zhì)．（2）設(shè)營(yíng)養(yǎng)麥片，則牛奶，記蛋白質(zhì)總量為．，，，W隨著x的增大而增大，∴當(dāng)時(shí)，．（3）設(shè)營(yíng)養(yǎng)麥片，牛奶，雞蛋個(gè)，優(yōu)秀方案,營(yíng)養(yǎng)麥片和牛奶的克數(shù)、雞蛋的個(gè)數(shù)均為整數(shù)，或2由②得，則是5的倍數(shù)，當(dāng)時(shí)，由③解得，當(dāng)時(shí)，解得：，根據(jù)，列表可得，雞蛋12牛奶240222204186168402384366348營(yíng)養(yǎng)麥片50556065705101520良好方案由②得，則是5的倍數(shù)，根據(jù)，列表可得，牛奶42246營(yíng)養(yǎng)麥片105110115【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用，一次函數(shù)的應(yīng)用，二元一次方程組，不等式組的應(yīng)用，理解題意，列出方程或不等式是解題的關(guān)鍵．題型8：代數(shù)方程與一次函數(shù)21．某商場(chǎng)售賣甲、乙兩種不同的電視機(jī)，第一季度甲型電視機(jī)的售價(jià)比乙型電視機(jī)售價(jià)少元，甲型電視機(jī)銷售額為元，乙型電視機(jī)銷售量是甲型電視機(jī)的兩倍，且乙型電視機(jī)的銷售額是甲型電視機(jī)的倍．(1)求甲、乙兩種電視機(jī)的售價(jià)；(2)經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查，兩種電視機(jī)的售價(jià)和銷售量均滿足一次函數(shù)的關(guān)系，在第一季度的售價(jià)和銷售量的基礎(chǔ)上，甲型電視機(jī)售價(jià)元與銷售量臺(tái)的關(guān)系如圖所示，乙型電視機(jī)售價(jià)元與銷售量臺(tái)的關(guān)系為該商場(chǎng)計(jì)劃第二季度再進(jìn)一批甲、乙兩種電視機(jī)共臺(tái)，且甲型電視機(jī)的進(jìn)貨數(shù)量不低于乙型電視機(jī)的倍，商場(chǎng)第二季度剛好售賣完這批電視機(jī)，銷售額為元．求第二季度甲的電視機(jī)的銷售量及售價(jià)．【答案】(1)甲種電視機(jī)的售價(jià)為元，乙種電視機(jī)的售價(jià)為元；(2)第二季度甲的電視機(jī)的銷售量是臺(tái)，售價(jià)是元臺(tái)．【分析】設(shè)乙種電視機(jī)的售價(jià)為元，甲種電視機(jī)的售價(jià)為元，利用乙型電視機(jī)的銷售額是甲型電視機(jī)的倍列出方程即可求解；設(shè)甲型電視機(jī)售價(jià)元與銷售量臺(tái)的關(guān)