【?？級狠S題】2023-2024學年八年級數(shù)學下冊壓軸題攻略（滬教版）專題02 代數(shù)方程 壓軸題（八大題型）（解析版）

專題02代數(shù)方程壓軸題（八大題型）目錄：題型1：分式方程與其他方程、不等式題型2：復合型無理方程題型3：二元二次方程方程綜合題型4：代數(shù)方程綜合題型5：換元法題型6：新定義題題型7：代數(shù)方程的實際應用題型8：代數(shù)方程與一次函數(shù)題型1：分式方程與其他方程、不等式1．已知關于的分式方程的解為整數(shù)，且關于的不等式組有解且至多有2個整數(shù)解，則符合條件的整數(shù)有（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】先解分式方程，再根據(jù)分式方程的解為整數(shù)求出的范圍，然后解不等式組，最后根據(jù)不等式組至多有2個整數(shù)解確定的值即可解答．【解析】解：，，∴，∴，∵分式方程的解為整數(shù)，∴為整數(shù)，且，∴，∵，解不等式①，得，解不等式②，得，∴該不等式的解集為又∵該不等式組有解且至多有2個整數(shù)解，∴，∴，綜上所述，符合條件的整數(shù)的值為，共計4個．故選：C．【點睛】本題主要考查了分式方程的解以及一元一次不等式的整數(shù)解，熟練掌握相關知識是解題關鍵．2．若整數(shù)a使得關于x的不等式組解集為，使得關于y的分式方程＝+2的解為正數(shù)，則所有滿足條件的整數(shù)a的和為（

）A．﹣21 B．﹣20 C．﹣17 D．﹣16【答案】D【分析】首先解不等式組并根據(jù)不等式組的解集，確定a的取值范圍，再根據(jù)分式方程的解是正數(shù)確定a的取值范圍，注意排除增根的情況，最后兩個a的取值范圍合并，就可以算出所有整數(shù)a的和．【解析】解：解不等式，得，解不等式，得，∵該不等式組的解集為，∴，解得，∵關于y的分式方程＝+2的解為正數(shù)，∴，∴且，解得且，∴a的取值范圍為且，∴符合條件的整數(shù)a有：-6、-5、-3、-2、-1、0、1，所有整數(shù)a相加的和為：．故選：D．【點睛】本題考查含參的一元一次不等式組和含參的分式方程的解，注意含參的不等式的解法和增根的情況是解決本題的關鍵．3．要使關于x的一元二次方程有兩個實數(shù)根，且使關于x的分式方程的解為非負數(shù)的所有整數(shù)的個數(shù)為（

）A．5個 B．6個 C．7個 D．8個【答案】B【分析】根據(jù)一元二次方程根的情況得到且解得：且，再把分式方程化簡求值得：，因為解為非負數(shù)，且即且，所以且，即可得出滿足題意的整數(shù)解．【解析】解：關于x的一元二次方程有兩個實數(shù)根則且關于x的分式方程去分母得：解得：分式方程的解為非負數(shù)且即且且滿足題意的整數(shù)的值為故答案為：B．【點睛】本題考查一元二次方程根的情況、分式方程的解，注意二次項系數(shù)不為0及分式方程的解要有意義，這是此題的易錯點．4．若整數(shù)使得關于的方程的解為整數(shù)，且關于的不等式組有偶數(shù)解且至多有3個偶數(shù)解，則所有符合條件的整數(shù)的和為（

）A．–12 B．–9 C．12 D．15【答案】A【分析】根據(jù)不等式組有偶數(shù)解且至多有3個偶數(shù)解，分3種情況進行討論，然后結合方程的解為整數(shù)，確定a取：-4、-3、-2、-1，即可求解．【解析】解：解得：解得：當y有1個偶數(shù)解時：解得：，a?。?10、-9、-8、-7；當y有2個偶數(shù)解時：解得：，a取：-4、-3、-2、-1；當y有3個偶數(shù)解時：解得：，a取：2、3、4、5；∵為整數(shù)，∴a為奇數(shù)∴a取-9、-7、-3、-1、3、5則所有符合條件的整數(shù)的和為：-12．故選：A．【點睛】此題主要考查利用分式方程和一元一次不等式組的特殊解，求參數(shù)值，解題的關鍵是正確理解一元一次不等式組的解集．題型2：復合型無理方程5．方程的解的情況是（）A．無解 B．恰有一解 C．恰有兩個解 D．有無窮多個解【答案】D【分析】將方程轉化為，進行討論求解即可．【解析】解：將方程變形為①，若，則①成為，即，得；若，則①成為，即，得；若，即時，則①成為，即，這是一個恒等式，滿足的任何x都是方程的解，結合以上討論，可知，方程的解是滿足的一切實數(shù)，即有無窮多個解．故選：D．【點睛】本題考查解無理方程．熟練掌握完全平方公式以及二次根式的性質，是解題的關鍵．6．方程的解是．【答案】9【分析】設y=，由可將原方程進行化簡，解化簡后的方程即可求得答案.【解析】設y=，則原方程變形為，∴，即，∴4y+36-4y=y(y+9)，即y2+9y-36=0，∴y=-12或y=3，∵≥0，∴=3，∴x=9，故答案為9.【點睛】本題考查了解無理方程，解題的關鍵是利用換元法，還要注意的應用.7．“程，課程也，二物者二程，三物者三程，皆如物數(shù)程之，并列為行，故謂之方程．”這是我國古代著名數(shù)學家劉徽在《九章算術》對方程一詞給出的注釋，對于一些特殊的方程，我們給出兩個定義：①若兩個方程有相同的一個解，則稱這兩個方程為“相似方程”；②若兩個方程有相同的整數(shù)解，則稱這兩個方程為“相伴方程”．(1)判斷分式方程與無理方程是否是“相似方程”，并說明理由；(2)已知關于，的方程：和，它們是“相似方程”嗎？如果是，請寫出它們的公共解；如果不是，請說明理由；(3)已知關于，的二元一次方程：和（其中為整數(shù)）是“相伴方程”，求的值．【答案】(1)是相似方程，見解析(2)不是相似方程，見解析(3)，或．【分析】（1）分別求出分式方程和無理方程的解，然后根據(jù)“相似方程”的定義進行判斷即可；（2）聯(lián)立兩個方程，求出公共解，應用“相似方程”的定義進行判斷即可；（3）聯(lián)立兩個方程得到，再分當，當時，兩種情況討論求解即可．【解析】（1）解：是相似方程，理由如下：，給方程兩邊同時乘以，得，化簡得，解得，，，，，，，，舍去，，因為分式方程與無理方程有一個相同的解，所以分式方程與無理方程是“相似方程”；（2）不是相似方程，理由如下：，，，，和，它們不是“相似方程”；（3）根據(jù)題意可得：，解得：，當時，不符合題意，當時，則，，都是整數(shù)，，或．【點睛】本題主要考查了解分式方程，解無理方程，解二元一次方程組，解不等式組等，正確理解題意時解決本題的關鍵．題型3：二元二次方程方程綜合8．若實數(shù)x,y滿足，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根據(jù)題意方程組，得到xy=2，x2+y2=5；在根據(jù)完全平方公式，得出（x+y）2=9；再得到x，y的值，代入即可得到．【解析】根據(jù)方程組；得到，從而解得；將以上x和y的值代入，當=；當=，當=；當，=；故答案為：A【點睛】本題考查了二元一次方程組的解法的拓展，二元二次方程組，解題的關鍵是熟悉并靈活應用二元一次方程組的方法，用到整體代入思想，以及完全平方公式．9．已知x，y為實數(shù)，且滿足，記的最大值為M，最小值為m，則（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意先將u轉化為，然后再根據(jù)進行配方，確定xy的范圍，從而求出u的范圍，得到M，m的大小即可得到答案．【解析】解：∵，∴，∴，∵，當且僅當，即，，或，時，等號成立，∴的最小值為，∴最小值為：，即，∵，當且僅當時，即，，或，時等號成立，∴的最大值為，∴的最大值為，即，∴，故選：C．【點睛】本題考查了代數(shù)式的最值問題，關鍵是將u轉化為，再確定的范圍．10．觀察表一，尋找規(guī)律，表二、表三、表四分別是從表一中截取的一部分，則a+b﹣m＝．【答案】﹣7【分析】由表二結合表一即可得出關于a的一元一次方程，解之即可得出a值；由表三結合表一即可得出關于b的一元一次方程，解之即可得出b值；在表三中設42為第x行y列，則75為第（x+1）行（y+2）列，結合表一中每個數(shù)等于其所在的行數(shù)×列式即可列出關于x、y的二元一次方程組，解之即可得出x、y的值，將其代入m=（x+1）（y+1）即可得出m的值，將a、b、m的值代入a-b+m即可得出結論．【解析】表二截取的是其中的一列：上下兩個數(shù)字的差相等，∴a-15=15-12，解得：a=18；表三截取的是兩行兩列的相鄰的四個數(shù)字：右邊一列數(shù)字的差比左邊一列數(shù)字的差大1，∴42-b-1=36-30，解得：b=35；表四截取的是兩行三列的相鄰的六個數(shù)字：設42為第x行y列，則75為第（x+1）行（y+2）列，則有，解得：或（舍去），∴m=（x+1）（y+1）=（14+1）×（3+1）=60．∴a+b﹣m=18+35-60=-7．故答案為-7【點睛】此題考查一元一次方程的應用，規(guī)律型：數(shù)字變化類，根據(jù)表一中數(shù)的排列特點通過解方程（或方程組）求出a、b、m的值是解題關鍵．題型4：代數(shù)方程綜合11．以下說法：①關于x的方程的解是x=c（c≠0）；

②方程組正整數(shù)的解有2組；

③已知關于x，y的方程組，其中﹣3≤a≤1，當a=1時，方程組的解也是方程x+y=4﹣a的解；其中正確的有（

）A．②③ B．①② C．①③ D．①②③【答案】A【解析】①于x的方程x+==c+的解是x=c或x=（c≠0），此項錯誤；②方程組的正整數(shù)解有2組，方程組，因x、y、z是正整數(shù)，可得x+y≥2，又因23只能分解為23×1方程②變?yōu)椋▁+y）z=23，所以只能是z=1，x+y=23將z=1代入原方程轉化為，解得x=2，y=21或x=20，y=3；所以這個方程組的正整數(shù)解是（2，21，1）、（20，3，1），此項正確；③關于x，y的方程組，其中-3≤a≤1，解得x=1+2a，y=1-a，x+y=2+a，當a=1時，x+y=3，故方程組的解也是方程x+y=4-a=3的解，此項正確．故選A．點睛：此題主要考查了分式方程的解法以及二元二次方程組的解法等知識，正確將原式變形是解題關鍵．12．我們知道，任意一個正整數(shù)k都可以進行這樣的分解：k＝m×n（m，n是正整數(shù)，且m≤n），在k的所有這種分解中，如果m，n兩因數(shù)之差的絕對值最小，我們就稱m×n是k的最佳分解，并規(guī)定：．例如：18可以分解成1×18，2×9或3×6，因為18﹣1＞9﹣2＞6﹣3，所以3×6是18的最佳分解，所以．(1)【探索規(guī)律】f（20）＝；f（36）＝；(2)若x是正整數(shù)，猜想f（x2＋2x）＝；(3)【應用規(guī)律】若f（）＝，其中x是正整數(shù)，求x的值；(4)若，其中x是正整數(shù)，所有x的值的和為．【答案】(1)，1(2)(3)x的值為4042(4)28【分析】（1）理解題意，根據(jù)“最佳分解”的定義進行計算即可；（2）由結合“最佳分解”的定義即可得出答案；（3）結合（2）可得出關于x的分式方程，解出x，再驗算即可；（4）根據(jù)最佳分解的定義，建立方程求解．【解析】（1）解：∵20=1×20=2×10=4×5，又∵20-1>10-2>5-4，，∴；∵36=1×36=2×18=3×12=4×9=6×6，又∵36-1>18-2>12-3>9-4>6-6，∴．故答案為：，1；（2）解：∵，．∴，故答案為：；（3）由（2）可知去分母，得：解得：經(jīng)檢驗符合題意．故x的值為4042；（4）解：由，可設(t為正整數(shù))，即，∴，有以下幾種情況：①當t=x?6時，，解得x=7；②當t=x?5時，，解得，不符合題意，舍；③當t=x-4時，，解得x=8；④當t=x-3時，，解得，不符合題意，舍；⑤當t=x-2時，，解得x=13；⑥當t=x-1時，，解得，不符合題意，舍；⑦當t=x時，，無解；⑧當t=x+1時，，解得，不符合題意，舍；⑨當t=x+2時，，解得，不符合題意，舍；⑩當t=x+3時，，解得，不符合題意，舍；?當t=x+4時，，解得，不符合題意，舍；?當t=x+5時，，解得，不符合題意，舍；?當t=x+6時，，解得，不符合題意，舍；綜上所述，符合題意的x的值為：7或8或13，∴所有x的值的和為7+8+13=28．故答案為：28．【點睛】本題考查用新定義解決數(shù)學問題，根據(jù)最佳分解，表示出f（k），建立方程是求解本題的關鍵．題型5：換元法13．閱讀下列材料：方程：是一個一元四次方程，根據(jù)該方程的特點，它的解法通常是：設，那么，于是原方程可變?yōu)?，解這個方程得：，．當時，，∴；當時，，∴所以原方程有四個根：，，，．在這個過程中，我們利用換元法達到降次的目的，體現(xiàn)了轉化的數(shù)學思想．(1)利用換元法解方程得到方程的解為______．(2)若，求的值．(3)利用換元法解方程：．【答案】(1)，(2)(3)，【分析】（1）設，代入得到，解得，，當時，，得到，此方程無解；當時，，得到，；（2）設，代入得到．解得，，根據(jù)，得到；（3）設，則，代入得到，得到，解得，檢驗后得到，得到，得到，，檢驗后即得．【解析】（1）設，則，于是原方程可變?yōu)?，解這個方程得：，，當時，，移項得：，∵，∴此方程無解，當時，，解得，；故答案為：，；（2）設，則該方程變?yōu)椋獾茫?，．∵∴，即?）設，則，原方程變形為：，去分母，得，即解得，．

經(jīng)檢驗，是分式方程的根．∴即解得：，．經(jīng)檢驗，是分式方程的根．

∴原分式方程的解為：，．【點睛】本題主要考查了解特殊形式的高次方程、分式方程．解決問題的關鍵是熟練掌握換元法的一般步驟設元、換元、解元、還原幾步．解分式方程注意驗根．14．閱讀下列材料：為解方程可將方程變形為然后設，則，原方程化為①，解①得，．當時，無意義，舍去；當時，，解得；∴原方程的解為，；上面這種方法稱為“換元法”，把其中某些部分看成一個整體，并用新字母代替（即換元），則能使復雜的問題轉化成簡單的問題．利用以上學習到的方法解下列方程：（1）；（2）．【答案】（1），，，；（2），．【分析】（1）根據(jù)閱讀材料利用換元法降次，令，即原方程=，求解即可．（2）同理，令，即原方程=，求解即可．【解析】（1）設，得：，解得：，．當時，，解得：，當時，，解得：，．∴原方程的解為，，，．（2）設，則方程可變成，∴，，．當時，，所以無解．當時，，∴，∴，．經(jīng)檢驗，是原方程的解．【點睛】本題考查利用換元法解一元二次方程．利用整體換元把一些形式復雜的方程變成一元二次方程，從而達到降次的目的是解答本題的關鍵．題型6：新定義題15．我們不妨約定：若一個關于的一元一次方程能寫成的形式，其中，，為常數(shù)并且能構成直角三角形的三邊，則稱此方程為“一元勾股方程”．滿足條件的直角三角形的面積稱為此方程對應的“股雅值”．如：方程，可寫成，，則，，能構成直角三角形的三邊，所以是一元勾股方程．此時對應的“股雅值”為．(1)請說明：是一元勾股方程；(2)若方程（）為一元勾股方程，該方程的解為，求其對應的“股雅值”；(3)關于x的方程（）為一元勾股方程，其對應的“股雅值”為，關于的方程無解，求原一元勾股方程的解．【答案】(1)說明見解析(2)(3)【分析】（1）仿照列題，方程，可寫成，即可求解；（2）根據(jù)方程，方程的解為，①，根據(jù)勾股定理得出，進而求得的值，求得面積即可求解；（3）根據(jù)對應的“股雅值”為，得出，根據(jù)分式方程無解分類討論，進而得出①當時，②當時，根據(jù)完全平方公式變形求值，進而即可求解．【解析】（1）解：方程，可寫成，∵，∴是一元勾股方程．（2）∵，方程的解為∴，∴，①∵∴為斜邊∴∴②將①代入②得：③由①③可得，，∴“股雅值”為（3）∵∴為斜邊∴∵對應的“股雅值”為∴∴解方程可得∵方程無解∴①，②當時，，③當時，，（舍）①當時，∴∴②當時，∴（舍）∴．【點睛】本題考查了一元一次方程的解，解分式方程，分母有理化，勾股定理，理解新定義是解題的關鍵．題型7：代數(shù)方程的實際應用16．2月開學季來臨，某文具店在2月上旬推出了A、B、C三種不同主題的開學大禮包．已知2月上旬A、B、C三種主題大禮包售價之比為，銷量之比為．開學后不久，根據(jù)市場需求，在2月下旬文具店老板對三種主題大禮包售價進行了調整，其中B主題大禮包售價比2月上旬降低了，C主題大禮包在2月上旬售價的基礎上打八折，從而使得B、C兩種主題大禮包銷售額相較于2月上旬有所增加，A主題大禮包銷售額相較于2月上旬有所下降．若A主題大禮包減少的銷售額與B、C兩種主題大禮包增加的銷售額之比為，且A主題大禮包減少的銷售額占2月下旬三種主題大禮包總銷售額的，則2月下旬B、C兩種主題大禮包的銷量之比為．【答案】【分析】設2月上旬A、B、C三種主題大禮包售價為，銷量為，2月下旬A主題大禮包減少的銷售額與B、C兩種主題大禮包增加的銷售額分別為，根據(jù)“2月下旬A主題大禮包減少的銷售額占2月下旬三種主題大禮包總銷售額的”列出方程，然后分別求出2月下旬B、C兩種主題大禮包銷售額，進而求出2月下旬B、C兩種主題大禮包銷售量，即可解答．【解析】解：設2月上旬A、B、C三種主題大禮包售價為，銷量為，2月下旬A主題大禮包減少的銷售額與B、C兩種主題大禮包增加的銷售額分別為，根據(jù)題意，得，解得，∴2月下旬B、C兩種主題大禮包銷售額分別為，，∴2月下旬B、C兩種主題大禮包銷售之比為．故答案為：．【點睛】本題考查了分式方程方程是應用，讀懂題意，找出等量關系式是解題的關鍵．17．為迎接春節(jié)，某商場計劃購進甲、乙兩種品牌的恤衫共100件．已知乙品牌每件的進價比甲品牌每件的進價貴30元，且用6000元購買甲品牌的件數(shù)恰好是用6000元購買乙品牌件數(shù)的2倍．(1)甲、乙兩種品牌每件的進價分別是多少元？(2)商場決定購進甲、乙兩種品牌恤衫的資金不少于3600元，且購進甲品牌恤衫至少78件，求該商場有哪幾種進貨方案；(3)在（2）的條件下，商場決定甲品牌恤衫以每件50元出售，乙品牌恤衫以每件100元出售，若該商場推出促銷活動：顧客購買一件恤衫持購物票據(jù)可抽獎一次，每人限購一件，一等獎共有1個，所購恤衫按標價返款100%；二等獎共有3個，所購恤衫按標價返款50%．該商場將這100件恤衫全部售出后共獲利2220元，直接寫出抽到的二等獎中，購買的乙種品牌恤衫有多少件．【答案】(1)甲品牌每件的進價為30元，乙品牌每件的進價為60元；(2)商場共有三種進貨方案：①購進甲品牌恤衫78件，購進乙品牌恤衫22件；②購進甲品牌恤衫79件，購進乙品牌恤衫21件；③購進甲品牌恤衫80件，購進乙品牌恤衫20件；(3)抽到的二等獎中，購買乙種品牌恤衫有1件或3件．【分析】（1）根據(jù)乙品牌每件的進價比甲品牌每件的進價貴30元，且用6000元購買甲品牌的件數(shù)恰好是用6000元購買乙品牌件數(shù)的2倍，可以列出相應的分式方程，從而可求得甲、乙兩種品牌每件的進價分別是多少元；（2）購進甲、乙兩種品牌恤衫的資金不少于3600元，且購進甲品牌恤衫至少78件，可以列出相應的不等式組，從而求出的取值，分別列出進貨方案即可；（3）根據(jù)（2）中共有3種方案，分三種情況進行討論：設二等獎中購買乙品牌的有件，甲品牌的有件，當購進甲品牌恤衫78件，購進乙品牌恤衫22件時，一等獎為甲品牌時，根據(jù)該商場將這100件恤衫全部售出后共獲利2220元可列出方程解得不是整數(shù)即可舍去；當購進甲品牌恤衫78件，購進乙品牌恤衫22件時，一等獎為乙品牌時，根據(jù)該商場將這100件恤衫全部售出后共獲利2220元可列出方程解得不是整數(shù)即可舍去；以此例推分別進行討論即可，若為小于等于3的整數(shù)，則可滿足題意．【解析】（1）解：設甲品牌恤衫每件的進價為元，則乙品牌恤衫每件的進價為元．由題意得：解得：經(jīng)檢驗是原分式方程的解，且符合題意．，答：甲品牌恤衫每件的進價為30元．乙品牌恤衫每件的進價為60元．（2）設該商場購進甲品牌恤衫a件，則購進乙品牌恤衫件．根據(jù)題意得：的整數(shù)值為78，79，80．商場共有三種進貨方案．方案一：購進甲品牌恤衫78件，購進乙品牌恤衫22件；方案二：購進甲品牌恤衫79件，購進乙品牌恤衫21件；方案三：購進甲品牌恤衫80件，購進乙品牌恤衫20件．（3）設二等獎中購買乙品牌的有件，甲品牌的有件，①購進甲品牌恤衫78件，購進乙品牌恤衫22件，一等獎為甲品牌，解得：（舍）．購進甲品牌恤衫78件，購進乙品牌恤衫22件，一等獎為乙品牌，解得：（舍）．②購進甲品牌恤衫79件，購進乙品牌恤衫21件，一等獎為甲品牌，解得：．購進甲品牌恤衫79件，購進乙品牌恤衫21件，一等獎為乙品牌，解得：．③購進甲品牌恤衫80件，購進乙品牌恤衫20件，一等獎為甲品牌，解得：（舍）．購進甲品牌恤衫80件，購進乙品牌恤衫20件，一等獎為乙品牌，解得：（舍）．因此，抽到的二等獎中，購買乙品牌有1件或3件．【點睛】本題考查了分式方程的應用問題以及不等式組的應用解決方案問題，解答本題的關鍵是明確題意，列出相應的方程或不等式解決問題，利用分類討論思想不遺漏情況進行討論問題，注意分式方程需要檢驗．18．1月份，甲、乙兩商店從批發(fā)市場購進了相同單價的某種商品，甲商店用1050元購進的商品數(shù)量比乙商店用1260元購進的數(shù)量少10件．(1)求該商品的單價；(2)2月份，兩商店以單價元/件（低于1月份單價）再次購進該商品，購進總價均不變．①試比較兩家商店兩次購進該商品的平均單價的大?。谝阎咨痰?月份以每件30元的標價售出了一部分，剩余部分與2月份購進的商品一起售賣，2月份第一次按標價9折售出一部分且未超過1月份售出數(shù)量的一半，第二次在第一次基礎上再降價2元全部售出，兩個月的總利潤為1050元，求甲商店1月份可能售出該商品的數(shù)量．【答案】(1)該商品的單價為21元(2)①甲的平均單價等于乙的平均單價；②或28【分析】（1）設該商品的單價為x元，根據(jù)商店用1050元購進的商品數(shù)量比乙商店用1260元購進的數(shù)量少10件列出方程求解即可；（2）①分別求出甲、乙兩次一共購買的商品數(shù)量，進而求出甲、乙的平均單價，然后比較大小即可；②先求出甲商品一月份一共購進的商品數(shù)量為件二月份甲購進的商品數(shù)量為件，設一月份售出m件，二月份第一次售出n件，則二月份第二次售出件，再根據(jù)銷售額成本利潤列出方程推出，再由m、n都是正整數(shù)，得到，由2月份第一次按標價9折售出一部分且未超過1月份售出數(shù)量的一半，得到，進而得到且m是正整數(shù)，再由也是正整數(shù)，得到m必須是偶數(shù)，即m的值為或28．由題意得，，【解析】（1）解：設該商品的單價為x元，由題意得，，解得，經(jīng)檢驗，是原方程的解，∴該商品的單價為21元；（2）解：①由題意得，甲兩次一共購買的商品數(shù)量為件，乙兩次一共購買的商品數(shù)量為，∴甲的平均單價為，乙的平均單價為，即，∴甲的平均單價等于乙的平均單價；②甲商品一月份一共購進的商品數(shù)量為件當時，則二月份甲購進的商品數(shù)量為件，設一月份售出m件，二月份第一次售出n件，則二月份第二次售出件，由題意得，，∴，∴；∴，∵m、n都是正整數(shù)，∴，∴，∵2月份第一次按標價9折售出一部分且未超過1月份售出數(shù)量的一半，∴，∴，∴，∴且m是正整數(shù)，又∵也是正整數(shù)，∴m必須是偶數(shù)，∴m的值為或28．【點睛】本題主要考查了分式方程的實際應用，分式混合計算的實際應用，二元一次方程的解，一元一次不等式組的實際應用，正確理解題意找到等量關系和不等式關系是解題的關鍵．19．某服裝店用4500元購進一批襯衫，很快售完，服裝店老板又購進第二批該款式的襯衫，已知進價每件比第一批降低了10元，若第二次購貨款為2100元，則進貨量是第一次的一半．(1)這兩次各購進這種襯衫多少件？(2)若第一批襯衫的售價是200元/件，老板想讓這兩批襯衫售完后的總利潤不低于1950元，且不高于2250元，第二批襯衫的售價有哪幾種方案？（售價是10的倍數(shù)）(3)在（2）的條件下，服裝店從第二批襯衫中拿出幾件獎勵員工，其余襯衫全部售出，銷售這兩批襯衫共獲利1680元．直接寫出獎勵員工襯衫的件數(shù)．【答案】(1)第一次購進這種襯衫30件，第二次購進這種襯衫15件(2)第二批襯衫的售價有3種方案，方案1：第二批襯衫的售價為170元/件；方案2：第二批襯衫的售價為180元/件；方案3：第二批襯衫的售價為190元/件(3)獎勵員工襯衫的件數(shù)為3件【分析】（1）設第二次購進這種襯衫x件，則第一次購進這種襯衫2x件，利用進貨單價等于進貨總價÷進貨數(shù)量，結合第二批進價每件比第一批降低了10元，可得出關于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗后，可得出第二次購進這種襯衫的數(shù)量，再將其代入2x中，即可求出第一次購進這種襯衫的數(shù)量；（2）設第二批襯衫的售價是y元/件，根據(jù)“這兩批襯衫售完后的總利潤不低于1950元，且不高于2250元”，可得出關于y的一元一次不等式組，可得y的取值范圍，再結合“y為正整數(shù)，且y是10的倍數(shù)”，即可解答；（3）利用獎勵員工襯衫的數(shù)量＝少獲得的利潤÷第二批襯衫的售價即可解答．【解析】（1）解：設第二次購進這種襯衫x件，則第一次購進這種襯衫2x件，根據(jù)題意得：，解得：，經(jīng)檢驗，是所列方程的解，且符合題意，∴．答：第一次購進這種襯衫30件，第二次購進這種襯衫15件．（2）解：設第二批襯衫的售價是y元/件，根據(jù)題意得：，解得：，又∵y為正整數(shù)，且y是10的倍數(shù)，∴y可以為170，180，190，∴第二批襯衫的售價有3種方案，方案1：第二批襯衫的售價為170元/件；方案2：第二批襯衫的售價為180元/件；方案3：第二批襯衫的售價為190元/件．（3）解：當?shù)诙r衫的售價為170元時，獎勵員工襯衫的件數(shù)為（件），不符合題意，舍去；當?shù)诙r衫的售價為180元時，獎勵員工襯衫的件數(shù)為（件），不符合題意，舍去；當?shù)诙r衫的售價為190元時，獎勵員工襯衫的件數(shù)為（件），符合題意．答：獎勵員工襯衫的件數(shù)為3件．【點睛】本題考查了分式方程的應用、一元一次不等式組的應用、有理數(shù)的混合運算等知識點，解找準數(shù)量關系、正確列出分式方程和列出一元一次不等式組是解答本題的關鍵．20．5月20日是全國學生營養(yǎng)日，小紅為了得知自己平時攝入的早餐各營養(yǎng)成分含量是否達到人體攝入的標準，設計了以下活動：I調查：小紅根據(jù)自己的飲食習慣調查了以下三種食物的營養(yǎng)成分表，且發(fā)現(xiàn)每麥片所含的蛋白質比每牛奶所含蛋白質的4倍多6克，獲得160克蛋白質所需麥片與獲得25克蛋白質所需牛奶的克數(shù)相同．營養(yǎng)麥片（每）牛奶（每）雞蛋（每個）蛋白質_________g_________g常量元素含鈉含鈣/Ⅱ計算：（1）請求出營養(yǎng)麥片和牛奶（每）所含蛋白質各為多少克．（2）小紅某一天的早晨吃了營養(yǎng)麥片和牛奶共，且獲得常量元素沒有超過，請求出此份早餐所含蛋白質的最大值．III設計：根據(jù)調查，小紅發(fā)現(xiàn)想讓早餐更符合人體攝入要求，早餐應攝入不少于的蛋白質，常量元素鈉、鈣攝入總量共（兩種常量元素均攝?。?，雞蛋與營養(yǎng)麥片總質量不超過（每個雞蛋的質量按計算）．已知營養(yǎng)麥片和牛奶的克數(shù)、雞蛋的個數(shù)均為整數(shù)，請你結合評價表設計一種符合要求的早餐方案并填表（不同方案得分不同，具體見表）．方案評價表優(yōu)秀方案營養(yǎng)麥片、牛奶、雞蛋三種食物均有3分良好方案只含有營養(yǎng)麥片和牛奶兩種食物2分方案：種類營養(yǎng)麥片牛奶雞蛋質量_________g_________g_________個【答案】Ⅱ：（1）每營養(yǎng)麥片含蛋白質，牛奶含蛋白質；（2）；III：答案見解析【分析】（1）設每牛奶所含蛋白質為，則每營養(yǎng)麥片所含蛋白質為．根據(jù)題意列出分式方程，解方程求解即可；（2）設營養(yǎng)麥片，則牛奶，記蛋白質總量為，根據(jù)題意求得的范圍，進而根據(jù)一次函數(shù)的性質求解；（3）設營養(yǎng)麥片，牛奶，雞蛋個，根據(jù)題意列出方程和不等式組，計算即可求解．【解析】（1）設每牛奶所含蛋白質為，則每營養(yǎng)麥片所含蛋白質為．，，經(jīng)檢驗，是原方程的解，則．答：每營養(yǎng)麥片含蛋白質，牛奶含蛋白質．（2）設營養(yǎng)麥片，則牛奶，記蛋白質總量為．，，，W隨著x的增大而增大，∴當時，．（3）設營養(yǎng)麥片，牛奶，雞蛋個，優(yōu)秀方案,營養(yǎng)麥片和牛奶的克數(shù)、雞蛋的個數(shù)均為整數(shù)，或2由②得，則是5的倍數(shù)，當時，由③解得，當時，解得：，根據(jù)，列表可得，雞蛋12牛奶240222204186168402384366348營養(yǎng)麥片50556065705101520良好方案由②得，則是5的倍數(shù)，根據(jù)，列表可得，牛奶42246營養(yǎng)麥片105110115【點睛】本題考查了分式方程的應用，一次函數(shù)的應用，二元一次方程組，不等式組的應用，理解題意，列出方程或不等式是解題的關鍵．題型8：代數(shù)方程與一次函數(shù)21．某商場售賣甲、乙兩種不同的電視機，第一季度甲型電視機的售價比乙型電視機售價少元，甲型電視機銷售額為元，乙型電視機銷售量是甲型電視機的兩倍，且乙型電視機的銷售額是甲型電視機的倍．(1)求甲、乙兩種電視機的售價；(2)經(jīng)過市場調查，兩種電視機的售價和銷售量均滿足一次函數(shù)的關系，在第一季度的售價和銷售量的基礎上，甲型電視機售價元與銷售量臺的關系如圖所示，乙型電視機售價元與銷售量臺的關系為該商場計劃第二季度再進一批甲、乙兩種電視機共臺，且甲型電視機的進貨數(shù)量不低于乙型電視機的倍，商場第二季度剛好售賣完這批電視機，銷售額為元．求第二季度甲的電視機的銷售量及售價．【答案】(1)甲種電視機的售價為元，乙種電視機的售價為元；(2)第二季度甲的電視機的銷售量是臺，售價是元臺．【分析】設乙種電視機的售價為元，甲種電視機的售價為元，利用乙型電視機的銷售額是甲型電視機的倍列出方程即可求解；設甲型電視機售價元與銷售量臺的關