經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（第六版）（上冊(cè)）課件 第22講5.3定積分計(jì)算與無限區(qū)間上的積分

經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)輔導(dǎo)第22講顧靜相5.3定積分的計(jì)算教學(xué)要求

熟練掌握定積分的換元積分法和分部積分法．定積分的換元積分法

第17講中，學(xué)習(xí)了用換元積分法求已知函數(shù)的原函數(shù)，在某些條件下?lián)Q元積分法也可以用來計(jì)算定積分．

定積分的換元積分法的定理

定理5.3

設(shè)函數(shù)

f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，作變換

x=

(t)，如果

(1)x=

(t)在區(qū)間[

,

]上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)

(t)；

(2)

當(dāng)

t在區(qū)間[

,

]上變化時(shí)，x=

(t)的值從

(

)=a單調(diào)地變到

(

)=b，則

．(22.1)

定積分的換元積分法

在應(yīng)用定積分的換元積分法公式(22.1)時(shí)，應(yīng)注意：(1)從左到右應(yīng)用公式(22.1)，相當(dāng)于不定積分的第二換元法．計(jì)算時(shí)，用

x=

(t)把原積分變量x換成新變量

t，積分限也必須由

a和

b換為新變量

t的積分限

和

，而不用代回原積分變量x，這與不定積分的第二換元法是完全不同的．定積分的換元積分法

在應(yīng)用定積分的換元積分法公式(22.1)時(shí)，應(yīng)注意：(2)從右到左應(yīng)用公式(22.1),相當(dāng)于不定積分的第一換元法（湊微分法）．一般不用設(shè)出新的積分量．這時(shí)，原積分的上、下限不需改變，只要求出被積函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)，就可直接應(yīng)用牛頓—萊布尼茲公式求出定積分的值.

定積分的換元積分法例1計(jì)算定積分

．定積分的換元積分法例1計(jì)算定積分

．解法一設(shè)

t=cosx，則

dt=-sinxdx．當(dāng)

x=0時(shí)，t=1；當(dāng)

時(shí)，t=0．所以，原積分

．定積分的換元積分法例1計(jì)算定積分

．解法一設(shè)

t=cosx，則

dt=-sinxdx．當(dāng)

x=0時(shí)，t=1；當(dāng)

時(shí)，t=0．所以，原積分

．

這一解法明確地設(shè)出了新的積分變量

t．這時(shí)，應(yīng)更換積分的上、下限，且不必代回原積分變量．定積分的換元積分法例1計(jì)算定積分

．解法二

．定積分的換元積分法例1計(jì)算定積分

．解法二

．

這一解法沒有引入新的積分變量，計(jì)算時(shí)原積分的上、下限不要改變．對(duì)于能用“湊微分法”求原函數(shù)的積分，應(yīng)盡可能用解法二的方法．定積分的換元積分法例2計(jì)算定積分

．定積分的換元積分法例2計(jì)算定積分

．解設(shè)

x=t3，則

dx=3t2dt，當(dāng)

t在

[0,2]上變化時(shí)，x在

[0,8]上變化，所以

．定積分的換元積分法例3計(jì)算定積分

．定積分的換元積分法例3計(jì)算定積分

．解

令

x=sint,dx=costdt，當(dāng)

t=0時(shí)，x=0；

時(shí)，x=1，且

時(shí)，0

x

1，因此，

．定積分的換元積分法例4計(jì)算定積分

．定積分的換元積分法例4計(jì)算定積分

．解

設(shè)，則，

．當(dāng)

x=0時(shí)，t=0；當(dāng)

x=ln5時(shí)，t＝2．所以

定積分的換元積分法例5設(shè)函數(shù)

f(x)在區(qū)間[-a,a]上連續(xù)(a>0)，則(1)

當(dāng)f(x)為偶函數(shù)時(shí)，

；(2)

當(dāng)f(x)為奇函數(shù)時(shí)，

．定積分的換元積分法例5設(shè)函數(shù)

f(x)在區(qū)間[-a,a]上連續(xù)(a>0)，則(1)

當(dāng)f(x)為偶函數(shù)時(shí)，

；(2)

當(dāng)f(x)為奇函數(shù)時(shí)，

．證

(1)由定積分的可加性，有(22.2)對(duì)于等號(hào)右端的第一項(xiàng)，令x=-t，則dx=-dt．且當(dāng)x=-a時(shí)，t=a；當(dāng)x=0時(shí)，t=0．于是，

．定積分的換元積分法證

(1)由定積分的可加性，有(22.2)對(duì)于等號(hào)右端的第一項(xiàng)，令x=-t，則dx=-dt．且當(dāng)x=-a時(shí)，t=a；當(dāng)x=0時(shí)，t=0．于是，

．

所以，(22.2)式可化為

．定積分的換元積分法證

(1)由定積分的可加性，有(22.2)對(duì)于等號(hào)右端的第一項(xiàng)，令x=-t，則dx=-dt．且當(dāng)x=-a時(shí)，t=a；當(dāng)x=0時(shí)，t=0．于是，

．

所以，(22.2)式可化為

．(2)證明類似于(1)．定積分的換元積分法

例5的結(jié)果可以作為定理使用．

在計(jì)算對(duì)稱區(qū)間上的定積分時(shí)，如果能判定被積函數(shù)的奇偶性，利用這一結(jié)果就可以化簡(jiǎn)計(jì)算過程．定積分的換元積分法例6計(jì)算定積分

．定積分的換元積分法例6計(jì)算定積分

．解由于

在區(qū)間[-2,2]上為奇函數(shù)，

在[-2,2]上為偶函數(shù)，所以定積分的分部積分法

對(duì)應(yīng)于不定積分的分部積分法，也有計(jì)算定積分的分部積分法．

定積分的分部積分法

設(shè)函數(shù)

u=u(x)與

v=v(x)在區(qū)間

[a,b]上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)

u

(x)，v

(x)，則(uv)

=u

v+uv

．上式兩邊取從

a到

b的積分，得到

即移項(xiàng)得(22.3)公式(22.3)稱為定積分的分部積分公式．導(dǎo)數(shù)乘法公式定積分的分部積分法例7計(jì)算定積分

．

定積分的分部積分法例7計(jì)算定積分

．

解設(shè)

u=lnx，dv=xdx，則,.可得

注：計(jì)算熟練以后，變量的替換過程可以不寫．

．

定積分的分部積分法例8計(jì)算定積分

．

定積分的分部積分法例8計(jì)算定積分

．

解由于

為偶函數(shù)，

為奇函數(shù)，所以．

定積分的分部積分法例9計(jì)算定積分

．

定積分的分部積分法例9計(jì)算定積分

．

解設(shè)

，則

x=t2，dx

=2tdt，當(dāng)

x=0時(shí)，t

=0；當(dāng)

x=

2時(shí)，t=

．于是．

定積分的分部積分法例10計(jì)算定積分